插值法ppt课件

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1、第第 1 章章 插值法插值法1.1 插值法插值法1.2 Lagrange插值插值1.3 Newton插值插值1.4 Hermite插值插值1.5 分段线性插值分段线性插值1.6 三次样条插值三次样条插值1.7 程序示例程序示例 习题习题111.1 插值法插值法插值问题的背景插值问题的背景 在生产和实验中，函数 f(x)或者其表达式不便于计算, 或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值) ，此时我们希望建立一个简单的而便于计算的近似函数(x)，来逼近函数 f(x)。 常用的函数逼近方法有： 插值法； 最小二乘法（或称均方逼近）； 一致逼近等。2 2. .插值法插值法 插值法是函数逼近的

2、重要方法之一，有着广泛的应用。简单地说，插值法就是用给定的(未知)函数 f(x)的若干点上的函数值(或其导数值) 来构造 f (x)的近似函数(x)，要求(x)与 f(x)在给定点的函数值相等。 有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermite插值，分段插值和样条插值。函数可以未知，只需已知若干点上的值。3设 f(x)为a，b上的函数，在互异点x0 , x1, . , xn 处的函数值分别为 f(x0) , f (x1) , , f (xn) ,构造一个简单函数 (x) 作为函数 f(x) 的近似表达式y=

3、 f(x) (x),使 (xi)f(xi) , i0, 1, 2, ,n (1.0)则称(x) 为关于节点x0 , x1, . , xn的插值函数；称 x0 , x1, . , xn 为插值节点；称(xi, f (xi), i=1,2, , n 为插值点；f(x) 称为被插值函数。 (1.0)式称为插值条件。这类问题称为插值问题。 构造出(x)，对 f(x)在a,b上函数值的计算，就转化为(x)在对应点上的算。插值法的定义插值法的定义41.2 Lagrange插值插值 选用代数多项式作为插值函数。Lagrange插值就是选用节点上的函数值作为插值条件。1.2.1 线性插值线性插值 给定两个点(

4、x0，y0)，(x1，y1），x0x1，确定一个一次多项式插值函数，简称线性插值线性插值。待定系数法待定系数法 设 L1(x)=a0+a1x, 代入插值点当x0x1时，方程组的解存在唯一。即插值条件：L1(xi)= f(xi)=yi,i=0,15解之得解之得， 因此，因此， （1.1）式称为一次Lagrange插值插值。 由求解过程知，用待定系数法，需要求解线性方程组，当已知节点较多时，即方程的未知数多，计算量较大，不便向高阶插值推广。6插值基函数法插值基函数法 分别构造两个节点上的一次函数，使其在本节点上的函数值为1，而在其他节点上的函数值为0。设l0(x), l1(x)分别为满足上述条件的

5、一次函数，即 或简单地记为 对于过两个节点x0 , x1的线性插值（1.1）式，令7显然， l0(x), l1(x) 满足：线性插值函数可以写成节点上函数值的线性组合，即 L1(x) = l0(x) y0 + l1(x) y1 称l0(x), l1(x) 分别为x0, x1的插值基函数。线性插值误差线性插值误差定理定理 1 设L1(x)为一次Lagrange插值函数, 若 f (x) 一阶连续可 导，f (x)在(a, b)上存在，则对任意给定的x(a ,b), 至少存在一点(a,b),使得证明证明 因为L(xi)= f(xi),i=0,1,所以，R1(x0)=R1(x1)=0, 即 x0,x

6、1为R1(x)的两个根。因此，可设R1(x)为易知满足插值条件：L1(xi) = yi , i=0,18可设 R1(x) = k(x)(x-x0)(x-x1). 固定任一 x，作辅助函数，令 则 (xi )=0, i =1,2, (x)=0, 即 (t)有3个零点x0, x1, x。 假定，x0 x x1 , 分别在x0，x和x，x1上应用洛尔（Rolle）定理，可知， (t)在每个区间上至少存在一个零点，1，2，使(1)=0，(2)=0(此即(t)有2个零点)。再利用洛尔定理知， (t)在1,2上至少有一个零点，使 ()=0。 对 (t)求2阶导数得， (t) = f (t) - -2!k(

7、x), 因为 ()=0，所以，有 k(x) = f () / /2!。 证毕。91.2.2 二次插值二次插值 给定3个互异插值点(xi, f (xi), i = 0,1,2，确定一个二次插值多项式函数，即抛物线插值（如图）。待定系数法 设L2(x)=a0+a1x+a2x2, 代入3个插值条件： L2(xi)= f(xi), i = 0,1,2，解线形方程组可得a0, a1, a2。10 插值基函数法插值基函数法 构造3个节点上2次插值基函数 l0(x), l1(x), l2(x), 使满足 li(xj)=ij ， i, j = 0,1,2。 因为l0(x) 为2次插值基函数, 且l0(x1)

8、= l0(x2) = 0, 所以可设 l0(x) = A (x - x1)(x - x2)。 由条件：l0(x0) = 1，得同理可得，二次Lagrange插值多项式为容易验证满足插值条件11二次插值的误差二次插值的误差 定理定理 设设L2(x)为二次Lagrange插值函数, 若 f (x) C3a，b ， 则任给x(a ,b),至少存在一点=(x) (a,b),使 提示提示：因为R2(x0)=R2(x1)=R2(x2)=0,可设 作辅助函数 易知，x0, x1, x2, x为(t)的4个零点，在4个点两两组成的区 间上，应用Rolle定理，然后再反复应用Rolle定理即得证。 12例例1.

9、1 给定sin11=0.190809,sin12=0.207912,求线性插 值，并计算sin1130和sin1030 。解解 x0= 11, x1= 12, y0= 0.190809, y1= 0.207912， sin1130L1(11.5)=0.199361, sin1030L1(10.5)=0.182258.由定理1知，误差为准确值为：sin1130=0.199368sin1030=0.18223613例例1.2 给定sin11=0.190809,sin12=0.207912, sin13=0.224951,构造二次插值，并计算 sin1130。 解解 x0= 11, x1= 12,

10、x2= 13, y0= 0.190809, y1= 0.207912,y2= 0.224951， sin1130L2(11.5) = 0.199369, sin1130= 0.199368.14例例1.3 要制作三角函数sin x的值表，已知表值有四位小数，要求用线性插值引起的截断误差不超过表值的舍入误差，试确定其最大允许的步长。解解 f(x)=sin x, 设xi, xi为任意两个插值节点，最大允许步长记为 h = hi = xi xi，151.2.3 n次次Lagrange插值多项式插值多项式 已知 n+1个互异插值节点 (xi, f(xi), i=0, 1, 2, , n , 研究n次插

11、值多项式的存在性及其表示形式。 存在性存在性 设 n 次多项式为 代入插值点，即插值条件：Pn (xi) = f (xi), i = 0, 1,2, , n , 得 其范德蒙德(Vandermonde)行列式为：16 所以，(1.6)的解存在唯一。 解出(1.6)的解a0 , a1, , an ，代入(1.6)1即得 n 次插值多项式Pn(x)。 n 次插值多项式的构造次插值多项式的构造 有上面的讨论知，用待定系数法要求解一个线性方程组，计算量大，实际中不可取。17插值基函数法插值基函数法 分别构造x0 , x1, , xn 上的 n 次插值基函数 l0(x), l1(x), , ln(x),

12、满足性质： 即 节点基函数x0x1x2xnl0(x)1000l1(x)0100l2(x)0010ln(x)000118先构造 l0(x)。有上表知， x1 , x2, , xn 为 l0(x) 的零点，设由l0(x0)=1，得同理可设由li (xi)=1，得19于是，所以我们得到 n 次Lagrange插值多项式： 容易验证， Ln(xi) = f (xi), i = 0, 1, 2, n.20例例1.4 已知插值点 (-2.00,17.00), (0.00,1.00), (1.00,2.00), (2.00,17.00), 求三次插值，并计算 f (0.6)。解解 先计算4个节点上的基函数：

13、21 三次Lagrange插值多项式为： f (0.6) L3(0.6) = -0.472.22 n 次插值多项式的误差次插值多项式的误差 定理定理 2 2 设Ln(x)是a,b上过插值点(xi, f(xi)的 n 次 Lagrange插值多项式，节点xi两两互异，若 f(x)Cn+1a,b, 则 x a,b,存在=(x) a,b,使得 证明提示：因为Rn(xi)=0, i =0, 1, 2, , n, 令 作辅助函数 显然， (t)有 n+2 个零点x0，x1，xn，x，反复应用Rolle 定理，由(n+1)()=0,定理得证。Back23 n 次插值多项式的几点说明次插值多项式的几点说明若

14、| f (n+1)(x)|M,xa,b,则由(1.9)得当 f(x)为不高于n次的多项式时，因为Rn(x)=0,则 Ln(x) = f (x). 特别地，取 f(x) = xk, k = 0,1,2,n, 则 令 k =0，可知 n 次Lagrange基函数li(x)满足即 f(x)为不超过n次的多项式时，插值多项式就是被插函数本身24实际计算中，如果 f (x)的形式未知，也就无法求出 f (n+1)(x)或估计出其较精确的上界。所以也就无法估计|Rn(x)|。 我们采用事后估计，即给定 n+2个节点，x0, x1, xn, xn+1,构造两个n次插值多项式Ln(x)和 ，用它们来估计|Rn

15、(x)|。 由定理 2，得Th.225假定 f (n+1)(x) 在 a, b内连续, 且变化不大, 即 f (n+1)(1) f (n+1)(2).(1.13)和(1.14)两式相除，得解之得，于是，得误差事后估计：即用求出的插值多项式来估计误差。261.3 Newton插值插值Lagrange插值的优缺点：插值的优缺点： 优点：优点：形式整齐、规范，理论上保证插值的存在唯一性。 缺点：缺点：计算量大、不具有承袭性。1.3.1 差商及其性质差商及其性质一阶差商一阶差商：f (x)关于点x0，x1的一阶差商记为 f x0, x1，二阶差商：二阶差商： f (x)关于点x0，x1， x2的二阶差

16、商记为 f x0, x1, x2,27 一般地，k 阶差商 f x0, x1, xn 定义为：差商的性质差商的性质 性质性质1 k 阶差商 f x0, x1, xk可表成节点上函数值 f(x0), f(x1), , f(xk) 的线性组合，即 例如例如，k = 2时， (1.17)28性质性质 2 各阶差商具有对称性, 即改变差商中节点的次序不会 改变差商的值。设i0, i1, , ik为0, 1, , k的任一排列, 则 由性质1知，任意改变节点的次序，只改变(1.17)式右端求和的次序，故其值不变。例如,由定义知，性质性质 3 若 f (x)为 n 次多项式，则一阶差商 f x, xi为n

17、 1次 多项式。 由定义令x = xi, 则分子为0, 说明分子中含有因子x xi, 与分母约去。29性质性质 4 若 f (x)在 a, b 存在 n +1阶导数，xi a, b , i = 0,1,n, 固定 xa, b, 则 n+1 阶差商与导数 存在如下关系：30 差商的计算差商的计算 由差商的定义由差商的定义 一阶差商是由节点上函数值定义的，二阶差商是由一阶差商定义的，依此构造差商表：i xi f (xi) 一阶差商一阶差商 二阶差商二阶差商 三阶差商三阶差商 n 阶差商阶差商0 x0 f (x0)1 x1 f (x1) f x0, x12 x2 f (x2) f x1, x2 f

18、x0, x1, x23 x3 f (x3) f x2, x3 f x1, x2, x3 f x0, x1, x2, x3 n xn f (xn) f xn 1, xn f xn 2, xn 1, xn f xn 3, xn f x0, x1, , xnReturnReturn31例例1.5 计算 (2, 17), (0, 1), (1, 2), (2, 19)的一至三阶差商。解解 由表易知， f x0, x1 = f 2, 0 = 8 f x0, x1, x2 = f 2, 0, 1 =(8 1)/(2 1) = 3 f x0, x1, x2, x3 = f 2, 0, 1, 2 =(3 8)

19、/(2 2) = 5/4i xi f (xi) f xi 1, xi f xi 2, xi 1, xi f xi 3, xi 2, xi 1, xi0 2 171 0 1 82 1 2 1 33 2 19 17 8 5/4例例1.732 由差商与导数的关系（性质由差商与导数的关系（性质4）例例 1.6 对 f (x) = x7x4+3x+1， 求 f 20,21， f x,20,21,26 和 f x,20,21,27。解解 显然， f (7) (x) = 7!, f (8) (x) = 0, 由性质4得331.3.2 Newton插值插值 线性插值线性插值 给定两个插值点(x0, f(x0)

20、, (x1, f(x1), x0x1, 设 N1(x) = a0 + a1(x x0) 直线的点斜式直线的点斜式 代入插值点得， 于是得线性Newton插值公式由插值的唯一性知，L1(x)与 N1(x)为同一多项式，只是表达形式不同而已。34 二次二次Newton插值插值 给定三个互异插值点(xi, f (xi), 设代入插值条件： N2(xi) = f (xi), i =0,1,2, 得二次Newton插值公式为35 n 次次Newton插值公式插值公式 给定n+1个插值点(xi, f(xi), i = 0, 1, 2, n, xi互异， 类似地，有二阶至 n 阶差商的定义得(xx0)(xx

21、0)(xx1) (xx0)(xxn1) 上述所有n +1个等式相加，得36其中，插值误差为：n次Newton插值公式37容易验证，Newton插值满足插值条件： Nn(xi) = f (xi), i = 0, 1, 2, n. 关于关于Lagrange插值和插值和Newton插值的几点说明插值的几点说明1.由插值的唯一性质，Ln(x) = Nn(x)。因此，他们的误差也相同，即当 f(x)Cn+1a, b时，有 故得差商的性质438 2. 牛顿插值的误差不要求函数的高阶导数存在，所以更具有一般性。它对 f(x)是由离散点给出的函数情形或 f(x)的导数不存在的情形均适用。3. 引入记号: f

22、x0 = f (x0) , t0(x) = 1, t1(x) = x x0, t2(x) = (x x0)(x x1), , tn(x) = (x x0)(x x1) (x xn1)， 于是 n 次Newton插值公式可表为称 t0(x), t1(x), t2(x), , tn(x) 为Newton插值的基函数，而且满39 足如下关系： ti(x) = ti1(x)(x xi1), i =1,2, n； ti(xj) = 0， j i， ti(xj) 0，j i。4. Newton插值具有承袭性质，即5. Newton插值公式的计算量 乘：1+2+ (n1)+ n = n(n+1)/2 除：n

23、 + (n1)+ 2+1 = n(n+1)/2第 i 个节点以后非零40例例 1.7 给定四个插值点(2,17), (0,1), (1,2), (2,19), 计算 N2(0.9), N3(0.9)。解解 x0= 2，x1=0，x2=1，x3=2，由例1.5知， f x0, x1 = 8， f x0, x1, x2 = 3，f x0, x1, x2, x3 = 5/4，所以， N2(0.9) = 17 8(0.9+2)+3(0.9+2)0.9 = 1.63; N3(0.9) = N2(0.9)+1.250.9(0.9+2)(0.9 1)= 1.30375.例例 1.541 Newton插值的算

24、法插值的算法 用牛顿插值公式，首先要计算各阶差商值，然后再计算插值。牛顿插值由承袭性质容易实现，关键是实现差商。 1. 输入初始数据:节点数 n, 插值点序列x，f(xi), i =0,1,2, n, 及要计算的函数点u； 2. 形成差商表 g k, k =1,2, , n ;（ g k = f x0,xk） 3. 形成插值基函数及插值 t =1, newton = f(x0) 对 i =1,2, , n t = (uxi1) t ; (由tk = (uxk1)tk 1 形成(ux0) (uxi1) ) newton = newton + tgi 4. 输出牛顿插值 Nn(u)=newton。

25、42 牛顿插值公式中只用到差商表中对角线上的差商，即 f x0, f x0, x1, f x0, x1, x2, , f x0, x1, xn.可以分别用一维数组 gi 来存放这些差商，i = 0, 1, 2, , n.形成差商具体步骤：形成差商具体步骤：(1) 对gi初始化，即 gi = f (i), i = 0, 1, 2, , n.(2) 除了g0(即 f (x0) 以外，其余函数值在计算一阶差商后 不再使用，因此可用来存放一阶差商，即 g j = f xj 1, xj, j = n, n 1, 2, 1(3) 类似地，计算二阶差商后，除g 1 = f x0, x1外, 其余一 阶差商也

26、不再使用, 可用g j存放二阶差商 f xj 2, xj 1, xj, 即 g j = f xj 2, xj 1, xj, j = n, n 1, 2，(4) 最后， gn = f x0, x1, , xn. 差商表差商表程序 1431.4 埃尔米特埃尔米特(Hermite) 插值插值 Hermite插值描述：插值描述： 设 f (x)具有一阶连续导数，已知节点上的函数值和导数值，即 (xi, f (xi), (xi, f (xi), i = 0, 1, 2, , n, 若存在 2n+1次多项式 H2n+1(x) 满足 则称 H2n+1(x) 为 f (x) 关于节点xi (i = 0,1,2

27、,n)的Hermite插值多项式。 记 f (xi) = yi, f (xi) = mi, i = 0,1,2,n .44 三次三次Hermite插值的构造插值的构造存在性存在性 给定 f (xi) = yi, f (xi) = mi, i = 0, 1. 设 代入插值条件: H3(xi) = f(xi), H3(xi) = f (xi), i =0,1,得其解存在唯一, 解 出 a0, a1, a2, a3, 代入即得 H3(x).45 基函数法基函数法 每个节点上对应两套基函数：x0: h0(x), g0(x); x1: h1(x), g1(x),满足 或简记为 函数值导数值x0x1x0x

28、1 h0(x) h1(x)g0(x)g1(x)100001000010000146 先构造 h0(x), 设 h0(x) = (a + bx)(x x1)2 ,为方便计算，可设由h0(x0) = 1, 得 a =1；由 所以，同理 设h0(x1)=h0(x1)=0g0(x0)=g0(x1)=0, g0(x1)=047由 g0(x0) =1, 得 a =1。所以注：注：我们知道，过 x0, x1 两点的Lagrange插值基函数为 显然， 于是，三次Hermite插值的基函数可表为到2n+1次48 三次Hermite插值多项式为 容易验证，当 f(x)C4a, b时, 三次Hermite插值的误

29、差为 提示：设 作辅助函数 固定x a, b，则(t) 有三个零点 x0, x1, x, 且 x0, x1为二重零点。反复应用Rolle定理可证。2005年9月30日49 高次高次Hermite插值的构造插值的构造插值基函数法插值基函数法 给定 n+1个节点 x0, x1,xn 上的函数值 f (xi)和导数值 f(xi) ，可以构造 2n+1 次Hermite插值多项式 满足 其中，hi(x), gi(x)分别为对应于函数值和导数值的不高于 2n+1 次插值基函数，它们满足50完全仿照三次Hermite插值基函数的求法，可得 容易验证， Hermite插值的误差(定理定理)： 当 f(x)C

30、2n+2a, b时, 则存在(a, b), 使 提示：对li(x)取对数ln，并注意li(xi)=1见三次基51例例1.8 给定 f ( 1)=0, f (1)=4, f ( 1)=2, f (1)=0, 求H3(x), 并计算 f (0.5).解解 x0 = 1, x1 = 1, f(0.5)H3(0.5) = 3.5625.52例例1.9 给定 f(0) = 1, f(1) = 2, f (0) = 2, 构造二次插值函数。解解 (1) 公式法公式法 设 f (1) = m1，有三次Hermite插值公式得， 令 m1 = 0，得到二次Hermite插值函数 P2(x) = x2 + 2x

31、 + 1.53 (2) 插值基函数法插值基函数法 设节点 x0上的二次基函数为t0(x), g0(x),节点 x1上的二次基函数为t1(x), 它们满足 设 由t0(x0) =1,即 b(0 1)=1, 得 b = 1。 由t0(x0) =0,即 a(0 1) + a0 +b=0, 得 a = 1 。所以 同理可设， 分别由条件 54 (3) 扩展牛顿法扩展牛顿法 写成差商表的形式，将带导数的节点X0及其上的函数值重复一遍，无导数的节点X1不重复，即 x f(x) f (x) x0 0 1 x1 0 1 2 X1 x2 1 2 1 1 55 扩展牛顿法扩展牛顿法用牛顿差商表构造Hermite插

32、值 给定插值点 (xi, f(xi), f (xi), i = 1,2, n, 重新定义插值节点序列： z2i = z2i+1 = xi, i = 0,1,2, n, 即 函数值取相应节点上的函数值, 即 f(z2i) = f(z2i+1) = f(xi), i = 0,1,2, n ； 对于一阶差商，取 以偶数节点开始以奇数节点开始56 二阶以后的各阶差商，直接按差商公式计算。由此得到差商型差商型Hermite插值插值公式：公式：差商表： z f(z) f zi, zj57例例1.10 已知 计算 f (1.36)。解解 x f(x) f (x) 1.2 0.6 1.2 0.6 0.5 1.

33、4 0.9 1.5 5 1.4 0.9 0.7 4 45 1.6 1.1 1.0 1.5 13 145 581.5 分段线性插值分段线性插值 n 次Lagrange插值多项式的误差： 插值多项式与被插函数的逼近程度同分点的数目和位置有关。一般地，分点越多，逼近程度越好，但也有例外。 例如例如 将1,110等分，步长 h = 2/10 = 0.2, 取节点 xi = 1 + 0.2i, i = 0,1,2,10。以 (xi, f(xi)为插值点，构造L10(x)：图示图示59Runge现象现象 插值多项式在插值区间上发生剧烈的震荡。它揭示了高次插值多项式存在的缺陷。产生的原因产生的原因 误差有截

34、断误差和舍入误差两部分组成，而在插值的计算过程中，舍入误差可能会扩散或放大。返回60 分段线性插值分段线性插值 给定 n +1个插值点：(xi , f (xi), i = 0,1,2,n, 在每个小区间xi, xi+1上作线性插值，节点 xi, xi+1上的基函数分别为： 显然满足 分段线性插值为： xi, xi+1上61 区间a, b上的线性插值 p(x) 就是将每个小区间xi , xi+1上的线性插值 pi (x) 连接起来, p(x) 为xi , xi+1上不高于一次的多项式。即p(x)的图形是一条以 (xi, f(xi)为折点的折线。62 用分段线性插值逼近上述例子的效果，取 n =1

35、0。Runge现象63例例1.11 已知 计算 f(1.2), f(3.3).解解 641.6 三次样条插值函数三次样条插值函数 分段线性插值：已知节点上的函数值，插值函数整体续。 三次Hermite插值：已知节上的函数值和导数值，插值函数具有一阶连续的导数。 为了得到光滑度更高的插值函数，引入样条插值函数样条插值函数。 “样条” 名词来源于工程中船体和汽车等的外形设计： 给出外形曲线上的一组离散点(样点)，如(xi, yi)，i = 0, 1, 2, , n, 将有弹性的细长木条或钢条(样条)在样点上固定，使其在其它地方自由弯曲，这样样条所表示的曲线，称为样条曲线(函数)。65 在数学上，它

36、表现为近似于一条分段的三次多项式，它要求在节点处具有一阶和二阶连续导数。 定义定义 给定 a, b上 n +1个节点：a = x0 x1 xn = b 及节点上的函数值 f(xi) = yi, i = 0, 1, 2, n, 若 S(x) 满足： (1) S(xi) = yi, i = 0,1, n ; (2) S(x)在xi, xi+1上至多是一个三次多项式； (3) S(x)C2a, b. 则称 S(x) 为 f(x) 关于节点 x0, x1, xn 的三次样条插值函数，称 xi 为样条节点。 66 在xi, xi+1上构造一个三次多项式 共有 4n 个未知量，因此需要 4n 个条件。 由

37、定义中的 (1)知，有n+1个条件； 由定义中的 (3)知，有3n 3个条件，即 再附加2个边界条件，就可得到4n个条件。三次分段样条插 值函数可唯一确定。 M关系式：用节点处的二阶导数表示样条插值函数。 m关系式：用节点处的一阶导数表示样条插值函数。671.6.1 M关系式关系式 引入记号： S(x) 为 xi, xi+1 上的三次多项式, S(x)为一次函数, 我们用节点上的二阶导数值 Mi 表示线性函数。设 其中， 对(1.29)积分两次, 得68将S(xi) = yi, S(xi+1) = yi+1,代入(1.30)得到二元一次方程组, 解得将 C，D 代入(1.30)式，得到 xi,

38、 xi+1 上的三次样条插值函数在 xi 点，左导数 = 右导数Back 例69 令 (1.32)式为 n +1个未知数 M0, M1, Mn 的 n -1个方程组，补充两个边界条件后，方程组(1.32)就有唯一解。 （2005-10-9）返回例1.12程序程序2 270 下面给出三种边界条件： (1) 给定 M0, Mn的值， 可以得到 n -1个未知量的 n -1个方程的方程组对角占优的三对角带状矩阵M0=0, Mn=0时，称为自然边界条件back71 (2) 给定条件：S(x0) = m0, S(xn) = mn, 分别由x0, x1, xn-1, xn上的三次样条插值函数 此二式和(1

39、.32)组成 n+1 个方程的方程组：72（3）若 f(x)为以 xn-x0 为周期的周期函数，即 y0 = yn，则要求S(x) 也为周期函数，即S(x0) = S(xn), 于是有 即 m0 = mn, M0 = Mn, 此时(1.32)变为n个未知量、n个方程的方程组。即为关于M0, M1,Mn的等式73例例1.12 已知离散点: (1.1, 0.4000), (1.2, 0.8000), (1.4, 1.6500), (1.5, 1.8000), 取自然边界条件 M0 = Mn = 0, 构造三次样条插值函数，并计算 f(1.25).解解 n = 3. h0= x1- x0 = 0.1

40、, h1= 0.2, h2=0.1,因此，分段的三次样条插值函数为由(1.32) 计算得From (1.31)(1.33)741.6.2 m关系式关系式 用一阶导数表示的样条插值函数 给定插值点 (xi, yi), 设S (xi) = mi, i = 0,1,2, n, 则 xi, xi+1上的三次Hermite插值为 确定出 m0, m1, mn, 代入(1.35),可得a, b上的三次样条插值75令 hi = xi+1- xi , S(x)C2a, b, 对(1.35)求二阶导数 令 x xi+ = xi+0, 在 xi, xi+1上得到 xi 点的右导数， 同理，在 xi-1, xi 上构造三次样条插值 S(x), 在 xi-1, xi上得点 xi 的左导数，76 三种边界条件：三种边界条件： 77