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1、2含有绝对值的不等式21绝对值不等式1掌握绝对值不等式的基本定理及其应用，并注意使用的必要技巧与方法2应用类比的方法发现一般规律，注意数形结合的数学思想方法的应用.学习目标 1含绝对值不等式的两个性质定理的灵活运用(重点)2含绝对值不等式的恒成立问题或最值问题(重点、难点)3常与不等式的其他性质一起综合考查(重点)4多以选择题、填空题形式考查，有时也与函数结合以解答题形式出现.学法指要 预 习 学 案1绝对值的几何意义|a|表示数轴上_到_的距离|ab|表示数轴上_到_的距离2不等式关于“运算”的基本性质加法性质：_.乘法性质：_.表示数a的点原点表示数a的点表示数b的点abacbcab且c0
2、acbc；ab且c0ac0，a，bR，那么正确的是()A|ab|ab|B|ab|a|b|C|ab|ab| D|ab|0，得a，b同号，易知|ab|a|b|，|ab|a|b|ab|ab|.答案：A2“|xa|m，且|ya|m”是“|xy|2m”(x，y，a，mR)的()A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D非充分非必要条件解析：|xy|(xa)(ya)|xa|ya|mm2m，|xa|m，且|ya|m是|xy|2m的充分条件取x3，y1，a2，m2.5，则有|xy|252m，但|xa|5，不满足|xa|m2.5，故|xa|m且|ya|m不是|xy|2m的必要条件答案：A3已知|ab|c(
3、a、b、cR)，给出下列不等式：abc；abc；|a|b|c；|a|b|c.其中一定成立的不等式是_(注：把成立的不等式的序号都填上)解析：由|ab|c得cabc.由abc得abc，所以成立，不成立由cbc，所以成立由|a|b|ab|c得|a|b|c，所以成立，不成立答案：4若f(x)x2xc(c为常数)，|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1)证明：|f(x)f(a)|(x2xc)(a2ac)|x2xa2a|(xa)(xa1)|xa|xa1|xa1|(xa)(2a1)|xa|2a1|xa|2a|1|b|.所以本题应从讨论|a|与|b|的大小入手，结合作差比较法，可以使问题得以解决
4、 含绝对值不等式的证明思路点拨解答本题可以用推论|a1a2a3|a1|a2|a3|，已知a，b，c是实数，函数f(x)ax2bxc，g(x)axb，当1x1时，|f(x)|1.(1)证明：|c|1；(2)证明：当1x1时，|g(x)|2；思路点拨本题属于绝对值函数，在解题时不仅要用到绝对值不等式，不等式性质以及推论，再结合已知条件，还需适当变形利用绝对值不等式时要注意等号成立的条件，这是关键所在绝对值不等式的综合应用解题过程(1)证明：由条件当1x1时，|f(x)|1，取x0，得|c|f(0)|1，即|c|1.(2)证明：当a0时，g(x)axb在1,1上是增函数，g(1)g(x)g(1)|f
5、(x)|1(1x1)，|c|1，g(1)abf(1)c|f(1)|c|2，g(1)abf(1)c(|f(1)|c|)2，由此得|g(x)|2；当a0时，g(x)axb在1,1上是减函数，g(1)g(x)g(1)|f(x)|1(1x1)，|c|1，g(1)abf(1)c|f(1)|c|2，g(1)abf(1)c(|f(1)|c|)2，由此得|g(x)|2；当a0时，g(x)b，f(x)bxc.1x1，|g(x)|f(1)c|f(1)|c|2.综上，得|g(x)|2.3设aR，函数f(x)ax2xa(1x1)若|a|1，求|f(x)|的最大值思路点拨利用绝对值不等式性质定理：|ab|a|b|，通过
6、适当的添、拆项求解 实数的绝对值定理：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立法一：用向量a，b代替a，b，当a与b不共线时，由向量的三角形法则，知向量ab，a，b可以构成三角形，这时我们有|ab|a|b|成立它的几何意义是三角形中两边之和大于第三边，当a与b共线，且方向相同时，|ab|a|b|，因此我们有|ab|a|b|，这时有|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立 定理的证明法三：|ab|a|b|ab|2(|a|b|)2a22abb2a2b22|ab|ab|ab|，由已有知识可知，ab|ab|一定成立，因而我们有|ab|a|b|成立，由于以上各步均是恒等变形，
7、及ab|ab|ab0可知当且仅当ab0时，等号成立1含有绝对值的不等式的性质定理可以推广，如：|a1a2a3|a1|a2|a3|；|a1a2an|a1|a2|an|；|a|b|ab|a|b|.在应用含绝对值的不等式求某些函数的最值时一定要注意等号成立的条件对定理的理解|ab|a|b|(ab0)；|ab|a|b|(ab0)；|a|b|ab|(ab)b0；|a|b|ab|(ab)b02这个定理是含有绝对值的不等式中一个非常重要的不等式，证明的最重要的依据是对于一切实数a，b，都有|a|b|a2b2|a|2|b|2.3注意等号成立的条件是ab0，与以前学习过的不等式有所不同4定理1还可以变形为|ab|a|b|，等号成立的充要条件是ab0.(请大家利用定理1的证明方法自己给出证明)5如果把实数a，b改为向量也成立，即|ab|a|b|，这里|ab|，|a|，|b|均为向量的模，当且仅当a与b方向相同或至少有一个为零向量时等号成立6依据定理我们可以有以下两个结论：(1)|a|b|ab|a|b|；(2)|a|b|ab|a|b|.
