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1、工程力学A (下)北京理工大学理学院力学系 韩斌 动力学习题解答动力学习题解答动力学习题解答动力学习题解答1 1( (第第第第2020章章章章:20-9,20-12,20-14,20-16):20-9,20-12,20-14,20-16)201习题习题20.9 均质细杆均质细杆OA质量为质量为m,长度为长度为l ,以铰链以铰链A与质量为与质量为m1,半径半径 r 的均质圆盘中心相连的均质圆盘中心相连,不计摩擦不计摩擦,系系统于图示水平位置无初速释放统于图示水平位置无初速释放,求杆求杆OA转至铅垂位置转至铅垂位置时时,杆的角速度杆的角速度,角加速度及角加速度及O处的约束力。处的约束力。解：解：受
2、力分析：受力分析：注意杆与圆盘是铰接，从约束注意杆与圆盘是铰接，从约束条件分析：条件分析：OA杆为定轴转动，杆为定轴转动，盘为一般平面运动。盘为一般平面运动。A画出圆盘受力图画出圆盘受力图圆盘对质心动量矩守恒圆盘对质心动量矩守恒圆盘对质心动量矩守恒圆盘对质心动量矩守恒:圆盘平移圆盘平移圆盘平移圆盘平移！仅重力作功，仅重力作功，机械能守恒机械能守恒机械能守恒机械能守恒：2AOOA以以O点所在平面为势能零点，系统初始静止：点所在平面为势能零点，系统初始静止：()设杆转至铅垂位置时角速度为设杆转至铅垂位置时角速度为 ：3画出铅垂位置系统整体受力图：画出铅垂位置系统整体受力图：AOC对固定点对固定点O
3、的动量矩定理：的动量矩定理：由系统整体的质心运动定理：由系统整体的质心运动定理：4AB杆运动到铅直位置时，杆运动到铅直位置时，ABAB杆瞬时平动杆瞬时平动杆瞬时平动杆瞬时平动，以地面为，以地面为势能零点势能零点, ,则由则由机械能守恒机械能守恒机械能守恒机械能守恒原理原理原理原理： BAl2l解：解：AB习题习题20-12 已知细长杆已知细长杆AB长长2l ，B端置于光滑水平面，端置于光滑水平面，A端系有长端系有长l ，质量不计的柔绳，杆于图示初始位置，质量不计的柔绳，杆于图示初始位置无初速释放。求：绳子运动到铅垂位置时，杆两端无初速释放。求：绳子运动到铅垂位置时，杆两端所受的约束力。所受的约
4、束力。 绳子运动到铅垂时，杆上端受绳的拉力，下端受绳子运动到铅垂时，杆上端受绳的拉力，下端受地面支持力。系统仅有重力作功地面支持力。系统仅有重力作功机械能守恒。机械能守恒。5由由机械能守恒原理机械能守恒原理机械能守恒原理机械能守恒原理： AB得得 对质心的动量矩定理对质心的动量矩定理对质心的动量矩定理对质心的动量矩定理： (1) y y方向质心运动定理方向质心运动定理方向质心运动定理方向质心运动定理： (2) BAl2l注意：对动点注意：对动点A或或B列动量矩定列动量矩定理容易出错！理容易出错！6AB运动学补充方程：运动学补充方程： BAl2l由由A，B两点的加速度关系两点的加速度关系？0 y
5、方向：方向：(3)对质心的动量矩定理对质心的动量矩定理对质心的动量矩定理对质心的动量矩定理： (1) y y方向质心运动定理方向质心运动定理方向质心运动定理方向质心运动定理： (2) 7ABBAl2l几何关系：几何关系： (5) 又又沿沿y方向投影，得：方向投影，得： (4)8BAl2l几何关系：几何关系： (5) (4)(3)运动学补充运动学补充运动学补充运动学补充方程：方程：方程：方程：解得解得： ()()对质心的动量矩定理对质心的动量矩定理对质心的动量矩定理对质心的动量矩定理： (1) y y方向质心运动定理方向质心运动定理方向质心运动定理方向质心运动定理： (2) 9已已知知AB杆杆长
6、长2r，质质量量m；圆圆盘盘半半径径r，质质量量m，初初始始位位置置AC垂垂直直，BAC=45 求求：在在重重力力作作用用下下，初初始始瞬瞬时时位位置置时时和和AB垂垂直直时时，杆杆AB的的角角加加速速度度及及地面对圆盘的约束力。地面对圆盘的约束力。 习题习题20-14Arr BCr10Arr BCr解：解： 1.初始瞬时初始瞬时系统静止：系统静止：对动点对动点C，建动系固连于杆，建动系固连于杆AB ，00？(1)分别取杆和轮为分离体，分别取杆和轮为分离体，画出受力图画出受力图找出找出 ， 之间的之间的运动学关系运动学关系运动学关系运动学关系：设角加速度如图，设角加速度如图，11CrArrB上
7、述上述5 5个方程中，共有个方程中，共有 五个未知量，可解得：五个未知量，可解得： 对杆列对杆列定点定点定点定点A A动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理： (2)对圆盘列对圆盘列对质心的动量矩定理对质心的动量矩定理对质心的动量矩定理对质心的动量矩定理： (3)对圆盘列对圆盘列质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理： (4)(5)(1)运动学关系：运动学关系：122.杆运动到铅垂位置时杆运动到铅垂位置时ArBC几何关系：几何关系：补充补充运动学方程运动学方程运动学方程运动学方程：由：由 (*)(*) 机械能守恒机械能守恒机械能守恒机械能守恒：取取C点为势能零点。点为势能零点。13
8、ArBC机械能守恒机械能守恒机械能守恒机械能守恒：取取C点为势能零点点为势能零点几何关系：几何关系：(*)(*) ()(6)14ArBC在水平方向投影：在水平方向投影： (*)(*)(7)当杆运动到铅垂位置时当杆运动到铅垂位置时 ，分别画出，分别画出杆和轮的受力图。杆和轮的受力图。对动点对动点C，建动系固连于杆，建动系固连于杆AB ，15ABC对杆：对杆：对定点对定点对定点对定点A A列动量矩定理列动量矩定理列动量矩定理列动量矩定理： (8) 对圆轮：对圆轮：对质心对质心对质心对质心C C列动量矩定理列动量矩定理列动量矩定理列动量矩定理： (9) 对对圆轮列质心运动定理圆轮列质心运动定理圆轮列
9、质心运动定理圆轮列质心运动定理： (10) (11) (7)联立求解（联立求解（7）（11）16ABC解得：解得：负号表示负号表示()()()()17习题习题20-16 已已知知：圆圆盘盘直直径径D=l ，杆杆长长为为l ，质质量量均均为为m。悬悬挂挂后杆端后杆端B突然受一水平向右冲击力突然受一水平向右冲击力F。FABC解：初始静止，解：初始静止，分别以圆盘和分别以圆盘和杆为分离体画杆为分离体画出受力图。出受力图。OABCF 求：该瞬时圆盘求：该瞬时圆盘和杆的角加速度和杆的角加速度 。18对圆盘，对固定对圆盘，对固定对圆盘，对固定对圆盘，对固定点点点点OO应用动量矩定理：应用动量矩定理：应用动
10、量矩定理：应用动量矩定理： 对杆，对质心对杆，对质心对杆，对质心对杆，对质心C C应用动量矩定理：应用动量矩定理：应用动量矩定理：应用动量矩定理： (2) (3) 杆的水平方向质心运动定理：杆的水平方向质心运动定理：杆的水平方向质心运动定理：杆的水平方向质心运动定理： (1) OABCF（1）（3）中有）中有4个未知量：个未知量：，(1)，(2)两式得：两式得： 考虑到考虑到 (4) 注意：对动点注意：对动点A列动量矩定理列动量矩定理容易出错！容易出错！19ABC运动学补充条件运动学补充条件运动学补充条件运动学补充条件： 初始瞬时，初始瞬时， , ,故故 (5)在在 x 方向投影：方向投影：解
11、式（解式（6）和（）和（4）得：）得： 代入代入(3)并利用并利用(1)得得:(6) ()()(3) (4) (1) 20七、动力学基本定理的综合应用小结七、动力学基本定理的综合应用小结动力学基本定理包括：动能定理，动量定理动力学基本定理包括：动能定理，动量定理(质心运质心运动定理动定理)，动量矩定理及相应的守恒定律。，动量矩定理及相应的守恒定律。动量定理动量定理质心运动定理质心运动定理对定点对定点O或质心或质心C的动量矩定理的动量矩定理:(单个刚体在其质量对称单个刚体在其质量对称面内作一般平面运动时面内作一般平面运动时)动能定理动能定理21第第第第19,2019,20章重点：章重点：章重点：
12、章重点：1.刚体系统在任意时刻的动能、动量及对某点的动刚体系统在任意时刻的动能、动量及对某点的动量矩的计算量矩的计算;难点：难点：难点：难点：1.针对具体问题针对具体问题,选择适当的求解思路和定理选择适当的求解思路和定理,使求使求解过程尽量简洁解过程尽量简洁;解题指导：解题指导：解题指导：解题指导：1.各基本物理量各基本物理量(包括转动惯量、动能、动量、动量矩包括转动惯量、动能、动量、动量矩等等)要概念清楚，能正确地进行计算。要概念清楚，能正确地进行计算。2.综合应用基本定理综合应用基本定理(特别是各守恒定律特别是各守恒定律特别是各守恒定律特别是各守恒定律)求解平面求解平面运动的刚体系统的动力
13、学问题运动的刚体系统的动力学问题(特别是求解速度特别是求解速度,角角速度及作功的力等量速度及作功的力等量)。2.找出运动学补充条件。找出运动学补充条件。222.深刻理解各基本定理的特点，根据所求解的深刻理解各基本定理的特点，根据所求解的具体问题，适当选用定理。具体问题，适当选用定理。动能定理动能定理标量方程标量方程,仅可求未知量大小仅可求未知量大小,仅用动能定理只能求解一个未知量仅用动能定理只能求解一个未知量仅与作功的力有关（作功的有外仅与作功的力有关（作功的有外力也可有内力）力也可有内力）动量定理动量定理质心运动定理质心运动定理矢量方程（可列投影方程），可求未知量大小矢量方程（可列投影方程）
14、，可求未知量大小和方向和方向只与外力系的主矢有关只与外力系的主矢有关23动量矩定理动量矩定理本质为矢量方程，但对作平面运动的研究对象本质为矢量方程，但对作平面运动的研究对象为一标量方程为一标量方程矩心选固定点或刚体的质心矩心选固定点或刚体的质心矩心选固定点或刚体的质心矩心选固定点或刚体的质心, ,方程形式才最简单方程形式才最简单方程形式才最简单方程形式才最简单机械能守恒机械能守恒,动量守恒动量守恒,质心运动守恒质心运动守恒,动量矩守恒动量矩守恒各有其成立的条件各有其成立的条件,可方便地求解系统运动状态可方便地求解系统运动状态(速速度度,角速度角速度,位移位移)3.选用定理的基本原则选用定理的基
15、本原则(1)正确分析系统的受力正确分析系统的受力,首先判断是否满足某个守恒定首先判断是否满足某个守恒定律律(及是否在某投影轴上满足守恒定律及是否在某投影轴上满足守恒定律),根据相应守恒根据相应守恒定律求出未知运动学量定律求出未知运动学量(速度、角速度或位移等速度、角速度或位移等)。24(2)求约束力的问题求约束力的问题,一般不能选用动能定理一般不能选用动能定理(理想约理想约束力不作功束力不作功),可用其他几个定理。可用其他几个定理。(3)单自由度系统：速度单自由度系统：速度(或角速度或角速度)和加速度和加速度(或角加或角加速度速度)可用动能定理的积分和微分形式求；进一步可用动能定理的积分和微分
16、形式求；进一步求约束力可用其他定理。求约束力可用其他定理。(4)若求加速度或角加速度：对质点系可用动量或质若求加速度或角加速度：对质点系可用动量或质心运动定理；对单个定轴转动刚体，可用对转轴的心运动定理；对单个定轴转动刚体，可用对转轴的动量矩定理；对单个一般平面运动刚体，可同时选动量矩定理；对单个一般平面运动刚体，可同时选用质心运动定理和对质心的动量矩定理。用质心运动定理和对质心的动量矩定理。25(5)研究对象的选取：单自由度系统用动能定理时或研究对象的选取：单自由度系统用动能定理时或不需求系统内部相互作用力时，可选整体为研究对象；不需求系统内部相互作用力时，可选整体为研究对象；求系统内部的相
17、互作用力时，可切取适当分离体为研求系统内部的相互作用力时，可切取适当分离体为研究对象。究对象。(7)对于刚体系统，求解时首先分析清楚各刚体的运动对于刚体系统，求解时首先分析清楚各刚体的运动状态状态(平移、定轴转动、一般平面运动平移、定轴转动、一般平面运动)。(8)注意题中给出的系统在某特殊时刻的运动学条件注意题中给出的系统在某特殊时刻的运动学条件(如如:从静止释放从静止释放,突然剪断突然剪断)。(6)列动力学基本定理的方程时列动力学基本定理的方程时,常涉及多个运动学量常涉及多个运动学量(如如某点速度、加速度某点速度、加速度,某刚体的角速度、角加速度某刚体的角速度、角加速度)，需要，需要列出列出
18、运动学补充方程运动学补充方程运动学补充方程运动学补充方程(如利用两点速度关系、两点加速如利用两点速度关系、两点加速度关系，速度合成关系、加速度合成关系度关系，速度合成关系、加速度合成关系,角速度合成角速度合成关系、角加速度合成关系等关系、角加速度合成关系等)；有时还需补充力的某些；有时还需补充力的某些条件条件(如静摩擦力的物理条件如静摩擦力的物理条件 )。26图示均质细杆图示均质细杆AB质量为质量为m,长为长为L,其其B端与光滑水平端与光滑水平面接触面接触,初始时杆与铅垂线的夹角为初始时杆与铅垂线的夹角为 。试求杆无初。试求杆无初速度释放的瞬间速度释放的瞬间,水平面对杆的约束力。水平面对杆的约
19、束力。yxo 对杆进行受力分析：对杆进行受力分析： 建立图示直角坐标系建立图示直角坐标系 解解:CBA杆受重力和地面支持力，杆受重力和地面支持力，由于由于 ，且初始，且初始根据根据质心运动守恒质心运动守恒质心运动守恒质心运动守恒，有，有(1)即质心沿铅垂线运动：即质心沿铅垂线运动：杆无初杆无初杆无初杆无初速度释放速度释放速度释放速度释放例例 题题 D-1819 -20 19 -20 动能定理动能定理 动量原理动量原理 27(4)对时间求导：对时间求导：(1)将初瞬时将初瞬时 ,代入得初瞬时质心代入得初瞬时质心y方向加速度：方向加速度：(2)由由质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理：yxoCBA(3)对质心对质心对质心对质心C C的动量矩定理的动量矩定理的动量矩定理的动量矩定理例例 题题 D-1819 -20 19 -20 动能定理动能定理 动量原理动量原理 28yxoCBA 联立联立 (2)(3)(4)解得：解得：(2)(3)(4)()()例例 题题 D-1819 -20 19 -20 动能定理动能定理 动量原理动量原理 29个人观点供参考，欢迎讨论
