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1、第七章第七章 空间问题的基本理论空间问题的基本理论 7/28/20241土木工程与力学学院 蒋一萱主要内容主要内容 7.1 7.1 空间问题的一般理论与基本方程空间问题的一般理论与基本方程 7.2 7.2 物体中任一点的应力状态物体中任一点的应力状态 7.3 7.3 空间问题的两种简化形式空间问题的两种简化形式7/28/20242土木工程与力学学院 蒋一萱v 为什么要研究空间三维弹性体？为什么要研究空间三维弹性体？ 有工程的需要：有工程的需要：对于复杂的工程问题，由于结构体的对于复杂的工程问题，由于结构体的形状复杂，受力也多种多样，因而有必要对三维的空间问形状复杂，受力也多种多样，因而有必要对
2、三维的空间问题予以研究。题予以研究。 某些可看作平面问题的精细化求解：某些可看作平面问题的精细化求解：平面问题只是对平面问题只是对某些具有特殊几何与外部载荷特征的（如薄板受面内作用某些具有特殊几何与外部载荷特征的（如薄板受面内作用力、柱形体受与轴向无关的载荷等）三维空间问题的简化力、柱形体受与轴向无关的载荷等）三维空间问题的简化处理。处理。7/28/20243土木工程与力学学院 蒋一萱概述概述概述概述 弹性力学基本方程建立了弹性力学问题的数学模型，为求解弹性力学奠定了基础。虽然这些方程的直接求解十分困难，只有小部分可以得到分析解，这些解已经有了广泛的应用，更为重要的是这些方程的建立为有限元、边
3、界元等数值计算提供了基础。 弹性力学基本方程的求解一般是在一定条件下，对问题进行简化，化简方程再进行求解，简化后一般可分为平面问题，轴对称问题、球对称问题。7/28/20244土木工程与力学学院 蒋一萱 空间问题的解析解一般只能在特殊边界条件下才可以得到。可分为空间问题的解析解一般只能在特殊边界条件下才可以得到。可分为空空间球对称问题间球对称问题和和空间轴对称问题空间轴对称问题。一、球对称问题一、球对称问题 当弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷当弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一点（过这一点的任一平面都是对称都对称于某一点（过这一点的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称
4、于这一点，称为面），这时应力、位移等都对称于这一点，称为球对称问题，球对称问题的弹性体的形状只能是球对称问题，球对称问题的弹性体的形状只能是圆球或空心球。圆球或空心球。球对称问题概述概述概述概述，在球对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标 的函数。7/28/20245土木工程与力学学院 蒋一萱概述概述概述概述 如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称与某一轴（过该轴的任一平面都是对称面），都对称与某一轴（过该轴的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一轴，称为轴对称问这时应力、位移等都对称于这一轴，称为轴对称问题，轴对称问题的弹
5、性体的形状一般是圆柱或半空题，轴对称问题的弹性体的形状一般是圆柱或半空间。间。 在轴对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标在轴对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标 、Z Z的函数，与的函数，与无关。无关。轴对称问题二、轴对称问题二、轴对称问题，7/28/20246土木工程与力学学院 蒋一萱一般地，需要从四个方面来考虑：一般地，需要从四个方面来考虑： 静力学方面；静力学方面； 几何学方面；几何学方面； 物理学方面；物理学方面； 边界条件。边界条件。 7.1.1 静力学方面静力学方面 平衡微分方程平衡微分方程 什么是平衡微分方程什么是平衡微分方程 ？如何建立平衡微分方程？如何
6、建立平衡微分方程？7.1 空间问题的一般理论与基本方程空间问题的一般理论与基本方程7/28/20247土木工程与力学学院 蒋一萱7.1 空间问题的一般理论与基本方程空间问题的一般理论与基本方程xyzoPABCo oxyzoABmnxyzoPAmn7/28/20248土木工程与力学学院 蒋一萱7.1 空间问题的一般理论与基本方程空间问题的一般理论与基本方程xyzoPABCo o7/28/20249土木工程与力学学院 蒋一萱7.1 空间问题的一般理论与基本方程空间问题的一般理论与基本方程故直角坐标系下的空间问题的平衡微分方程为：故直角坐标系下的空间问题的平衡微分方程为：剪应力互等关系：剪应力互等关
7、系：7/28/202410土木工程与力学学院 蒋一萱7.1 空间问题的一般理论与基本方程空间问题的一般理论与基本方程7.1.2 几何学方面几何学方面几何方程几何方程 目的：导出空间问题中各应变分量和位移目的：导出空间问题中各应变分量和位移 分量之间的关系，即为分量之间的关系，即为几何方程几何方程分析：弹性体发生变形时，微小的六面体分析：弹性体发生变形时，微小的六面体 不仅边长要发生变化，同时相邻两不仅边长要发生变化，同时相邻两 边的夹角边的夹角(直角直角)也可能发生变化。也可能发生变化。空间任意一点空间任意一点 P点的应变分量：点的应变分量：三个正应变三个正应变三个剪应变三个剪应变空间任意一点
8、空间任意一点 P点的位移分量：点的位移分量：7/28/202411土木工程与力学学院 蒋一萱7.1 空间问题的一般理论与基本方程空间问题的一般理论与基本方程PBAOyx 在平面问题中，已经分析了位在平面问题中，已经分析了位于于oxyoxy平面内的应变分量和位移分平面内的应变分量和位移分量之间的关系，得到如下的几何量之间的关系，得到如下的几何方程：方程： 利用相同的分析方法，分析空间弹性体位于利用相同的分析方法，分析空间弹性体位于利用相同的分析方法，分析空间弹性体位于利用相同的分析方法，分析空间弹性体位于oyzoyz和和和和ozxozx两平两平两平两平面相应线元的变形，可以得到另外三个几何方程，
9、将其与上面面相应线元的变形，可以得到另外三个几何方程，将其与上面面相应线元的变形，可以得到另外三个几何方程，将其与上面面相应线元的变形，可以得到另外三个几何方程，将其与上面三个几何方程归并在一起，即可得到空间问题的几何方程三个几何方程归并在一起，即可得到空间问题的几何方程三个几何方程归并在一起，即可得到空间问题的几何方程三个几何方程归并在一起，即可得到空间问题的几何方程。7/28/202412土木工程与力学学院 蒋一萱7.1 空间问题的一般理论与基本方程空间问题的一般理论与基本方程故弹性空间问题的故弹性空间问题的几何方程几何方程几何方程几何方程为：为：写成矩阵的形式为：写成矩阵的形式为：其中其
10、中7/28/202413土木工程与力学学院 蒋一萱7.1 空间问题的一般理论与基本方程空间问题的一般理论与基本方程为了导出刚体位移的表达式，可令各应变分量为零，即为了导出刚体位移的表达式，可令各应变分量为零，即代入几何方程，积分可得刚体位移的表达式为：代入几何方程，积分可得刚体位移的表达式为：式中式中 分别为沿着分别为沿着x,y,zx,y,z三个坐标轴方向的刚体平移；三个坐标轴方向的刚体平移； 分别为绕着分别为绕着x,y,zx,y,z三个坐标轴的刚体转动。三个坐标轴的刚体转动。7/28/202414土木工程与力学学院 蒋一萱7.1 空间问题的一般理论与基本方程空间问题的一般理论与基本方程问题问
11、题问题问题：若已知物体内任一点若已知物体内任一点P P处的六个应变分量处的六个应变分量 (1)(1)是否可以确定过是否可以确定过P P点的任意方向的微小线段的正应变？点的任意方向的微小线段的正应变？(2)(2)是否可以确定过是否可以确定过P P点的任意两个方向上微小线段之间的夹点的任意两个方向上微小线段之间的夹 角的改变？角的改变？结论结论结论结论：在物体内任意一点，如果已知六个应变分在物体内任意一点，如果已知六个应变分量，可以求得经过该点的任一线段的正应量，可以求得经过该点的任一线段的正应变，也可以求得经过该点的任意两线段之变，也可以求得经过该点的任意两线段之间的夹角的改变，即六个应变状态完
12、全决间的夹角的改变，即六个应变状态完全决定了这点的应变状态。定了这点的应变状态。 故空间弹性体中的故空间弹性体中的任意一点的应变状态任意一点的应变状态可可 以表示为：以表示为：7/28/202415土木工程与力学学院 蒋一萱7.1 空间问题的一般理论与基本方程空间问题的一般理论与基本方程 设有微小的正平行六面体，其棱边的长度为设有微小的正平行六面体，其棱边的长度为dx,dy,dzdx,dy,dz, ,在变在变形前的体积为形前的体积为dxdydzdxdydz, ,变形后的体积为：变形后的体积为：定义体积应变为弹性体单位体积的体积改变，则定义体积应变为弹性体单位体积的体积改变，则略去高阶微量，得略
13、去高阶微量，得体积应变体积应变体积应变体积应变为：为：7/28/202416土木工程与力学学院 蒋一萱7.1 空间问题的一般理论与基本方程空间问题的一般理论与基本方程7.1.3 物理学方面物理学方面物理方程物理方程 对于各向同性的完全弹性体，应力与应变之间的关系，对于各向同性的完全弹性体，应力与应变之间的关系，对于各向同性的完全弹性体，应力与应变之间的关系，对于各向同性的完全弹性体，应力与应变之间的关系，就是材料力学中的广义胡克定理，即就是材料力学中的广义胡克定理，即就是材料力学中的广义胡克定理，即就是材料力学中的广义胡克定理，即7/28/202417土木工程与力学学院 蒋一萱7.1 空间问题
14、的一般理论与基本方程空间问题的一般理论与基本方程将物理方程的前三式相加，可得将物理方程的前三式相加，可得令令 又由于体积应变为：又由于体积应变为：故有：故有：虎虎克克定定理理 上式称为上式称为上式称为上式称为体积弹性定律体积弹性定律体积弹性定律体积弹性定律，为体积应变，为体积应变，为体积应变，为体积应变， 相应的称相应的称相应的称相应的称作体积应力，作体积应力，作体积应力，作体积应力， 称作体积弹性模量。称作体积弹性模量。称作体积弹性模量。称作体积弹性模量。7/28/202418土木工程与力学学院 蒋一萱7.1 空间问题的一般理论与基本方程空间问题的一般理论与基本方程 前面我们论述了有关空间弹
15、性问题相关的静力学、几何学前面我们论述了有关空间弹性问题相关的静力学、几何学和物理学三个方面，可以看出：和物理学三个方面，可以看出：所建立的所建立的方程共有方程共有1515个个，包括，包括平衡方程平衡方程3个、几何（应变与位个、几何（应变与位移关系）方程移关系）方程6个、物理方程（应力应变关系）个、物理方程（应力应变关系）6个个；而所包含的全部未知函数数目也是而所包含的全部未知函数数目也是15个，个， 6个应力分量个应力分量 6个应变分量个应变分量 3个位移分量个位移分量 7.1.4 边界条件边界条件 7/28/202419土木工程与力学学院 蒋一萱7.1 空间问题的一般理论与基本方程空间问题
16、的一般理论与基本方程 由微分方程的相关理论我们知，在适当的定解边界条件下，该由微分方程的相关理论我们知，在适当的定解边界条件下，该组组15个微分方程完全有可能确定个微分方程完全有可能确定15个待求的未知量。一般地，弹个待求的未知量。一般地，弹性力学问题的边界包括位移边界和应力边界。性力学问题的边界包括位移边界和应力边界。 在位移边界问题中，位移分量在边界上应当满足位移边界条件在位移边界问题中，位移分量在边界上应当满足位移边界条件 对于边界简单几何特征情形，应力边界容易表示。对于边界简单几何特征情形，应力边界容易表示。 但实际问题中边界的形状往往很复杂，可能为斜面、曲面等，但实际问题中边界的形状
17、往往很复杂，可能为斜面、曲面等，因此我们有必要建立一般边界几何构形下的边界条件的提法。因此我们有必要建立一般边界几何构形下的边界条件的提法。 但这将涉及到斜面上应力、应变和位移的表述。但这将涉及到斜面上应力、应变和位移的表述。7/28/202420土木工程与力学学院 蒋一萱7.1 空间问题的一般理论与基本方程空间问题的一般理论与基本方程(1)(1)位移边界条件位移边界条件位移边界条件位移边界条件在位移边界在位移边界 上：上：(2)(2)应力边界条件应力边界条件应力边界条件应力边界条件(3)(3)混合边界条混合边界条混合边界条混合边界条件件件件7/28/202421土木工程与力学学院 蒋一萱7.
18、1 空间问题的一般理论与基本方程空间问题的一般理论与基本方程7.1.5 方程综合方程综合(1)(1)平衡方程平衡方程平衡方程平衡方程(2)(2)几何方程几何方程几何方程几何方程7/28/202422土木工程与力学学院 蒋一萱7.1 空间问题的一般理论与基本方程空间问题的一般理论与基本方程体积应变：体积应变：体积应力：体积应力：故物理方程的另一种形式为：故物理方程的另一种形式为：(3)(3)物理方程物理方程物理方程物理方程7/28/202423土木工程与力学学院 蒋一萱7.1 空间问题的一般理论与基本方程空间问题的一般理论与基本方程(1)(1)位移边界条件位移边界条件位移边界条件位移边界条件在位
19、移边界在位移边界 上：上：(2)(2)应力边界条件应力边界条件应力边界条件应力边界条件(3)(3)混合边界条混合边界条混合边界条混合边界条件件件件n弹性空间问题的基本未知函数共弹性空间问题的基本未知函数共1515个，即个，即6 6个应力分量个应力分量 ，6 6个应变分量个应变分量 和和3 3个位移分量个位移分量 ，这些未知函数都只是位置坐标，这些未知函数都只是位置坐标 x、y，z的函数。的函数。n空间问题的基本方程有空间问题的基本方程有1515个，而基本未知函数也是个，而基本未知函数也是1515个，个， 故可以通过求解基本方程就可以得到平面问题的基本未故可以通过求解基本方程就可以得到平面问题的
20、基本未 知函数。知函数。n 空间问题的基本方程均为微分方程，故求解此方程时需空间问题的基本方程均为微分方程，故求解此方程时需 要借助相应问题的边界条件。要借助相应问题的边界条件。7/28/202424土木工程与力学学院 蒋一萱7.1 空间问题的一般理论与基本方程空间问题的一般理论与基本方程在空间问题中，相容方程为在空间问题中，相容方程为在空间问题中，相容方程为在空间问题中，相容方程为: : 同平面问题类似，几何方程中的同平面问题类似，几何方程中的6 6个应变分量个应变分量 是用三个位移分量是用三个位移分量u u，v v，w w表示的，因此这表示的，因此这6 6个应个应变分量不能取为变分量不能取
21、为x, y, zx, y, z的任意函数，它们之间必须满足一定的的任意函数，它们之间必须满足一定的关系，以保证变形协调，这种关系称作关系，以保证变形协调，这种关系称作变形协调条件变形协调条件变形协调条件变形协调条件或或相容相容相容相容方程方程方程方程。7/28/202425土木工程与力学学院 蒋一萱 对于边界简单几何特征情形，应力边界容易表对于边界简单几何特征情形，应力边界容易表示。但实际问题中边界的形状往往很复杂，可能为示。但实际问题中边界的形状往往很复杂，可能为斜面、曲面等，因此我们有必要建立一般边界几何斜面、曲面等，因此我们有必要建立一般边界几何构形下的边界条件的提法。构形下的边界条件的
22、提法。 但这将涉及到斜面上应力、应变和位移的表述。但这将涉及到斜面上应力、应变和位移的表述。7.1 空间问题的一般理论与基本方程空间问题的一般理论与基本方程边界条件提取边界条件提取-斜面上应力应变状态斜面上应力应变状态问题问题- 如何描述空间问题中一点的应力状态？如何描述空间问题中一点的应力状态？7/28/202426土木工程与力学学院 蒋一萱7.2 物体中任一点的应力状态物体中任一点的应力状态任意斜截面上的应力任意斜截面上的应力任意斜截面上的应力任意斜截面上的应力问题描述问题描述问题描述问题描述：已知物体中过任意一点的垂直于：已知物体中过任意一点的垂直于x x轴、轴、y y轴和轴和z z轴轴
23、 截面上的应力分量，求外法线为截面上的应力分量，求外法线为N N的任意斜截面的任意斜截面 上的应力。上的应力。xyzoPABC设任一斜面设任一斜面ABCABC的外法线的外法线N N的方向余弦为：的方向余弦为：已知已知 : P点的六个应力分量：欲求欲求: 过P点的任一斜面(外法线N的方向余弦为l,m,n)上的应力分量：7/28/202427土木工程与力学学院 蒋一萱7.2 物体中任一点的应力状态物体中任一点的应力状态xyzoPABC设斜面设斜面ABCABC上的总应力上的总应力 沿着坐标轴沿着坐标轴x,y,zx,y,z方向上的分量为方向上的分量为 ，面，面ABCABC面积为面积为dsds，根据四面
24、体的平衡条，根据四面体的平衡条件：件：7/28/202428土木工程与力学学院 蒋一萱7.2 物体中任一点的应力状态物体中任一点的应力状态任意斜面上的正应力任意斜面上的正应力 即为即为 在在N N方向的分量之和，方向的分量之和，于是有：于是有：代入即可得到斜面上的正应力代入即可得到斜面上的正应力 的表达式：的表达式：同时斜面上的剪应力同时斜面上的剪应力 满足以下关系：满足以下关系：结论结论结论结论：对物体内任意一点，如果已知三个相互垂直面上的对物体内任意一点，如果已知三个相互垂直面上的对物体内任意一点，如果已知三个相互垂直面上的对物体内任意一点，如果已知三个相互垂直面上的 6 6 6 6个应力
25、分量，则利用上式可以计算得到该点任一斜个应力分量，则利用上式可以计算得到该点任一斜个应力分量，则利用上式可以计算得到该点任一斜个应力分量，则利用上式可以计算得到该点任一斜 截面上的正应力和剪应力，故对于空间弹性体，截面上的正应力和剪应力，故对于空间弹性体，截面上的正应力和剪应力，故对于空间弹性体，截面上的正应力和剪应力，故对于空间弹性体，6 6 6 6个个个个 应力分量就完全确定了一点的应力状态应力分量就完全确定了一点的应力状态应力分量就完全确定了一点的应力状态应力分量就完全确定了一点的应力状态。7/28/202429土木工程与力学学院 蒋一萱7.2 物体中任一点的应力状态物体中任一点的应力状
26、态7.2.2 7.2.2 空间问题的应力边界条件空间问题的应力边界条件空间问题的应力边界条件空间问题的应力边界条件xyzoPmnN若若P P 点在弹性体的边界上，其外法线为点在弹性体的边界上，其外法线为N N，边界上的面力分量为边界上的面力分量为 ，则边界斜面，则边界斜面上的应力分量与边界上的面力分量满足以上的应力分量与边界上的面力分量满足以下关系：下关系：故有：故有：此即为此即为空间弹性体的应力边界条件空间弹性体的应力边界条件，它给出了应力分量的，它给出了应力分量的边界值和面力分量之间的关系。边界值和面力分量之间的关系。7/28/202430土木工程与力学学院 蒋一萱7.2 物体中任一点的应
27、力状态物体中任一点的应力状态应力边界条件的几种特殊情况：应力边界条件的几种特殊情况：xyzoxyzoxyzoxyzo7/28/202431土木工程与力学学院 蒋一萱7.2 物体中任一点的应力状态物体中任一点的应力状态 工程中的强度理论一般都是以主应力表示的，故主应力工程中的强度理论一般都是以主应力表示的，故主应力工程中的强度理论一般都是以主应力表示的，故主应力工程中的强度理论一般都是以主应力表示的，故主应力的概念和主应力的计算在工程设计中起着重要的作用的概念和主应力的计算在工程设计中起着重要的作用的概念和主应力的计算在工程设计中起着重要的作用的概念和主应力的计算在工程设计中起着重要的作用。如果
28、经过如果经过点的某一斜面上的剪应力为零，则该斜面上点的某一斜面上的剪应力为零，则该斜面上的正应力称作的正应力称作点的一个点的一个主应力主应力；此斜面称作；此斜面称作点的一个点的一个应应力主面力主面；该斜面的法向称作；该斜面的法向称作点的一个点的一个应力主向应力主向。 假设假设P点有一个应力主面存在，在该面上剪应力点有一个应力主面存在，在该面上剪应力 ，则该面上的全应力就等于正应力，也等于主应力，即：则该面上的全应力就等于正应力，也等于主应力，即：则该面上的全应力在坐标轴上的投影为：则该面上的全应力在坐标轴上的投影为：7.2.3 7.2.3 主应力主应力主应力主应力7/28/202432土木工程
29、与力学学院 蒋一萱7.2 物体中任一点的应力状态物体中任一点的应力状态将此式代入斜面上应力分量的表达式可得：将此式代入斜面上应力分量的表达式可得：各方向余弦之间的关系为：各方向余弦之间的关系为：可以用上面四式来求解四个待定未知量可以用上面四式来求解四个待定未知量 。前三式要有非零解的充要条件为：前三式要有非零解的充要条件为：7/28/202433土木工程与力学学院 蒋一萱7.2 物体中任一点的应力状态物体中任一点的应力状态展开可得：展开可得：其中：其中：上式称为上式称为上式称为上式称为应力状态的特征方程应力状态的特征方程应力状态的特征方程应力状态的特征方程，可以证明可以证明可以证明可以证明它有
30、三个实根，它有三个实根，它有三个实根，它有三个实根，此即所求的三个主应力此即所求的三个主应力此即所求的三个主应力此即所求的三个主应力 。应力状态的应力状态的应力状态的应力状态的第一、二、三不变量第一、二、三不变量第一、二、三不变量第一、二、三不变量由于三个主应力是应力状态方程的三个根，故有由于三个主应力是应力状态方程的三个根，故有故应力状态不变量故应力状态不变量也可用主应力表示为：也可用主应力表示为：7/28/202434土木工程与力学学院 蒋一萱7.2 物体中任一点的应力状态物体中任一点的应力状态当求得主应力以后，利用下式求主方向当求得主应力以后，利用下式求主方向为了求相应的方向余弦，利用上
31、式的任意二式将二式除以7/28/202435土木工程与力学学院 蒋一萱7.2 物体中任一点的应力状态物体中任一点的应力状态可以求得的比值，再利用求出：同样也可以求出其他主应力的方向余弦。7/28/202436土木工程与力学学院 蒋一萱7.2 物体中任一点的应力状态物体中任一点的应力状态主应力的基本性质：主应力的基本性质：主应力的基本性质：主应力的基本性质：(1)(1)正交性。正交性。 当三个主应力互不相等时，三个主平面是相互垂直的。当三个主应力互不相等时，三个主平面是相互垂直的。(2)(2)实数性。实数性。 三个主应力必为应力状态方程的实根。三个主应力必为应力状态方程的实根。(3)(3)极值性
32、。极值性。 当截面方位变化时，所有截面上的正应力中最大和最小当截面方位变化时，所有截面上的正应力中最大和最小值是主应力。值是主应力。若假定若假定 ，则可以得到：，则可以得到： 这表明这表明 是所有正应力中的最大值，而是所有正应力中的最大值，而 是所有正应力是所有正应力中的最小值。中的最小值。7/28/202437土木工程与力学学院 蒋一萱7.3 空间问题的两种简化形式空间问题的两种简化形式7.3.1 轴对称空间问题轴对称空间问题 uu空间轴对称问题中基本物理量：空间轴对称问题中基本物理量：空间轴对称问题中基本物理量：空间轴对称问题中基本物理量：uu对于空间轴对称问题，采用圆柱坐标系对于空间轴对
33、称问题，采用圆柱坐标系对于空间轴对称问题，采用圆柱坐标系对于空间轴对称问题，采用圆柱坐标系 要比采用要比采用要比采用要比采用 直角坐标系直角坐标系直角坐标系直角坐标系 方便很多方便很多方便很多方便很多。uu对于很多空间问题，若弹性体的形状、所受外力以及约束对于很多空间问题，若弹性体的形状、所受外力以及约束对于很多空间问题，若弹性体的形状、所受外力以及约束对于很多空间问题，若弹性体的形状、所受外力以及约束 情况情况情况情况 均对称于均对称于均对称于均对称于z z轴而与轴而与轴而与轴而与 无关，例如圆柱体、半无限空无关，例如圆柱体、半无限空无关，例如圆柱体、半无限空无关，例如圆柱体、半无限空 间等
34、间等间等间等，那么，其应力、应变和位移也那么，其应力、应变和位移也那么，其应力、应变和位移也那么，其应力、应变和位移也 均对称于均对称于均对称于均对称于z z轴而与轴而与轴而与轴而与 无关，这类问题称作空间轴对称问题无关，这类问题称作空间轴对称问题无关，这类问题称作空间轴对称问题无关，这类问题称作空间轴对称问题。应力分量列阵：应力分量列阵：应变量列阵：应变量列阵：位移分量列阵：位移分量列阵：7/28/202438土木工程与力学学院 蒋一萱7.3 空间问题的两种简化形式空间问题的两种简化形式1.1.1.1.平衡方程平衡方程平衡方程平衡方程7/28/202439土木工程与力学学院 蒋一萱7.3 空
35、间问题的两种简化形式空间问题的两种简化形式7/28/202440土木工程与力学学院 蒋一萱7.3 空间问题的两种简化形式空间问题的两种简化形式2.2.2.2.几何方程几何方程几何方程几何方程7/28/202441土木工程与力学学院 蒋一萱7.3 空间问题的两种简化形式空间问题的两种简化形式空间轴对称问题的几何方程为：空间轴对称问题的几何方程为：7/28/202442土木工程与力学学院 蒋一萱7.3 空间问题的两种简化形式空间问题的两种简化形式3.3.3.3.物理方程物理方程物理方程物理方程参照直角坐标系，可以得到空间轴对称问题的物理方程为参照直角坐标系，可以得到空间轴对称问题的物理方程为; ;
36、7/28/202443土木工程与力学学院 蒋一萱7.3 空间问题的两种简化形式空间问题的两种简化形式其中其中 为体积应变。为体积应变。体积应力：体积应力：前三式相加可得：前三式相加可得：故物理方程可以表示为另一种形式：故物理方程可以表示为另一种形式：7/28/202444土木工程与力学学院 蒋一萱7.3 空间问题的两种简化形式空间问题的两种简化形式7.3.2 球对称空间问题球对称空间问题 何谓球对称问题？何谓球对称问题？如果弹性体的几何形状，约束情况，以及所受的外部因如果弹性体的几何形状，约束情况，以及所受的外部因素（载荷、温度场等）都对称于某一点（通过该点的任意平素（载荷、温度场等）都对称于某一点（通过该点的任意平面都是对称面），则所有的应力、应变与位移也就对称于这面都是对称面），则所有的应力、应变与位移也就对称于这一点，这种问题称为点对称问题，或球对称问题。一点，这种问题称为点对称问题，或球对称问题。 显然球对称问题只能发生在空心或实心的圆球体内。显然球对称问题只能发生在空心或实心的圆球体内。 在描述球对称问题时，自然选取球坐标系比较方便。在描述球对称问题时，自然选取球坐标系比较方便。7/28/202445土木工程与力学学院 蒋一萱
