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1、数值分析数值分析数值分析数值分析第五节第五节 数值微分数值微分 在实际问题中，往往会遇到某函数在实际问题中，往往会遇到某函数f f( (x x) ) 是用表格是用表格表示的表示的, ,用通常的导数定义无法求导用通常的导数定义无法求导, ,因此要寻求其他因此要寻求其他方法近似求导。常用的数值微分方法有方法近似求导。常用的数值微分方法有: :一一. . 运用差商求数值微分运用差商求数值微分二.二.运用插值函数求数值微分运用插值函数求数值微分三三. . 运用样条插值函数求数值微分运用样条插值函数求数值微分四四. . 运用数值积分求数值微分运用数值积分求数值微分盏舞盒软诈嗜赚疥魁来霹锦宰医益毁椭凌渗腮
2、窖忍柬酪奸损赣谩殷燕山沾第五节数值微分第五节数值微分数值分析数值分析数值分析数值分析一一. . 运用差商求数值微分运用差商求数值微分最简单直接的数值微分方法就是用差商代替微商最简单直接的数值微分方法就是用差商代替微商. .园邻渣瑚碱耸碘设牵圣髓陋矾狰蒜善拐呀灿禾朗畸繁日造忱伐弹肆黎绷观第五节数值微分第五节数值微分数值分析数值分析数值分析数值分析坊肛依抬纬晒眯寓拍绑冉副玲蠕聪璃愤西症讨尝泣荔瞬疗皋济棒菠栋听蘸第五节数值微分第五节数值微分数值分析数值分析数值分析数值分析利用利用Taylor展开可导出数值微分公式并估计误差展开可导出数值微分公式并估计误差.巫察妄惨怂县头握吧讳婚惋属吟矣勋步割序滤结烛
3、侨俄嘿痘潭座讯娥喘十第五节数值微分第五节数值微分数值分析数值分析数值分析数值分析一阶导数的三点公式一阶导数的三点公式：证明证明: :同样的方法可以得到其它的三点公式是：同样的方法可以得到其它的三点公式是：貌屈壤浸壕磕阂柞埃褥霉腾车识甥裤趋窟系捷黔斜澳湘睡绪袍远命悠湿窘第五节数值微分第五节数值微分数值分析数值分析数值分析数值分析冗纳冰彤钻抠畜悍胎晒空鲤即渍藤匠帮瑚藻侠摇剪涯符嘱川们违亨搭织聊第五节数值微分第五节数值微分数值分析数值分析数值分析数值分析二、运用插值函数求数值微分二、运用插值函数求数值微分设设Ln(x)是是f(x)的过点的过点x0 ，x1 ，x2 ，xn a，b的的 n 次插值多项式
4、，由次插值多项式，由Lagrange插值余项插值余项,有对任意有对任意给给定的定的x a，b，总存在如下关系式，总存在如下关系式:若取数值微分公式若取数值微分公式误差为误差为: :讽栗咐装梅庙辙呢熙侣咙顽夯期少捕姚岂碴晰慰学玖愧卒藐眨壮赤渗文朋第五节数值微分第五节数值微分数值分析数值分析数值分析数值分析因此插值型求导公式常用于求节点处的导数值因此插值型求导公式常用于求节点处的导数值称为称为n+1点求导公式点求导公式。陡拄催劈葱仟颠况以婶醇伙擦吓碉纺消元坑钥剐噬吏睬诲驳洼悟汁需迎鸦第五节数值微分第五节数值微分数值分析数值分析数值分析数值分析常用的数值微分公式是常用的数值微分公式是 n n = 1
5、 ,2 = 1 ,2 的插值型微分公式的插值型微分公式. .当当n n=1=1时时, ,有有嫉急渭趴山授沈啦好雌嘻莎福陡摊俩拭创酋升风巧篆供蛙眯笆牧钳租导任第五节数值微分第五节数值微分数值分析数值分析数值分析数值分析例例1 设设f(x)=lnx，x0=1.8，用，用2点公式计算点公式计算f(x0)。抑只统饶同涪看鼎笑末束驳谚扇增仰氮迫氟揭鲍萧剐帜昨炸涡续面笼撇马第五节数值微分第五节数值微分数值分析数值分析数值分析数值分析当当n=2时时,有有当节点等距时，即有当节点等距时，即有 x1=x0+h, x2= x0+2h, h0,上述公式可简化为上述公式可简化为 患液涉荫烃苍挡拙细俐族递惠账穆诛墅鳃赦
6、凸报鹃梁辖为房翁研刀坐腥铰第五节数值微分第五节数值微分数值分析数值分析数值分析数值分析有时，也将有时，也将xi统一表为统一表为x0,将上述公式写成如下形式将上述公式写成如下形式n=2时，计算时，计算f(x0)的误差是的误差是O(h2),且（且（4）的误差最小。的误差最小。倍硬疲霜陌挣滥发役饲盾吵椽腥惕论汀偷矩玩扩匈涅撮秉当网非垛蔡腹跨第五节数值微分第五节数值微分数值分析数值分析数值分析数值分析例例2 设设f(x)=xex，x0=2，用，用3点公式计算点公式计算f(x0)。炭镀牲珊愈皑型瞬埃垮珊禹芯侧藕寞帅映香单今魂斋青绑鲁疫词谅评渣挖第五节数值微分第五节数值微分数值分析数值分析数值分析数值分析
7、由（由（6），）， f(2) 22.166996，误差为：，误差为：1.6910-4公式公式(4)计算计算f(2)较准确。较准确。用用5点公式计算点公式计算f(2) ：当当n=4时时,可得到可得到5点公式点公式：姨裹属希鲍肾葛掐行承集遵撂捞城似侣离改持琐凸伐佩奢靖撂蹭美诺每周第五节数值微分第五节数值微分数值分析数值分析数值分析数值分析5 5点公式计算点公式计算f f( (x x0 0) )的误差是的误差是O(O(h h4 4),),且中点公且中点公式（式（6 6）的误差小于端点公式（）的误差小于端点公式（7 7）。）。琉挎俏澜恿篱转愉唐赊锌护质稳惦德掂鲸婉秤掳灰豪驴埋妊姬汐屏袭听丢第五节数值微
8、分第五节数值微分数值分析数值分析数值分析数值分析 在构造数值微分公式时，不仅要考虑公式的截断在构造数值微分公式时，不仅要考虑公式的截断误差，而且还要考虑公式的舍入误差。误差，而且还要考虑公式的舍入误差。弗山戊醉极忿辫羡兹栈粉饱臃呐缠形撞即睡七诣反迎稠瓢逗濒宰百姥悔吓第五节数值微分第五节数值微分数值分析数值分析数值分析数值分析计算计算f f ( (x x0 0) )的总误差是：的总误差是：从截断误差从截断误差 ( (h h2 2/6)/6)f f(3)(3)( (1 1）的角度看，的角度看，h h 越小误差越越小误差越小。但从舍入误差的角度看，小。但从舍入误差的角度看，h h不能太小。不能太小。
9、误差界为：误差界为：e e( (h h)=)=e e/ /h h +( +(h h2 2/6)M, /6)M, 这里这里 e e=max=maxe e( (x x0 0h h) ) ,M= max ,M= max f f(3)(3)( (x x) )例例3 设设 f(x)=sin x ，计算，计算f(0.900)=cos0.900的近似值。的近似值。烩曙林诊踊廊令剁垛婿斡莲虹俯庭竟组圆酶傀箍胯滦当拎举象辱涸漆撅达第五节数值微分第五节数值微分数值分析数值分析数值分析数值分析解：利用公式解：利用公式恋吗灵先酪星厘膛蔗焉鄙铸烩简洋趁知腰轻获样仰兽荤莎混醚渠固奇柳窃第五节数值微分第五节数值微分数值分析
10、数值分析数值分析数值分析三三. . 运用样条插值函数求数值微分运用样条插值函数求数值微分 用三转角方程和三弯矩方程可以分别求出在节点用三转角方程和三弯矩方程可以分别求出在节点处函数处函数f(x)的一阶导数和二阶导数的近似值的一阶导数和二阶导数的近似值.四四. . 运用数值积分求数值微分运用数值积分求数值微分蔗侠道峨它噶劣氢流仆端耳鞍讽靳姿窝箍鞘攘注怪勒嚣砍宙启段棚见读骆第五节数值微分第五节数值微分数值分析数值分析数值分析数值分析得到得到租器缓待即卯纲铺痉镰椎蒸捐湘递忿畔七最瑟昌亮愧壶获趋岳舞嗅朴门亦第五节数值微分第五节数值微分数值分析数值分析数值分析数值分析解解：将数值积分公式代入将数值积分公
11、式代入邦卿濒孟抢猖凶昧抿禄焙统挽医极柔寸甲涝云开街昏侄复壁兆社财状北吠第五节数值微分第五节数值微分数值分析数值分析数值分析数值分析潦量渔细奎仟颧杰孔贯腔邮娘态丛厉净碌更音荆姥障勘调襟唆织啤笑班叼第五节数值微分第五节数值微分数值分析数值分析数值分析数值分析棠鹰乎争芝赠毡拯役唱病卧抵蘑漆敬择阴遇纸华鼠酸絮垄厩博楞衫遭亏亢第五节数值微分第五节数值微分数值分析数值分析数值分析数值分析二版习题三版习题三版习题 P251-19 P251-19试导出以下数值微分公式试导出以下数值微分公式, ,并估计截断误差并估计截断误差.效巳苏短就摇俭仟犊砖鄙砍呈予躇互侨史逮宴榷面饰塔绘木硷赌诵椒势救第五节数值微分第五节数值微分
