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1、会计学1函数函数(hnsh)近似计算的插值法近似计算的插值法Neton插插值值第一页，共28页。 均差（也称为差商）是数值方法中的一个重要概念，均差（也称为差商）是数值方法中的一个重要概念，它可以反映出列表它可以反映出列表(li bio)函数的性质，并能对函数的性质，并能对Lagrange插值公式给出新的表达形式，这就是插值公式给出新的表达形式，这就是Newton插值插值 。一、均差一、均差二、二、 Newton Newton插值公式插值公式三、等距节点三、等距节点(ji din)(ji din)的的NewtonNewton插值公式插值公式四、四、NewtonNewton插值算法插值算法 5.
2、3 Newton插值法插值法第1页/共27页第二页，共28页。我们(w men)知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为形式上太复杂,计算(j sun)量很大,并且重复计算(j sun)也很多由线性代数的知识(zh shi)可知,任何一个n次多项式都可以表示成共n+1个多项式的线性组合那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？引入差商和差分的目的引入差商和差分的目的第2页/共27页第三页，共28页。显然(xinrn)，多项式组线性无关(wgun)，因此，可以(ky)作为插值基函数第3页/共27页第四页，共28页。有再继续下去待定系数的形式(xngsh)将更复杂为此(wi c)引入
3、差商和差分的概念第4页/共27页第五页，共28页。一、差商一、差商(均差均差(jn ch)定义定义(dngy)1.称依此类推(y c li tu)第5页/共27页第六页，共28页。差商具有差商具有(jyu)如下性质如下性质(请同学们自证请同学们自证)：显然(xinrn)第6页/共27页第七页，共28页。(2) 差商具有对称性,即任意调换(diohun)节点的次序,差商的值不变如第7页/共27页第八页，共28页。差商的计算方法差商的计算方法(表格表格(biog)法法):规定规定(gudng)函数值为零阶差商函数值为零阶差商差商表第8页/共27页第九页，共28页。二、二、Newton基本基本(jb
4、n)插值公式插值公式设插值多项式满足(mnz)插值条件则待定系数(xsh)为第9页/共27页第十页，共28页。称定义定义(dngy)3.由插值多项式的唯一性, Newton基本(jbn)插值公式的余项为为k次多项式第10页/共27页第十一页，共28页。因此(ync)可得第11页/共27页第十二页，共28页。因此(ync)一般(ybn)Newton插值估计误差(wch)的重要公式另外第12页/共27页第十三页，共28页。第13页/共27页第十四页，共28页。三、等距节点三、等距节点三、等距节点三、等距节点(ji di(ji di n)n)的的的的NewtonNewton插值公式插值公式插值公式插
5、值公式 所谓等距节点所谓等距节点(ji din)(ji din)，是指，是指 中，相邻两点之间的距离都相等。这个相等的间距称为步长，记为中，相邻两点之间的距离都相等。这个相等的间距称为步长，记为h h，即：，即： 如果插值节点是等距的，那么整个插值公式将会出现新的规律，毫无疑问会更加如果插值节点是等距的，那么整个插值公式将会出现新的规律，毫无疑问会更加(gnji)(gnji)简单。简单。 本节研究等距点的插值多项式。本节研究等距点的插值多项式。第14页/共27页第十五页，共28页。1、差分、差分(ch fn)设等距节点设等距节点 相应的函数值是相应的函数值是 称称而而向向 前前 差差 分分第1
6、5页/共27页第十六页，共28页。 一般，可定义一般，可定义向向 前前 差差 分分向向 后后 差差 分分第16页/共27页第十七页，共28页。向向 后后 差差 分分一般地一般地关关联联( (g gu u n nl li i n n) )公公式式第17页/共27页第十八页，共28页。差分表差分表第18页/共27页第十九页，共28页。在等距节点(ji din)的前提下,差商与差分有如下关系第19页/共27页第二十页，共28页。依此类推(y c li tu)第20页/共27页第二十一页，共28页。由差商与向前差分(ch fn)的关系Newton插值基本(jbn)公式为如果(rgu)假设2. Newt
7、on向前向前(差分差分)插值公式插值公式第21页/共27页第二十二页，共28页。则插值公式(gngsh)化为其余(qy)项化为第22页/共27页第二十三页，共28页。称为Newton向前(xin qin)插值公式插值余项为第23页/共27页第二十四页，共28页。插值余项为根据向前(xin qin)差分和向后差分的关系如果(rgu)假设可得Newton向后插值公式(gngsh)3. Newton向后向后(差分差分)插值公式插值公式第24页/共27页第二十五页，共28页。四、Newton基本插值公式的算法(sun f)设计Newton插值法的优点(yudin)是计算较简单,尤其是增加节点时,计算只
8、要增加一项,这是Lagrange插值无法比的.另外,Newton插值多项式 需要除法(chf) 次, 及2n-1次乘法, 大约比Lagrange公式节省3到4倍工作量 . （略）第25页/共27页第二十六页，共28页。内容(nirng)总结会计学。均差（也称为差商）是数值方法中的一个重要(zhngyo)概念，它可以反映出列表函数的性质，并能对Lagrange插值公式给出新的表达形式，这就是Newton插值。5.3 Newton插值法。我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为。形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多。由插值多项式的唯一性, Newton基本插值公式的余项为。这个相等的间距称为步长，记为h，即：。根据向前差分和向后差分的关系第二十八页，共28页。
