《学高中数学 1.2余弦定理同步辅导与检测课件 苏教版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学高中数学 1.2余弦定理同步辅导与检测课件 苏教版必修5（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.21.2余弦定理余弦定理解三角形 前节学习正弦定理，可以解决三角形中的两类问题：已知两角及一边，求其余边角；已知两边和其中一边的对角，求其余边角那么在三角形中的其他情况和由三边能否求其余边角？由两边和夹角呢？ABC中，已知边a，b及C.1若C90，则c2_.2若C是锐角，如下图，作ADBC于D，于是AD_sin C，CDb_，BDa_.1a2b22.bcos Cbcos C3若C为钝角，如上图作ADBC，与BC的延长线相交于D，此时AD_sin(C)b_，CDbcos_bcos C.4在ABC中，已知边a、b及C，由c2a2b22abcos C可得cos C_.5结论“三角形任何一边的平方
2、等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍”，称为_6根据cos C 可知，当a2b2钝角余弦定理证明材料中利用几何法通过构造直角三角形，利用勾股定理证明了余弦定理对定理的证明还可通过向量法、解析法等证法二：(解析法)如右图(2)以A点为原点，以ABC的边AB所在直线为x轴，以过A与AB垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则A(0,0)，C(bcos A，bsin A)，B(c,0)，由两点间的距离公式得BC2(bcos Ac)2(bsin A0)2，a2b2cos2A2bccos Ac2b2sin2A，即a2b2c22bccos A.同理可证：b2a2c22accos B，c2a
3、2b22abcos C.证法三：(用正弦定理证明)因为b2Rsin B，c2Rsin C，所以b2c22bccos A4R2(sin2Bsin2C2sin Bsin Ccos A)4R2sin2Bsin2C2sin Bsin Ccos(BC)4R2sin2Bsin2C2sin2Bsin2C2sin Bsin Ccos Bcos C4R2sin2B(1sin2C)sin2C(1sin2B)2sin Bsin Ccos Bcos C4R2(sin2 Bcos2C2sin Bsin Ccos Bcos Csin2 Ccos2B)4R2sin2 (BC)4R2sin2Aa2.同理可证b2a2c22ac
4、cos B，c2a2b22abcos C.余弦定理及其应用内容内容三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍它们夹角的余弦的积的两倍数学表达数学表达式式第一种形式第一种形式a2b2c22bccos A，b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C第二种形式第二种形式(变式变式)：用途用途1.解决两类解三角形问题：解决两类解三角形问题：(1)已知三边，求三角；已知三边，求三角；(2)已知两边及其夹角，求第三边和其他两角已知两边及其夹角，求第三边和其他两角2.判断三角形的形状判断三角形的形状在解
5、三角形问题时，需掌握的三角关系式在ABC中，以下的三角关系式，在解答有关的三角形问题时，经常用到，要记准、记熟、灵活地加以运用ABC；sin(AB)sin C，cos(AB)cos C；已知边角解三角形分析：已知三边，可用余弦定理直接求角，先求出两个角后，再用内角和求第三个角使用余弦定理求角时，一般在判断三条边的大小后，可先求最大角，也可先求最小角，如果最大角小于60，最小角大于60，可知三角形无解变式迁移变式迁移 已知三角形ABC中，b3，c3 ，B30，则a_.名师点评：本题是在已知两边及其中一边对角的条件下解三角形一般情况下，利用正弦定理先求出C，再求A，最后求a，需要讨论如果采用余弦定
6、理来解，只需解一个一元二次方程，即可求得a，比较解法一、解法二，解法二比较简单变式迁移变式迁移2在ABC中，a1，b1，C120，求c.利用余弦定理判断三角形形状 在ABC中，若tan Atan Ba2b2，试判断ABC的形状分析：可从问题已知条件出发，寻找三角形的边与边或角与角之间的关系，然后判断之名师点评：已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两种思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式两种转化主要应用正弦定理和余弦定理本题的两种解法，就是通过两种不同的转化来实现的变式迁移变式迁移3若ABC的三个内角满
7、足sin A sin B sin C51113，则ABC()A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形方程思想的应用 如图所示，在ABC中，已知BC15，ABAC78，sin B ，求BC边上的高 分析：由已知设AB7x，AC8x，故要求AD的长只要求出x，ABC中已知三边只需再有一个角，根据余弦定理便可求x，而用正弦定理正好可求角C.名师点评：比例式的设法是一种解题技巧，如abc345，可设a3x，b4x，c5x，这种设法可使运算方便，必须学会变式迁移变式迁移4.在ABC中，若c4，b7，BC边上的中线AD之长为 ，求边长a.基础巩固基础巩固
