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1、附录：附录：函数的基本知识函数的基本知识(1(1) )定义定义(2(2) )函数的递推公式函数的递推公式时，有时，有为为正整数正整数特别的，当特别的，当(3(3) )当当时时1第五章第五章 贝塞尔函数贝塞尔函数在应用分离变量法解其他偏微分方程的定解问在应用分离变量法解其他偏微分方程的定解问题时，也会导出其他形式的常微分方程边值问题，题时，也会导出其他形式的常微分方程边值问题，从而引出各种各样坐标函数系。这些坐标函数系就从而引出各种各样坐标函数系。这些坐标函数系就是人们常说的是人们常说的特殊函数特殊函数。本章，我们将通过在柱坐标系中对定解问题进本章，我们将通过在柱坐标系中对定解问题进行行分离变量
2、分离变量，导出贝塞尔方程；然后讨论这个方程，导出贝塞尔方程；然后讨论这个方程的解法及解的有关的解法及解的有关性质性质；最后再来介绍贝塞尔函数；最后再来介绍贝塞尔函数在解决数学物理中有关定解问题的一些在解决数学物理中有关定解问题的一些应用应用。25.1 5.1 贝塞尔方程及贝塞尔函数贝塞尔方程及贝塞尔函数一、贝塞尔方程的导出一、贝塞尔方程的导出在应用分离变量法解决圆形膜的振动问题或在应用分离变量法解决圆形膜的振动问题或薄圆盘上瞬时温度分布规律时，我们就会遇到薄圆盘上瞬时温度分布规律时，我们就会遇到贝塞尔方程贝塞尔方程。下面，我们以圆盘的瞬时温度分下面，我们以圆盘的瞬时温度分布为例来布为例来导出贝
3、塞尔方程导出贝塞尔方程。设有设有半径半径为为的圆形薄盘，的圆形薄盘，上下两面绝热，上下两面绝热，圆盘圆盘边界上边界上的温度始终的温度始终保持保持0 0度度， 且且初始温度初始温度分布为分布为已知已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律。求圆盘内的瞬时温度分布规律。我们用我们用来表示时刻来表示时刻处的温度函数。处的温度函数。圆盘上点圆盘上点3这个问题归结为求解下列定解问题：这个问题归结为求解下列定解问题：(2)(2)(1)(1)(3)(3)应用应用分离变量法分离变量法求这个问题的解。求这个问题的解。为此，令为此，令代入方程代入方程(1)(1)得得用用乘之，得乘之，得4于是有于是有(2)(2)(1)(1)
4、(3)(3)(4)(4)(5)(5)方程方程(4)(4)的解为的解为亥姆霍兹亥姆霍兹方程方程由边界条件由边界条件(2)(2)有有(6)(6)5(2)(2)(1)(1)(3)(3)为了求解方程为了求解方程(5)(5)满足条件满足条件(6)(6)的非零解，的非零解，(5)(5)(6)(6)我们采用平面上的我们采用平面上的极坐标系极坐标系，则得定解问题，则得定解问题(7)(7)(8)(8)6(7)(7)(8)(8)再令再令代入方程代入方程(7)(7)得得两端乘以两端乘以移项得移项得于是有于是有(9)(9)(10(10) )7(9)(9)(10(10) )由于温度函数由于温度函数是单值的，是单值的，
5、所以所以也必也必是单值函数，即是单值函数，即求解常微分方程的边值问题求解常微分方程的边值问题可得可得8(9)(9)(10(10) )将将代入方程代入方程(10)(10)得得(11(11) )该方程叫做该方程叫做阶阶贝塞尔方程贝塞尔方程。由边界条件由边界条件(8)(8)可知可知另外，由于圆盘上的另外，由于圆盘上的温度温度是是有限有限的，的， 特别在圆心特别在圆心处也应如此，由此可得处也应如此，由此可得9因此，原定解问题的最后解决就归结为求问题因此，原定解问题的最后解决就归结为求问题的的固有值固有值与与固有函数固有函数。若令若令并记并记(11(11) )将上式代入方程将上式代入方程(11)(11)
6、可得可得则则(12(12) )方程方程(12)(12)是具有变系数的二阶线性常微分方程，是具有变系数的二阶线性常微分方程，它的解称为它的解称为贝塞尔函数贝塞尔函数。 ( (有时称之为有时称之为柱函数柱函数) )。10二、贝塞尔函数二、贝塞尔函数(12(12) )由微分方程解的理论知：方程由微分方程解的理论知：方程(12)(12)有如下形式有如下形式的广义的广义幂级数解幂级数解：(13(13) )其中其中为常数，为常数， 下面来确定下面来确定为此，将为此，将(13)(13)以及以及带入方程带入方程(12)(12)11(12(12) )(13(13) )可得可得12(12(12) )(13(13)
7、 )13(13(13) )比较上式两边系数则有比较上式两边系数则有(14(14) )(15(15) )(16(16) )由于由于从从(14)(14)可得可得下面分三种情形讨论下面分三种情形讨论14(13(13) )(15(15) )(16(16) )情形情形1 1如果如果不为整数不为整数( (包括包括0)0)和半奇数，和半奇数，则则也不为整数。也不为整数。 先取先取代入代入(15)(15)得得代入代入(16)(16)得得(17(17) )由由(17)(17)可知可知15(13(13) )(17(17) )另外另外16由于由于是任意常数，是任意常数，我们可以这样取值：我们可以这样取值：使一般项系
8、数中使一般项系数中与与有有相同的次数相同的次数，并且同时，并且同时使使分母简化分母简化。 为此取为此取利用利用递推公式递推公式则一般项系数变为则一般项系数变为将此系数表达式代回将此系数表达式代回(13)(13)中，中，(13(13) )17(12(12) )(13(13) )得到方程得到方程(12)(12)的一个的一个特解特解，记作，记作(18(18) )称为称为阶阶第一类贝塞尔函数第一类贝塞尔函数。 又由于又由于则由则由达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法可知级数可知级数(18)(18)在整个实轴上在整个实轴上是是绝对收敛绝对收敛的。的。18(13(13) )(15(15) )(16(16) )再令
9、再令代入代入(15)(15)得得代入代入(16)(16)得得由上公式可知由上公式可知19(13(13) )另外另外20由于由于是任意常数，是任意常数，我们可以这样取值：我们可以这样取值：使一般项系数中使一般项系数中与与有有相同的次数相同的次数，并且同时，并且同时使使分母简化分母简化。 为此取为此取利用利用递推公式递推公式则一般项系数变为则一般项系数变为将此系数表达式代回将此系数表达式代回(13)(13)中，中，(13(13) )21(12(12) )(13(13) )得到方程得到方程(12)(12)的另外一个的另外一个特解特解，记作，记作称为称为阶阶第一类贝塞尔函数第一类贝塞尔函数。(19(1
10、9) )由于由于所以所以与与线性无关，线性无关， 由齐次由齐次线性常微分方程解的结构定理知，方程线性常微分方程解的结构定理知，方程(12)(12)的的通通解解为为其中其中为两个任意常数。为两个任意常数。(20(20) )称为称为阶阶第一类贝塞尔函数第一类贝塞尔函数。与与线性无关线性无关，22(12(12) )(20(20) )(22(22) )如果在如果在(20)(20)中取中取则得方程则得方程(12)(12)的另一个与的另一个与线性无关线性无关的的特解特解，记作记作(21(21) )因此方程因此方程(12)(12)的的通解通解可写成可写成称为称为第二类贝塞尔函数第二类贝塞尔函数或或诺伊曼函数
11、诺伊曼函数。23(13(13) )(16(16) )情形情形2 2如果如果为整数为整数( (包括包括0)0)， 则则也为整数。也为整数。依照之前的做法，同样可得方程依照之前的做法，同样可得方程(12)(12)的两个的两个特解特解(18(18) )(19(19) )(12(12) )24(18(18) )(19(19) )(23(23) )注意当注意当为整数为整数时，利用时，利用函数的函数的递推公式递推公式可得可得从而从而特解特解之一之一(18)(18)可化为可化为而而此时此时函数函数与与线性相关线性相关。25事实上，事实上，我们不妨设我们不妨设为某正整数为某正整数当当时，时，将是将是(23(2
12、3) )(19(19) )负整数与负整数与0 0， 对于这些值对于这些值为无穷大，为无穷大，所以所以令令得得26(23(23) )则化简得则化简得与与当当为为整数整数时是时是这就说明了这就说明了线性相关线性相关的。的。为了求出为了求出贝塞尔方程的通解贝塞尔方程的通解，我们，我们还需要求出一个与还需要求出一个与线性无关的特解线性无关的特解。27而当而当为整数为整数时，时，不为整数不为整数。与与当当不为整数不为整数时，时，其中其中为为整数整数，(21(21) )由由(21)(21)式知，式知，是是由于由于于是于是(21)(21)式的右端成为式的右端成为形式的不定型，形式的不定型， 此时此时我们很自
13、然地定义我们很自然地定义而当而当为整数为整数时，时，与与当当不为整数不为整数时，时，由由(21)(21)式知，式知，是是由于由于为整数为整数时，时，与与当当不为整数不为整数时，时，由由(21)(21)式知，式知，是是线性无关线性无关的，的，28应用应用洛必达法则洛必达法则经过冗长的推演经过冗长的推演( (可参阅可参阅H.H.H.H.列别捷夫著，张燮译特殊函数及其应用，列别捷夫著，张燮译特殊函数及其应用，高等教育出版社，高等教育出版社，19871987），得），得29阶阶贝塞尔方程贝塞尔方程与与线性无关线性无关其中其中称为称为欧拉欧拉常数常数。显然显然是是特解特解。无穷大无穷大30(12(12)
14、 )是否为整数是否为整数，综上所述，不论综上所述，不论为任意实数。为任意实数。其中其中为任意实数，为任意实数，当当为为偶数偶数时，时，为为偶函数偶函数；当当为为奇数奇数时，时，为为奇函数奇函数。当当为半奇数时，留在下一节讨论。为半奇数时，留在下一节讨论。贝塞尔方程贝塞尔方程(12)(12)的的通解通解都可表示为都可表示为另外，由另外，由推出，推出，情形情形3 3为整数时为整数时，315.2 5.2 贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式不同阶的贝塞尔函数之间有一定的联系，不同阶的贝塞尔函数之间有一定的联系， 本节本节来建立反映这种联系的来建立反映这种联系的递推公式递推公式。(18(18) )
15、(21(21) )由由的表达式的表达式(18)(18)可推出下列两个基本可推出下列两个基本递推公式递推公式：(25(25) )(26(26) )32(25(25) )(26(26) )事实上，在事实上，在(18)(18)式的两边乘上式的两边乘上然后对然后对求导，得求导，得令令得得33同样可以证明公式同样可以证明公式(25)(25)。(25(25) )(26(26) )事实上，在事实上，在(18)(18)式的两边乘上式的两边乘上然后对然后对求导，得求导，得34(25(25) )(26(26) )如果将以上两式左端的导数表出，化简后则得如果将以上两式左端的导数表出，化简后则得先后消去先后消去与与则
16、得则得(27(27) )(28(28) )显然显然(25)(26)(25)(26)式与式与(27)(28)(27)(28)式是式是等价等价的。的。35(25(25) )(26(26) )(27(27) )(28(28) )与与若已知若已知之值，之值，由由(27)(27)式可算出式可算出之值。之值。这样一来，通过这样一来，通过(27)(27)式，可以用式，可以用0 0阶阶与与1 1阶阶贝塞尔函数来表示任意贝塞尔函数来表示任意正整数阶正整数阶的贝塞尔函数。的贝塞尔函数。特别的特别的，当，当时，由时，由(26)(26)式得式得36(25(25) )(26(26) )特别的特别的，当，当时，由时，由(
17、26)(26)式得式得当当时，由时，由(25)(25)式得式得(29(29) )(27(27) )(28(28) )37例例 (27(27) )(28(28) )(29(29) )求求解解 由由(27)(27)式知，式知，则有则有38对于第二类贝塞尔函数，也有如下的对于第二类贝塞尔函数，也有如下的递推递推公式公式成立：成立：39当当(18(18) )(27(27) )为为半奇数半奇数时的贝塞尔函数的一个重要特点时的贝塞尔函数的一个重要特点是是可用初等函数表示可用初等函数表示。先计算先计算由由(18)(18)式得式得利用利用函数的性质，得函数的性质，得40(18(18) )(27(27) )从而从而(30(30) )同样可得同样可得(31(31) )应用公式应用公式(27)(27)得得41(18(18) )(27(27) )同理，应用公式同理，应用公式(27)(27)得得42一般的，有一般的，有43这里为了方便起见，我们采用微分算子这里为了方便起见，我们采用微分算子它是算子它是算子连续作用连续作用次的缩写。例如次的缩写。例如一般的，有一般的，有44
