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1、第四节第四节 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系基础梳理基础梳理1. 直线与圆的位置关系（1）直线与圆相交，有 公共点；（2）直线与圆相切，只有 公共点；（3）直线与圆相离， 公共点.2. 直线与圆的位置关系的判断方法直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0)与圆（x-a）2+(y-b)2=r2(r0)的位置关系的判断方法有：两个一个没有（1）几何方法 圆心（a,b）到直线Ax+By+C=0的距离为d, 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离.（2）代数方法由 Ax+By+C=0, (x-a)2+(y-b)2=r2消元，得到的一元二次方程的判别式为，则 直线与圆相交； 直线与圆相切；
2、 直线与圆相离.dr0=003. 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含.4. 弦长问题圆的弦长的计算：常用弦心距d,弦长一半 a及圆的半径r所构成的直角三角形来解：r2= a2+d2.典例分析典例分析题型一题型一 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系已知圆 (mR).(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；（2）与l平行的直线中，哪些与圆分别相交、相切、相离？分析（1）用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求圆心坐标，消去m.(2)比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.解（1）证明：配方得 设圆心为（x,y），则 ,消去m，得l：x-3y-3=0,则不
3、论m为何值，圆心恒在直线l:x-3y-3=0上.(2)设与l平行的直线是 :x-3y+b=0,则圆心到直线 的距离为 学后反思 判断直线与圆的位置关系一般有两种方法：（1）代数法：将直线方程与圆的方程联立，由所得一元二次方程根的判别式来判断.（2）几何法：确定圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离与圆半径的大小关系来判断.实际应用中“几何法”要优于“代数法”.圆的半径为r=5,当dr,即 或 时，直线与圆相离.举一反三举一反三1. (2008安徽）若过点A(4,0)的直线l与圆 有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.解析: 因为点A(4,0)在圆外，所以斜率必存在.设经过该点的直线方程为kx-y
4、-4k=0,所以有 ,解得 题型二题型二 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系【例2】已知圆C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,试就m的取值讨论两圆的位置关系.分析 先把两圆的方程化为标准方程，再求两圆的圆心距d，判断d与R+r,R-r的关系.解 圆C1:(x-m)2+（y+2）2=9,圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4.两圆的圆心距C1C2=(m+1)2+(m+2)2,r1=3,r2=2.(1)当C1C2=r1+r2,即(m+1)2+(m+2)2=5,解得m=-5或m=2,故m=-5或m=2时，两圆外切；（2）当C1C2=r1-r2,
5、即（m+1）2+(m+2)2=1,解得m=-2或m=-1,故m=-2或m=-1时，两圆内切；（3）当r1-r2C1C2r1+r2,即-5m-2或-1mr1+r2，即m2时，两圆外离；（5）当C1C2r1-r2,即-2m-1时，两圆内含.学后反思 在讨论两圆的位置关系时，一般根据其关系的判定条件，即圆心距与两圆半径之间的和差关系来判断.举一反三举一反三2. 已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.求:（1）m取何值时，两圆外切？（2）m取何值时，两圆内切？解析: 将两圆分别化为标准方程圆C1:(x-1)2+(y-3)2=11,圆C2:(x-5)2+(y-6)2
6、=61-m.两圆圆心距C1C2= ，r1= ,r2= .（1）当C1C2=r1+r2,即 + =5时,解得m=25+10 ,故m=25+10 时，两圆外切.(2)当C1C2=|r1-r2|,即| - |=5时,解得m=25+10 或m=25-10 .由（1）知m=25+10 ,两圆外切,故m=25-10 时,两圆内切.题型三题型三 圆的切线及弦长问题圆的切线及弦长问题【例3】已知点P（0,5）及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0.(1)若直线l过P且被圆C截得的线段长为 ,求l的方程.（2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.分析 （1）可以用代数法将直线l的斜率k设出（优先考虑斜率不存
7、在的情况），写出直线方程，并将其代入圆C的方程，然后运用弦长公式d= |x1-x2|来解决；也可以用几何法设出直线l方程：y-5=kx,首先注意斜率不存在情况，运用圆心到直线的距离，圆半径和一半弦长构成直角三角形来解决.（2）中点弦问题，可以考虑“代点作差法”，也可以利用“垂直于弦的直径平分弦”这一几何特征来求解.解 (1)方法一：如图所示，AB= ,D是AB中点，CDAB,AD= ,AC=4,在RtACD中，可得CD=2.设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.由点C到直线AB的距离公式: ,得k= .又直线l的斜率不存在时也满足题意，此时方程为x=0.当k=
8、时,直线l的方程为3x-4y+20=0.所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.方法二：设所求直线的斜率为k,则直线l的方程为y-5=kx,即y=kx+5,联立直线与圆的方程 y=kx+5, x2+y2+4x-12y+24=0,消去y，得(1+k2)x2+(4-2k)x-11=0.设方程的两根为x1,x2,由韦达定理,得 x1+x2= , x1x2= .由弦长公式,得 |x1-x2|=将式代入，解得k= ，此时直线方程为3x-4y+20=0.又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x=0.所求直线方程为x=0或3x-4y+20=0.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y)，则CDPD,
9、即CDPD=0,(x+2,y-6)(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.学后反思 （1）直线与圆的相交问题，往往用垂径定理解决问题，即圆心距d,圆半径，半弦长l2,三者满足勾股定理来解决.（2）在研究与弦的中点有关的问题时，注意运用“平方差法”，即设弦AB两端点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，中点为(x0,y0)，由 x12+y12=r2, x22+y22=r2 得该方法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题.（3）OAOB(O为原点)可转化为x1x2+y1y2=0,再结合根与系数的关系等代数方法简化运算过程，这在解决垂直关系问题中是常
10、见的.举一反三举一反三3. (2009陕西改编)过原点且倾斜角为60的直线被圆 所截得的弦长为.解析: ,即 ,则圆心A(0,2),OA=2,画图易知,所求弦长为22cos 30= 答案： 题型四题型四 简单的简单的“圆系方程圆系方程”的应用的应用【例4】(14分)求过直线2x+y+4=0与圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点，且过原点的圆的方程.分析 可用待定系数法，由两交点坐标和过原点的条件，求出待定系数，也可用圆系方程求经过两圆交点的圆的方程.解 方法一：由 x2+y2+2x-4y+1=0, 2x+y+4=0,.2解得交点坐标分别为A(-3,2),B( , )4设所求圆的方程为x2+y
11、2+Dx+Ey+F=0,.6由题意得 F=0, 9+4-3D+2E+F=0, + D+ E+F=0, .8解得D= ,E= ,F=012所求圆的方程为x2+y2+ x y=0. 14方法二：设所求圆的方程为x2+y2+2x-4y+1+(2x+y+4)=0, 3即x2+y2+2(1+)x+(-4)y+(1+4)=0. 6此圆过原点，1+4=0,即= . 10所求圆的方程为x2+y2+ x y=0. .14学后反思 此类问题利用方法一计算量较大，而利用圆系方程，则因为避免了解方程组而相对简单，但在化简一般形式时一定要细心.举一反三举一反三4. 求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1
12、=0的交点且面积最小的圆的方程.解析： 设所求圆的方程为x2+y2+2x-4y+1+(2x+y+4)=0,即x2+y2+2(1+)x+(-4)y+(1+4)=0.方法一：当半径最小时，圆面积也最小，对左边配方，得x+(1+)2+(y+ )2= + .所以当= 时，此圆面积最小，故满足条件的圆的方程为(x+ )2+(y- )2= .方法二：当圆心在直线2x+y+4=0上时，圆面积最小.易求得圆心坐标为(-1-， ),代入直线方程，得-2(1+) +4=0,解得= ，所以当= 时，此圆面积最小.故满足条件圆的方程为x2+y2+ x- y+ =0.易错警示易错警示【例】求过A(3,5)且与圆C: 相
13、切的直线方程.错解 设所求直线l的斜率为k，方程为y-5=k(x-3)，即kx-y+5-3k=0.已知圆C的圆心（2，2），r=1,则圆心到l的距离为 ,即 错解分析 过圆外一点的圆的切线有两条，若求出k值唯一，应补上与x轴垂直的那一条,错解中漏掉了斜率不存在的情况. ，解得k=43.所求直线方程为 ,即4x-3y+3=0.正解（1）若所求直线斜率存在,设其为k,方法同错解，得k= ,即方程为4x-3y+3=0;(2)若所求直线斜率不存在，则l的方程为x=3,经验证其与圆C相切.综上,所求切线方程为x=3或4x-3y+3=0.考点演练考点演练10. (2008重庆)直线l与圆 (a3)相交于A
14、,B两点,弦AB的中点为(0,1),求直线l的方程.解析: 圆心坐标C(-1,2),弦AB的中点D为(0，1), ,由平面几何性质，知直线l垂直于CD， ，即直线l的方程为x-y+1=0.11.求与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的、半径最小的圆的标准方程.解析： 如图所示，圆A：（x-6）2+(y-6)2=18,A(6,6),半径r1= .由图可知，当圆心B在过点A与直线l垂直的直线上时，圆的半径最小.点A到l的距离为 ,所求圆B的直径2r2= ,即r2= .又OB=OA-r2-r1= ,且OA与x轴正半轴成角45,B(2,2).所求圆的标准方程为（x-2）
15、2+(y-2)2=2.12. 直线l经过点P(5,5),其斜率为k(kR)，l与圆 相交，交点分别为A,B.(1)若AB= ,求k的值；（2）若AB ,求k的取值范围;(3)若OAOB(O为坐标原点)，求k的值.解析： 直线l的方程为:y-5=k(x-5),即kx-y+5(1-k)=0.设圆 的圆心O到l的距离为d,则 AB=2 .(1)AB= , ,解得 或k=2(2)AB , ,即 两边平方，得 ,k7或 (3)OAOB,OAB为等腰直角三角形, 即 ,解得 或 第三节第三节 等比数列等比数列基础梳理基础梳理1. 等比数列的定义一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于
16、同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比，通常用字母q表示.2. 等比数列的通项公式一般地，对于等比数列an的第n项an,有公式an= a1qn-1 ,这就是等比数列an的通项公式，其中a1为首项，q为公比.3. 等比中项如果 a,G,b成等比数列 ，那么G叫做a与b的 等比中项.4. 等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an=am qn-m (n,mN*).(2)若an为等比数列，且k+l=m+n(k、l、m、nN*),则 akal= aman.(3)若an,bn（项数相同）是等比数列，则 (bn0)仍是等比数列. 5. 等比数列的前n项和公式等比数列an的公比
17、为q(q0),其前n项和为Sn，当q=1时，Sn=na1;当q1时，Sn= a1+a1q+a1qn-1，即6. 等比数列前n项和的性质等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列.题型一题型一 等比数列的基本运算等比数列的基本运算【例1】设等比数列an的公比为q(q0)，它的前n项和为40,前2n项和为3 280,且前n项中数值最大项为27,求数列的第2n项.分析 利用前n项和公式列出关于a1与q的方程组，求出a1与q即可，但是需注意的是应分q=1和q1两种情况讨论.解若q=1，则na1=40,2na1=3 280，矛盾. 得1+qn=82,qn=81.将代入
18、，得q=1+2a1.又q0,qn=81,q1,an为递增数列.an=a1qn-1=27.由、得q=3,a1=1,n=4.a2n=a8=137=2 187. 学后反思 在等比数列求基本量的运算中“知三求二”问题通常是利用通项公式与前n项和公式建立方程(组)，解之即可，同时利用前n项和公式时需对q进行讨论.解析: a9+a10=a,a9(1+q)=a,又a19+a20=b,a19(1+q)=b,由 得则a99(1+q)=x,由 得答案: 举一反三举一反三1.(2009潍坊模拟)在等比数列 中, (a0), 则 =_.题型二题型二 等比数列的判定等比数列的判定【例2】已知数列an满足a1=1,an+
19、1=2an+1(nN*).(1)求证：数列an+1是等比数列;(2)求通项公式an.分析利用等比数列的定义证明 为非零常数即可.解 (1)an+1=2an+1,an+1+1=2(an+1) an+1是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列.(2)由（1）知an+1=22n-1=2n,an=2n-1.学后反思 等比数列的判定方法主要有：(1)定义法: (q是不为0的常数，nN*)；(2)通项公式法：an=cqn(c,q均是不为0的常数，nN*); (3)中项公式法：a2n+1=anan+2(anan+1an+2不为零，nN*); (4)前n项和公式法： 是常数，且q0,q1).举一反三举一反三
20、2. (2010合肥质检)已知数列 的前n项和为 ,数列 是公比为2的等比数列.求证：数列 成等比数列的充要条件是 证明：数列 是公比为2的等比数列, 即 ,n=1, n=1 ,n2, n2显然，当n2时， 充分性:当 时， ,所以对nN*,都有 ,即数列 是等比数列.必要性:因为 是等比数列，所以 ,即 ,解得 题型三题型三 等比数列的性质等比数列的性质【例3】(1)在等比数列an中，a1+a2=324,a3+a4=36,求a5+a6的值；(2)已知一个等比数列的前四项之积为 ,第2、3项的和为 ,求这个等比数列的公比.分析(1)利用等比数列的性质求解.（2）注意4个数成等比数列的设法.解（
21、1）由等比数列的性质,知a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列，则(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6),a5+a6=4.(2)依题意，设这四个数为a,aq,aq2,aq3,则学后反思在等比数列的基本运算问题中，一般是建立a1、q满足的方程组，求解方程组，但如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题速度，要注意挖掘已知，注意“隐含条件”.举一反三举一反三3. (1)在等比数列an中，S4=1,S8=3,求a17+a18+a19+a20的值.(2)在等比数列an中，已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.解析：（1）S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12
22、,S20-S16成等比数列，而S4=1，S8-S4=2，a17+a18+a19+a20=S424=124=16.（）a3a5=a24,a3a4a5=a34=8,a4=2.又a2a6=a3a5=a24, a2a3a4a5a6 =32 题型四题型四 等比数列的最值问题等比数列的最值问题【例4】(14分)等比数列an的首项为a1=2 008，公比.(1)设f(n)表示该数列的前n项的积，求f(n)的表达式; (2)当n取何值时，f(n)有最大值？分析（1）求出等比数列的通项公式an，然后根据f(n)=a1a2a3an求f(n)的表达式.（2）先判断f(n)的符号，然后根据|f(n)|的单调性，进一步
23、解决问题.解当n=12时，f(n)有最大值为学后反思 只要明确a1的正负，q与1的大小关系即可确定等比数列的前n项和,但是对于求等比数列前n项和的最值问题的方法有:一是用定义，若f(n)f(n+1),f(n)f(n-1)，则f(n)为最大值；二是用函数法.举一反三举一反三4. （2009潍坊模拟）已知等比数列bn与数列an满足bn= （nN*）.(1)判断an是何种数列，并给出证明；(2)若a8+a13=m,求b1b2b20;(3)若b3b5=39,a4+a6=3,求b1b2bn的最大或最小值.解析:(1)证明:设bn的公比为q,bn=3an,3a1qn-1=3an.an=a1+(n-1)lo
24、g3q,an是以a1为首项，log3q为公差的等差数列.（2）a8+a13=m,由等差数列的性质，得a1+a20=a8+a13=m.(3)由b3b5=39,得a3+a5=9.易错警示易错警示【例1】(2010临沂质检)已知数列 中， ,前n项的和为 ,对任意的自然数n2， 是 与 的等差中项.（1）求 的通项公式;(2)求 错解(1)由已知得 ,又 ,得 , 两式相减得 ,故 ,又 ,故 (2)由于 是首项为1，公比为 的等比数列，故 错解分析 错解(1)主要忽视了 成立的前提n2,只能说明数列从第2项起为等比数列，至于整个数列an是否为等比数列还需验证 是否等于 ，这种在解答过程中忽视数列“
25、定义域”限制而致错的题目频率是非常高的，应引起足够的重视.正解(1)由已知，当n2时， .又 ,由、得 (n2), 上两式相减得 , 成等比数列，其中 ,即 , ,当n2时， 即 ,n=1 （2）当n2时， 当n=1时， 也符合上述公式.【例2】已知一个等比数列的前四项之积为116,第2项、第3项的和为2,求这个等比数列的公比 错解依题意，设这四个数为 , ,aq, ,则 , ,由得 ,代入并整理，得 解得 或 故原等比数列的公比为 或 错解分析从表面上看，这种解法正确无误，但认真审查整个解题过程，由于设这四个数为 , ,aq,aq2,公比为q2,就等于规定了这个等比数列各项要么同正，要么同负
26、，而例题中无此规定，错误就出在这里.正解依题意，设这四个数为a,aq,aq2,aq3,则 解得 或 考点演练考点演练10. 各项均为正数的等比数列 的前n项和为 ，若 , ,求 解析：由等比数列性质得， , , , 成等比数列，则 由 得 ,又 解得 11. (2010惠州模拟)设正项等比数列 的前n项和为 ,已知 , (1)求首项 和公比q的值；（2）若 ，求n的值.解析 (1) ,解得 (2)由 ,得 n=10.12. (2009全国)设数列 的前n项和为 ,已知 , (1)设 ,证明数列 是等比数列；（2）求数列 的通项公式.解析： (1)由 及 ,得 ,即 , ,当n2时， .-得 = , 又 , 是首项为 ,公比为q=2的等比数列.（2）由(1)可得 =3 , 数列 是首项为 ,公差为 的等差数列, ,即
