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1、XXXX医院医院医院医院的护士值班计划的护士值班计划的护士值班计划的护士值班计划一、问题背景XX医院是长宁市的一所区级医院，该院每天各时间区段内需求的值班护士数如表1所示：时间区段 6:00-10:00 10:00-14:00 14:00-18:00 18:00-22:00 22:00-6:00(次日) 需求数 1820191712该医院护士上班分五个班次，每班该医院护士上班分五个班次，每班8h8h，具，具体上班时间为第一班体上班时间为第一班 2:00-10:002:00-10:00，第二，第二班班6:00-14:006:00-14:00，第三班，第三班10:00-18:0010:00-18:
2、00，第四，第四班班14:00-22:0014:00-22:00，第五班，第五班18:00-2:0018:00-2:00（次日）（次日）。每名护士每周上。每名护士每周上5 5个班，并被安排在不个班，并被安排在不同日子，有一名总护士长负责护士的值班同日子，有一名总护士长负责护士的值班安排计划。安排计划。表表 1值班方案要做到在人员或经济上比较节省，又做到尽可能合情合理。下面是一些正在考虑中的值班方案：方案方案1 每名护士连续上班5天，休息2天，并从上班第一天起按从上第一班到第五班顺序安排顺序安排。方案方案2 考虑到按上述方案中每名护士在周末（周六、周日）两天内休息安排不均匀。于是规定每名护士在周
3、六、周日两天内安排一天、且只安排一天休息，再在周一至周五期间安排4个班，同样上班的五天内分别顺序安排顺序安排5个不同班次。 在对第1、2方案建立线性规划模型并求解后，发现方案2虽然在安排周末休息上比较合理，但所需值班人数要比第1方案有较多增加，经济上不太合算，于是又提出了第3方案。方案方案3 在方案2基础上，动员一部分护士放弃周末休息，即每周在周一至周五间由总护士长给安排三天值班，加周六周日共上五个班，同样五个班分别安排不同班次。作为奖励，规定放弃周末休息的护士，其工资和奖金总额比其他护士增加a%。根据上述，帮助XX医院的总护士长分析研究：(a) 对方案1、2建立使值班护士人数为最少的线性规划
4、模型并求解；(b) 对方案3，同样建立使值班护士人数为最少的线性规划模型并求解，然后回答a的值为多大时，第3方案较第2方案更经济。二、问题分析与求解二、问题分析与求解2.1 对方案对方案1的分析的分析2.2 对方案对方案2的分析的分析 2.3 对方案对方案3的分析的分析2.1 对方案对方案1的分析的分析根据方案一中“每名护士连续连续上班5天，休息2天，并从上班第一天起按从上第一班到第五班顺序安排”，可以设xi表示星期i上第一班的班组的人数（i=1,2,3，7 ），其值班安排表如下： 星期班次一二三四五六日2：0010：00x1x2x3x4x5x6x76：0014：00x7x1x2x3x4x5x
5、610：0018：00x6x7x1x2x3x4X514：0022：00x5x6x7x1x2x3X418：002：00x4x5x6x7x1x2x3时间段6:00-10:0010:00-14:0014:00-18:0018:00-22:0022:00-6:00涉及班组第一班第二班第二班第三班第三班第四班第四班第五班第五班第一班（次日）最低需求人数1820191712因此，可以列表：因此，可以列表： 星期星期一二三四五六日6：00-10：00X1+x7=18X2+x1=18x3+x2=18x4+x3=18X5+x4=18X6+x5=18X7+x6=1810：00-14：00X1+x6=20X1+x7
6、=20X1+x2=20X3+x2=20X4+x3=20x5+x4=20X6+x5=2014：00-18：00X6+x5=19X7+x6=19X1+x7=19X2+x1=19X3+x2=19X4+x3=19X5+x4=1918：00-22：00X5+x4=17X6+x5=17X7+x6=17X1+x7=17X2+x1=17X3+x2=17X4+x3=1722：00-6：00X4=12X2=12X5=12X3=12X6=12X4=12X7=12X5=12X1=12X6=12X2=12X7=12X3=12X1=12时间段时间段由此可对方案1建立如下线性规划模型：目标函数目标函数: min w=x1+
7、x2+x3+x4+x5+x6+x7; S.t. x1=12; x2=12; x3=12; x4=12; x5=12; x6=12; x7=12; x1+x7=20; x7+x6=20; x6+x5=20; x5+x4=20; x4+x3=20; x3+x2=20; x2+x1=20;返回返回 运行结果：运行结果：2.2 对方案对方案2的分析的分析因为每名护士在周六、周日两天里必须工作一天，安排休息一天。周一到周五连续安排4个班，所以可以先安排周末的护士值班情况：周六、周末两天共10个班次，用Xj (j=1,2,3,10)表示周六周末两天10个班次的护士人数，其中 X1-X5分别代表周六第1个到
8、第5个班次的护士人数，X6-X10分别代表周日从第1个到第5个班次的护士人数。其值班安排表如下：表3 方案2护士值班安排模型星期班次一二三四五六日2：0010：00X10X5+x9x4+x8X3+x7X2X1X66：0014：00X6X1+x10X5+x9X4+x8X3X2X710：0018：00X7X2+x6X1+x10X5+x9X4X3X814：0022：00X8X3+x7X2+x6X1+x10X5X4X918：002：00x9X4+x8X3+x7X2+x6x1x5x10因此，可以列表：因此，可以列表：星期星期时间段时间段一一二二三三四四五五六六日日6：00-10：00x10+x6=18X
9、1+x5+x9+x10=18X4+x8+x5+x9=18X3+x7+x4+x8=18X2+x3=18X1+x2=18X6+x7=1810：00-14：00X6+x7=20X1+x2+x6+10=20X1+x5+x9+x10=20X4+x8+x5+x9=20X3+x4=20X2+x3=20X7+x8=2014：00-18：00X7+x8=19X2+x6+x3+x7=19X1+x2+x6+x10=19X1+x5+x9+x10=19X4+x5=19X3+x4=19X8+x9=1918：00-22：00X8+x9=17x3+x7+x4+x8=17X2+x6+x3+x7=17X1+x3+x6+x10=1
10、7X5+x1=17X4+x5=17X9+x10=1722：00-6：00X9=12X5+x9=12X4+x8=12X3+x7=12X3+x6=12X2=12X1=12X5=12X6=12X10=12由此可对方案2建立如下线性规划模型： Min w=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10;x1+x2+x6+x10=20;x4+x5+x8+x9=20;x1+x5+x9+x10=20;x3+x4+x7+x8=18;x2+x3+x6+x7=19;x1+x3+x6+x10=17;x3+x4+x7+x8=18;x7+x8=20;x8+x9=19;x3+x4=20;x6+x10=18;
11、x9+x10=17;x4+x5=19;由此可对方案2建立如下线性规划模型：x2+x3=20;x1+x2=18;x6+x7=20;x5+x9=12;x4+x8=12;x3+x7=12;x3+x9=12;x1+x5=17;x3+x6=12;x1=12;x2=12;x5=12;x6=12;x9=12;x10=12; 运行结果：运行结果：2.3 对方案对方案3的分析的分析 分析方案3的突破口主要有以下几点：1、一部分护士周末两天都上班，另外一部分护士周末只上一天。2、连续上班5天，休息2天。3、同样5个班分别安排在不同的班次。因此，先安排周末的值班，设：X1- X5周末两天都上班。X6-X15周末只上
12、一天。 对方案3进行分析，以表格的形式将方案3的护士值班安排表示如下表所示：星期班次一二三四五六七2:00-10:00x4+x15 x3+x14+x10 x2+x13+x9 x12+x8 X7x1+x6x5+x116:00-14:00x5+x11 x4+x15+x6 x3+x14+x10 x13+x9X8x2+x7x1+x1210:00-18:00x1+x12 x5+x11+x7 x4+x15+x6 x14+x10X9x3+x8x2+x13 14:00-22:00x2+x13 x1+x12+x8 x5+x11+x7 x15+x6X10x4+x9x3+x14 18:00-2:00x3+x14 x
13、2+x13+x9 x1+x12+x8 x11+x7x6x5+x10x4+x15 星期星期时间段时间段一一二二三三四四五五六六日日6：00-10：00X4+x15+x5+x11=18X3+x14+x10+x4+x15+x6=18x2+x13+x9+X3+x14+x10=18X12+x8+x13+x9=18X7+x8=18X1+x2+x6+x7=18X5+x11+x1+x12=1810：00-14：00X1+x5+x11+x12=20X4+x15+x6+x5+x11+x7=20X3+x14+x10+x4+x15+x6=20X13+x9+x14+x10=20X8+x9=20X2+x7+x3+x8=2
14、0X1+x12+x2+x13=2014：00-18：00X1+x12+x2+x13=19X5+x11+x7+x1+x12+x8=19X4+x15+x6+x5+x11+x7=19X14+x10+x15+x6=19X9+x10=19X3+x8+x4+x9=19X2+x13+x3+x14=1918：00-22：00X2+x13+x3+x14=17x1+x12+x8+x2+x13+x9=17X5+x11+x7+x1+x12+x8=17X15+x6+x11+x7=17X10+x6=17x4+x9+x5+x10=17X3+x14+x4+x15=1722：00-6：00X3+x14=12X3+x14+x10
15、=12X2+x13+x9=12X1+x12+x8=12X12+x8=12X11+x7=12X7=12X6=12X1+x6=12X5+x10=12X5+x11=12X4+x15=12由此可对方案由此可对方案3建立如下线性规划模型：建立如下线性规划模型：Min w=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+ x13+x14+x15; x4+x15+x5+x11=18;x5+x11+x1+x12=20;x4+x15+x6+x5+x11+x7=20;x5+x11+x7+x1+x12+x8=19;x3+x14+x10+x4+x15+x6=20;x1+x12+x8+x2
16、+x13+x9=17;x13+x9+x14+x10=20;x14+x10+x15+x6=19;x15+x6+x11+x7=17;x7+x8=18;x8+x9=20;x9+x10=19;x10+x6=17;x1+x6=12;由此可对方案由此可对方案3建立如下线性规划模型：建立如下线性规划模型：x1+x6+x2+x7=18;x2+x7+x3+x8=20;x1+x12+x2+x13=20;x2+x13+x3+x14=19;x3+x14+x4+x15=17;x3+x8+x4+x9=19;x4+x9+x5+x10=17;x12+x8=12;x7=12;x5+x11=12;x3+x14=12;x2+x13
17、+x9=12;x6=12;x5+x10=12;x4+x15=12; x11+x7=12;求解结果： 方案方案1的结论的结论: 方案方案1线性规划模型的最优解为：线性规划模型的最优解为：x1=12, x2=12, x3=12, x4=12, x5=12, x6=12, x7=12, w=84; 星期班次一二三四五六日2：0010：00121212121212126：0014：001212121212121210：0018：001212121212121214：0022：001212121212121218：002：0012121212121212方案方案2的结论：的结论： 方案方案2线性规划模型
18、的最优解为：线性规划模型的最优解为： x1=12, x2=12, x3=8, x4=12, x5=12, x6=12, x7=13, x8=7, x9=12, x10=12, w=112; 星期班次一二三四五六日2：0010：00122419211212126：0014：00122424198121310：0018：0013242424128714：0022：00721242412121218：002：0012192120121212方案方案3的结论的结论 方案方案3线性规划模型最优解为：线性规划模型最优解为：x1=0, x2=12, x3=11, x4=0, x5=12, x6=12, x7
19、=12, x8=6, x9=14, x10=5, x11=0, x12=8, x13=0, x14=1, x15=12, w=105; 星期班次一二三四五六日2：0010：00121726141212126：0014：0012241714624810：0018：00242424614171214：0022：00121424245141218：002：0012261412121712方案方案3与方案与方案2的对比结论的对比结论 由于放弃周末休息的护士其工资和奖金总额比其他护士增加a%, 假设未放弃周末休息的护士的工资为：M元。若使第3方案较第2方案更经济，可列如下方程确定a的值：56*M+49*M*(1+a%)112*M 49*M*(1+a%)56*M 49*(1+a%)56 49*a%7 a%14%所以，当a14的时候，方案3比方案2经济。谢谢大家欣赏！谢谢大家欣赏！
