第1章优化设计的基本概念

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1、优化设计方法优化设计方法颜建军虚拟样机与系统仿真研究室电话：64252074Email：地址：实验17楼435室l课程定位课程定位 解决的问题：优化问题解决的问题：优化问题 解决的方法：智能方法解决的方法：智能方法 数学工具数学工具 实用方法实用方法l考核方式考核方式课堂讨论课堂讨论报告报告作业（编程，作业（编程，1-2次）次）开卷考试开卷考试参考教材l孙靖民孙靖民 机械优化设计（第三版）机械优化设计（第三版） 机械工业出版社机械工业出版社l陈伦军等编著陈伦军等编著, ,机械优化设计遗传算法机械优化设计遗传算法 , ,机械工业出版社机械工业出版社l智能优化算法及其应用，智能优化算法及其应用，

2、王王 凌著凌著 清华大学出版社清华大学出版社l邢文训邢文训, , 谢金星谢金星. . 现代优化计算方法现代优化计算方法. . 北京北京: : 清华大学出版社清华大学出版社, , 2005.2005.l王凌王凌. . 智能优化算法及其应用智能优化算法及其应用. . 北京北京: : 清华大学出版社清华大学出版社, 2001., 2001.l黄席樾等黄席樾等. . 现代智能算法理论及应用现代智能算法理论及应用. . 北京：科学出版社北京：科学出版社, 2005, 2005l孙靖民孙靖民. 机械优化设计机械优化设计. 北京：机械工业出版社，北京：机械工业出版社，2002l陈立周，机械优化设计方法，北京

3、：冶金工业出版社，陈立周，机械优化设计方法，北京：冶金工业出版社，1997l刘惟信刘惟信. 机械最优化设计机械最优化设计. 北京：清华大学出版社，北京：清华大学出版社，1994第一章第一章 优化设计的基本概念优化设计的基本概念 1-1 1-1 绪论绪论1-2 1-2 优化设计问题的示例优化设计问题的示例1-31-3 优化设计的数学模型优化设计的数学模型 1-4 1-4 优化问题的几何解释和基本解法优化问题的几何解释和基本解法 优化是万物演化的自然选择和必然趋势优化是万物演化的自然选择和必然趋势。优化作为一种观念。优化作为一种观念和意向，人类从很早开始就一直在自觉与不自觉地追求与探索。和意向，人

4、类从很早开始就一直在自觉与不自觉地追求与探索。而优化作为一门学科与技术，则是一切科学与技术所追求的永恒而优化作为一门学科与技术，则是一切科学与技术所追求的永恒主题，旨在从处理各种事物的一切可能的方案中，寻求最优的方主题，旨在从处理各种事物的一切可能的方案中，寻求最优的方案。案。优化的原理与方法，在科学的、工程的和社会的实际问题中优化的原理与方法，在科学的、工程的和社会的实际问题中的应用，便是优化设计的应用，便是优化设计。 优化设计是在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一项优化设计是在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一项新技术。是根据最优化原理和方法，以人机配合方式或新技术。是根据最优化原

5、理和方法，以人机配合方式或“自动探自动探索索”方式，在计算机上进行的半自动或自动设计，以选出在现有方式，在计算机上进行的半自动或自动设计，以选出在现有工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。 优化设计反映出人们对于设计规律这一客观世界认识的深化。优化设计反映出人们对于设计规律这一客观世界认识的深化。1-1 1-1 绪论绪论1.1.1.1.优化、优化设计和机械优化设计的含义优化、优化设计和机械优化设计的含义优化、优化设计和机械优化设计的含义优化、优化设计和机械优化设计的含义例如，古代人类在生产和生活活动中经过无数次摸索认识到，在使用同样数量和质量材

6、料的条件下，圆截面的容器比其他任何截面的容器能够盛放的谷物都要多，而且容器的强度也最大。 （1 1）来源：优化一语来自英文）来源：优化一语来自英文OptimizationOptimization，其本意是寻优的其本意是寻优的过程；过程； （2 2）优化过程：是寻找约束空间下给定函数取极大值（以）优化过程：是寻找约束空间下给定函数取极大值（以maxmax表示表示) )或极或极小小( (以以minmin表示表示) )的过程。优化方法也称数学规划，是用科学方法和手段进行的过程。优化方法也称数学规划，是用科学方法和手段进行决策及确定最优解的数学；决策及确定最优解的数学； （3 3）优化设计：根据给定的

7、设计要求和现有的技术条件，应）优化设计：根据给定的设计要求和现有的技术条件，应用专业理论和优化方法，在电子计算机上从满足给定的设计要求用专业理论和优化方法，在电子计算机上从满足给定的设计要求的许多可行方案中，按照给定的目标自动地选出最优的设计方案。的许多可行方案中，按照给定的目标自动地选出最优的设计方案。 机械优化设计机械优化设计 就是把机械设计与优化设计理论及方法相结合，就是把机械设计与优化设计理论及方法相结合，借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方案和借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方案和最佳设计参数。最佳设计参数。 优化设计流程优化设计流程 常规设计流程常规设计流

8、程2.2.2.2.优化设计的发展概况优化设计的发展概况优化设计的发展概况优化设计的发展概况 历史上最早记载下来的最优化问题可追溯到古希腊的欧几历史上最早记载下来的最优化问题可追溯到古希腊的欧几里得（里得（Euclid，公元前公元前300年左右），他指出：在周长相同的一年左右），他指出：在周长相同的一切矩形中，以正方形的面积为最大。十七、十八世纪切矩形中，以正方形的面积为最大。十七、十八世纪微积分微积分的的建立给出了求函数极值的一些准则，对最优化的研究提供了某建立给出了求函数极值的一些准则，对最优化的研究提供了某些理论基础。然而，在以后的两个世纪中，最优化技术的进展些理论基础。然而，在以后的两个

9、世纪中，最优化技术的进展缓慢，主要考虑了有约束条件的最优化问题，发展了缓慢，主要考虑了有约束条件的最优化问题，发展了变分法变分法。 直到本世纪直到本世纪4040年代初，由于军事上的需要产生了年代初，由于军事上的需要产生了运筹学运筹学，并使优化技术首先应用于解决战争中的实际问题，例如轰炸机并使优化技术首先应用于解决战争中的实际问题，例如轰炸机最佳俯冲轨迹的设计等。最佳俯冲轨迹的设计等。 50 50年代末年代末数学规划方法数学规划方法被首次用于结构最优化，并成为优被首次用于结构最优化，并成为优化设计中求优方法的理论基础。数学规划方法是在第二次世界化设计中求优方法的理论基础。数学规划方法是在第二次世

10、界大战期间发展起来的一个新的数学分支，线性规划与非线性规大战期间发展起来的一个新的数学分支，线性规划与非线性规划是其主要内容。划是其主要内容。 近近十十几几年年来来，最最优优化化设设计计方方法法已已陆陆续续用用到到建建筑筑结结构构、化化工工、冶冶金金、铁铁路路、航航天天航航空空、造造船船、机机床床、汽汽车车、自自动动控控制制系系统统、电电力力系系统统以以及及电电机机、电电器器等等工工程程设设计计领领域域，并并取取得得了了显显著著效效果果。其其中中在在机机械械设设计计方方面面的的应应用用虽虽尚尚处处于于早早期期阶阶段段，但但也也已已经经取取得得了了丰丰硕硕的的成成果果。一一般般说说来来，对对于于

11、工工程程设设计计问问题题，所所涉涉及及的的因因素素愈多，问题愈复杂，最优化设计结果所取得的效益就愈大。愈多，问题愈复杂，最优化设计结果所取得的效益就愈大。 最优化设计是在数学规划方法的基础上发展起来的，是最优化设计是在数学规划方法的基础上发展起来的，是6 6O O年年代初电子计算机引入结构设计领域后逐步形成的一种有效的设计代初电子计算机引入结构设计领域后逐步形成的一种有效的设计方法。利用这种方法，不仅使设计周期大大缩短，计算精度显著方法。利用这种方法，不仅使设计周期大大缩短，计算精度显著提高，而且可以解决传统设计方法所不能解决的比较复杂的最优提高，而且可以解决传统设计方法所不能解决的比较复杂的

12、最优化设计问题。大型电子计算机的出现，使最优化方法及其理论蓬化设计问题。大型电子计算机的出现，使最优化方法及其理论蓬勃发展，成为应用数学中的一个重要分支，并在许多科学技术领勃发展，成为应用数学中的一个重要分支，并在许多科学技术领域中得到应用。域中得到应用。l第一阶段第一阶段人类智能优化人类智能优化：与人类史同步，直接凭借人类的：与人类史同步，直接凭借人类的直觉或逻辑思维，如黄金分割法、穷举法和瞎子爬山法等。直觉或逻辑思维，如黄金分割法、穷举法和瞎子爬山法等。随着人类对自然界认识的不断深入，寻找最优逐渐从下意识的、缺乏系统性的行为发展到目的明确的有意识活动，并在数学工具日渐完善的基础上，对各种寻

13、找最优的活动进行数学描述和分析，指导寻优活动更有效地进行，从而形成了最优化理论与方法这一应用数学理论分支 l 第二阶段第二阶段数学规划方法优化数学规划方法优化：从三百多年前牛顿发明微积：从三百多年前牛顿发明微积分算起，电子计算机的出现推动数学规划方法在近五十年来得分算起，电子计算机的出现推动数学规划方法在近五十年来得到迅速发展。到迅速发展。l 第三阶段第三阶段工程优化工程优化：近二十余年来，计算机技术的发展给：近二十余年来，计算机技术的发展给解决复杂工程优化问题提供了新的可能，非数学领域专家开发解决复杂工程优化问题提供了新的可能，非数学领域专家开发了一些工程优化方法，能解决不少传统数学规划方法

14、不能胜任了一些工程优化方法，能解决不少传统数学规划方法不能胜任的工程优化问题。在处理多目标工程优化问题中，基于经验和的工程优化问题。在处理多目标工程优化问题中，基于经验和直觉的方法得到了更多的应用。优化过程和方法学研究，尤其直觉的方法得到了更多的应用。优化过程和方法学研究，尤其是建模策略研究引起重视，开辟了提高工程优化效率的新的途是建模策略研究引起重视，开辟了提高工程优化效率的新的途径。径。l 第四阶段第四阶段现代优化方法：现代优化方法：如遗传算法、如遗传算法、 模拟退火算法、模拟退火算法、 蚁群算法、蚁群算法、 神经网络算法等，并神经网络算法等，并采用专家系统技术实现寻优采用专家系统技术实现

15、寻优策略的自动选择和优化过程的自动控制，智能寻优策略迅速发策略的自动选择和优化过程的自动控制，智能寻优策略迅速发展。展。机械机械优化化设计应用用实例实例 美美国国波波音音飞飞机机公公司司对对大大型型机机翼翼用用138个个设设计计变变量量进进行行结结构构优优化化，使使重重量量减减少少了了三三分分之之一一；大大型型运运输输舰舰用用10个个变变量量进进行行优优化设计，使成本降低约化设计，使成本降低约10%。 实践证明，最优化设计是保证产品具有优良的性能，减轻实践证明，最优化设计是保证产品具有优良的性能，减轻自重或体积，降低产品成本的一种有效设计方法。同时也可使自重或体积，降低产品成本的一种有效设计方

16、法。同时也可使设计者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多设计者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多的精力从事创造性的设计，并大大提高设计效率。的精力从事创造性的设计，并大大提高设计效率。例如，工厂在安排生产计划时，首先要考虑在现有原材料、设备、人力等资源条件下，如何安排生产，使产品的产值最高，或产生的利润最大；又如，在多级火箭发射过程中，如何控制燃料的燃烧速率，从而用火箭所载的有限燃料使火箭达到最大升空速度；再如，在城市交通管理中，如何控制和引导车辆的流向，尽量减少各个交叉路口的阻塞和等待时间、提高各条道路的车辆通行速度，在现有道路条件下取得最大的道路通行能力。 基础：

17、基础：（1）最优化数学理论最优化数学理论 （2）现代计算技术）现代计算技术 内容：（内容：（1）将工程实际问题数学化；将工程实际问题数学化； （建立优化设计数学模型）（建立优化设计数学模型） （2）用最优化计算方法在计算机上求解）用最优化计算方法在计算机上求解 数学模型。数学模型。优化设计是一种现代设计方法，是很好的工具。优化设计是一种现代设计方法，是很好的工具。3. 本课程的任务本课程的任务该课程的主要该课程的主要目的和任务目的和任务目的和任务目的和任务： 了解和基本掌握机械优化设计的基本知识；了解和基本掌握机械优化设计的基本知识； 扩扩大大视视野野，并并初初步步具具有有应应用用机机械械优优

18、化化设设计计的的基本理论和基本方法解决简单工程实际问题的素质。基本理论和基本方法解决简单工程实际问题的素质。1-2 1-2 优化设计问题的示例优化设计问题的示例 优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算机优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算机技术，求取工程问题的最优设计方案。技术，求取工程问题的最优设计方案。 优化设计包括：优化设计包括： （1）必须将实际问题加以数学描述，形成数学）必须将实际问题加以数学描述，形成数学模型；模型； （2）选用适当的一种最优化数值方法和计算程）选用适当的一种最优化数值方法和计算程序运算求解。序运算求解。l待解决的问题待解决的问题 连续性问题，以微积分为基础，

19、规模较小连续性问题，以微积分为基础，规模较小l传统的优化方法传统的优化方法 理论上的准确与完美，主要方法：线性与非线性规理论上的准确与完美，主要方法：线性与非线性规划、动态规划、多目标规划、整数规划等；排队论、划、动态规划、多目标规划、整数规划等；排队论、库存论、对策论、决策论等。库存论、对策论、决策论等。 l传统的评价方法传统的评价方法 算法收敛性、收敛速度算法收敛性、收敛速度传统优化方法传统优化方法传统优化方法传统优化方法 l待解决的问题待解决的问题 离散性、不确定性、大规模离散性、不确定性、大规模l现代的优化方法现代的优化方法 启发式算法（启发式算法（heuristic algorith

20、m） 追求满意（近似解）追求满意（近似解） 实用性强（解决实际工程问题）实用性强（解决实际工程问题） l现代的评价方法现代的评价方法 算法复杂性算法复杂性 现代优化方法现代优化方法现代优化方法现代优化方法 l现代优化算法现代优化算法 禁忌搜索算法禁忌搜索算法 模拟退火算法模拟退火算法 遗传算法遗传算法 人工神经网络人工神经网络 蚁群算法蚁群算法 粒子群算法粒子群算法 混合算法混合算法 特点：特点：基于客观世界中的一些自基于客观世界中的一些自然现象；然现象；建立在计算机迭代计算的建立在计算机迭代计算的基础上；基础上；具有普适性，可解决实际具有普适性，可解决实际应用问题。应用问题。 已知：制造一体

21、积为已知：制造一体积为100m3，长度不小于长度不小于5m，不不带上盖的箱盒，试确定箱盒的长带上盖的箱盒，试确定箱盒的长x1，宽宽x2，高高x3，使箱盒用料最省。使箱盒用料最省。 分析：分析：（1）箱盒的表面积的表达式；）箱盒的表面积的表达式；（2）设计参数确定：长）设计参数确定：长x1，宽宽x2，高高x3 ；（3）设计约束条件：）设计约束条件： （a）体积要求；）体积要求； （b）长度要求；）长度要求； x1x2x3箱盒的优化设计箱盒的优化设计数学模型数学模型设计参数：设计参数：设计目标：设计目标：约束条件：约束条件： 某工厂生产某工厂生产A 和和B 两种产品，两种产品，A 产品单位价格为产

22、品单位价格为PA 万万元，元， B 产品单位价格为产品单位价格为PB 万元。每生产一个单位万元。每生产一个单位A 产品产品需消耗煤需消耗煤aC 吨，电吨，电aE 度，人工度，人工aL 个人日；每生产一个单个人日；每生产一个单位位B 产品需消耗煤产品需消耗煤bC 吨，电吨，电bE 度，人工度，人工bL 个人日。现有个人日。现有可利用生产资源煤可利用生产资源煤C 吨，电吨，电E 度，劳动力度，劳动力L 个人日，欲找个人日，欲找出其最优分配方案，使产值最大。出其最优分配方案，使产值最大。 分析：分析：（1）产值的表达式；）产值的表达式；（2）设计参数确定：）设计参数确定： A 产品产品xA， B 产

23、品产品xB ；（3）设计约束条件：）设计约束条件： （a）生产资源煤约束；）生产资源煤约束； （b）生产资源电约束；）生产资源电约束； （b）生产资源劳动力约束；）生产资源劳动力约束； 最大最大产值生生产资源分配源分配问题 数学模型数学模型设计参数：设计参数：设计目标：设计目标：约束条件：约束条件： 已知：传动比已知：传动比i, 转速转速n, 传动功率传动功率P，大小齿轮的材料，设，大小齿轮的材料，设计该齿轮副，使其重量最轻。计该齿轮副，使其重量最轻。 分析：分析：（1）圆柱齿轮的体积）圆柱齿轮的体积(v)与重量与重量(w)的表达；的表达；（2）设计参数确定：模数（）设计参数确定：模数（m），

24、齿宽（），齿宽（b），齿数（），齿数（z1）；）；（3）设计约束条件：）设计约束条件： （a）大齿轮满足弯曲强度要求；）大齿轮满足弯曲强度要求； （b）小齿轮满足弯曲强度要求；）小齿轮满足弯曲强度要求； （c）齿轮副满足接触疲劳强度要求；）齿轮副满足接触疲劳强度要求； （d） 齿宽系数要求；齿宽系数要求； （e） 最小齿数要求。最小齿数要求。直齿圆柱齿轮副的优化设计直齿圆柱齿轮副的优化设计数学模型数学模型设计参数：设计参数：设计目标：设计目标：约束条件：约束条件：1-31-3 优化设计的数学模型优化设计的数学模型 1.1.设计变量设计变量 一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，这些一个设

25、计方案可以用一组基本参数的数值来表示，这些基本参数可以是构件尺寸等几何量，也可以是质量等物理量，基本参数可以是构件尺寸等几何量，也可以是质量等物理量，还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量。还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量。 在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立的基在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立的基本参数，称作设计变量，又叫做优化参数。本参数，称作设计变量，又叫做优化参数。 优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，

26、它反映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础。理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础。 设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示。设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示。设计变量的数目称为优化设计的维数，如设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量，则称个设计变量，则称为为n维设计问题。维设计问题。 由由n n个设计变量个设计变量 为坐标所组成的实空间称为坐标所组成的实空间称作作设计空间设计空间设计空间设计空间。一个。一个“设计设计”，可用设计空间中的一点表示。，可用设计空间中的一点表示。 设计变量的数目称为优化设计的维数，如设计变量的数目称

27、为优化设计的维数，如n n个设计变量，个设计变量，则称为则称为n n维设计问题。维设计问题。 按照按照产品品设计变量的取量的取值特点，特点，设计变量设计变量可分可分为连续变量量（例如（例如轴径、径、轮廓尺寸等）和廓尺寸等）和离散离散变量量（例如各种（例如各种标准准规格等）。格等）。 图1-1 设计变量所组成的设计空间设计变量所组成的设计空间（a a）二维设计问题二维设计问题 （b b）三维设计问题三维设计问题 只只有有两两个个设设计计变变量量的的二二维维设设计计问问题题可可用用图图1-11-1（a a）所所示示的的平平面面直直角角坐坐标标表表示示；有有三三个个设设计计变变量量的的三三维维设设计

28、计问问题题可可用用图图1-11-1（b b）所表示的空间直角坐标表示。所表示的空间直角坐标表示。 设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多，则设设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多，则设计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度亦愈大、求解亦愈复杂。亦愈大、求解亦愈复杂。 小型设计问题：小型设计问题：一般含有一般含有2 21010个设计变量；个设计变量； 中型设计问题：中型设计问题：10105050个设计变量；个设计变量； 大型设计问题：大型设计问题：5050个以上的设计变量。个以上的设计变量。 目前已能解决目前已能

29、解决200200个设计变量的大型最优化设计问题。个设计变量的大型最优化设计问题。如何选定设计变量如何选定设计变量？ 任何一项产品，是众多设计变量标志结构尺寸的综合体。任何一项产品，是众多设计变量标志结构尺寸的综合体。变量越多，可以淋漓尽致地描述产品结构，但会增加建模的难变量越多，可以淋漓尽致地描述产品结构，但会增加建模的难度和造成优化规模过大。所以设计变量时应注意以下几点：度和造成优化规模过大。所以设计变量时应注意以下几点： （1 1）抓主要，舍次要。）抓主要，舍次要。 对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，影响小对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，影响小的可先根据经验取为试探性

30、的常量，有的甚至可以不考虑。的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至可以不考虑。（2 2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。 例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4 4个，即钢丝直径个，即钢丝直径d d，弹簧中径弹簧中径D D，工作圈数工作圈数n n和自由高度和自由高度H H。在设计中，将材料的许在设计中，将材料的许用剪切应力用剪切应力 和剪切模量和剪切模量等作为设计常量。在给定径向空间内等作为设计常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧中径设计弹簧，则可把弹簧中径D D作为设计常量。作为设计常量。 2.约束

31、条件约束条件 设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程上所不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要求，工程上所不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要求，就称为可行设计。就称为可行设计。 一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。称作约束条件，简称约束。 约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约束两种类型：束两种类型：(1)(1)等式约束等式约束(2)(2)不等式约束不等式约束显式式约束束 隐式

32、式约束束 约束函数有的可以表示成束函数有的可以表示成显式形式，即反映式形式，即反映设计变量之量之间明明显的函数关系，有的只能表示成的函数关系，有的只能表示成隐式形式式形式 , ,如例中的复如例中的复杂结构的构的性能性能约束函数（束函数（变形、形、应力、力、频率等），需要通率等），需要通过有限元等方法有限元等方法计算求得。算求得。根据根据约束的性束的性质可以把它可以把它们区分成区分成：性能性能约束束针对性能要求而提出的限制条件称作性能性能要求而提出的限制条件称作性能约束。例束。例如，如，选择某些某些结构必构必须满足受力的足受力的强强度、度、刚度或度或稳定性等要求定性等要求；边界界约束束只是只是对

33、设计变量的取量的取值范范围加以限制的加以限制的约束称作束称作边边界界约束。例如，允束。例如，允许机床主轴机床主轴选择的尺寸范的尺寸范围，对轴段长度轴段长度的限的限定范定范围就属于就属于边界边界约束。束。图图1-2 设计空间中的约束面（或约束线）设计空间中的约束面（或约束线） ( (a)a)二变量设计空间中的约束线二变量设计空间中的约束线 ( (b) b) 三变量设计空间中的约束面三变量设计空间中的约束面 如图如图1-41-4上画出了满足两项约束条件上画出了满足两项约束条件g g1 1（X X）=x=x1 12 2x x2 22 216 O16 O和和g g2 2（X X）2 2X X2 200

34、的二维设计问题的可行域的二维设计问题的可行域D D，它位于它位于X X2 2=2=2的上面和的上面和圆圆 x x1 12 2x x2 22 2=16=16的圆弧的圆弧ABCABC下面并包括线段下面并包括线段ACAC和圆弧和圆弧ABCABC在内。在内。图图1-3 约束条件规定的可行域约束条件规定的可行域D 可行域可行域可行域可行域 : : 在在设计空空间中，中，满足足所有约束条件的所有约束条件的所构成的所构成的空空间 。 3.3.目标函数目标函数 在优化过程中，通过设计变量的不断向在优化过程中，通过设计变量的不断向F F( (X X) )值改善的方向值改善的方向自动调整，最后求得自动调整，最后求

35、得F F( (X X) )值最好或最满意的值最好或最满意的X X值。在构造目标值。在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量，所有的设计函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量，所有的设计变量必须包含在约束函数中。在机械设计中，可作为参考目标变量必须包含在约束函数中。在机械设计中，可作为参考目标函数的有：函数的有： 体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构运体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构运动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动负荷动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动负荷最小等等。最小等等。 为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计

36、变量的评价为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价函数，它是优化的目标，称为目标函数，以函数，它是优化的目标，称为目标函数，以F(X)F(X)表示。表示。 在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数，称为单目标在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数，称为单目标函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多目标函数的最优化问题。在一般的机械最优化设计中，多目标函目标函数的最优化问题。在一般的机械最优化设计中，多目标函数的情况较多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的数的情况较多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但

37、问题的求解亦愈复杂。求解亦愈复杂。 在实际工程设计问题中，常常会遇到在多目标函数的某些在实际工程设计问题中，常常会遇到在多目标函数的某些目标之间存在矛盾的情况，这就要求设计者正确处理各目标函目标之间存在矛盾的情况，这就要求设计者正确处理各目标函数之间的关系。数之间的关系。 目标函数等值（线）面目标函数等值（线）面目标函数等值（线）面目标函数等值（线）面 目标函数是目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在维变量的函数，它的函数图像只能在n+1维空维空间中描述出来。为了在间中描述出来。为了在n维设计空间中反映目标函数的变化情维设计空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。况，常

38、采用目标函数等值面的方法。 目标函数的等值面（线）数学表达式为：目标函数的等值面（线）数学表达式为： c为一系列常数，代表一族为一系列常数，代表一族n维超曲面。如在二维设计空维超曲面。如在二维设计空间中，间中，F(x1,x2)=c 代表代表x-x设计平面上的一族曲线。设计平面上的一族曲线。 对于具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面对于具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面称为称为等值线等值线或或等值面等值面。图图1-4 等值线等值线 图图1-51-5表示目标函数表示目标函数f f（X X）与两个设计变量与两个设计变量x x1 1，x x2 2阶所构成阶所构成的关系曲面上的等值

39、线，它是由许多具有相等目标函数值的设的关系曲面上的等值线，它是由许多具有相等目标函数值的设计点所构成的平面曲线。当给目标函数以不同值时，可得到一计点所构成的平面曲线。当给目标函数以不同值时，可得到一系列的等值线，它们构成目标函数的等值线族。在极值处目标系列的等值线，它们构成目标函数的等值线族。在极值处目标函数的等值线聚成一点，并位于等值线族的中心。当目标函数函数的等值线聚成一点，并位于等值线族的中心。当目标函数值的变化范围一定时，等值线愈稀疏说明目标函数值的变化愈值的变化范围一定时，等值线愈稀疏说明目标函数值的变化愈平缓。利用等值线的概念可用几何图象形象地表现出目标函数平缓。利用等值线的概念可

40、用几何图象形象地表现出目标函数的变化规律。的变化规律。 从等值线上，可以清除地看到函数值的变化情况。其中从等值线上，可以清除地看到函数值的变化情况。其中F F=40=40的等值线就是使的等值线就是使F(xF(x1 1,x,x2 2)=40)=40的各点的各点 x x1 1,x,x2 2 T T所组成的连所组成的连线。线。 如图函数如图函数 的等值线图。的等值线图。图图1-5 等值线等值线4. 优化设计问题一般数学形式：优化设计问题一般数学形式：满足约束条件满足约束条件 ：求设计变量向量求设计变量向量使目标函数使目标函数 对于复杂的问题，要建立能反映客观工程实际的、完对于复杂的问题，要建立能反映

41、客观工程实际的、完善的数学模型往往会遇到很多困难，有时甚至比求解更为善的数学模型往往会遇到很多困难，有时甚至比求解更为复杂。这时要抓住关键因素，适当忽略不重要的成分，使复杂。这时要抓住关键因素，适当忽略不重要的成分，使问题合理简化，以易于列出数学模型，这样不仅可节省时问题合理简化，以易于列出数学模型，这样不仅可节省时间，有时也会改善优化结果。间，有时也会改善优化结果。 最最优优化化设设计计的的目目标标函函数数通通常常为为求求目目标标函函数数的的最最小小值值。若若目目标标函函数数的的最最优优点点为为可可行行域域中中的的最最大大值值时时，则则可可看看成成是是求求- -F F（X X）的的最最小小值

42、值，因因为为minmin-F-F（X X）与与maxFmaxF（X X）是是等价的。当然，也可看成是求等价的。当然，也可看成是求1 1F F（X X）的极小值。的极小值。5. 建模实例建模实例1）根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对）根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对优化对象进行分析。必要时，需要对传统设计中的公式进行改优化对象进行分析。必要时，需要对传统设计中的公式进行改进，并尽可以反映该专业范围内的现代技术进步的成果。进，并尽可以反映该专业范围内的现代技术进步的成果。2）对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常）对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始

43、参数、设计常数和设计变量。数和设计变量。3）根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，）根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，有时要构造多目标函数。有时要构造多目标函数。4）必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于量）必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。建立优化设计问题的数学模型一般步骤：建立优化设计问题的数学模型一般步骤：建立优化设计问题的数学模型一般步骤：建立优化设计问题的数学模型一般步骤：人字架结构优化设计人字架结构优化设计 受力分析图圆杆截面图桁杆示意图d由两根空心圆杆组成对称

44、的两杆桁架，其顶点承受负载由两根空心圆杆组成对称的两杆桁架，其顶点承受负载为为2p，两支座之间的水平距离为两支座之间的水平距离为2L，圆杆的壁厚为圆杆的壁厚为B，杆杆的比重为的比重为，弹性模量为弹性模量为E，屈服强度为屈服强度为 。求在桁架不被求在桁架不被破坏的情况下使桁架重量最轻的桁架高度破坏的情况下使桁架重量最轻的桁架高度h及圆杆平均直及圆杆平均直径径d。解：桁杆的截面积为解：桁杆的截面积为 ： 由此得稳定约束：由此得稳定约束：圆杆中应力小于等于压杆稳定的临界应力。由材料力学知：圆杆中应力小于等于压杆稳定的临界应力。由材料力学知：压杆稳定的临界应力为压杆稳定的临界应力为此应力要求小于材料的

45、屈服极限，即：此应力要求小于材料的屈服极限，即： 于是杆截面的应力为：于是杆截面的应力为： 负载负载2p在每个杆上的分力为：在每个杆上的分力为： 桁杆的总重量为：桁杆的总重量为： 另外还要考虑到设计变量另外还要考虑到设计变量d和和h有界。有界。 从而得到两杆桁架最优设计问题的数学模型：从而得到两杆桁架最优设计问题的数学模型：配料配料配料配料每磅配料中的营养含量每磅配料中的营养含量每磅配料中的营养含量每磅配料中的营养含量钙钙钙钙蛋白质蛋白质蛋白质蛋白质纤维纤维纤维纤维每磅成本（元）每磅成本（元）每磅成本（元）每磅成本（元）石灰石石灰石石灰石石灰石谷物谷物谷物谷物大豆粉大豆粉大豆粉大豆粉0.380

46、 0.00 0.000.380 0.00 0.000.001 0.09 0.020.001 0.09 0.020.002 0.50 0.080.002 0.50 0.08 0.0164 0.0164 0.0463 0.0463 0.1250 0.1250 以最低成本确定满足动物所需营养的最优混合饲料。设每以最低成本确定满足动物所需营养的最优混合饲料。设每天需要混合饲料的批量为天需要混合饲料的批量为100磅，这份饲料必须含：至少磅，这份饲料必须含：至少0.8%而不超过而不超过1.2%的钙的钙;至少至少22%的蛋白质的蛋白质;至多至多5%的粗纤维。假的粗纤维。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。

47、这些配料的主要营养定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。这些配料的主要营养成分为：成分为：混合饲料配合混合饲料配合解解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:设设 是生产是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、磅混合饲料所须的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。大豆粉的量（磅）。6. 优化设计的分类优化设计的分类对于最优化问题一般可作如下分类：对于最优化问题一般可作如下分类：还有其它的一些划分方法：还有其它的一些划分方法： 如按设计变量的性质分：连续变量、离散变量、整数变量如按设计变量的性质分：连续变量、离散变量、整数变量规划问题；规划问题；

48、 二次规划、几何规划、随机规划等。二次规划、几何规划、随机规划等。例例1：如下二维非线性规划问题：如下二维非线性规划问题一、几何解释一、几何解释1-4 1-4 优化问题的几何解释和基本解法优化问题的几何解释和基本解法 通过二维优化问题的几何求解来直观地描述优化设计的通过二维优化问题的几何求解来直观地描述优化设计的基本思想。基本思想。 目标函数等值线是以点（目标函数等值线是以点（2，0）为圆心的一组同心圆。）为圆心的一组同心圆。 如不考虑约束，本例的无约束最优解是：如不考虑约束，本例的无约束最优解是：，约束方程所围成的可行域是约束方程所围成的可行域是D。图图图图1-91-9l由图易见约束直线与等

49、值线的切点是最优点，利用解析几由图易见约束直线与等值线的切点是最优点，利用解析几何的方法得该切点为何的方法得该切点为 ， 对应的最优值为对应的最优值为 l (见图）见图）用图解法求解用图解法求解 例例例例2 2：l解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲线是一条直线，这条直线就是容许集。而最优点就是容许集上线是一条直线，这条直线就是容许集。而最优点就是容许集上使等值线具有最小值的点。使等值线具有最小值的点。l解：解：先画出等式约束曲线先画出等式约束曲线 的图形。的图形。 这是一条抛物线，如图这是一条抛物线，如图例例例例3 3：l再

50、画出不等式约束区域，如图（选定哪侧区域）再画出不等式约束区域，如图（选定哪侧区域）l最后画出目标函数等值线，特别注意可行集边界点，最后画出目标函数等值线，特别注意可行集边界点，ABCD 以及等值线与可行集的切点，易见可行以及等值线与可行集的切点，易见可行域为曲线段域为曲线段ABCD。当动点沿抛物曲线当动点沿抛物曲线段段ABCD由由A点出发时，点出发时，AB段目标函数段目标函数值下降。过点值下降。过点B后，在后，在BC段目标函数值段目标函数值上升。过上升。过C点后，在点后，在CD段目标函数值再段目标函数值再次下降。次下降。D点是使目标函数值最小的可点是使目标函数值最小的可行点，其坐标可通过解方程

51、组：行点，其坐标可通过解方程组：l得出：得出：ABCDl 由以上三个例子可见，对二维最优化问题。我由以上三个例子可见，对二维最优化问题。我们总可以用图解法求解，而对三维或高维问题，已们总可以用图解法求解，而对三维或高维问题，已不便在平面上作图，此法失效。不便在平面上作图，此法失效。l 在三维和三维以上的空间中，使目标函数取同在三维和三维以上的空间中，使目标函数取同一常数值的是一常数值的是 X| f(X)=C, C是常数是常数称为目标函数称为目标函数的等值面。的等值面。l等值面具有以下性质：等值面具有以下性质：l（1）不同值的等值面之间不相交，因为目标函数）不同值的等值面之间不相交，因为目标函数

52、是单值函数；是单值函数；l（2）等值面稠的地方，目标函数值变化得较快，）等值面稠的地方，目标函数值变化得较快，而稀疏的地方变化得比较慢；而稀疏的地方变化得比较慢；l（3）一般地，在极值点附近，等值面（线）近似）一般地，在极值点附近，等值面（线）近似地呈现为同心椭球面族（椭圆族）。地呈现为同心椭球面族（椭圆族）。求解优化问题的基本解法有：求解优化问题的基本解法有： 二、基本解法二、基本解法解析法解析法解析法解析法数值解法数值解法数值解法数值解法解解解解析析析析法法法法：即即利利用用数数学学分分析析( (微微分分、变变分分等等）的的方方法法，根根据据函函数数（泛泛函函）极极值值的的必必要要条条件件

53、和和充充分分条条件件求求出出其其最最优优解解析析解的解的求解方法求解方法 。在目标函数比较简单时，求解还可以。在目标函数比较简单时，求解还可以。 局限性：局限性：工程优化问题的目标函数和约束条件往往比较复工程优化问题的目标函数和约束条件往往比较复杂，有时甚至还无法用数学方程描述，在这种情况下应用数杂，有时甚至还无法用数学方程描述，在这种情况下应用数学分析方法就会带来麻烦。学分析方法就会带来麻烦。 最最优优化化方方法法是是与与近近代代电电子子计计算算机机的的发发展展紧紧密密相相联联系系的的，数数值值计计算算法法比比解解析析法法更更能能适适应应电电子子计计算算机机的的工工作作特特点点，因因为为数数

54、值值计计算算的迭代方法具有以下特点：的迭代方法具有以下特点： 1 1）是数值计算而不是数学分析方法；）是数值计算而不是数学分析方法； 2 2）具有简单的逻辑结构并能进行反复的同样的算术计算；）具有简单的逻辑结构并能进行反复的同样的算术计算； 3 3）最后得出的是逼近精确解的近似解。）最后得出的是逼近精确解的近似解。这些特点正与计算机的工作特点相一致。这些特点正与计算机的工作特点相一致。 数值解法：数值解法：数值解法：数值解法：这是一种数值近似计算方法，又称为数值迭代这是一种数值近似计算方法，又称为数值迭代方法。它是根据目标函数的变化规律，以适当的步长沿着能使目方法。它是根据目标函数的变化规律，

55、以适当的步长沿着能使目标函数值下降的方向，逐步向目标函数值的最优点进行探索，逐标函数值下降的方向，逐步向目标函数值的最优点进行探索，逐步逼近到目标函数的最优点或直至达到最优点。数值解法（迭代步逼近到目标函数的最优点或直至达到最优点。数值解法（迭代法）是优化设计问题的基本解法。法）是优化设计问题的基本解法。 其中也可能用到解析法，如最速下降方向的选取、最优步长的确定等。 数值迭代法的数值迭代法的基本思路：基本思路：基本思路：基本思路：是进行反复的数值计算，寻是进行反复的数值计算，寻求求目标目标函数值不断下降的可行计算点，直到最后获得足够精函数值不断下降的可行计算点，直到最后获得足够精度的度的最优

56、点最优点。这种方法的求优过程大致可归纳为以下步骤：这种方法的求优过程大致可归纳为以下步骤： 1 1）首先初选一个尽可能靠近最小点的初始点）首先初选一个尽可能靠近最小点的初始点X X（0 0），从从X X（0 0）出发按照一定的原则寻找可行方向和初始步长，向前跨出出发按照一定的原则寻找可行方向和初始步长，向前跨出一步达到一步达到X X（1 1）点；点； 2 2）得到新点）得到新点X X（1 1）后再选择一个新的使函数值迅速下降的后再选择一个新的使函数值迅速下降的方向及适当的步长，从方向及适当的步长，从X X（1 1）点出发再跨出一步，达到点出发再跨出一步，达到X X（2 2）点，点，并依此类推，

57、一步一步地向前探索并重复数值计算，最终达到并依此类推，一步一步地向前探索并重复数值计算，最终达到目标函数的最优点。目标函数的最优点。1.1.求解步骤求解步骤在中间过程中每一步的迭代形式为：在中间过程中每一步的迭代形式为： 图图1-11 迭代计算机逐步逼近最优点过程示意图迭代计算机逐步逼近最优点过程示意图 上式中：上式中：X X（k k）第第k k步迭代计算所得到的点，称第步迭代计算所得到的点，称第k k步迭代点，步迭代点， 亦为第亦为第k k步设计方案；步设计方案； a a（k k）第第k k步迭代计算的步长；步迭代计算的步长； S S（k k）第第k k步迭代计算的探索方向。步迭代计算的探索

58、方向。 用用迭迭代代法法逐逐步步逼逼近近最最优优点点的探索过程如图的探索过程如图1-81-8所示。所示。 运用迭代法，每次迭代所得新的点的目标函数都应满足运用迭代法，每次迭代所得新的点的目标函数都应满足函数值下降的要求：函数值下降的要求：（1 1）选择搜索方向）选择搜索方向）选择搜索方向）选择搜索方向（2 2）确定步长因子）确定步长因子）确定步长因子）确定步长因子（3）给定收敛准则）给定收敛准则收敛：收敛：迭代法要解决的问题：迭代法要解决的问题：2.2.迭代终止准则迭代终止准则（1 1）点距准则）点距准则或或ffkfk+1f*xkoxk+1x*x(a)（2）函数值下降量函数值下降量 准则准则或或xoffkfk+1f*xkxk+1x*(b)（3 3）目标函数梯度）目标函数梯度 准则准则 上述准则都在一定程度上反映了逼近最优点的程上述准则都在一定程度上反映了逼近最优点的程度，但都有一定的局限性。在实际应用中，可取其中度，但都有一定的局限性。在实际应用中，可取其中一种或多种同时满足来进行判定。一种或多种同时满足来进行判定。采用哪种收敛准则，可视具体问题而定。可以取：采用哪种收敛准则，可视具体问题而定。可以取： 图图图图1-12 1-12 优化设计流程优化设计流程优化设计流程优化设计流程三、优化设计三、优化设计 一般步骤一般步骤