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1、第一节第一节 随机变量的定义随机变量的定义 在上一章中，我们研究了随机事件与概率在上一章中，我们研究了随机事件与概率的一些基本概念和理论。为了更深入地研究随的一些基本概念和理论。为了更深入地研究随机试验的结果，揭示其相应的随机现象的统计机试验的结果，揭示其相应的随机现象的统计规律性，从本章起，我们将引进随机变量的概规律性，从本章起，我们将引进随机变量的概念念。其基其基本想法是把随机试验的结果数量化，本想法是把随机试验的结果数量化，即用一个变量即用一个变量X 来描述试验的结果。先看下面来描述试验的结果。先看下面的例子。的例子。一、随机变量的定义一、随机变量的定义 例例1 1 投掷一枚硬币，观察出
2、现正反面的投掷一枚硬币，观察出现正反面的情形。试验有两个可能结果：情形。试验有两个可能结果： 我们引入一个变量如下我们引入一个变量如下： 出现正面出现正面 出现反面出现反面这个变量可以看作是定义在样本空间这个变量可以看作是定义在样本空间TH上的函数，称其为随机变量。实际上此变量上的函数，称其为随机变量。实际上此变量是依试验结果的不同而随机地取值是依试验结果的不同而随机地取值1 1或或0 0。例例2 2 掷一枚骰子面上出现的点数。掷一枚骰子面上出现的点数。这个试验结果本身就是一个数这个试验结果本身就是一个数. .（与数值有关）（与数值有关） 当当 时时, , 这里这里 是随机变量，是随机变量，我
3、们引入一个变量我们引入一个变量它是依试验结果的不同而随机地取值它是依试验结果的不同而随机地取值1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6。昆虫的产卵数；昆虫的产卵数；每天从上海站下火车的人数；每天从上海站下火车的人数； 类似的例子：类似的例子：七月份上海的最高温度；七月份上海的最高温度； 在有些试验中，试验结果看来与数值无在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果种结果. .也就是说，也就是说，把试验结果数值化把试验结果数值化. . 正如裁判员在运动场上不叫运动员的名正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，
4、二者建立了一种对应关系字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系. . 定义定义 设随机试验为设随机试验为 , ,其样本空间为其样本空间为如果对于每个如果对于每个 ，都有一个实数，都有一个实数 和它对应，于是就得到一个定义在和它对应，于是就得到一个定义在 上的实值单值函数上的实值单值函数 ，称，称 为随机变为随机变量。量。而表示随机变量所取的值而表示随机变量所取的值时时, ,一般采用小写字母一般采用小写字母x,y,z等等. .随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母或希腊字母,等表示等表示 例如，从某一学校随机例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高选一学生，测量他的身高
5、. . 我们可以把可能的身高看作随机变量我们可以把可能的身高看作随机变量X, ,然后我们可以提出关于然后我们可以提出关于X 的各种问题的各种问题. .如如 P(X1.7)=？ P(X1.5)=?P(1.5X1.7)=?二、随机变量与随机事件的关系二、随机变量与随机事件的关系 对所考察的随机现象，当引入随机变量以对所考察的随机现象，当引入随机变量以后，随机事件即可用随机变量满足某关系式来后，随机事件即可用随机变量满足某关系式来描述，反之，给出随机变量描述，反之，给出随机变量X满足某关系式，满足某关系式，它将表达随机现象中的某个事件。它将表达随机现象中的某个事件。比如：例比如：例1 1中，中， 表
6、示该试验中表示该试验中“反面朝上反面朝上”事件。事件。表示该试验中表示该试验中“正面朝上正面朝上”事件。事件。 例例2 2中，事件中，事件 点数不少于点数不少于3 3点点 可表示为可表示为三、随机变量的分类三、随机变量的分类 通常分为两类：通常分为两类：随随机机变变量量离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个所有取值可以逐个一一列举一一列举全部可能取值不仅全部可能取值不仅无穷多，而且还不无穷多，而且还不能一一列举，而是能一一列举，而是充满一个区间充满一个区间. 这两种类型的随机变量因为都是随机变量，这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处，但因其取值方式自然有很多相同或相似之处，但因其取值方式不同，又有其各自的特点。不同，又有其各自的特点。 学习时请注意它们各自的特点和描述方法。学习时请注意它们各自的特点和描述方法。 随机变量概念的产生是概率论发展史上的随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件。引入随机变量后，对随机现象统计重大事件。引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究。大为对随机变量及其取值规律的研究。
