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1、误差理差理论与与测量平差基量平差基础 第第3章章协方差方差传播律及播律及权 协方差传播律及权第三章第三章 协方差方差传播律及播律及权第三章第三章 协方差方差传播律及播律及权要求：要求： 掌握掌握协方差方差传播律的意播律的意义、计算算方法及方法及应用；掌握用；掌握权的定的定义和常用的和常用的定定权方法；掌握方法；掌握协因数的定因数的定义及及协因因数数传播律的播律的应用用 。重点：重点： 协方差方差传播律；播律；权与定与定权的常用的常用方法；方法；协因数因数传播律播律 。协方差传播律及权第三章第三章 协方差方差传播律及播律及权授授课内容内容3-1 协方差方差传播律播律 3-2 协方差方差传播律的播
2、律的应用用 3-3 权与定与定权的常用方法的常用方法 3-4 协因数与因数与权阵3-5 协因数因数传播律播律 3-6 由真由真误差差计算中算中误差及其差及其实际应用用 3-7 系系统误差的差的传播播 综合合练习协方差传播律及权协方差传播律：描述观测量的精度(方差)与其函数的精度(方差)之间关系的规律(公式)。3-1 协方差方差传播律播律一、概述一、概述直接观测量 数值 真误差 精度(方差)观测量的函数 数值 真误差 精度(方差)协方差传播律及权 从测量工作的现状可以看出，观测值函数与观测值之间的关系可分为两种情况：线性函数（如观测高差与高程的关系）非线性函数(观测角度、边长与待定点坐标的的关系
3、） 因此，分别从线性函数和非线性函数两种情况研究协方差传播律。3-1 协方差方差传播律播律协方差传播律及权3-1 协方差方差传播律播律二、一个二、一个线性函数的方差性函数的方差 设有观测值X ,数学期望为X ,协方差阵为DX ：X 的线性函数:如何求Z的方差？协方差传播律及权 为求Z的方差，我们需从方差的定义入手。根据方差的定义，Z的方差为：由数学期望运算可得：将Z的函数式以及数学期望E(Z)代入得：协方差传播律及权则函数Z的方差为（公式（公式1 1）p以上就是已知观测量的方差,求其函数方差的公式。也称为“协方差传播律”。3-1 协方差方差传播律播律由上推导可得出以下结论： 观测值X 的协方差
4、阵为DX ，其函数为：协方差传播律及权方差方差(传播率公式播率公式)的的纯量形式量形式为：p可见：若DX为对角阵时，协方差传播律即为“误差传播律”。协方差传播律及权 例1-2 在1：500的图上，量得某两点间的距离 d=23.4mm,d的量测中误差d =0.2mm，求该两点实地距离S及中误差S 。解：练习题最后写成:协方差传播律及权3-1 协方差方差传播律播律三、多个三、多个线性函数的方差性函数的方差阵 设有观测值X ,数学期望为X ,协方差阵为DX ，若有X的t个线性函数为:表示为矩阵形式:如何求如何求Z的方差的方差阵？协方差传播律及权根据方差阵的定义，Z的方差阵为：由数学期望运算可得：将Z
5、的函数式以及数学期望E(Z)代入得：（公式2）协方差传播律及权可以看出 线性函数的协方差和多个线性函数的协方差阵在形式上完全相同,且推导过程也相同;所不同的是：DZZ前者是一个函数值的方差（1行1列）;而后者是t个函数值的协方差阵(t行t列)。 即：前者是后者的特殊情况。协方差传播律及权例4：已知向量 ，且： 若有函数：并记 ，试求 。练习题协方差传播律及权解：解：函数式函数式利用协方差传播律利用协方差传播律p本题关健是：将函数式转换为“同一变量”L的形式。协方差传播律及权3-1 协方差方差传播律播律四、两四、两组线性函数的互性函数的互协方差方差阵 设有观测值X ,数学期望为X ,协方差阵为D
6、X ，若有X的2组线性函数为:如何求如何求Z关于关于Y的互的互协方差方差阵？协方差传播律及权根据互协方差阵的定义,可得:再利用数学期望传播律，得：同理,可得:（公式（公式3）协方差传播律及权例5:若有函数 ,已知X1和X2的协方差阵D12时,试求Y对Z的协方差阵DYZ。解：故：故：练习题协方差传播律及权协方差传播律及权3-1 协方差方差传播律播律五、非五、非线性函数的方差性函数的方差传播率播率 设有观测值X ,数学期望为X ,协方差阵为DX ，若有X的非线性函数为:如何求Z的方差阵？即p解决这类问题的关键是解决这类问题的关键是 必需先将必需先将非线性函数线性化非线性函数线性化, ,得到和前面已
7、推导出的公得到和前面已推导出的公式式“一致一致”的形式。因此，如何将非线性函数线性化，是我的形式。因此，如何将非线性函数线性化，是我们先要解决的问题。们先要解决的问题。协方差传播律及权p非线性函数的线性化的方法是： -将函数按泰勒级数展开，略去高次项 泰勒公式 如果函数f(x)在x0的某一邻域内具有直到n+1阶的导数，则在该邻域内f(x)展开为当x非常接近x0时，则可以舍去二次以上各项，即线性函数协方差传播律及权 多元函数f(X)=f(X1, X2,Xn)，X的近似值X0，按泰勒公式把f (X)在X 0处展开,并略去高次项为和前述的线性函数形式一致和前述的线性函数形式一致协方差传播律及权 若令
8、： 上式即为函数上式即为函数Z =f(X ) 的全微分式，和前面的线的全微分式，和前面的线性化函数的性化函数的系数阵一致系数阵一致。即：用泰勒公式展开。即：用泰勒公式展开线性线性化非线性函数化非线性函数等价于等价于对非线性函数两边全微分对非线性函数两边全微分 则，前式可表示为：协方差传播律及权例例7 7：已知角度观测向量：已知角度观测向量 试求函数试求函数 的中误差。的中误差。练习题协方差传播律及权解：非线性函数两边全微分得：解：非线性函数两边全微分得：为什么为什么除除协方差传播律及权按方差传播律：按方差传播律：中误差为：中误差为：注：先取对数然后再全微分能简化计算。注：先取对数然后再全微分能
9、简化计算。协方差传播律及权1）按要求写出函数式；）按要求写出函数式；2）若是非）若是非线性函数式，性函数式，则先先对函数式两函数式两边求求全微分；全微分；3）将函数式（或微分关系式）写成）将函数式（或微分关系式）写成矩矩阵形式形式（有（有时要要顾及及单位的位的统一）；一）；4）应用用协方差方差传播律公式求方差或播律公式求方差或协方差方差阵。p归纳应用用协方差方差传播律的播律的计算步算步骤：3-1 协方差方差传播律播律协方差传播律及权应用协方差传播率解决精度问题的步骤： 1.确定观测向量X，及其方差阵DXX 2.建立欲计算精度的量Y与观测向量X的函数关系 若为非线性函数，则线性化（全微分即可）
10、3.利用传播率公式计算 注意单位统一。3-2 协方差方差传播律的播律的应用用协方差传播律及权一一水准水准测量的精度量的精度 设水准测量中每一测站观测高差的精度相同,其方差均为 ,若某水准路线有N个测站，则其高差的方差和中误差为 在平坦地区的水准测量中，每公里的测站数大致相等，因此，每公里观测高差的方差相等为 ，若某水准路线长S公里，则观测高差的方差和中误差分别为 结论的用法：已知任量求第三量 协方差传播律及权二、同精度独立二、同精度独立观测值的算数平均的算数平均值的精度的精度 设对某量以同精度独立观测了N次，得观测值L1、L2、Ln，它们方差均为2)，其算术平均值为则算术平均值X的中误差为：由
11、协方差传播律知，平均值x的方差协方差传播律及权 在若干独立误差的联合影响下，观测结果的真误差为由协方差传播律可得：三若干独立三若干独立误差的差的联合影响合影响 结论：观测结果的方差等于各独立误差所对应的方差之和。协方差传播律及权四支四支导线点的点位精度点的点位精度 如图支导线，观测值：求C点的点位方差。 第一种解法第一种解法: : 1.列函数式 2.将上式线性化 协方差传播律及权3.用传播率计算协方差传播律及权第二种解法第二种解法，由，由C C点纵、横向方差求点位方差点纵、横向方差求点位方差 AC边长方差 为纵向方差；横向方差是由AC边的坐标方位角的方差引起，由图知 则 五交会定点的精度五交会
12、定点的精度六六GIS线元素的精度元素的精度 协方差传播律及权 在测量平差计算之前,须知L的精度。而精度的绝对指标(方差)往往是不知道的， 而精度的相对的数字指标(权)却可以根据事先给定的条件予以确定。因此，权在平差计算中将起着很重要的作用。一概述一概述3-3 权与定与定权的常用方法的常用方法方差是表征精度的一个方差是表征精度的一个绝对绝对指标；指标；自然自然,方差之间的比例关系也可比较各观测值间的精度方差之间的比例关系也可比较各观测值间的精度表示各观测值方差之间表示各观测值方差之间比例关系比例关系的数字特征称之为的数字特征称之为权权，故权是表征精度的故权是表征精度的相对的数字指标相对的数字指标
13、。引入相引入相对精度指精度指标“权”的必要性？的必要性？协方差传播律及权二二权的定的定义 设有一组观测值Li，其方差分别为 (i=1,2,n),如选定任意一常数 ，则定义称pi为观测值Li的权 。 3-3 权与定与定权的常用方法的常用方法协方差传播律及权p由由权的等于可以看出的等于可以看出权与方差成反比；权是表征观测值之间的相对精度指标（权是不唯一的，单个权是没意义的）；对同一问题中，为使权能起到比较精度高低的作用， 应取同一定值（否则就破坏了权间的比例关系）。协方差传播律及权二二单位位权中中误差的概念差的概念3-3 权与定与定权的常用方法的常用方法单位权的定义：等于1的权为单位权。对应的观测
14、值为单位权观测值。对应观测值的中误差称为单位权中误差。u可可见：权的的定定义中，中，常数常数02值一一经选定，就有定，就有具体含具体含义了，即了，即为单位位权方差。方差。0可以是某一具体可以是某一具体观测值的中的中误差，也差，也可能不等于某一个具体可能不等于某一个具体观测值的中的中误差。差。协方差传播律及权例：已知两个观测值的中误差为1=2cm、2=4cm，试确定它们的权。解：（1）设0=2cm， 则： p1=02/12=1 p2=02/22=1/4。 （2）设0=1cm，则 p1=02/12=1/4 p2=02/22=1/16。单位权中误差单位权中误差单位权单位权单位权不在其中单位权不在其中
15、单位权中误差单位权中误差练习题协方差传播律及权例4：在边角网中，已知测角中误差为1.0，测边的中误差为2.0厘米，试确定它们的权。解：设0= =1.0 则由权定义得： v可见：可见：权有时是有量纲的。权有时是有量纲的。练习题协方差传播律及权三三测量中常用的定量中常用的定权方法方法1、水准、水准测量的量的权适用条件：同一水准网且各测站观测高差精度相同。后式式式式式式适用平坦地区符号意义：Pi：第i条水准路线观测高差的权Ni：第i条水准路线的测站数；Si：第i条水准路线的长度C1：任选常数;单位权观测值的测站数;一个测站高差的权C2：任选常数、单位权观测高差的路线长、一km观测高差差差的权协方差传
16、播律及权2、同精度、同精度观测值的算的算术平均平均值的的权三三测量中常用的定量中常用的定权方法方法适用条件：单次观测值的差精度相同符号意义： Pi：第i个观测值Li的权 Ni：第i个观测值观测次数 C：任选常数；单位权观测值的观测次数； 测量一次的观测值权协方差传播律及权一、一、协因数的定因数的定义设观测值Li、Lj，其方差及协方差为，则定义：如果任选一常数3-4 协因数和因数和权阵Qii与Pi一样是比较观测值精度高低的一种相对指标；Qij是比较观测值之间相关程度的一种指标。协方差传播律及权二、二、协因数因数阵 已知观测向量X、Y，方差阵及互协方差阵DXX、DYY、DXY 3-4 协因数和因数
17、和权阵同样： QXX、QYY为X和Y的协因数阵；QXY为X关于Y的互协因数阵协方差传播律及权关于协因数阵的几点说明协因数阵同协方差阵一样，是一个协因数阵同协方差阵一样，是一个对称方阵对称方阵；主对角线元素主对角线元素Q Qiiii为随机变量为随机变量X Xi i的的协因数协因数，即权倒，即权倒数；数；非主对角线元素非主对角线元素Q Qijij(ij(ij）则为）则为X Xi i关于关于X Xj j的的互协因互协因数数，是比较观测值之间相关程度的一种指标。，是比较观测值之间相关程度的一种指标。协方差传播律及权三、三、权阵令 PXX为观测向量X的权阵。 * 权阵中Piipi ，即权阵中的元素不是权
18、。 * 独立观测向量的权阵为对角阵，其中Pii=(Qii)-1=pi 协方差传播律及权观测向量X，其方差阵DXX、协因数阵QXX、权阵PXX四四 方差方差阵、协因数因数阵与与权阵的关系的关系协方差传播律及权解：由权阵定义得又由得观测值的权为：例例1 1：已知观测向量已知观测向量L L的协因数阵为：的协因数阵为：试求观测向量试求观测向量L L的权阵的权阵P P及观测值及观测值L L1 1、L L2 2的权的权。例例题p可见：观测值的权与权阵中的主对角线元素并不一定相等这时权阵中的各个元素不具有权的意义协方差传播律及权例2：已知观测向量L的权阵为： 求观测值L1、L2、L3的权。例例题解：解：协方
19、差传播律及权例3： 设有独立观测值Li（i=1，2n），其方差为i2，权为Pi，单位权方差为02，写出观测向量L的: (1)方差-协方差阵； (2)协因数阵； (3)权阵。例例题协方差传播律及权解：解：协方差传播律及权协方差传播律及权 观测向量X，其方差阵DXX、协因数阵QXX，X的函数分别为Y=FX+F0，Z=KX+K0。求QY、QZ、QYZ。 据协方差传播公式3-5 协因数和因数和协因数因数传播律播律 一、一、协因数因数传播律播律上右式为观测向量X与其函数Y、Z之间的协因数传播公式。协方差传播律与协因数传播律合称广义传播律。协方差传播律及权 1.确定观测向量X，及其方差阵QXX 2.建立欲
20、计算精度的量Y与观测向量X的函数关系 若为非线性函数，则线性化（全微分即可） 3.利用传播率公式计算 注意单位统一。应用协因数传播解决精度计算问题的方法步骤与协方差传播律相同。协方差传播律及权例6：已知观测向量X1和X2的协因数阵 和互协因数阵 ，或写为设有函数 ： 试求Y关于Z的互协因数 。例例题协方差传播律及权解：函数式可写为应用协因数传播律得线性函数的一般表达式协方差传播律及权3-6 由真由真误差差计算中算中误差及其差及其应用用一、由同精度独立的真误差计算(单位权)中误差的公式 若取观测值的权pi=1，则若有一组同精度独立观测的真误差为：则该组观测的中误差为：协方差传播律及权3-6 由真
21、由真误差差计算中算中误差及其差及其应用用二、利用不同精度的独立真误差计算单位权中误差的公式现有一组不等精度的独立观测值，它们对应的：其单位权中误差怎样计算？协方差传播律及权设有一组虚拟的观测值（其权为1）：由权倒数传播律得（说明什么？）对应的真误差关系（怎样得到？）利用上公式得到的中误差（或单位权中误差？）：推证：协方差传播律及权3-6 由真由真误差差计算中算中误差及其差及其应用用三、由真三、由真误差差计算算单位位权中中误差的差的实际应用用推证方法：1菲列菲列罗公式（由三角形公式（由三角形闭合差合差计算算测角中角中误差）差） 等精度独立观测三角形之内角，由此得到内角和闭合差为：w1，w2，,w
22、n ，测角中误差？协方差传播律及权内角和的中误差为而内角和与角度的函数关系式则由误差传播律得v上式称为菲列罗公式，在三角测量中用来初步评定测角的精度。上式称为菲列罗公式，在三角测量中用来初步评定测角的精度。协方差传播律及权2利用双利用双观测值之差求之差求单位位权中中误差差 在测量工作中，常常对一系列观测量分别进行成对的观测，成对的观测称为双观测。设对量X1，X2，Xn各测两次，得独立观测值为双观测之差为： 设同一对观测等精度，不同的观测对精度不同，且各观测对的权为： 单位权中误差？推证方法：协方差传播律及权一对观测的差数为：则差数的真误差：按协因数传播律得：由前述公式：得：v以上就是由双观测值
23、之差求单位权中误差的公式。以上就是由双观测值之差求单位权中误差的公式。协方差传播律及权设水准环的闭合差为 ，环线长为 ，水准网共有N个环；并设以1公里水准观测高差为单位权观测值；则单位权方差的估值为：3、由水准环线高差闭合差计算水准测量单位权方差协方差传播律及权设水准路线往返测高差闭合差为 ，路线长为 ，水准路线有N条；并设以1公里水准观测高差为单位权观测值；则单位权方差的估值为：4、由水准路线往返测高差闭合差计算单位权方差协方差传播律及权协方差传播律及权协方差传播律及权思考：如果设C=4，会有哪些不同？协方差传播律及权3-7 系系统误差的差的传播播*一、一、观测值的系的系统误差与差与综合方差
24、合方差综合合误差包括系差包括系统误差和偶然差和偶然误差差观测值的的综合合误差差的定的定义同真误差定义可知可知=E()=L E(L)，即期望即期望对真真值的的偏差。描述准确度的指偏差。描述准确度的指标综合方差合方差均方均方误差：差：协方差传播律及权3-7 系系统误差的差的传播播*二、系二、系统误差的差的传播播可得可得观测值Li的系的系统误差差i=E(i)，观测值的函数的函数对上式取期望上式取期望系统误差传播率协方差传播律及权3-7 系系统误差的差的传播播*三、系三、系统误差与偶然差与偶然误差差联合合传播播其其综合方差合方差观测值Li的函数的函数协方差传播律及权练习题2. 等精度独立观测值的中误差
25、均为，求X的中误差：1. 观测向量L协方差阵为 ，求函数的方差：协方差传播律及权练习题4. 在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为1mm，今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于5cm，问可以设多少站？问可以设多少站？5. 有一角度测有一角度测4个测回，得中误差为个测回，得中误差为0.42，问再增加多，问再增加多少个测回其中误差为少个测回其中误差为0.28？6.在相同观测条件下，水准测量了点在相同观测条件下，水准测量了点A，B，C之间的高之间的高差，三段水准路线长分别为差，三段水准路线长分别为S1=10km，S2=8km，S3=4km，令，令40km的高差观测值权为单位权观测，试求的高差观测值权为单位权观测，试求各段观测高差之权及单位权中误差。各段观测高差之权及单位权中误差。协方差传播律及权练习题8.同精度观测了角度同精度观测了角度A、B ，其权，其权pA=1/4，pB=1/2，已知，已知B=8“，试求单位权中误差及，试求单位权中误差及A角的中误差。角的中误差。9. 观测向量观测向量L的权阵为的权阵为 ，求各观测值的权。求各观测值的权。协方差传播律及权练习题协方差传播律及权练习题协方差传播律及权
