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1、第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程学习目标1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线的方程.1预习导学挑战自我，点点落实2课堂讲义重点难点，个个击破3当堂检测当堂训练，体验成功知识链接如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.画出的曲线是什么形状？ 点D在移动过程中，满足什么条件？答案抛物线|DA|DC|预习导引1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)
2、的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 .距离相等焦点准线2.抛物线标准方程的几种形式y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)要点一求抛物线的标准方程例1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为(2,0)；抛物线标准方程为y28x.(2)准线为y1；抛物线标准方程为x24y.(3)过点A(2,3)；解由题意，抛物线方程可设为y2mx(m0)或x2ny(n0)，将点A(2,3)的坐标代入，得32m2,22n3，所求抛物线方程为y25x或y25x或x25y或x25y.规律方法求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则
3、可设出抛物线的标准方程，求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2ax(a0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2ay(a0).跟踪演练1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1) 过点(3，4)；解方法一点(3，4)在第四象限，设抛物线的标准方程为y22px (p0)或x22p1y (p10).把点(3，4)的坐标分别代入y22px和x22p1y，得(4)22p3,322p1(4)，方法二设抛物线的方程为y2ax (a0)或x2by (b0).(2) 焦点在直线x3y150上.解令x0得y5；令y0得x15.抛物线的焦点为(0，5)或(15,
4、0).所求抛物线的标准方程为x220y或y260x.要点二抛物线定义的应用例2 如图，已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求此时P点坐标.解如图，作PQl于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求|PA|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|d的最小值的问题.将x3代入抛物线方程y22x，A在抛物线内部.得x2.点P坐标为(2,2).规律方法要注意抛物线的定义在解题中的作用，灵活地进行抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不
5、等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.跟踪演练2已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()解析如图，由抛物线定义知|PA|PQ|PA|PF|，则所求距离之和的最小值转化为求|PA|PF|的最小值，则当点P在第一象限且A、P、F三点共线时，|PA|PF|取得最小值.(|PA|PF|)min|AF|要点三抛物线的实际应用例3喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？解如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方
6、程为x22py(p0)，因为点C(5，5)在抛物线上，所以252p(5)，因此2p5，所以抛物线的方程为x25y，点A(4，y0)在抛物线上，所以管柱OA的长为1.8 m.规律方法在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用.跟踪演练3某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货的木船露在水面上的部分高为0.75 m，货物的宽与木船相同，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？解以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的
7、直线为y轴建立直角坐标系.(如图)设抛物线的方程是x22py(p0)，由题意知A(4，5)在抛物线上，设水面上涨，木船货物上表面两侧与抛物线形拱桥接触于B、B时，木船开始不能通航.设B(2，y)，故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2 m时，木船开始不能通航.12341.已知抛物线的准线方程为x7，则抛物线的标准方程为()A.x228y B.y228xC.y228x D.x228y1234解析抛物线开口向右，方程为y22px (p0)的形式，方程为y228x.答案B2.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线上，则抛物线方程为()A.y28x B.y24xC.y22x D.y28x12
8、341234即为(2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y28x或y28x.答案D12341234解析如图所示，动点P到l2：x1的距离可转化为到点F的距离，由图可知，距离和的最小值，即F到直线l1的距离答案A12341234过A作AA准线l，|AF|AA|，x01.答案C课堂小结1.抛物线的定义中不可忽略条件：点F不在直线l上.2.确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论.为避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y22mx (m0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x22my (m0).
