《Newton插值多项式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《Newton插值多项式（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 本节内容提要本节内容提要基本思想 Newton插值多项式的构造 差商 定义、计算、性质 Newton插值多项式的误差4.2 Newton4.2 Newton4.2 Newton4.2 Newton插值多项式插值多项式插值多项式插值多项式基本思想基本思想 缺点：缺点：增加节点时，需要计算增加节点时，需要计算 ，而已得的，而已得的 不能被利用；不能被利用；为此我们考虑对为此我们考虑对LagrangeLagrange插值多项式插值多项式进行进行改写改写； 由唯一性，仅是由唯一性，仅是形式上形式上的变化的变化 期望：期望： 一般一般递推递推得：得： 上述修改过的上述修改过的 可看成是由可看成是由点斜
2、式点斜式直线方程往直线方程往 n+1个插值点情形的推广，而个插值点情形的推广，而LagrangeLagrange插值多项式是插值多项式是由由两点式两点式直线方程推导而来的。直线方程推导而来的。 注：注： 一、系数一、系数 的确定的确定LagrangeLagrange插值插值插值条件插值条件基函数基函数 依此公式麻烦！依此公式麻烦！ 二、差商二、差商1 1、定义：、定义：注：为统一记号，规定：注：为统一记号，规定： 称为零阶差商称为零阶差商类比：类比：导数：导数：差商：差商：2 2、差商的计算、差商的计算列差商表列差商表解一：解一：例：例： 解二：解二：可见，求各阶差商是方便的，且可见，求各阶差
3、商是方便的，且 位于位于差商表的对角线差商表的对角线上。上。3 3、性质、性质证明：证明：（归纳法）（归纳法） 通分：通分： 注：注： 对称性对称性差商与节点的排列次序无关；（差商与节点的排列次序无关；（线性组合线性组合） 因而当增加节点时，只需在差商表的末尾加上一行即可！因而当增加节点时，只需在差商表的末尾加上一行即可！差商定义差商定义亦可变成：亦可变成：证明：证明：三、三、NewtonNewton插值多项式插值多项式1 1、定义：、定义： 称为称为 次次NewtonNewton插值多项式插值多项式 例：例： 解：解： 2 2、余项：、余项： 带余项的带余项的NewtonNewton插值公式
4、插值公式 比较可知，比较可知， 与与 的确只是的确只是形式上的不同形式上的不同， 注：注： NewtonNewton插值多项式便于计算，而插值多项式便于计算，而LagrangeLagrange插值插值多项式多用于理论推导。多项式多用于理论推导。性质性质2 2例：例：( (上例中上例中) )插值余项为：插值余项为：例：例：证明：证明：（归纳法）（归纳法） Newton插值公式求解插值问题的算法插值公式求解插值问题的算法 算法算法 1.1.初始化初始化 xn保存保存n个插值点；个插值点； fnn保存保存n个插值点的函数值和各阶差商个插值点的函数值和各阶差商 i-求解求解j阶差商的下标阶差商的下标
5、j- -差商的下标差商的下标j=1,n2.2.按差商表计算各解插商：按差商表计算各解插商： 循环：循环：j=1到到n( (按列计算按列计算1，2，,n阶阶) ) 循环：循环：i=j,n fij=(fij-1-fi-1j-1)/xi-xi-j3.3.输出输出fii(i=0,n)4.4.计算计算N(x):N(x):N=fnn41循环：循环：循环：循环：i=n-1;i=0;i-)i=n-1;i=0;i-) N=N*(x-xi)+fii; N=N*(x-xi)+fii; 4242输出输出输出输出N N作业作业作业作业习题习题习题习题4 4 4 4（书（书（书（书P.40P.40P.40P.40）第第第第5 5 5 5、6 6 6 6题题题题
