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1、数学史校级公选课程1第三讲 中世纪的中国数学中世纪数学的主角，是中国、印度和阿拉伯地区的数学。与希腊数学相比，中世纪的东方数学表现出强烈的算法精神，特别是中国与印度数学，着重算法的概括，不讲究命题的形式推导。所谓“算法”，不只是单纯的计算，而是为了解决一整类实际或科学问题而概括出来的、带一般性的计算方法。2019年9月2中世纪的中国数学第三讲 中世纪的中国数学本讲介绍中国古代数学史。就繁荣时期而言，中国数学在上述三个地区中是延续最长的。从公元前后至公元14世纪，先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期以及宋元时期，其中宋元时期达到了中国古典数学的顶峰。2019年9月3中世纪的中国数学
2、第三讲 中世纪的中国数学周髀算经与九章算术古代背景周髀算经九章算术从刘徽到祖冲之刘徽的数学成就祖冲之与祖暅算经十书宋元数学从“贾宪三角”到“正负开方”术中国剩余定理内插法与垛积数“天元术”与“四元术”2019年9月4中世纪的中国数学3.1 周髀算经与九章算术古代背景古代世本中提到黄帝使“隶首作算术”，但这只是传说。无论如何，殷商甲骨文中已经使用完整的十进制记数。至迟到春秋战国时期，又开始出现严格的十进位值制筹算记数。关于几何学，史记“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左规矩，右准绳”。从战国时代的著作考工记中也可以看到与手工业制作有关的实用几何知识。战国诸子百家，与希腊雅典学派时代相当。其中的“墨家
3、”与“名家”，其著作包含有理论数学的萌芽。2019年9月5中世纪的中国数学3.1 周髀算经与九章算术古代背景墨经（约公元前4世纪）提出了一系列数学逻辑的抽象定义：l点：“端，体之无厚而最前者也”；l直线：“直，参也”；l圆：“圜，一中同长也”；l正方形：“方，柱隅四佑也”；l平行：“平，同高也”；l体积：“厚，有所大也”。2019年9月6中世纪的中国数学3.1 周髀算经与九章算术古代背景庄子中记载名家辩论哲学的名辩，也可以从数学的意义上去理解：l矩不方，规不可以为圆；l飞鸟之影未尝动也；l一尺之棰，日取其半，万世不竭2019年9月7中世纪的中国数学3.1 周髀算经与九章算术周髀算经在现存的中国
4、古代数学著作中，周髀算经是最早的一部。周髀算经作者不祥，成书年代据考应不晚于公元前2世纪西汉时期。这部著作实际上是从数学上讨论“盖天说”宇宙模型，反映了中国古代数学与天文学的密切联系。从数学看，周髀算经主要的成就是分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用，其中关于勾股定理的论述最为突出。2019年9月8中世纪的中国数学3.1 周髀算经与九章算术周髀算经周髀算经卷上记载西周开国时期周公与大夫商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到“勾广三，股修四，径隅五”，这是勾股定理的特例。卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：“以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之
5、，得邪至日。”2019年9月9中世纪的中国数学3.1 周髀算经与九章算术中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家，是公元3世纪三国时期的赵爽。赵爽注周髀算经，作“勾股圆方图”，其中的“弦图”，相当于运用面积的出入相补证明了勾股定理。2019年9月10中世纪的中国数学3.1 周髀算经与九章算术九章算术九章算术是中国古典数学最重要的著作。是从先秦至西汉中叶的长时期里众多学者编纂、修改而成的一部数学著作。采用问题集的形式，全书246个问题，分成九章，依次为：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。2019年9月11中世纪的中国数学3.1 周髀算经与九章算术2019年9月12中世纪的中
6、国数学3.1 周髀算经与九章算术九章算术1、算术方面分数四则运算法则。“方田”章给出了完整的分数加、减、乘、除以及约分和通分运算法则。比例算法。提出“今有术”作为解决各类比例问题的基本算法。设从比例关系 求x。盈不足术。“盈不足”术是以盈亏类问题为原型，通过两次假设来求繁难算术问题的解的方法。九章算术中典型的盈亏类问题如：“今有共买物，人出八盈三；人出七不足四。问人数、物价各几何？”“盈不足术”在中世纪阿拉伯数学著作中称为“契丹算法”，即中国算法。13世纪意大利数学家斐波那契算经一书也有一章讲“契丹算法。”2019年9月13中世纪的中国数学3.1 周髀算经与九章算术九章算术2、代数方面九章算术
7、在代数方面的成就是具有世界意义的。方程术。“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”2019年9月14中世纪的中国数学3.1 周髀算经与九章算术九章算术正负术。九章算术在代数方面的另一项突出贡献是负数的引进。“同名相除，异名相异，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”“同名”、“异名”即同号、异号；“相益”、“相除”指两数绝对值相加、相减。开方术。“少广”章有“开方术”和“开立方术”，给出了开平方和开立方的算法。2019年9月15中世纪的中国
8、数学3.1 周髀算经与九章算术九章算术3、几何方面九章算术“方田”、“商功”和“勾股”三章处理几何问题。其中“方田”章讨论面积计算，“商功”章讨论体积计算，“勾股”章则是关于勾股定理的应用。几何问题具有很明显的实际背景，如面积问题多与农田测量有关，体积问题则主要涉及工程土方计算。各种几何图形的名称就反映着它们的显示来源。如平面图形有：“方田”（正方形）、“直田”（矩形）、“圭田”（三角形）等等。2019年9月16中世纪的中国数学3.1 周髀算经与九章算术九章算术与欧几里得原本中将代数问题几何化的做法相反，九章算术将几何问题算术化和代数化。九章算术对于它所给出的几何问题的算法，一律没有推导证明，
9、可以说九章算术中的几何部分主要是实用几何。2019年9月17中世纪的中国数学3.2 从刘徽到祖冲之从公元220年东汉分裂，到581年隋朝建立，史称魏晋南北朝。这是中国历史上的动荡时期，但同时也是思想相对活跃的时期。在长期独尊儒学之后，学术界思辩之风再起。在数学上也兴起了论证的趋势，许多研究以注释周髀算经、九章算术的形式出现，实质是要寻求这两部著作中一些重要结论的数学证明。2019年9月18中世纪的中国数学3.2 从刘徽到祖冲之刘徽的数学成就隋书“律历志”中提到“魏陈留王景元四年刘徽注九章”，由此知道刘徽是公元3世纪魏晋时人，并于公元263年（景元四年）撰九章算术注。刘徽数学成就中最突出的是“割
10、圆术”和体积理论。2019年9月19中世纪的中国数学3.2 从刘徽到祖冲之刘徽的数学成就1、割圆术刘徽在九章算术方田章“圆田术”注中，提出割圆术作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础。割圆术的要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并计算逐次得到的正多边形的周长和面积。他指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”2019年9月20中世纪的中国数学3.2 从刘徽到祖冲之刘徽从圆内接正六边形出发，并取半径r为1尺，一直计算到192边形，得出了圆周率的精确到小数后二位的近似值：化成分数为157/50，这就是有名的“徽率”。刘徽是中算
11、史上第一位建立可靠的理论来推算圆周率的数学家。2019年9月21中世纪的中国数学3.2 从刘徽到祖冲之刘徽的数学成就2、体积理论刘徽倾力于面积与体积公式的推证，并取得了超越时代的漂亮结果。其面积、体积理论建立在一条简单而又基本的原理之上，这就是他所谓的“出入相补”原理：一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后，面积或体积的总和保持不变。他在推证九章算术中的一些立体体积公式时，灵活地使用了两种无限小方法：极限方法与不可分量方法。如“阳马”体积公式与球体积公式。刘徽在九章算术“勾股”章之后所加的一整篇文字，作为九章算术注第十卷，后来单独刊行，称为海岛算经。2019年9月22中世纪的中国数学
12、3.2 从刘徽到祖冲之祖冲之与祖暅刘徽的数学思想和方法，到南北朝时期（公元420589）被祖冲之和他的儿子祖暅推进和发展了。祖冲之（公元429500）活跃于南朝宋、齐两代，出生于历法世家，本人做过南徐州（今镇江）从事史和公府参军，都是地位不高的小官，但他却成为历代为数很少能名列正史的数学家之一。祖冲之在公元462年创制了一部历法大明历，在当时是最先进的历法。南齐书祖冲之传“注九章，造缀术数十篇”，但缀术也未能流传下来。2019年9月23中世纪的中国数学3.2 从刘徽到祖冲之2019年9月24中世纪的中国数学3.2 从刘徽到祖冲之祖冲之与祖暅1、圆周率隋书律历志说：“祖冲之更开密法，以圆径一亿为
13、一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，肭数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈肭二限之间”。即按刘徽割圆术从正六边形出发连续计算到正24576边形时，恰好可以得到祖冲之的结果。2019年9月25中世纪的中国数学3.2 从刘徽到祖冲之祖冲之与祖暅隋书律历志还记载了祖冲之在圆周率计算方面的另一项重要结果：“密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五；约率：圆径七，圆周二十二”。在现代数论中，如果将圆周率表示成连分数，其渐进分数是：2019年9月26中世纪的中国数学3.2 从刘徽到祖冲之祖冲之与祖暅2、祖氏原理与球体积曾使刘徽绞尽脑汁的球体积问题，到祖冲之时代终于得以解决。这一成就被记录在
14、九章算术“开立圆术”李淳风注中，李淳风是唐代数学家，他在注文中将球体积的正确解法称为“祖暅之开立圆术”。这是中国数学史上第一次获得的正确的球体积公式。2019年9月27中世纪的中国数学3.2 从刘徽到祖冲之算经十书大唐盛世，是中国封建社会最繁荣的时代，可是在数学方面，整个唐代却没有产生出能够与其前的魏晋南北朝和其后的宋元时期相媲美的数学大家。隋唐时期中国数学发展的两件大事是数学教育制度的建立和数学典籍的整理。唐代不仅沿袭了“算学”制度，而且还在科举考试中开设了数学科目，叫“明算科”，考试及第者也可做官，不过只授予最低官阶。2019年9月28中世纪的中国数学3.2 从刘徽到祖冲之算经十书唐高宗亲
15、自下令对以前的十部数学著作进行注疏整理。受诏负责这项工作的是李淳风，公元656年编成以后，成为国学的标准数学教科书，称“十部算经”或“算经十书”。周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、张邱建算经、夏侯阳算经、五曹算经、五经算经、缀术、辑古算经2019年9月29中世纪的中国数学3.2 从刘徽到祖冲之算经十书张邱建算经和“百鸡问题”张邱建算经三卷，据考大约成书于公元466485年间，卷下最后一题通常称“百鸡问题”：“今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。凡百钱买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何？”2019年9月30中世纪的中国数学3.3 宋元数学“宋元四大家”：杨辉、秦九昭、李冶、朱士
16、杰杨辉2019年9月31中世纪的中国数学3.3 宋元数学从“贾宪三角”到“正负开方”术宋元数学最突出的成就之一，高次方程数值求解，是九章算术开平方和开立方术的继承发展。1、贾宪三角目前有明确记载保留下来的最早的高次开方法是贾宪创造的“增乘开方法”。“开方作法本源”图2019年9月32中世纪的中国数学3.3 宋元数学1、贾宪三角贾宪增乘开方法，是一个非常有效的和高度机械化的算法，可适用于开任意高次方。这种随乘随加、能反复迭代计算减根变换方程各项系数的方法，与现代通用的“霍纳算法”（1819）已基本一致。而与此方法相联系的“贾宪三角”，在西方文献中则称“帕斯卡三角”（1654）。2019年9月33
17、中世纪的中国数学3.3 宋元数学从“贾宪三角”到“正负开方”术2、秦九昭“正负开方术”秦九昭，字道古，四川安岳人，先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官，1261年左右被贬职梅州，不久死于任所。他早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君子受数学”，1247年写成数书九章。数书九章全书18卷，81题，分九大类。2019年9月34中世纪的中国数学3.3 宋元数学内插法与垛积术朱世杰（公元1300前后），自号松庭，寓居燕山，是一位平民数学家和数学教育家，“以数学名家周游湖海二十余年”。朱世杰的代表著作有算学启蒙和四元玉鉴。算学启蒙是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了日本与朝鲜数学的发展。四元玉鉴则是中国宋
18、元数学高峰的又一个标志，其中最突出的数学创造是“招差术”（即高次内插法），“垛积术”（高阶等差级数求和）以及“四元术”（多元高次联立方程组与消元解法）等。2019年9月35中世纪的中国数学3.3 宋元数学“天元术”与“四元术”宋元数学发展中一个最深刻的动向是代数符号化的尝试，这就是“天元术”和“四元术”的发明。1、天元术宋元时期高次方程数值求解技术的发展，必然引起对列方程方法的需求。“天元术”就是在这样的情况下产生的。在传世的宋元数学著作中，首先系统阐述了天元术的是李冶的测圆海镜（1248）和益古演段（1259）两部著作。“立天元一为某某”2019年9月36中世纪的中国数学3.3 宋元数学“天
19、元术”与“四元术”2、四元术在李冶之后，天元术被朱世杰从一个未知数推广到二元、三元及四个不同的未知数。这就是“四元术”。朱世杰四元玉鉴中详细记载了这种列多元高次方程组的方法。四元术以“天”、“地”、“人”、“物”来表示四个不同的未知数。2019年9月37中世纪的中国数学结束语四元玉鉴可以说是宋元数学的绝唱。元末以后，中国传统数学骤转衰落。整个明清两代（13681911），不仅未再产生出能与数书九章、四元玉鉴相媲美的数学杰作，而且在清中叶乾嘉学派重新发掘研究以前，“天元术”、“四元术”这样一些宋元数学的精粹，竟长期失传，无人通晓。明初开始长达三百余年的时期内，除了珠算的发展及与之相关的著作的出现
20、，中国传统数学不仅没有新的创新，反而倒退了。2019年9月38中世纪的中国数学结束语中国古代数学的特征首先是其表现形式，这里主要指数学经典的著作形式。古希腊数学常常采取抽象的公理化的形式，而中国古典数学则是以术文统率例题的形式。其次是关于数学理论的研究。古希腊数学使用演绎推理，使数学知识形成了严谨的公理化体系。长于计算，以算法为中心，是中国古代数学的显著特点。古希腊数学只考虑数和形的性质，而不考虑具体数值。数学理论密切联系实际，是中国古代数学的又一显著特征。2019年9月39中世纪的中国数学结束语中国古算的地位和意义中国古代数学成就辉煌，这已日益得到国人和世界学术界有识之士的承认。我们反对随意
21、拔高古人，制造世界第一的沙文主义作法，同样，我们也反对不顾事实，以希腊数学为唯一模式，贬低中国数学的错误态度，更反对对中国古代数学一无所知，就妄称中国在数学史上教了白卷的民族虚无主义。2019年9月40中世纪的中国数学结束语中国古算的地位和意义从公元前一、二世纪九章算术成书到14世纪初，中国数学的许多领域长期在世界上领先，且整体水平也居于世界前列。中国的算法成就通过各种途径传入西方，对欧洲文艺复兴时期数学的发展起到了不可估量的影响。正式中国算法与古希腊几何学相结合，导致了解析几何学的产生，为常量数学转变为变量数学做出了贡献！2019年9月41中世纪的中国数学课堂练习l中国数学史从公元前后至公元14世纪，先后经历了三次发展高潮，即_、_和_。l在现存的中国古代数学著作中，_是最早的一部。l九章算术采用问题集的形式，全书246个问题，分成九章，依次为_。l刘徽“割圆术”的基本思想是什么？l中国数学史上第一次获得正确的球体积公式是数学家_。l宋元四大家分别是_、_、_和_。2019年9月42中世纪的中国数学
