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1、第第2 2讲导数在研究函数中的数在研究函数中的应用用最新考纲1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).知 识 梳 理1.函数的单调性与导数的关系已知函数f(x)在某个区间内可导，(1)若f(x)0，则函数yf(x)在这个区间内_；(2)若f(x)0，则函数yf(x)在这个区间内_；(3)若f(x)0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值
2、与导数(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f(x0)0，单调递增单调递减如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是_；如果在x0附近的左侧f(x)_0，右侧f(x) _0，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤：求f(x)；求方程_的根；检查f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得_；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得_.极大值f(x)0极大值极小值3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件 如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有
3、最大值和最小值. (2)设函数f(x)在a，b上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下： 求f(x)在(a，b)内的极值； 将f(x)的各极值与_比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.f(a)，f(b)诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”) (1)函数f(x)在区间(a，b)内单调递增的充要条件是f(x)0.( )(2)函数的极大值一定比极小值大.( )(3)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0为极值点的充要条件.( )(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( )2.(人教A选修22P32A4改编)如图是f(
4、x)的导函数f(x)的图象， 则f(x)的极小值点的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析由题意知在x1处f(1)0，且其左右两侧导数符号为左负右正.答案A3.(2014新课标全国卷)若函数f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增，则k的取值范围是()A.(，2 B.(，1C.2，) D.1，)答案D4.函数y2x32x2在区间1，2上的最大值是_.答案8答案(0，1)考点一利用导数研究函数的单调性规律方法(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)
5、，求参数范围问题，可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“”是否可以取到.考点二利用导数研究函数的极值【例2】 已知函数f(x)xaln x(aR). (1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值.规律方法(1)求函数f(x)极值的步骤确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值.(2)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)
6、0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同，应注意，导数为零的点不一定是极值点.对含参数的求极值问题，应注意分类讨论.【训练2】 已知函数f(x)ax1ln x(aR). (1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数； (2)若函数f(x)在x1处取得极值，x(0，)，f(x) bx2恒成立，求实数b的取值范围.考点三利用导数求函数的最值【例3】 (2016潍坊模拟)已知函数f(x)(ax2bxc)ex在0，1上单调递减且满足f(0)1，f(1)0.(1)求a的取值范围. (2)设g(x)f(x)f(x)，求g(x)在0，1上的最大值和最小值.解(1)由f(0)1，f(1)0，得c1，ab1，
7、则f(x)ax2(a1)x1ex，f(x)ax2(a1)xaex，依题意对于任意x0，1，有f(x)0.当a0时，因为二次函数yax2(a1)xa的图象开口向上，而f(0)a0，所以需f(1)(a1)e0，即0a1；当a1时，对于任意x0，1，有f(x)(x21)ex0，且只在x1时f(x)0，f(x)符合条件；当a0时，对于任意x0，1，f(x)xex0，且只在x0时，f(x)0，f(x)符合条件；当a0时，因f(0)a0，f(x)不符合条件.故a的取值范围为0a1.(2)因g(x)(2ax1a)ex，g(x)(2ax1a)ex，()当a0时，g(x)ex0，g(x)在x0处取得最小值g(0
8、)1，在x1处取得最大值g(1)e.()当a1时，对于任意x0，1有g(x)2xex0，g(x)在x0处取得最大值g(0)2，在x1处取得最小值g(1)0.规律方法求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.【训练3】 已知函数f(x)xln x.(1)求函数f(x)的极值点；(2)设函数g(x)f(x)a(x1)，其中aR，求函数g(x)在区间1，e上的最小值(其中e为自然对数的底数).思想方法1.利用导数
9、研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分.2.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小.3.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论，一个函数在其定义域最值是唯一的，可以在区间的端点取得.易错防范1.注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行.2.解题时要注意区分求单调性和已知单调性求参数范围等问题，处理好f(x)0时的情况；区分极值点和导数为0的点.3.f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.
