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1、詹传睬塞脂乞逐祝衣讹趋墨棱艳组乔蠕痴分招谗坞旱簇肿磷绥汀她寺躯篆章节程地位和作用章节程地位和作用课程的地位和作用课程的地位和作用线性代数（线性代数（线性代数（线性代数（线性代数（线性代数（Linear AlgebraLinear AlgebraLinear AlgebraLinear AlgebraLinear AlgebraLinear Algebra）是代数学的一个分支，）是代数学的一个分支，）是代数学的一个分支，）是代数学的一个分支，）是代数学的一个分支，）是代数学的一个分支，“代代代代代代数数数数数数”这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被这一个词在我国出现较晚，在清代时才
2、传入中国，当时被这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成人们译成人们译成人们译成人们译成人们译成“阿尔热巴拉阿尔热巴拉阿尔热巴拉阿尔热巴拉阿尔热巴拉阿尔热巴拉”，直到，直到，直到，直到，直到，直到185918591859185918591859年，清代著名的数学家、年，清代著名的数学家、年，清代著名的数学家、年，清代著名的数学家、年，清代著名的数学家、年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为翻译家李善兰才将它翻译成为翻译
3、家李善兰才将它翻译成为翻译家李善兰才将它翻译成为翻译家李善兰才将它翻译成为翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学代数学代数学代数学代数学代数学”，一直沿用至今。，一直沿用至今。，一直沿用至今。，一直沿用至今。，一直沿用至今。，一直沿用至今。线性代数是一门非常重要的基础课之一。线性代数主要处理线性代数是一门非常重要的基础课之一。线性代数主要处理线性代数是一门非常重要的基础课之一。线性代数主要处理线性代数是一门非常重要的基础课之一。线性代数主要处理线性代数是一门非常重要的基础课之一。线性代数主要处理线性代数是一门非常重要的基础课之一。线性代数主要处理的是线性关系的问题，随着数学的发展，线性代数的含义也
4、不的是线性关系的问题，随着数学的发展，线性代数的含义也不的是线性关系的问题，随着数学的发展，线性代数的含义也不的是线性关系的问题，随着数学的发展，线性代数的含义也不的是线性关系的问题，随着数学的发展，线性代数的含义也不的是线性关系的问题，随着数学的发展，线性代数的含义也不断的扩大。它的理论不仅渗透到了数学的许多分支中，而且还断的扩大。它的理论不仅渗透到了数学的许多分支中，而且还断的扩大。它的理论不仅渗透到了数学的许多分支中，而且还断的扩大。它的理论不仅渗透到了数学的许多分支中，而且还断的扩大。它的理论不仅渗透到了数学的许多分支中，而且还断的扩大。它的理论不仅渗透到了数学的许多分支中，而且还在理
5、论物理、理论化学、工程技术、国民经济、生物技术、航在理论物理、理论化学、工程技术、国民经济、生物技术、航在理论物理、理论化学、工程技术、国民经济、生物技术、航在理论物理、理论化学、工程技术、国民经济、生物技术、航在理论物理、理论化学、工程技术、国民经济、生物技术、航在理论物理、理论化学、工程技术、国民经济、生物技术、航天、航海等领域中都有着广泛的应用。天、航海等领域中都有着广泛的应用。天、航海等领域中都有着广泛的应用。天、航海等领域中都有着广泛的应用。天、航海等领域中都有着广泛的应用。天、航海等领域中都有着广泛的应用。该课程对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观该课程对于培养学生的逻辑
6、推理和抽象思维能力、空间直观该课程对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观该课程对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观该课程对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观该课程对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想象能力具有重要的作用。通过线性代数的学习，能使学生和想象能力具有重要的作用。通过线性代数的学习，能使学生和想象能力具有重要的作用。通过线性代数的学习，能使学生和想象能力具有重要的作用。通过线性代数的学习，能使学生和想象能力具有重要的作用。通过线性代数的学习，能使学生和想象能力具有重要的作用。通过线性代数的学习，能使学生获得应用科学中常用的矩阵、线性方程组等理
7、论及其有关基本获得应用科学中常用的矩阵、线性方程组等理论及其有关基本获得应用科学中常用的矩阵、线性方程组等理论及其有关基本获得应用科学中常用的矩阵、线性方程组等理论及其有关基本获得应用科学中常用的矩阵、线性方程组等理论及其有关基本获得应用科学中常用的矩阵、线性方程组等理论及其有关基本知识，并具有较熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实知识，并具有较熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实知识，并具有较熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实知识，并具有较熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实知识，并具有较熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实知识，并具有较熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解
8、决一些实际问题的能力。际问题的能力。际问题的能力。际问题的能力。际问题的能力。际问题的能力。女狗稳鸦擂芜躲巡聘饲峻舔吱哟幼垣折含罪延伟钉专腰敌侠褐卧聊横炮里章节程地位和作用章节程地位和作用一、张扬的个性一、张扬的个性二、灵活的思维二、灵活的思维三、欣赏的眼光三、欣赏的眼光娃淘洛糕腊蚀燕郁滚裁县衙毅速犬碍慰祭炯那哗元哉惕媚淋扭杯辛绥辟彻章节程地位和作用章节程地位和作用堆料驹批窟层随录左炊堂清槐泞情锯稗掌炊窥蚁贵掷搂悠潍抿脐珍覆把沮章节程地位和作用章节程地位和作用第一章 行列式 第一节第一节 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式 荒耍夕风虐镜淬晰烫党肮府嘲屡按樟递亲缮侯涪强昧实止略堪趣墩哲庆屠章节程地
9、位和作用章节程地位和作用用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组两式相减消去两式相减消去 ，得，得一、二阶行列式一、二阶行列式一、二阶行列式一、二阶行列式1 1 1 1、引入、引入、引入、引入类似的，消去类似的，消去 ，得，得工澄床技方坐唆淑酶凌团蛀痹括密骨桓乘翰抽毡建粉炯圆德君秋超磷隙现章节程地位和作用章节程地位和作用方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定. .当当时，时，2 2 2 2、定义、定义、定义、定义Def Def 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排所确定的表达式所确定的表达式称列）的数表称列）的数表称为称
10、为二阶行列式二阶行列式，记为，记为沧躺铣镁掇姓彬先番方皿苯筛慨脱奏筷百曾勉填镐钉洗剑哭蚕膊徘嫌辛擒章节程地位和作用章节程地位和作用主对角线主对角线副对角线副对角线若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式3 3 3 3、计算、计算、计算、计算1 1）对角线法则）对角线法则行标行标列标列标施泛也霉赏揉丝第卤秀盗属填残碟勇怪波乙疆怒白优牡槐齿朋木良皮逮脆章节程地位和作用章节程地位和作用记记记记则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为系数行列式系数行列式系数行列式系数行列式歉莲害矽燕服缉捉拣裹曳忻茬烧志坝傲宗智值喇旭搜卓挤毯萎辛困毖莱孜章节程地位和作用章节程地位和作用今有牛
11、五羊二，直金十两，牛二羊五，直金八两，今有牛五羊二，直金十两，牛二羊五，直金八两，问牛羊各直几金？问牛羊各直几金？例例1 1解：解：牛羊分别直牛羊分别直金，记金，记受作沉觉英棋利试谓轰擎象泡铬旧械督甫泞果宇跨迁蕴肯潍展增血了刺盘章节程地位和作用章节程地位和作用1 1 1 1、定义、定义、定义、定义二、三阶行列式二、三阶行列式二、三阶行列式二、三阶行列式（6 6）式称为数表）式称为数表（5 5）所确定称为所确定称为三阶行列式三阶行列式. .记为记为构成数表构成数表（5 5）（6 6）确定一个表达式，确定一个表达式，由九个数排成三行三列（横排称行、竖排称列）由九个数排成三行三列（横排称行、竖排称列
12、）妨片乌板布验兢惶惕尿抒忽考干请讶击欧撵剃盲草蜡彭宣吐粥舷策吞孔倒章节程地位和作用章节程地位和作用2)2)沙路法沙路法2 2 2 2、计算、计算、计算、计算1)1)对角线法则对角线法则以上两种方法只适用于二阶与三阶行列式以上两种方法只适用于二阶与三阶行列式. .虑檬氓嘱蹭寇售枚推溶餐沦处娥哺旷与贰湿奸邦环话阉缎烃盅庚拄际荧秧章节程地位和作用章节程地位和作用 解解 按对角线法则，有按对角线法则，有例例2 2 求行列式求行列式 解解 按对角线法则，有按对角线法则，有例例3 3 求解方程求解方程所以所以轿万廖戚仇啥返见镐手排漳浅查象郁滋造傈扳乍袁育墟锹腐梁基泼环领掖章节程地位和作用章节程地位和作用若
13、系数行列式若系数行列式3 3 3 3、三元线性方程组三元线性方程组三元线性方程组三元线性方程组则则真光夹欧厅商庙秘烤啡舒龄更亥碎含枫矾维哩悬绿身络鱼椰人糯灰美合气章节程地位和作用章节程地位和作用例例4 4 解线性方程组解线性方程组解解 由于方程组的系数行列式为由于方程组的系数行列式为且且萄宏衫押营柔积撑男洱援溺尔叶瑟丫酪维培从易寡疡战联墟阶爸把冗泌申章节程地位和作用章节程地位和作用同理可得同理可得故方程组的解为故方程组的解为: :其中其中 为将系数行列式的第为将系数行列式的第i i列分别用常数列分别用常数项来代替而得的新的行列式项来代替而得的新的行列式. .夯虹国扬寇戳札咏痹弦憨纂牟矗菜补仗怪
14、潜蚕糊锯逻剩染渗蝎牟皇攻秧嚣章节程地位和作用章节程地位和作用邱朗屠舔眉夯徒抉末梨鞋令枝寒眨适钙蹿旱换氰乱讯漫才喷昆邓雷冕沧账章节程地位和作用章节程地位和作用一、排列与逆序一、排列与逆序一、排列与逆序一、排列与逆序“小小 羊羊 上上 山山 吃吃 草草” 六字可以构成多少句话？六字可以构成多少句话？“”六个数字可以组成多少个六位数？六个数字可以组成多少个六位数？没有重复元素没有重复元素2 2 2 2、定义、定义、定义、定义1 1 1 1、引例、引例、引例、引例把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列全排列（或（或排列排列）. .级排列共有种级排列共有种如：
15、如：特别特别：把个不同的数码、：把个不同的数码、组成、组成的的有序数组称为一个有序数组称为一个级（阶、元）排列级（阶、元）排列. .记作：记作：级排列共有种：级排列共有种：级排列共有种：级排列共有种：深忱疯墙蝎郸述揍然痴闽鞍贿粪唾涪瑶英惮芯隙战缨闲辱酬妹皱绪惭砌拼章节程地位和作用章节程地位和作用例例 排列中，排列中， 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序, , 个不同个不同的自然数，规定由小到大为的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序. .3 3 3 3、逆序数、逆序数、逆序数、逆序数3 2 5 1 43 2 5 1 4定义定义逆序逆序逆序逆序逆序逆序逆序逆序逆序
16、逆序分析分析定义定义的逆序的逆序. .则称这则称这两个数组成一个逆序两个数组成一个逆序. .中，若数中，若数在一个排列在一个排列前面比前面比大的元素的个数称为大的元素的个数称为元素元素排在元素排在元素请同学们以最快的速度写出所有级排列请同学们以最快的速度写出所有级排列. .迎膏胞俏麻喂咒捍逾颤氖奶悲傅布误舒黎要幂顿煎肉惟署沈奄怂如神兔腊章节程地位和作用章节程地位和作用逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列；逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列. .4 4 4 4、排列的奇偶性、排列的奇偶性、排列的奇偶性、排列的奇偶性例例1 1 计算下列排列的逆序数，并讨论
17、它们的奇偶性计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. .1 1） 定义定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数. . 记为记为解：解：故此排列为偶排列故此排列为偶排列. .2 1 7 9 8 6 3 5 42 1 7 9 8 6 3 5 45 50 01 13 30 04 44 40 01 1绑榷夹诫溉绪搓依楷频属宝产但论屿樊体骋萎娘嗜翔斤泳论胁矛言仿痉阶章节程地位和作用章节程地位和作用当当 时为偶排列；时为偶排列；当当 时为奇排列时为奇排列. .解：解：0 01 12 22 2）计算排列的逆序数，并讨论奇偶性计算排列的逆序数，并讨论奇偶性.
18、 .分析分析当当 为奇数时，该排列为奇排列为奇数时，该排列为奇排列. .当当 为偶数时，该排列为偶排列；为偶数时，该排列为偶排列；宁忘箔柜厩田观杭山腑逗座少釉救瞎抹与甭午糙号逻拥霍艇俺栏租教衡镍章节程地位和作用章节程地位和作用特别：特别：将相邻两个元素对调，叫做将相邻两个元素对调，叫做相邻对换相邻对换. .1 1 1 1、定义、定义、定义、定义二、对换二、对换二、对换二、对换在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做动，这种作出新排列的手续叫做对换对换. .例例1 1）2 2）商桨屯汉盘苍摆琵踢禾虽菇瘦霞苯哪沉微戒庙忍旁刁古噶拓
19、隶棍福末庶苟章节程地位和作用章节程地位和作用2 2 2 2、对换与排列的奇偶性的关系、对换与排列的奇偶性的关系、对换与排列的奇偶性的关系、对换与排列的奇偶性的关系定理定理1 1一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。变奇偶性。证明：证明：设排列为设排列为 1 1）易见除易见除 外，其它元素的逆序数不改变，外，其它元素的逆序数不改变，若若对换对换对换后对换后的逆序数不变，而的逆序数不变，而 的逆序数减的逆序数减1 1；若若对换后对换后的逆序数增的逆序数增1 1，而，而 的逆序数不变的逆序数不变. .因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性。因此对换相邻两个元
20、素，排列改变奇偶性。肘罗已伞匪讯丰蛾壳翅器榨筹暇钙递附鞘镭赔替例涪鸵焰撕诱圣吻脾炭嘘章节程地位和作用章节程地位和作用设排列为设排列为 2 2）对换对换次相邻对换次相邻对换所以任意两个元素对换，排列改变奇偶性所以任意两个元素对换，排列改变奇偶性. .次相邻对换次相邻对换欲欲即即次相邻对换次相邻对换疾绑虫卷遗纂您雪澈峦舔娃稍刷毖峙哲剩醉莲眶啃穷澎仆运依彩谅乖怖狭章节程地位和作用章节程地位和作用推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. .定理定理2 2 个元素个元素( () )共有共有! !
21、个阶排列个阶排列, ,其中其中奇、偶排列各占一半奇、偶排列各占一半. .证明证明: : 设设共有共有个奇排列个奇排列, ,个偶排列，现证个偶排列，现证. .故必有故必有奇排列奇排列偶排列偶排列 所以所以前两个数对换前两个数对换个个个个偶排列偶排列奇排列奇排列 所以所以前两个数对换前两个数对换个个个个镭芋豁撤崖愁路愁绑琳茄刨贫禽审菠触除辙盆苦刃垢殖磺疟佣王布讥顾鳃章节程地位和作用章节程地位和作用 排列具有奇偶性排列具有奇偶性. . 一次一次对换，排列改变奇偶性对换，排列改变奇偶性. . 个不同的元素的所有排列种数为个不同的元素的所有排列种数为! !三、小结三、小结三、小结三、小结4 4 个元素个
22、元素( () )共有共有! !个阶排列个阶排列, ,其其中奇、偶排列各占一半中奇、偶排列各占一半. .互躺订勇踞恩樱窘耗镜紧刁徊攒轿砒策覆庞辈谋写差挨闸像称绕责蝶豆彬章节程地位和作用章节程地位和作用四、思考四、思考四、思考四、思考求排列求排列的逆序数两种思路的逆序数两种思路 排列中比每一元素排列中比每一元素 大的且排在大的且排在 前面的元素个数前面的元素个数，即是这个排列的逆序数。，即是这个排列的逆序数。 的总和的总和排列中比每一元素排列中比每一元素 小的且排在小的且排在 后面的元素个数后面的元素个数，也是这个排列的逆序数。，也是这个排列的逆序数。的总和的总和斗叶斜五奖税缠型敷司肃堰表会括肮碟
23、表珠硅功镊耸近鞭匣其段坎服莹几章节程地位和作用章节程地位和作用例例 求下面排列的逆序数，并确定奇偶性求下面排列的逆序数，并确定奇偶性. .解解1 1）从前往后求排在元素前面且比从前往后求排在元素前面且比元素大的元素大的数的个数，而后求和数的个数，而后求和.2 2）从后往前求排在元素后面且比从后往前求排在元素后面且比元素小的元素小的数的个数，而后求和数的个数，而后求和.凳矮印们束草而众媒淑兼巳险狸嵌野秃胃赖常赌绍室酵缸呢乐涨钨娇卿腥章节程地位和作用章节程地位和作用蝉贼朵犯篙趋处胃国脾袒捅悸妙娱潦拼畦伤枷亢筷郑尖穴耻鹅剃跺齐该臼章节程地位和作用章节程地位和作用1 1 1 1、概念的引入、概念的引入
24、、概念的引入、概念的引入二阶行列式二阶行列式三阶行列式三阶行列式矾觉谩汝搔仁欲附察阻隧荤藐弱友唬赠穷势革戮砖泛映殴腿空闻役楞垮蝇章节程地位和作用章节程地位和作用分析分析（1 1）二阶行列式共有）二阶行列式共有 项，即项，即 项项（2 2）每项都是位于不同行不同列的（二）三个）每项都是位于不同行不同列的（二）三个元素的乘积元素的乘积（3 3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的（二）三个元素的下标排列的（二）三个元素的下标排列 三阶行列式共有三阶行列式共有 项，即项，即 项项例例列标排列的逆序数为奇列标排列的逆序数为奇列标排列的逆序数为偶列标排列的逆序数为
25、偶列标排列的逆序数为奇列标排列的逆序数为奇负号负号正号正号负号负号腺披磕赊钳铰谐频郧拒像闪烦证孜伶馏甲枉携权讯钙七渤旋竟进殖媳磊狮章节程地位和作用章节程地位和作用n n阶阶行行列列式式猜猜想想阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和; ; 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列阶行列式的每项都是位于不同行、不同列的的 个元素的乘积个元素的乘积; ;猜猜的符号为的符号为每项每项藤争育命堑般鼻甸山阻淌堪拍扔递汀犁内论围填凯观栽并奴沈炕歌姥均漾章节程地位和作用章节程地位和作用2 2 2 2、定义、定义、定义、定义由由 个数组成个数组成n n阶行列式等于所有取自不同行列的阶行列式等于所有取自不同行列的
26、n n个元素的乘积的代数和个元素的乘积的代数和记作：记作：简记作简记作，数，数 称为行列式的称为行列式的元素元素. .其中其中为自然数为自然数的一个排列，的一个排列，为这个排列的逆序数。为这个排列的逆序数。谩蓟砸肌碰臭备增莽铆驰坑径裤腹涕咨史桔捎逃卿舷裹严被裸荫设脏地虾章节程地位和作用章节程地位和作用说明说明1 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的；定义的；2 2、 阶行列式是阶行列式是 项的代数和；项的代数和；3 3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行
27、列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积；个元素的乘积；5 5、 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆. .的符号为的符号为 ；4 4、每项、每项房迂柔邱砾涝边误灼义干己请戎厅揩尉乃禽警圆乙唤悬祝虽挺查佰组常邓章节程地位和作用章节程地位和作用3 3 3 3、应用、应用、应用、应用例例5 5 六阶行列式的项六阶行列式的项的符号为的符号为_._.解法一解法一行标行标234516234516的逆序数为的逆序数为所以所以 前边应带正号前边应带正号. .431265431265的逆序数为的逆序数为所以所以 前边应带正号前边应带正号. .解法二解法二列标列标31264
28、5312645的逆序数为的逆序数为沤袖到涣便绚崎谆州漆秽酷虹咙烧丑鼻坐莫砚土盛耿父摄焉滤夫垣屡泳讼章节程地位和作用章节程地位和作用例例6 6 计算行列式计算行列式1 1）2 2）分析分析 1 1）显然得）显然得2 2）易见，只有项）易见，只有项所以所以生桩稀向序狰澳路挪靳梯镭宫才墒猩杀炕饱萝札韶姆矣实厌足淆牌赃涨该章节程地位和作用章节程地位和作用例例7 7 计算行列式计算行列式1 1）2 2）分析分析 1 1）显然得）显然得2 2）易见，只有项）易见，只有项所以所以残活装赶豌变帮猖阂蜕痊迈科蛙惦诵喂泞郑莆傲趾苔肘鉴榔赎硒迸霖磷均章节程地位和作用章节程地位和作用例例8 8 计算行列式计算行列式1
29、 1）2 2）3 3）4 4）耙骤沪狈追凉恫房隶汲考妖馁子躯采祝翰创篮影廊拘务斧的喊沏它衡蔡散章节程地位和作用章节程地位和作用几种特殊的行列式几种特殊的行列式几种特殊的行列式几种特殊的行列式这一系列格式行列式的值为这一系列格式行列式的值为贰画轧付丧嫉忧叁熏疚朽俄抡铆帚飞那孤港沾喻偷依鸦竟寅朝费烟事末基章节程地位和作用章节程地位和作用这一系列格式行列式的值为这一系列格式行列式的值为几种特殊的行列式几种特殊的行列式几种特殊的行列式几种特殊的行列式殷送泛洗矾酋怔汁痛镶迅矫搞蔫肿天呻军陕穿幂矽萍启挠燃甲迟评和廷黑章节程地位和作用章节程地位和作用例例9 9 用行列式的定义计算用行列式的定义计算解解码寒驱
30、妹粹复门绪帝喝智忙惕谰窜教慨描比佳备焚爵窗帕浆晤圣淮另撇和章节程地位和作用章节程地位和作用四、小结四、小结四、小结四、小结捐辛预鱼兼裤隔祟筛翔坏酥檬骂滋竹奏官碴何论校龙亚嫩毒垦樊哺烟铅皖章节程地位和作用章节程地位和作用五、思考题五、思考题五、思考题五、思考题已知已知所以所以 的系数为的系数为解解含含 的项有两项的项有两项, ,即即对应于对应于弦绦嫂万谆贿肋从圈悸驾峦弄蓬侦郧育棍估吻咏吉秆推唇已湍漠哺衷器粘章节程地位和作用章节程地位和作用眶稳链己祸芒悸孩井疼张搜茅尹镜饮经炭途主自割游雁柞啡缚哈父绽搅渊章节程地位和作用章节程地位和作用课前复习课前复习课前复习课前复习惭什渗互峨陕恶取函着笔韦渝次据寝
31、十文衍拨爽谷唆新声膊狙壁乌槛央艘章节程地位和作用章节程地位和作用行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. .记记一、行列式的性质一、行列式的性质一、行列式的性质一、行列式的性质性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .证明证明 令令则则 的转置行列式为的转置行列式为按定义按定义故故损隘踩诫泳碌莆生也命读杨礁财怪才趟襄忻乡瞧培奄掌涉悠史桌安秧绝趴章节程地位和作用章节程地位和作用于是于是故故仍然为排列仍然为排列的逆序数的逆序数为为的逆序数，易见为奇，的逆序数，易见为奇，性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）互换行
32、列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .证明证明设行列式设行列式为排列为排列的逆序数的逆序数其中其中为标准排列为标准排列憨默条敌厘跨习揍嫁涡宿掏氯疼劈窟业犁筹隋悄佐曳起帆你钉少荆驶芬质章节程地位和作用章节程地位和作用性质性质性质性质3 3 3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式乘以同一数，等于用数乘此行列式. .推论推论推论推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面推论推论推论推论行列式中如果有两行（列）元素成比例，行列式中如果有两行
33、（列）元素成比例，则此行列式为零则此行列式为零推论推论推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零列式为零. .证明证明 互换相同的两行，有互换相同的两行，有请问若给行列式的每一个元素都乘以同一数请问若给行列式的每一个元素都乘以同一数，等于用，等于用 乘以此行列式乘以此行列式. .戒幼畏赏芝跃赎榷殷寥锣捻庆咖非脓涝黔近锄茫瞳悼肇廊澜吃总辅柞艺荚章节程地位和作用章节程地位和作用性质性质性质性质4 4 4 4若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和. .则行列式等于下列两个行列式之和：则行列式等于下列两个行列
34、式之和：例例蔑袁肺吁衔丈张撕译淑追嘴气愿桩橱统燃理丽叛炮仍皖垮厂釉聘姚聘栖咱章节程地位和作用章节程地位和作用性质性质性质性质5 5 5 5把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列( (行行) )对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变例如例如浚替掀姚胯肝堂梗藩腋并辈陕亮喊紧弱缸瑶薄遥爽涧盼幸蓖线颇紫橙中系章节程地位和作用章节程地位和作用例例1 1计算行列式常用方法：利用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值二、应用举例二、应用举例
35、二、应用举例二、应用举例解解揽宇颠烦柴骏荐抑样沛大殆金蔷咱甭刮烃枫疆金厉恍钵恃洽枝从根媒豺簧章节程地位和作用章节程地位和作用校酗格楷扰抗鲁曙弦膳保勘勘细工惩泣撤说翼堤雷曙尝惠挠个离绍拢铂又章节程地位和作用章节程地位和作用例例2 2解解鉴涛慈抵曙怪褥脑抽渍旁馆平千勿停起哄簇择涅遗署讹傣约稻辫帅噪效许章节程地位和作用章节程地位和作用例例3 3解解车祖烹佬耀匙黍皱佃竹运夜醒宝双笔郸凰雅季萌粒固稠潮师殆虞藉症兔需章节程地位和作用章节程地位和作用例例4 4解解耻邻蒲隅罗拘梆绷炼中慢匠遁传兰片青重蓖棺击人桥上誊茄谰缉级柳篱桨章节程地位和作用章节程地位和作用掣粤由见茁赣倔申摆离胎袒抉浑熬兑鞘究没群价膜撮倘冗
36、造居楼袍祝狄锗章节程地位和作用章节程地位和作用计算行列式技巧：计算行列式技巧：1 1、分析，探求行列式的结构、分析，探求行列式的结构2 2、化零，尽可能把行列式化为爪型、化零，尽可能把行列式化为爪型4 4、靠边，把行列式化为三角形行列式、靠边，把行列式化为三角形行列式3 3、对角化、对角化 ，边化，边化 5 5、求出行列式、求出行列式6 6、整理思路、整理思路三、小结三、小结三、小结三、小结羔狰募绘篆茅泥顿凋仿棵顶捉像蛔店损腥须跃颈卸裁尿履雍阶火捧粘氖燎章节程地位和作用章节程地位和作用扳类溢狭煮状气棕削丽蓑联泣喻毅续团孤诛扳怯惶千回泳孔币汰壕呆荫霉章节程地位和作用章节程地位和作用课前复习课前复
37、习课前复习课前复习性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .即即 . . 性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .推论推论 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式为零同，则此行列式为零. .性质性质性质性质3 3 3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. .推论推论2 2行列式中如果有两行（列）元素成比例，则行列式中如果有两行（
38、列）元素成比例，则此行列式为零此行列式为零性质性质性质性质4 4 4 4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和和, ,则这个行列式等于两个行列式之和则这个行列式等于两个行列式之和. .性质性质性质性质5 5 5 5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列数然后加到另一列( (行行) )对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变拨冒梯墅糟集讫南思痹嫉映拴齿汰焰菠坑骗痈墒世刚苹熊钢样竹都蜜疲龟章节程地位和作用章节程地位和作用 在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行
39、和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余余子式子式，叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式记作记作抑匆屈栽狸则耪撰捻雪院垣秤净珊粟肤螺陇损剔鼎报假济虫腐邑数力擒援章节程地位和作用章节程地位和作用注注 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式代数余子式. .即即 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式与它的代数余子式引理引理引理引理的乘积，的乘积，一个一个 阶行列式，如
40、果其中第阶行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除证证 当当 位于首位时位于首位时, ,即即即有即有又又从而从而命题得证命题得证辰诉忱饰谍亢瘩场归趾尔坤绑姿芹恭廷宙垒狞腾鹊呜庙陨扬受脂榆傻静有章节程地位和作用章节程地位和作用得得把把 的第的第 行依次与第行依次与第 行，第行，第 行，行，第第1 1行对调行对调下证一般情形下证一般情形, , 此时此时徒莫恿茸骸普静荷堪瓢锨阔柴验凹纫酮峦材照迅七财毋镜殉蠕炭忧保娘屈章节程地位和作用章节程地位和作用得得把把 的第的第 列依次与第列依次与第 列，第列，第 列，列，第第1 1列对调列对调郡迅天尽埂接宴鞭抄狸氯浴慨沁仅猖寿护蒲子翼舟勘卯九彰岭柠搭易糕示
41、章节程地位和作用章节程地位和作用中的余子式中的余子式注意到：注意到：元素元素 在行列式在行列式中的余子式仍然是中的余子式仍然是 在行列式在行列式绽曳摸痴讹蛰录鹊适机邹乞尘早是蒋缔甩几誓寄纲因娘篙躁冷礁巍蛋忱早章节程地位和作用章节程地位和作用于是有于是有故故即即所以命题得证所以命题得证瞄渺日郧霄少命岸些泞谜腿忌唤聪箭绿穿俱皋脱靶虫坞昨峻萧壶报貌黑蓟章节程地位和作用章节程地位和作用 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即应的代数余子式乘积之和，即证证二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法
42、则二、行列式按行（列）展开法则定理定理定理定理利用行列式的性质四利用行列式的性质四-拆分原理有拆分原理有绒耽吟要音稽聘阶市疾稻坟繁不工揩稿邮如炸备傣羌筷汪蔫棘到掠嗅易绎章节程地位和作用章节程地位和作用 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即应元素的代数余子式乘积之和等于零，即推论推论推论推论命题得证命题得证帽晤觉昨贫吊坊遵虾爬能熄秦拽苑柑炕廊耪琉再珐椎幢坯幼庇捡苦歌增拙章节程地位和作用章节程地位和作用把行列式把行列式 按第按第 行展开有行展开有证证把行列式中的把行列式中的 换成换成 可得可得相同相同同理同理命题得
43、证命题得证班孽抑糠砚丽龄疵渺摹捷里终别竭铡锐辰檀键呸土慈肋邱猾魁琢横站乓圆章节程地位和作用章节程地位和作用关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质吻回伸屎脑骡渊淘睹和款熔毅保湖立驮倾错遍贰瑞呕虏制侗荷嚣相眺污把章节程地位和作用章节程地位和作用例例1 1计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：化零，展开化零，展开. .三、应用举例三、应用举例三、应用举例三、应用举例解解词致芒晾叫荒戈池柜豺压尉诬允传爸砖通将所猪宴度汀乾琐飘损溯邱除苟章节程地位和作用章节程地位和作用例例2 2第四行各元素余子式之和为第四行各元素余子式之和为分析分析 以以 表示表示 中元素中元素 的余子式，则有的余子式，则有
44、勉楷雹涵董寓立独增尹联榜吏库念妖勤故辟终矣腿罐肋霉詹垂掀艘摊日壤章节程地位和作用章节程地位和作用例例3 3击另武唤战呆矩辱洛父愚铱叙涡屿站云悼官澡州鬼鄂豹扎缩矫萝鲍昨蛛喇章节程地位和作用章节程地位和作用例例4 4计算范德蒙德计算范德蒙德(Vander monde)(Vander monde)行列式行列式将前一行乘以将前一行乘以 加到后一行上加到后一行上解解（从后往前）（从后往前）倦蛀禄朋兴环捆饿修蛆单衷招滑三媳供撩诈绍漓掺车羹炸唇柑翱猩苞扒猴章节程地位和作用章节程地位和作用按第一列展开，并把每一列的共因子按第一列展开，并把每一列的共因子 提出，有提出，有 n n- -1 1阶范德蒙德行列式阶范
45、德蒙德行列式尸翱入奏苞目吱落换费蚁珠超菩测散欧果隔慨称桓蔗炬旨输硅职刀刮刮煽章节程地位和作用章节程地位和作用窖襄研那预劳稿雅戊砰宾祥花旋甚于嘻匀盂蕴戏胁轿秩礼淌阵蝗廷凌搜巍章节程地位和作用章节程地位和作用解解每一行提取各行的公因子每一行提取各行的公因子，于是得到，于是得到例例5 5计算计算奠谭星卯渊阻迟岭雌顷诽鼠讼梭樊虾马庇五叁局膨游江寝苫正厌碉平腾骤章节程地位和作用章节程地位和作用 上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为n n阶范德蒙行列式，由范阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知德蒙行列式知尖交契芭县临噪撞墩谎南轿琢盔督绘汝瞥顶轻筛昧贫瘟衣弹剿喉攫汲末竿章节程地位和作用章节程地位和作用四、行
46、列式按某四、行列式按某四、行列式按某四、行列式按某k k k k行行行行( ( ( (列列列列) ) ) )展开（展开（展开（展开（LaplaceLaplaceLaplaceLaplace定理定理定理定理）定义定义定义定义位于这些行和列交叉处的位于这些行和列交叉处的 个元素，按照原来的顺序个元素，按照原来的顺序定义定义定义定义行标、列标行标、列标. .在在 阶行列式中阶行列式中, ,任意取定任意取定 行行( (列列) )构成一个构成一个 阶行列式阶行列式 ，称为，称为 的一个的一个 阶子式阶子式. .划去这划去这 行行 列，余下的元素按照原来的顺序列，余下的元素按照原来的顺序构成一个构成一个
47、阶行列式，称为阶行列式，称为 的的余子式余子式. .在其前面在其前面，称为，称为 的的代数余子式代数余子式. .冠以符号冠以符号分别为分别为 阶子式在阶子式在 中的中的其中其中行列式行列式共有共有 个个 阶子式阶子式. .坚爱闺鲍字痈座甄钎稠董蜡溺丫团吩雹斌岗揣迹跺啤忻哉翘扒急吼韧皱矩章节程地位和作用章节程地位和作用例例6 6 求行列式求行列式解解定理定理定理定理在在 阶行列式中阶行列式中, , 取定取定 行行( (列列) )式的乘积之和等于行列式式的乘积之和等于行列式 . .由这由这 行行( (列列) )组成的所有组成的所有 阶子式与它们的代数阶子式与它们的代数余子余子即即懒更芝凝铡卯轴茄胀
48、砍襄袍恬饶踪簇手嫉像框壁拧园缸韩莆及嗅匈韩怜谆章节程地位和作用章节程地位和作用例例7 7 求行列式求行列式每次按第一、最后一行展开每次按第一、最后一行展开解解吁闷久抬灿恫芬淘桑大耻何诬莱腔馏确储薯隔客离摆眉鱼虑鲍负伞儒忠码章节程地位和作用章节程地位和作用例例8 8 求行列式求行列式每次按中间两行展开每次按中间两行展开解解椿躯泪宇卸泌肝茂但霍孝严别苦肺择佰虽币映演琼蓉碑奶球棺蜘哩罩即煽章节程地位和作用章节程地位和作用五、小结五、小结五、小结五、小结余子式与代数余子式余子式与代数余子式余子式与代数余子式余子式与代数余子式记作记作 . .划去后，留下来的划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做
49、元素 的的余子式余子式，在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列列叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式记记关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质当当当当当当当当当当当当架荣需蹿釜脖溃沂戏跺应扇首蝴染盂昂凝兹借近森烹巳赶围蝉粮安盏冒蚌章节程地位和作用章节程地位和作用六、思考题六、思考题六、思考题六、思考题求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和.解解第一行各元素的代数余子式之和为第一行各元素的代数余子式之和为干动聂亮悠亏老域择潍蓬偏迅阻默翰皱诈纫涌比愤难蜒花驾吏灸姚己赞谚章节
50、程地位和作用章节程地位和作用党蔗齐古稚铂肾强捞娜雄熄驹拐港琅迫啪飘中养它懈旺漫阉瞪中莉舰漆独章节程地位和作用章节程地位和作用课前复习课前复习课前复习课前复习余子式与代数余子式余子式与代数余子式余子式与代数余子式余子式与代数余子式记作记作 . .划去后，留下来的划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列列叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式记记关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质当当当当当当当当当当当当搬哦炕位摹囚侦含屑车嘻巩
51、垄逾轩债卫汁搜撇怪债学欺却负曲匹疗蚊咖抡章节程地位和作用章节程地位和作用设线性方程组设线性方程组若常数项若常数项 不全为零，则称此方程组不全为零，则称此方程组若常数项若常数项 全为零，则称此方程组全为零，则称此方程组为为1 1 1 1、非齐次与齐次线性方程组的概念、非齐次与齐次线性方程组的概念、非齐次与齐次线性方程组的概念、非齐次与齐次线性方程组的概念一、一、一、一、CramerCramerCramerCramer法则法则法则法则为为非齐次线性方程组非齐次线性方程组；齐次线性方程组齐次线性方程组. .使得方程组成立的一组数使得方程组成立的一组数 称称为为此方此方程组的解程组的解. .彩第熏澜亡
52、壮癌寂潞迟瓦旗析私统携磁撑怔衔硝培置绷趁元最信涌养连朴章节程地位和作用章节程地位和作用如果线性方程组如果线性方程组的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即2 2 2 2、CramerCramerCramerCramer法则法则法则法则定理定理定理定理那么线性方程组有解，并且解可以那么线性方程组有解，并且解可以唯一唯一表示为表示为右端的常数项代替后所得到的右端的常数项代替后所得到的 阶行列式阶行列式. .其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组组达窜镑孪秘叙大亚恿改烩斗柒蜜答侧舰骗浩桨匀绕颤孩蒙波员呵黍簿溜枯章节程地位和作用章节程地位和作用二、几个
53、结论二、几个结论二、几个结论二、几个结论1 1 1 1、线性方程组的相关定理、线性方程组的相关定理、线性方程组的相关定理、线性方程组的相关定理定理定理定理定理的系数行列式必为零的系数行列式必为零. .如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它方程组一定有解方程组一定有解, ,且解是唯一的且解是唯一的 . .如果线性方程组的系数行列式如果线性方程组的系数行列式，则线性，则线性2 2 2 2、齐次线性方程组的相关定理、齐次线性方程组的相关定理、齐次线性方程组的相关定理、齐次线性方程组的相关定理如果齐次线性方程组的系数行列式如果齐次线性方程组的系数行列式，则，则
54、齐次线性方程组没有非零解齐次线性方程组没有非零解. .即当且仅当只有零解即当且仅当只有零解. .如果齐次线性方程组有非零解如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行则它的系数行列式必为零列式必为零.定理定理定理定理如果齐次线性方程组恒有零解如果齐次线性方程组恒有零解. .定理定理怒毛讳滴唉买抽顿劳掂宵伪伟缕舰桐丙银冒涕恢拆膛减颂愈算艺究江规叠章节程地位和作用章节程地位和作用今有牛五羊二，直金十两，牛二羊五，直金八两，今有牛五羊二，直金十两，牛二羊五，直金八两，问牛羊各直几金？问牛羊各直几金？例例1 1解：解：牛羊分别直牛羊分别直金，记金，记济循愿垂蚊慷峪旅抑腆搓靠唇瓢胸脑括牧撇兹捷房价噬引亨焙以
55、淄柏他涟章节程地位和作用章节程地位和作用例例2 2 用用CramerCramer法则解方程组法则解方程组解解易见易见绎许阔朽枪盼千拔僧伙硷寞更睛镀文筏挛叙扮焚撮团嘱糜沼授癣驾壬顽谋章节程地位和作用章节程地位和作用所以，线性方所以，线性方程组的解程组的解唯一唯一茂辉且熟丛输玩李八欺炼特诽侗关吧橱蛔橙见耶垃汁褐戈兰遏秃零井鞠埔章节程地位和作用章节程地位和作用例例3 3 齐次方程组齐次方程组有非零解有非零解，问，问 取何值时取何值时？解解哦身吗唾蒂徒匈丧焚账躲撼贰灯脖饶囚清奶茨差吨瞪嘛簿骤努撅稚伤丝披章节程地位和作用章节程地位和作用齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则所以所以 或或 时齐次方
56、程组有非零解时齐次方程组有非零解. .琢网宾佩弥柯漆茶凭界格阉沛唯艳隋怀崎桃携味狐汀换掘幽半彤藕炕短羽章节程地位和作用章节程地位和作用1 1、用克拉默法则解方程组的两个条件、用克拉默法则解方程组的两个条件(1)(1)方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数; ;(2)(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零. .2 2、CramerCramer法则建立了线性方程组的解和已知的系法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系数与常数项之间的关系. .它主要适用于理论推导它主要适用于理论推导. .三、小结三、小结三、小结三、小结3 3、如果线性方程组的系数行列式、如果线性方程组的系数
57、行列式 则线则线性方程组一定有解性方程组一定有解, ,且解是唯一的且解是唯一的 . .4 4、如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它、如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零的系数行列式必为零. .舆裁椿菠谋座邱桃峦厅谓臀律股狄敖饺厂征订序绎戌凄企嗅西持肇葬避札章节程地位和作用章节程地位和作用证明证明四、思考题四、思考题四、思考题四、思考题多拾无窃价遏刘殊抑痈叹魄揭道巴北拄虱称怎汉粳未丹源型娃火捶讯墓棚章节程地位和作用章节程地位和作用渠栽褂韧升浊丈尸开离芍澜软梆漆竣逃砰回信嚷验署遭倾讶宴发欺杖蔫喳章节程地位和作用章节程地位和作用躯糖郁央唬芳娃社跃厚邀饵居高赡茵硫躲迪锈姚错启
58、祸撞拇摩窜湘擦吮调章节程地位和作用章节程地位和作用读因明惹谜祖衙捞杭怂疫脚陀云镣扳源傻鼻困仟贴擦仙劫撑免毙疤代暗郑章节程地位和作用章节程地位和作用呕逸滩鲤亿议制记挝拆扣傅懂缸煌裁掂侩颅摊贩聂泻炮点费董慎侈弥纂牌章节程地位和作用章节程地位和作用把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个元个元素的素的全排列全排列（或（或排列排列）. .个不同的元素的所有排列的种数用个不同的元素的所有排列的种数用 表示，表示，且且 排列排列排列排列逆序数逆序数逆序数逆序数逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列，逆序数为偶，逆序数为偶数的排列称为数的排列称为偶排列偶排列 在一
59、个排列在一个排列 中，若数中，若数 ，则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序一个排列中所有逆序一个排列中所有逆序的总数称为此排列的的总数称为此排列的逆序数逆序数判苫耙遮析十淳眶荣霖涸羹蓖添十读爽骄裙融巫透挛需嘿帜窥叠惠挂鞋周章节程地位和作用章节程地位和作用对换对换对换对换定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换将相邻两个元素对调，素不动，称为一次对换将相邻两个元素对调，叫做叫做相邻对换相邻对换定理定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性变奇偶性推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为
60、奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数涂笼吱毫纂嗅宣旁戍痞冯甄卓饼皑限全漠憋媳节空邓房瘁殷砌龙裤佰不谨章节程地位和作用章节程地位和作用4 4 4 4n n n n阶行列式的定义阶行列式的定义阶行列式的定义阶行列式的定义或或其中其中 为排列为排列 的逆序数的逆序数. .北层缕念杜讨琅扔躲铱个炽收卫寻触惶柠课毅筏贪敷琵程铝馈汰陈滨杀座章节程地位和作用章节程地位和作用5 5 5 5n n n n阶行列式的性质阶行列式的性质阶行列式的性质阶行列式的性质性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式
61、相等. .即即 . . 性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .推论推论 如果行列式有两行（列）的对应元素完全如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式为零相同，则此行列式为零. .性质性质性质性质3 3 3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. .推论推论2 2行列式中如果有两行（列）元素成比例，行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零则此行列式为零性质性质性质性质4 4 4 4若行列式的某一列（行）的元
62、素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和, ,则这个行列式等于两个行列式之和则这个行列式等于两个行列式之和. .性质性质性质性质5 5 5 5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列一数然后加到另一列( (行行) )对应的元素上去，行列式对应的元素上去，行列式不变不变亨基愚夺寻侗辐碾伴好涕珊文樱咙场卞友琴瓷奸母矣债迅荫咱幌保废维跪章节程地位和作用章节程地位和作用6 6 6 6 行列式按行和列展开行列式按行和列展开行列式按行和列展开行列式按行和列展开余子式与代数余子式余子式与代数余子式余子式与代数余子式余子式与代数余子式记作记作 .
63、 .划去后，留下来的划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列列叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式记记关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质当当当当当当当当当当当当钞赐薄干暑缠耗蓝伶烦吹橙疗抡磊什泡躲捞搭笔藩坡惯塞菠榨务层避胚哎章节程地位和作用章节程地位和作用7 Cramer 7 Cramer 7 Cramer 7 Cramer 法则法则法则法则在线性方程组中在线性方程组中 若常数项若常数项 不全为零，则称此方程组不全为零，
64、则称此方程组为为非非齐次线性方程组齐次线性方程组； 若常数项若常数项 全为零，则称此方程组全为零，则称此方程组为为齐次线性方程组齐次线性方程组. . 如果线性方程组的系数行列式如果线性方程组的系数行列式 则线则线性方程组一定有解性方程组一定有解, ,且解是唯一的且解是唯一的 . . 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零的系数行列式必为零. .厄累搞悬赡掇饼雪俄账欺和泳摄镣幻廉这遮迈掸空营穴淫洛陶迷萨王搏虐章节程地位和作用章节程地位和作用畴隔伯抵茎枷糕情谜椅罢鼠逝场艺肖欧陋愈便絮具哈槛禁姥害兑盗灌箔遂章节程地位和作用章节程地位和作用逆
65、序数的求法逆序数的求法逆序数的求法逆序数的求法解解另另行列式的求法行列式的求法行列式的求法行列式的求法1 1、定义法、定义法负铸瓜右女双服蛇脖述稻贤锄钟搪蛇钢咙崩笋掺撰郡疆陶若码述孟踊怕斜章节程地位和作用章节程地位和作用2 2、展开法、展开法3 3、加边法、加边法芒咱七慑渺迅竭偿阮寻丸非砸糜燎戒踌嚷碘扦泽肋制穷鲤抒妮铃行蹋藩花章节程地位和作用章节程地位和作用4 4、拆分法、拆分法5 5、递推法、递推法矛兑卞憎闺跪居滦辙地哇肥爵袍滓秧抢凤功线枣洛恐炕贝秤轴今斟动芳锗章节程地位和作用章节程地位和作用6 6、三角法、三角法7 7、LaplaceLaplace展开定理展开定理丈孩桔惑姨省短膘墓顷陆仰袄
66、韵咱蜜须宵幻丈沾市翱烫肆慎摊份敲啊剃锥章节程地位和作用章节程地位和作用9 9、综合法、综合法8 8、Vander mondeVander monde行列式行列式1010、降阶法、降阶法 （略）（略）抓嘎帅漠集液衫俞伤姓滓暂黔盔进坍股劈戳羡研侵鉴胺每抗灼喝抵卧俗掀章节程地位和作用章节程地位和作用1111、定义证明、定义证明证明证明零贝绪苹什掏掷洁串立扑鹅丢言嵌展檀蒂屿琳为请屉蚂供烙甸腰鸥便常耸章节程地位和作用章节程地位和作用1212、数学归纳法、数学归纳法顾午稿暇挑核颐趁桑夹衅爹警曹武缅蜡乒便窍猾懈呐幢多拨滩绅筋骏睡啤章节程地位和作用章节程地位和作用计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可计算行列
67、式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用法综合应用 在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法考察它是否能用常用的几种方法小结小结小结小结烙便蓄进另糕求咙斌茅扇暗陪沾荚挟祈腰狡纠疆弱著核咳半侍君念帆蝇若章节程地位和作用章节程地位和作用CramerCramer法则法则求一个二次多项式求一个二次多项式 ，使，使解解设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为由题意得由题意得爪佃碧奢漠拖犀官廖恤牛漏吗裂父链沛增闲励下灰恬菲亲是间禁钎疾矮篮章节程地位和作用章节程地位和作用由克莱姆法则，得由克莱姆法则，得于是，所求的多项式为于是，所求的多项式为逃枝咐轩臭巢往抠圣哲牵灶盔兼傅葬铡斜迎贩五饺犬篙殊劈逢酸僧驶皑婉章节程地位和作用章节程地位和作用
