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1、1.21.2收敛数列的性质收敛数列的性质 定理定理2.12.1 ( (唯一性唯一性) ) 若数列收敛若数列收敛, , 则其极限唯则其极限唯一.证证由定义由定义,一、一、 收敛数列的基本性质收敛数列的基本性质故极限唯一故极限唯一.例如例如,有界有界无界相相应的的, 可以可以给出有界和有出有界和有下界下界的定的定义定义定义2.12.1 ( (数列有界的定义数列有界的定义) )若存在一个实数若存在一个实数M M，对数列所有的项都满足对数列所有的项都满足, 一个数列即有上界又有下界一个数列即有上界又有下界, 则称称为有界数列有界数列.定理定理2.22.2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证
2、由定义由定义,注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .定理定理2.32.3 几何解释几何解释几何解释几何解释证明证明 注注定理定理2.4二、二、 极限的四则运算极限的四则运算证证例例1 1解例例2 2解解例例3 3 计算计算.解解 由于三、 夹逼定理证证定理定理2.52.5上两式同时成立上两式同时成立,例例5 5解解由夹逼定理得由夹逼定理得例例6 6证证例例7 7. .则则证明：由夹逼定理，由夹逼定理，由不等式一子数列也收敛于一子数列也收敛于 .定理定理2.62.6 如果数列如果数列收敛于收敛于，那么它的任，那么它的任定
3、义定义2.22.2： 在数列 中按照先后次序任意抽取中按照先后次序任意抽取无限多项，这样得到的一个数列无限多项，这样得到的一个数列 称为称为 原数列的原数列的子数列子数列，简称简称子列子列.四、子列极限取取则当则当，证证设设是数列是数列的任一子列，由的任一子列，由故对于任意给定的正数故对于任意给定的正数存在着正整数存在着正整数当当时时，成立。成立。.结论得证.,五、 无穷小定义定义2.32.3： 定理定理2.72.7 综合举例综合举例例例1 1.证明：证明：例2证明证明证明：由例11 1、收敛数列的性质、收敛数列的性质: : 唯一性、有界性、不等式性质唯一性、有界性、不等式性质2 2、极限的四则运算、极限的四则运算5 5、无穷小、无穷小3、夹逼准则逼准则 ( (两边夹法则两边夹法则) )4 4、子列极限、子列极限六、小结六、小结
