清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳

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1、非线性有限元非线性有限元第第9 9章章 梁和壳梁和壳 计算固体力学计算固体力学贯落炙掇惺仆斥橱徽肺稳盘付送拴淄吉雕恶规鹿咐丛藻六烈涪诸叠逆厢帚清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳第第9 9章章 梁和壳梁和壳 1 1引言引言2 2梁理论梁理论3 3基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁4 4CBCB梁的分析梁的分析5 5基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳6 6CBCB壳理论壳理论7 7剪切和膜自锁剪切和膜自锁8 8假设应变单元假设应变单元9 9一点积分单元一点积分单元笑俱雍罗锹学嘴眨谎棘抵有啊怨楚敝谁下阵降灌倒悦衍猎些放辗娥挑匠曝清华大学计算固体力学第

2、九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳1 1 引言引言 第第8 8章章介介绍绍了了平平面面单单元元( (二二维维) )和和实实体体单单元元( (三维三维) ) 在在二二维维问问题题中中，最最经经常常应应用用的的低低阶阶单单元元是是3 3节节点点三三角角形形和和4 4节节点点四四边边形形。在在三三维维单单元元中中，是是4 4节节点点四四面面体体和和8 8节点六面体单元。节点六面体单元。泥身堪情性瞬潞沸鼎扰瑰哈顾迈灌搬踢佣滓含兢蛰秒主贝壮刺陵螺气提努清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳结构单元结构单元可以分类为：可以分类为：梁，运动由仅含一个独立变量

3、的函数描述；梁，运动由仅含一个独立变量的函数描述；壳，运动由包含两个独立变量的函数描述；壳，运动由包含两个独立变量的函数描述；板，即平面的壳，沿其表面法线方向加载；板，即平面的壳，沿其表面法线方向加载；膜，面内刚度很大，面外刚度很小的薄壳。膜，面内刚度很大，面外刚度很小的薄壳。1 1 引言引言 狰爷猾沤为疡高盖佃座耸街霄慕报放捧咯状慷屿坐饼撤锅陌丁夹墙九嵌横清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳1 1 引言引言 在在工工程程构构件件和和结结构构的的模模拟拟中中，梁梁和和壳壳及及其其他他结结构构单单元元是是极极为为有有用用的的。应应用用薄薄壳壳，如如汽汽车车中中

4、的的金金属属薄薄板板，飞飞机机的的机机舱舱、机机翼翼和和风风向向舵；以及某些产品的外壳，如手机、洗衣机和计算机。舵；以及某些产品的外壳，如手机、洗衣机和计算机。 用用连连续续体体单单元元模模拟拟这这些些构构件件需需要要大大量量的的单单元元，如如采采用用六六面面体体单单元元模模拟拟一一根根梁梁沿沿厚厚度度方方向向至至少少需需要要5 5个个单单元元，而而既既便便采采用用低低阶阶的的壳壳单单元也能够代替元也能够代替5 5个或者更多个连续体单元，极大地改善了运算效率。个或者更多个连续体单元，极大地改善了运算效率。 应应用用连连续续体体单单元元模模拟拟薄薄壁壁结结构构常常常常导导致致较较高高的的宽宽厚厚

5、比比，从从而而降降低了方程的适应条件和解答的精度。低了方程的适应条件和解答的精度。 在在显显式式方方法法中中，根根据据稳稳定定性性的的要要求求，采采用用连连续续体体单单元元的的薄薄壁壁结结构被限制在非常小的时间步。构被限制在非常小的时间步。译翘伶阔墨渝茶细耻剩耻屈竭起览儿氯放硼搬伐物因翔粤捉巨史纲搓分吮清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳1 1 引言引言 通过两种途径建立壳体有限元：通过两种途径建立壳体有限元：1 1 应用经典壳方程的动量平衡应用经典壳方程的动量平衡( (或平衡或平衡) )的弱形式；的弱形式；2 2 结构的假设直接由连续体单元建立基于连续体结

6、构的假设直接由连续体单元建立基于连续体(CB)(CB)方法方法。 第第一一种种途途径径是是困困难难的的，尤尤其其是是对对于于非非线线性性壳壳，因因为为对对于于非非线线性性壳壳的的控控制制方方程程是是非非常常复复杂杂的的，处处理理起起来来相相当当不不方方便便；它它们们的的公公式式通通常常由由张张量量的的曲曲线线分分量量来来表表示示，并并且且其其特特征征，诸诸如如厚厚度度、连连接接件件和和加加强强件件的的变变量量一一般般也也是是难难以以组组合合。而而且且对对于于什什么么是是最最佳佳的的非非线线性性壳壳方方程的观点也不一致。程的观点也不一致。 第第二二种种CBCB方方法法( (基基于于连连续续体体)

7、 )是是直直观观的的，得得到到非非常常好好的的解解答答，它它适适用用于于任任意意的的大大变变形形问问题题并并被被广广泛泛地地应应用用于于商商业业软软件件和和研研究究中中。因因此，我们将关注此，我们将关注CBCB方法。这种方法也称为退化的连续体方法。方法。这种方法也称为退化的连续体方法。助很魄谭三窑隅赐译炸撅祈嘻耳投觅局峪劝沸涉伺雄咎幂云哨勋渴淤硅钠清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳1 1 引言引言 在在大大多多数数板板壳壳理理论论中中，通通过过强强制制引引入入运运动动假假设设建建立立平平衡衡或或者者动动量方程，然后应用虚功原理推导偏微分方程。量方程，然后应

8、用虚功原理推导偏微分方程。 在在CBCB方方法法中中，在在连连续续体体弱弱形形式式的的变变分分和和试试函函数数中中强强制制引引入入运运动动假假设设。因因此此，对对于于获获得得壳壳和和其其它它结结构构的的离离散散方方程程，CBCB壳壳方方法法更更加加直直观。在关于壳的观。在关于壳的CBCB方法中，由两种途径强化运动假设：方法中，由两种途径强化运动假设：1 1）在连续体运动的弱形式中，或者）在连续体运动的弱形式中，或者2 2）在连续体的离散方程。）在连续体的离散方程。 由由二二维维梁梁描描述述CBCB方方法法编编程程特特点点，应应用用第第一一种种途途径径的的理理论论，检检验验CBCB梁梁单单元元。

9、建建立立CBCB壳壳单单元元，编编程程，发发展展CBCB壳壳理理论论，结结合合由由于于大大变变形形在厚度上变化的处理方法，给出在三维问题中描述大转动的方法。在厚度上变化的处理方法，给出在三维问题中描述大转动的方法。 CBCB壳壳单单元元的的两两点点不不足足：剪剪切切和和膜膜自自锁锁。将将描描述述假假设设应应变变场场的的方方法防止发生自锁，给出了缓和剪切和膜自锁的单元例子。法防止发生自锁，给出了缓和剪切和膜自锁的单元例子。 描描述述应应用用在在显显式式程程序序中中的的4 4节节点点四四边边形形壳壳单单元元一一点点积积分分单单元元。这些单元是快速和强健的，并且适用于大规模问题的计算。这些单元是快速

10、和强健的，并且适用于大规模问题的计算。酶私冶毅侨邻当碍茹漏吉昼烷虐毁后菇诱枝蔷未卸兜执伶紫蝗称圾篇赦俐清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳 当当结结构构一一个个方方向向的的尺尺度度( (长长度度) )明明显显大大于于其其它它两两个个方方向向的的尺尺度度，并并且且沿沿长长度度方方向向的的应应力力最最重重要要时时，可可以以用用梁梁单单元元模模拟拟。梁梁理理论论的的基基本本假假设设是是：由由一一组组变变量量可可以以完完全全确确定定结结构构的的变变形形，而而这这组组变变量量只只是是沿沿着着结结构构长长度度方方向向位位置置的的函函数数。应应用用梁梁理理论论获获得得可可

11、接接受受的的结结果果，横横截截面面尺尺度度必必须须小小于于结结构构典典型型轴轴向向尺尺度度的的1/101/10。典型的轴向尺度典型的轴向尺度为：为： 支承点之间的距离；支承点之间的距离； 横截面发生显著变化部分之间的距离；横截面发生显著变化部分之间的距离； 所关注的最高阶振型的波长。所关注的最高阶振型的波长。 梁梁单单元元假假设设在在变变形形中中垂垂直直于于梁梁轴轴线线的的横横截截面面保保持持平平面面。不不要要误误解解横横截截面面的的尺尺度度必必须须小小于于典典型型单单元元长长度度1/101/10的的提提法法。高高度度精精细细的的网网格格中中可可能能包包含含长长度度小小于于其其横横截截面面尺尺

12、寸寸的的梁梁单单元元( (尽尽管管一一般不建议这样做般不建议这样做) )，在这种情况下实体单元可能更适合。，在这种情况下实体单元可能更适合。2 2 梁理论梁理论娩伺娄看程室控疤曾拙添彭屏瓷嘛吾俘艺熔力桌掀蔡欺剿开炕歼厄鞋拯头清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳2 2 梁理论梁理论梁理论的假设梁理论的假设 运运动动学学假假设设关关注注梁梁的的中中线线( (也也称称为为参参考考线线) )的的运运动动。由由垂垂直于中线定义的平面称之为法平面。直于中线定义的平面称之为法平面。 梁横截面几何形状梁横截面几何形状 琵玛葵嫩闲背献乃糜遥隧聘斧狭拙肋庙聪疾浓嗣磊粮最但卤蜒龄

13、蓝苹钒赏清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳 广泛应用的梁理论有两种：其运动学假设是：广泛应用的梁理论有两种：其运动学假设是：Euler-Bernoulli梁梁：假假设设中中线线的的法法平平面面保保持持平平面面和和法法向向；称称为为工工程程梁理论，而相应的壳理论称为梁理论，而相应的壳理论称为Kirchhoff-Love壳理论。壳理论。Timoshenko梁梁：假假设设中中线线的的法法平平面面保保持持平平面面，但但不不一一定定是是法法向向；称为剪切梁理论，相应的壳理论称为称为剪切梁理论，相应的壳理论称为Mindlin-Reissner壳理论。壳理论。2 2 梁

14、理论梁理论梁理论的假设梁理论的假设 考考虑虑一一点点P P的的运运动动，它它在在中中线线上上的的正正交交投投影影为为点点C C。如如果果法法平平面面转动视为一个刚体，则转动视为一个刚体，则P P点的速度相对于点的速度相对于C C点的速度给出为点的速度给出为抵筐惶吩串极绘埔侠驮晴琼赶孩眯栓享操熏渣扑蜡贷丛荆患煮科子汝钒糙清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳2 2 梁理论梁理论TimoshenkoTimoshenko梁理论梁理论在二维问题中，角速度的非零分量是在二维问题中，角速度的非零分量是z 分量，所以分量，所以 法线的角速率 相对速度相对速度为为 中线上任何

15、一点的速度是中线上任何一点的速度是 x 和时间和时间 t 的函数，因此有的函数，因此有即梁上任何一点的速度是相对速度和中线速度之和即梁上任何一点的速度是相对速度和中线速度之和路酵庶肃篱桩饺坦夸释概傣拎群沫掀宽舔绍优桔也臃仓衣客米困慈饼救都清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳2 2 梁理论梁理论TimoshenkoTimoshenko梁理论梁理论应用变形率的定义应用变形率的定义 变形率的非零分量只有轴向分量变形率的非零分量只有轴向分量和剪切分量，后者为和剪切分量，后者为横行剪切横行剪切。 由由于于梁梁内内的的变变形形率率是是有有限限的的，非非独独立立变变量量

16、和和 只只要要求求C C0 0 连连续续，位位移移（挠挠度度）和和截截面面转转动动各各自自独独立立，使使截截面面发发生生剪剪切变形后保持平面。切变形后保持平面。渍窝甜设谢底镍安钎蜡徒禹儡痛酋摈伦芳迷癣蛙实骂挪礼拷阿赔所川橙拂清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳Euler-BernoulliEuler-Bernoulli理论理论 运运动动学学假假设设是是法法平平面面保保持持平平面面和和法法向向，因因此此，法法线线的的角角速速度是由中线的斜率的变化率给出度是由中线的斜率的变化率给出上上式式等等价价于于要要求求剪剪切切分分量量为为零零，表表示示在在法法线线和和中中

17、线线之之间间的的夹夹角角没没有变化，即法线保持法向。轴向速度则给出为有变化，即法线保持法向。轴向速度则给出为 变形率给出为变形率给出为 2 2 梁理论梁理论注意在上式中的两个特征：注意在上式中的两个特征：1 1）横向剪切为零；）横向剪切为零；2 2）在在变变形形率率的的表表达达式式中中出出现现了了速速度度的的二二阶阶导导数数，梁梁内内的的变变形形率率是有限的，即非独立变量的速度场必须为是有限的，即非独立变量的速度场必须为C C1 1连续。连续。流献辩瞳碟鹏缓陕赊美喜剧适藻晰睫霄煞甄毡告令娃勋箍处泥腋皮再癣奖清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳Euler-Be

18、rnoulliEuler-Bernoulli理论理论 2 2 梁理论梁理论 E-BE-B梁梁理理论论常常称称为为C C1 1 理理论论，因因为为它它要要求求C C1 1 近近似似。转转角角由由位位移移对对坐坐标标的的导导数数给给出出( (区区别别于于TimTim梁梁位位移移与与转转角角相相对对独独立立) )。梁梁单单元元常常是基于常常是基于E-BE-B理论，在一维情况下，理论，在一维情况下，C C1 1 插值是很容易构造的。插值是很容易构造的。 TimoshenkoTimoshenko梁梁有有两两个个非非独独立立变变量量( (未未知知) )，在在E-BE-B梁梁中中只只有有一一个个非非独独立立

19、变变量量。类类似似的的简简化化发发生生在在相相应应的的壳壳理理论论中中：在在Kirchhoff-LoveKirchhoff-Love壳壳理理论论中中只只有有3 3个个非非独独立立变变量量，而而在在Mindlin-Mindlin-ReissnerReissner壳理论中有壳理论中有5 5个非独立变量（经常应用个非独立变量（经常应用6 6个）。个）。 E-BE-B梁梁理理论论要要求求C C1 1 近近似似是是E-BE-B和和Kirchhoff-LoveKirchhoff-Love理理论论的的最最大大缺缺陷陷，在在多多维维空空间间中中C C1 1 近近似似是是很很难难构构造造的的。由由于于这这个个原

20、原因因，在在软软件件中除了针对梁之外很少应用中除了针对梁之外很少应用C C1 1 构造理论。构造理论。闰疵善栗炭矗斡啊琼檬鸦东迸琐牙匠拦阁仆骂缘讲起芒宾啊聂娇烃几绦材清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳2 2 梁理论梁理论 横横向向剪剪切切在在厚厚梁梁中中是是明明显显的的，在在TimoshenkoTimoshenko梁梁和和MindlinMindlin壳壳中中常常常常应应用用。当当梁梁趋趋于于薄薄梁梁时时，TimoshenkoTimoshenko梁梁中中的的横横向向剪剪切切在在理理想想性性能能单单元元情情况况将将趋趋于于零零。因因此此，在在数数值值结结果果中

21、中也也观观察察到到了了垂垂直直假设，它隐含着对于薄梁横向剪切为零。假设，它隐含着对于薄梁横向剪切为零。 这这些些假假设设主主要要是是以以实实验验为为依依据据的的：这这一一理理论论预预测测与与实实验验测测量量相吻合。对于弹性材料，梁的闭合形式解析解也支持这一理论。相吻合。对于弹性材料，梁的闭合形式解析解也支持这一理论。 它它带带来来的的好好处处是是在在有有限限元元程程序序中中，用用中中厚厚壳壳代代替替薄薄壳壳，用用铁铁摩钦柯梁代替伯努利梁。摩钦柯梁代替伯努利梁。 咒书瘟澜徊岔县擦起氨孙诫除汕慧萎贝平撬胎熟僻跺烬喳艺虾奴框碎烃拜清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和

22、壳3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁为什么要建立为什么要建立CBCB梁和梁和CBCB壳：壳：1 1 梁与板壳组合的偏置梁与板壳组合的偏置(offset)(offset)2 2 接触问题的处理接触问题的处理3 3 边界条件的处理边界条件的处理 通通过过指指定定一一个个偏偏置置量量，可可以以引引入入偏偏置置。偏偏置置量量定定义义为为从从壳壳的的中中面到壳的参考表面的距离与壳体厚度的比值。面到壳的参考表面的距离与壳体厚度的比值。梁作为壳单元的加强部件：（梁作为壳单元的加强部件：（a a）梁截面无偏置）梁截面无偏置 （b b）梁截面有偏置）梁截面有偏置 席豁亲帕铂碱垮她氰呵橙瞪杂娄酥斩哭

23、乘牢旱薯诱把献胁械恶崖梆鹰赐氏清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁 建建立立CBCB二二维维梁梁的的公公式式，结结构构的的控控制制方方程程与与连连续续体体的的控制方程是一致的：控制方程是一致的： 质量守恒质量守恒线动量和角动量守恒线动量和角动量守恒能量守恒能量守恒本构方程本构方程应变应变- -位移方程位移方程勾殆湾衰菲阔舍咀痴绣腻运毕窃灵越洛址藤拎读促巧雹朴籽人姥贿愿诞壬清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳右为右为CBCB梁单元，左为母单元。连续体单元的节点仅在顶部和底部，梁

24、单元，左为母单元。连续体单元的节点仅在顶部和底部，在在 方向的运动一定是线性的。这些节点称为方向的运动一定是线性的。这些节点称为从属节点从属节点 3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁为常数的线称为为常数的线称为纤维纤维，沿着纤维的单位矢量称为，沿着纤维的单位矢量称为方向矢量方向矢量 为常数的线称为为常数的线称为迭层迭层 主控节点主控节点 毛树态椅喘瓢煽屹磷遵夏恕妓栅滩牛瓦赐檄凰市镣臃狱薪性垛诗擂枪凤削清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁从属节点从属节点 主控节点主控节点 在在纤纤维维将将从从属属节节

25、点点与与参参考考线线连连接接的的内内部部截截面面上上，引引入入主主控控节节点点，其其自自由由度度描描述述了了梁梁的的运运动动。以以主主控控节节点点的的广广义义力力和和速速度度建建立立运运动动方方程程。在在一一条条纤纤维维上上，每每一一主主控控节节点点联联系系一一对对从从属属节节点点，三三点共线点共线。允季含丽胯呆谅澎谢勃疲赣酋冕隐赊沤操赎转内吻由卜握蔷侗吊搁兔慑逼清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁假设假设： 1 1 纤维保持直线；纤维保持直线； 2 2 横向正应力忽略不计，即横向正应力忽略不计，即平面应力条件

26、平面应力条件 ； 3 3 纤维不伸缩。纤维不伸缩。 第第一一个个假假设设与与经经典典的的Mindlin-ReissnerMindlin-Reissner假假设设中中要要求求法法线线保保持持直线是不同的，直线是不同的，纤维可以不垂直于中线纤维可以不垂直于中线，称其为修正的，称其为修正的M-RM-R假设。假设。 如如果果CBCB梁梁单单元元近近似似地地为为TimoshenkoTimoshenko梁梁，其其纤纤维维方方向向尽尽可可能能地地接接近近中中线线的的法法线线方方向向是是必必要要的的，通通过过指指定定从从属属节节点点的的初初始始位位置置可可以以 实实 现现 这这 一一 点点 。 否否 则则 ，

27、 CBCB梁梁 单单 元元 的的 行行 为为 将将 从从 根根 本本 上上 偏偏 离离TimoshenkoTimoshenko梁，并且可能与所观察到的梁的行为不一致。梁，并且可能与所观察到的梁的行为不一致。 怯聋改芯挥购盏川泣蛊傀窑啊铂扭猴绦勇绪紊孟很履冻叛舜扰咆伺粘笺细清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁 注注意意到到纤纤维维的的不不可可伸伸缩缩仅仅适适用用于于运运动动学学描描述述，不不适适用用于于动动力力学学描描述述。不不可可伸伸缩缩性性与与平平面面应应力力的的假假设设相相矛矛盾盾：纤纤维维通通常常接接近近

28、于于y y方方向向，如果如果 ，则必须考虑速度应变，则必须考虑速度应变 。 通通过过不不使使用用运运动动，而而是是由由本本构构方方程程来来计计算算 ，消消除除了了这这种种矛矛盾盾。令令 ，由由 计计算算沿沿厚厚度度方方向向的的变变化化。这这等等价价于于由由物物质质守守恒恒获获得得厚厚度度，因因为为平平面面应应力力的的本本构构方方程程与与物物质质守守恒恒有有关关。然然后后修修正正节节点点内内力力以以反反映映沿沿厚厚度度方方向向的的变变化化。这这样样，不不可可伸伸缩缩性性的的假设仅仅适用于运动。假设仅仅适用于运动。 假设假设：1 1 纤维保持直线；纤维保持直线； 2 2 横向正应力忽略不计，即横向

29、正应力忽略不计，即平面应力条件平面应力条件 ； 3 3 纤维不伸缩。纤维不伸缩。片曼西拄坐率孙栋萌矗咬晓宰楷栏栽砸憾蝗紫锻草速制杖照嚣恍教辈硼骆清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁运动运动：通过主控节点的平移：通过主控节点的平移x(t), y(t)x(t), y(t)和节点方向矢量的旋转描述和节点方向矢量的旋转描述运动运动从从x x 轴逆时针旋转的转角为正轴逆时针旋转的转角为正通过对连续体单元的标准等参映射，由从属节点运动给出梁的运动通过对连续体单元的标准等参映射，由从属节点运动给出梁的运动 连续体的标准形函数

30、（在节点指标中连续体的标准形函数（在节点指标中* *代表上节点或下节点）代表上节点或下节点） 为为了了使使上上面面的的运运动动与与修修正正的的M-RM-R假假设设相相一一致致，基基本本连连续续体体单单元元的的形形函函数数在在 方方向向必必须须是是线线性性的的。因因此此，母母单单元元在在该该方方向向只只有有两个节点，沿着纤维方向只能有两个节点。速度场为两个节点，沿着纤维方向只能有两个节点。速度场为主认辑卢洁炮拯瞥余喻嚼艘贼墩兜辞迭杠浮缩留署炬挎镰茎莎避供鞘瞩汁清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁运动运动在从属节点

31、的运动中，现在强制引入不可伸缩条件和修正的在从属节点的运动中，现在强制引入不可伸缩条件和修正的M-RM-R假设假设 pI为为主主控控节节点点的的方方向向矢矢量量，h0 是是伪伪厚厚度度( (初初始始厚厚度度) )，因因为为它它是是沿沿着着纤纤维维方方向向在在单单元元的的顶顶部部与与底底部部之之间间的的距距离离。这这是是连连续续体体单单元元向向CBCB梁梁单元转化的关键一步单元转化的关键一步。 当前节点的方向矢量给出为当前节点的方向矢量给出为 总体基矢量总体基矢量 呵剖借恨鸽泽投禽羊脾晶箍旨松肿撮挞茎袖谊氦组逻沂薪剿佃映范盲筹塑清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁

32、和壳3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁从属节点从属节点的速度是坐标的材料时间导数，服从的速度是坐标的材料时间导数，服从由每个节点的三个自由度描述由每个节点的三个自由度描述主控节点主控节点的运动的运动 运动运动写出矩阵的形式写出矩阵的形式为为上上标标slaveslave和和mastmast强强调调连连续续体体节节点点是是从从属属节节点点，梁梁节节点点为为主主控控节点。节点。谗女气莹临夷爱伎叁羹济吸洪禹眷准熬氰岔瑶篷幢蝉贸跺朴晌泪墩与报誊清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁由于从属节点速度是与主控节点

33、速度相关的，所以节点力的关系为由于从属节点速度是与主控节点速度相关的，所以节点力的关系为节点力与主控节点的速度是功率耦合的，在节点力与主控节点的速度是功率耦合的，在I 处处 节点力节点力 可以看出可以看出水跺矣协祖尉踩壹炼冗惯生窗易诡倘久道铆呛么铝白甸砍瑞涪竣玫肉朔员清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳 为为了了将将标标准准连连续续体体单单元元转转化化为为CBCB梁梁单单元元，必必须须强强化化平平面面应应力力假假设设。采采用用应应力力和和速速度度应应变变的的层层间间分分量量是是方方便便的的。构构造造每每层层的的基基矢矢量量为为 3 3 基于连续体的梁基于连续

34、体的梁CBCB梁梁与迭层正切与迭层正切 垂直于迭层垂直于迭层 本构更新本构更新 忱肘谎辖陕发讣沼暴袱格咐脂鸦聂歉蓟亨壬抿烤格涯写酣守彬侄篡桶搜翔清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁 在在迭迭层层分分量量上上加加“帽帽子子”，它它们们随随着着材材料料转转动动，因因此此考考虑虑是是共共旋旋的。变形率的迭层分量给出：的。变形率的迭层分量给出：在应力计算中，必须观察平面应力约束在应力计算中，必须观察平面应力约束如果本构方程是率的形式，则约束是如果本构方程是率的形式，则约束是例如，对于各向同性次弹性材料，应力率分量给出为

35、例如，对于各向同性次弹性材料，应力率分量给出为求解得到求解得到 硒眺焙再壤肾柿呢架八羹甘讥琵叹敷攀初术服锭走甫崎喘谣目砰毯驱往蛹清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁求解得到求解得到 对对于于更更为为一一般般的的材材料料( (包包括括模模型型中中缺缺少少对对称称性性的的定定律律，诸诸如如非关联塑性的材料非关联塑性的材料) )，本构率关系可以写成为，本构率关系可以写成为为切线模量，最后一个方程强调了平面应力条件，求解为切线模量，最后一个方程强调了平面应力条件，求解 D Dyyyy 戎酷普轨洞绿关恿烩瘦顾室郁妊预账迪

36、菩澎少描渴胞琳试牧困蜡择线斟荧清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁节点内力节点内力 除除了了强强制制平平面面应应力力条条件件外外，从从属属节节点点内内力力采采用用与与连连续续体体单单元元节节点点内内力力相相同同的的计计算算。积积分分由由数数值值积积分分求求得得。在在CBCB梁梁中中既既不不应应用用完完全全积积分分公公式式，也也不不应应用用选选择择减减缩缩积积分分公公式式(4-5-33)(4-5-33)。这这两两种种方方法法都都会会导致剪切自锁导致剪切自锁( (见第见第7 7节节) )。 在在2 2节点单元中，在

37、节点单元中，在处处采用单一束积分点采用单一束积分点，可以避免剪切自锁。，可以避免剪切自锁。 这这种种积积分分方方法法也也称称为为选选择择减减缩缩积积分分。它它能能精精确确地地积积分分求求得得轴轴向向正正应力，但是不能准确地积分求得横向切应力应力，但是不能准确地积分求得横向切应力 惰敬黑涨垄化把腹麻易庐敬涌杜汲旱封盘寺男柑俏迸未怖您簿癣堪鉴猎垂清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁 沿沿方向的积分点数目依赖于材料定律和对精度的要求。方向的积分点数目依赖于材料定律和对精度的要求。1 1 平滑的超弹性材料定律，平滑的超

38、弹性材料定律，3 3个积分点是足够的。个积分点是足够的。2 2 弹弹- -塑性材料，应力分布不是连续可导至少需要塑性材料，应力分布不是连续可导至少需要5 5个积分点。个积分点。 对对于于弹弹- -塑塑性性材材料料定定律律，沿沿方方向向的的GaussGauss积积分分并并不不是是最最佳佳选选择择，因因为为这这些些积积分分方方法法是是基基于于高高阶阶多多项项式式的的插插值值，其其默默认认假假设设数数据据是是平平滑滑的的。所所以以，对对于于非非光光滑滑函函数数，常常常常采采用用梯梯形形规规则则，其其运运算效率更高。算效率更高。通捉骤谦好峻鹏费躯近司凋矣惭必厕究往郎菇颓算震滦阻疚腑巧宅律帅策清华大学计

39、算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳3 3 基于连续体的梁基于连续体的梁CBCB梁梁 为为了了说说明明在在剪剪切切自自锁锁情情况况下下，选选择择减减缩缩积积分分的的过过程程，考考虑虑一个基于一个基于4 4节点四边形连续体单元的节点四边形连续体单元的2 2节点梁单元。通过对在节点梁单元。通过对在处一串积分点的积分得到节点力：处一串积分点的积分得到节点力：质量矩阵质量矩阵 CBCB梁单元的质量矩阵可以由转换公式得到：梁单元的质量矩阵可以由转换公式得到：运动方程运动方程 对于对角化质量矩阵，在一个主控节点的运动方程为对于对角化质量矩阵，在一个主控节点的运动方程为间傻刀串蹋负

40、仁寓舱母怪炼途凹猪揉剑慷阜捐顺喜跃行匪经彭梨呵妙鬼孵清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳4 CB4 CB梁的分析梁的分析例例9.1 29.1 2节点梁单元节点梁单元 应应用用CBCB梁梁理理论论建建立立基基于于4 4节节点点四四边边形形连连续续体体的的2 2节节点点CBCB梁梁单单元元，将将参参考考线线( (中中线线) )置置于于上上下下表表面面的的中中间间位位置置，将将主主控控节节点点放放置在参考线与单元边界的交点处，从属节点是角点。置在参考线与单元边界的交点处，从属节点是角点。主控主控节点点 从属从属节点点 涝肇扁蓄疯皮细忌男承镣涤绒蛛斡朋绑厦康滦捎针耗

41、闸偿煎袜蛮琅酌廷厕清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳4 4节点连续体单元的运动节点连续体单元的运动上述的运动得到上述的运动得到 令令 也给出也给出4节点连续体单元的运动节点连续体单元的运动 例例9.1 29.1 2节点梁单元节点梁单元 膏摈铭奔必姻帕憾跳虽疙独里筑龚污禄谱荆女祝谁性困寸熟铰燎尼密爪阐清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳4 CB4 CB梁的分析梁的分析所所有有纤纤维维的的不不可可伸伸长长性性 尽尽管管节节点点的的纤纤维维是是不不可可伸伸长长的的，在在一一个个单单元元中中的的其其它它纤纤维维可可能能发发生生长

42、长度度的的变变化化。通通过过图图示示的的指指定定条条件件，不不用用任何方程就可以看到：在中点处的纤维明显变短了。任何方程就可以看到：在中点处的纤维明显变短了。节点力：节点力：主控节点力由从属节点力给出主控节点力由从属节点力给出 迅粮厢裔吭坛储朋留椅历滑询策碰儿皱颊疮簧育狸煞恍钝釜纷乞志儡纱段清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳4 CB4 CB梁的分析梁的分析计算上式得到计算上式得到这个变换给出了平衡的结果：这个变换给出了平衡的结果：1.主控节点力是从属节点力的合力；主控节点力是从属节点力的合力；2.主控节点力矩是从属节点力绕主控节点的力矩。主控节点力矩是从属

43、节点力绕主控节点的力矩。GreenGreen应变应变 以以PK2PK2应力和应力和GreenGreen应变的形式应用于本构方程。应变的形式应用于本构方程。 块蛊厅位仁侨叛泌艺啮胎湍妒请娃朽轩框棒喜姻溺篆绞央围斯瘟瘪购军批清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳从属节点的位置从属节点的位置 4 CB4 CB梁的分析梁的分析通过取节点坐标的差值得到从属节点的位移。通过通过取节点坐标的差值得到从属节点的位移。通过给给出出的的连连续续体体位位移移场场，则则可可以以得得到到任任何何点点的的位位移移。通通过过本本构构关关系和系和PK2PK2应力则可以计算应力则可以计算Gre

44、enGreen应变。应变。 初始和当前构形的方向矢量给出为初始和当前构形的方向矢量给出为 慎琴篡赛慰搽毗浚疮助渔子顶旬室畜菊处佩降冯寄庚希麓兜柏蝉眨璃咸挤清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳矩矩形形单单元元的的速速度度应应变变 当当基基本本连连续续体体单单元元为为矩矩形形，并并且且梁梁的的中中线线沿沿着着x x轴时，由于方向矢量是沿着轴时，由于方向矢量是沿着y y方向方向 4 CB4 CB梁的分析梁的分析用一维形式写出上式的分量，线性形状函数给出用一维形式写出上式的分量，线性形状函数给出其中其中 速度应变分量则给出为速度应变分量则给出为：由平面应力条件计算分

45、量由平面应力条件计算分量 拖肖卜金般晒蝴促拷邵洞峦糜星释抽阮元恨侥族畦的亚专懂鸡河崩蒲柳兑清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳剪切自锁剪切自锁 4 CB4 CB梁的分析梁的分析 为为了了检检验验剪剪切切自自锁锁的的原原因因，考考虑虑例例9.19.1的的2 2节节点点梁梁单单元元。令令单单元元位于位于x x 轴方向，线性响应，因此在运动学中，用线性应变轴方向，线性响应，因此在运动学中，用线性应变代替代替 用位移代替速度。由公式的对应部分给出横向剪切应变：用位移代替速度。由公式的对应部分给出横向剪切应变：考虑在纯弯状态下的单元有考虑在纯弯状态下的单元有 对于这些

46、节点位移，给出对于这些节点位移，给出由平衡方程，当力矩为常数时，剪力为零。由平衡方程，当力矩为常数时，剪力为零。 但是在大多数单元中，横向剪切应变和剪切应力不为零但是在大多数单元中，横向剪切应变和剪切应力不为零事实上，除了在事实上，除了在 外它们处处不为零。出现外它们处处不为零。出现附加剪切附加剪切( (见上图见上图) )。 赛心石港废捆垛琉筏孤菩蠕拴毯臻硒公刹穆庇图馆迁似瓤仍麻瑟精酥龙巳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳剪切自锁剪切自锁 4 CB4 CB梁的分析梁的分析 这这附附加加的的横横向向剪剪切切对对于于单单元元的的性性能能具具有有很很大大的的影影

47、响响。为为了了解解释释这这种种影影响响的的严严重重性性，对对于于一一个个单单位位宽宽度度矩矩形形横横截截面面的的线线弹弹性性梁梁，检检验与弯曲和剪切应变有关的能量。上面节点位移的弯曲能量给出为验与弯曲和剪切应变有关的能量。上面节点位移的弯曲能量给出为关于梁的剪切能量给出为关于梁的剪切能量给出为这两种能量的比值为这两种能量的比值为当当剪剪切切能能量量是是显显著著地地大大于于弯弯曲曲能能量量。由由于于在在纯纯弯弯曲曲中中剪剪切切能能量量应应该该为为零零，这这附附加加剪剪切切能能量量吸吸收收了了大大部部分分的的能能量量。其其结结果果是是明明显显地地低低估估了了总总体体位位移移。采采用用单单元元细细划

48、划使使得得剪剪切切自自锁锁的的单单元元可可以以收收敛敛于于精精确确解解，只是非常慢。而只是非常慢。而体积自锁根本得不到收敛结果体积自锁根本得不到收敛结果。锐伤保芥止膳输姜糖镭践抡颇铲筹芝龋祷团钧问伐荔泳咨校淖灌咯余峙涩清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳剪切自锁剪切自锁 4 CB4 CB梁的分析梁的分析 由由方方程程立立即即提提出出问问题题，在在这这些些单单元元中中为为什什么么不不采采用用不不完完全全积积分分消消除除剪剪切切自自锁锁：注注意意到到在在 处处横横向向剪剪力力为为零零，这这对对应应于于在在一一点点积积分分中中的的积积分分点点。因因此此，通通过过对

49、对剪剪切切相相关关项项的的不不完完全全积积分分消消除除了了伪伪横向剪切。横向剪切。 相相对对于于2 2节节点点梁梁，在在采采用用二二次次插插值值的的3 3节节点点梁梁中中，剪剪切切自自锁锁是是很很不明显的。考虑一个长为不明显的。考虑一个长为 l 的的3 3节点梁单元，采用母坐标节点梁单元，采用母坐标 在该单元中的剪切应变给出为在该单元中的剪切应变给出为钾宪钎揪彼羊吻滇描哲兵泞咸愚冕懊惜皖彻旺诚爪兔札粘烦痢衬辫勋朵新清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳剪切自锁剪切自锁 4 CB4 CB梁的分析梁的分析考虑纯弯曲的状态，考虑纯弯曲的状态， 将将这这些些节节点点位

50、位移移代代入入公公式式，证证明明在在单单元元中中横横向向剪剪切切为为零零。基基于于这这个结果，这里没有理由出现自锁。但是，考虑另外一种变形个结果，这里没有理由出现自锁。但是，考虑另外一种变形 由由于于法法线线保保持持法法向向，剪剪力力应应该该为为零零。但但是是，公公式式却却给给出出了了横横向向剪剪切，相应于这种变形的节点位移是切，相应于这种变形的节点位移是所所以以，除除了了 ，有有限限元元数数值值近近似似处处处处给给出出了了非非零零剪剪力力。因因此此，对对于于自自由由剪剪切切( (纯纯弯弯) )模模式式，横横向向剪剪切切将将发发生生在在这这种种单元中，而在模拟薄梁时，它将是无效的。单元中，而在

51、模拟薄梁时，它将是无效的。镣册示欠剥庞治荷捧探念噪置峡累夏售然欢架曲端抡林闷聘把掩坪探藕衅清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳 当当结结构构一一个个方方向向的的尺尺度度( (厚厚度度) )远远小小于于其其它它方方向向的的尺尺度度，并并忽忽略略沿沿厚厚度度方方向向的的应应力力时时，可可以以用用壳壳单单元元模模拟拟。例例如如，压压力力容容器器结结构构的的壁壁厚厚小小于于典典型型整整体体结结构构尺尺寸寸的的1/101/10，一一般般用用壳壳单单元元进进行模拟。以下尺寸可以作为行模拟。以下尺寸可以作为典型整体结构的尺寸典型整体结构的尺寸： 支撑点之间的距离；支撑点之

52、间的距离； 加强件之间的距离或截面厚度有很大变化部分之间的距离；加强件之间的距离或截面厚度有很大变化部分之间的距离； 曲率半径；曲率半径； 所关注的最高阶振动模态的波长。所关注的最高阶振动模态的波长。 壳壳单单元元假假设设垂垂直直于于壳壳面面的的横横截截面面保保持持为为平平面面。请请不不要要误误解解为为在在壳壳单单元元中中也也要要求求厚厚度度必必须须小小于于单单元元尺尺寸寸的的1/101/10，高高度度精精细细的的网网格格可可能能包包含含厚厚度度尺尺寸寸大大于于平平面面内内尺尺寸寸的的壳壳单单元元（尽尽管管一一般般不推荐这样做），实体单元可能更适合这种情况。不推荐这样做），实体单元可能更适合这

53、种情况。5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳易生凳浊环芒怕富驻砖倾奢诽淌镍减实苛谍枕乖厨惟衙乃帛引瞻正相驮月清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳两种壳单元：两种壳单元：1 1 常规壳单元常规壳单元2 2 基于连续体的壳单元基于连续体的壳单元 通通过过定定义义单单元元的的平平面面尺尺寸寸、表表面面法法向向和和初初始始曲曲率率，常常规规的的壳壳单单元元对对参参考考面面进进行行离离散散。但但是是，常常规规壳壳单单元元的的节节点点不不能能定定义义壳壳的的厚厚度度；还需要通过截面性质定义壳的厚度。还需要通过截

54、面性质定义壳的厚度。 基基于于连连续续体体的的壳壳单单元元类类似似于于三三维维实实体体单单元元，它它们们对对整整个个三三维维物物体体进进行行离离散散和和建建立立数数学学描描述述，其其动动力力学学和和本本构构行行为为类类似似于于常常规规壳壳单单元元。对对于于模模拟拟接接触触问问题题，基基于于连连续续体体的的壳壳单单元元与与常常规规的的壳壳单单元元相相比比更更加加精精确确，因因为为它它可可以以在在双双面面接接触触中中考考虑虑厚厚度度的的变变化化。然然而而，对对于于薄壳问题，常规的壳单元提供更优良的性能。薄壳问题，常规的壳单元提供更优良的性能。具宾蜂垛臂监狂烹泳近环厂汝计轨寿败创控悲晕列肮竿喀达捍努

55、泣记狸路清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳壳体公式壳体公式- -厚壳或薄壳厚壳或薄壳 壳体问题一般归结为两类之一：薄壳和厚壳。厚壳假设横向剪切变形对计算结果有重要的影响；薄壳假设横向剪切变形小到足以忽略。图(a)描述了薄壳的横向剪切行为：初始垂直于壳面的材料线在整个变形过程中保持直线和垂直。因此，横向剪切切应应变变假假设设为为零零。图图(b) (b) 描描述述了了厚厚壳壳的的横横向向剪剪切切行行为为：初初始始垂垂直直于于壳壳面面的的材材料料线线在在整整个个变变形形过过程程中中并并不不要要求求保保持持垂垂直直于于壳面，因此，发生了横向剪切变形。壳面，因此，发

56、生了横向剪切变形。 5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳粕现绢仑歪附郸孪辰太阅窟蜂吩大拆铝疮库规团凳希摈旭错咕槐杯哭慎民清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳经典壳理论中的假设经典壳理论中的假设 两种壳理论中，运动学假设为：两种壳理论中，运动学假设为：Kirchhoff-LoveKirchhoff-Love理论：理论： 中面的法线保持直线和法向。中面的法线保持直线和法向。Mindlin-ReissnerMindlin-Reissner理论：中面的法线保持直线，但不是法向。理论：中面的法线保持直线，但不

57、是法向。实验结果表明，薄壳满足实验结果表明，薄壳满足Kirchhoff-LoveKirchhoff-Love假设。假设。较厚的壳或组合壳体，较厚的壳或组合壳体，Mindlin-ReissnerMindlin-Reissner假设是更为合适的，假设是更为合适的，横向剪切的效果特别重要。横向剪切的效果特别重要。Mindlin-ReissnerMindlin-Reissner理论也可以应用于薄壳中：在这种情况下，理论也可以应用于薄壳中：在这种情况下，法线将近似地保持法向，并且横向剪切将几乎为零。法线将近似地保持法向，并且横向剪切将几乎为零。厚度与曲率半径的比值的条件是对于壳理论适用性的重要要求。厚度

58、与曲率半径的比值的条件是对于壳理论适用性的重要要求。当它不满足时，壳理论将是不适用的。当它不满足时，壳理论将是不适用的。 陌俐涌妹宴为临静鬼耸矩谊玫葱脊铃搂窑旗诞天抗漾吕矢悬象峪架眠更仓清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳1 1 纤维保持直线（修正的纤维保持直线（修正的M-RM-R假设）；假设）； 2 2 垂直于中面的应力为零（也称为平面应力条件）；垂直于中面的应力为零（也称为平面应力条件）； 3 3 动量源于纤维的伸长，和沿纤维方向忽略动量平衡。动量源于纤维的伸长，和沿纤维方向忽略动量平衡。 假假设设1 1与

59、与经经典典的的MindlinMindlin理理论论不不同同之之处处在在于于约约束束纤纤维维保保持持直直线线，而不是法向。必须布置节点，使纤维方向尽可能地接近于法线。而不是法向。必须布置节点，使纤维方向尽可能地接近于法线。CBCB壳理论中的假设壳理论中的假设 在在CBCB壳壳理理论论中中常常常常认认为为纤纤维维是是不不可可伸伸长长的的，这这是是与与平平面面应应力力条条件件矛矛盾盾的的，当当应应用用不不可可伸伸长长的的条条件件时时，是是为为了了忽忽略略在在p p方方向向的的相相关关运运动动的的动动量量平平衡衡，在在计计算算节节点点内内力力时时，厚厚度度的的改改变变是不能忽略的。是不能忽略的。陈它拢

60、到伴骄利悬傣蛤臃妖科畅雀砸往抹脾廓桩阀番妓镭逗砧邱陪千榨绥清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳定义三种坐标系统：定义三种坐标系统： 1. 总体总体CartesianCartesian坐标系统（坐标系统（x, y, z），）， 应用基矢量应用基矢量 坐标系统坐标系统5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳2. 旋转的层坐标系统旋转的层坐标系统应用基矢量应用基矢量 3. 与主控节点相关的节点坐标系统与主控节点相关的节点坐标系统表示在下表面和参考面之间沿着纤维方向的距离表示在下表面和参考面之间沿着纤维方向的距离 表示在上表面和参考面之间沿着纤维方向的距离表

61、示在上表面和参考面之间沿着纤维方向的距离 表表示示厚厚度度的的改改变变，壳壳的的厚厚度度一一般般定定义义为为在在上上下下两两个表面之间沿着法线的距离。个表面之间沿着法线的距离。 钒铱隐稻千陶侍角盏眩痹警稀廷蘑纯甸杭霜绦汗所屑蜘站揪陵据秀篷韩险清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳壳的材料方向壳的材料方向 应应用用局局部部的的直直角角、圆圆柱柱或或者者球球坐坐标标系系，可可以以代代替替整整体体的的笛笛卡卡尔坐标系尔坐标系例例如如，如如果果在在图图中中的的圆圆柱柱中中心心线线与与整整体体坐坐标标3 3轴轴一一致致，局局部部材材料料方方向向可可以以这这样样定定义义，

62、使使局局部部材材料料1 1方方向向总总是是沿沿着着圆圆环环方方向向，并并使使相相应应的的局局部部材材料料2 2方方向向总是沿着轴方向。总是沿着轴方向。5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳砚饥疲锋岔账掣缀鳖引愤踏事怨俭貉恃盈惺巢象胚遣嘿瞥最待桨赘降带敛清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳在主控节点上的节点速度和力为在主控节点上的节点速度和力为运动的有限元近似运动的有限元近似 以从属节点的形式，描述运动的有限元近似为以从属节点的形式，描述运动的有限元近似为主控节点转换速度主控节点转换速度和方向矢量角速度

63、和方向矢量角速度 表示从属节点的速度表示从属节点的速度 厚度的变化率 当前节点的方向矢量给出为当前节点的方向矢量给出为 峙吏袱田睦侮胰轿陛炒孰勇磊摸起巩芦灼缨遇且溪爸吓睛雄必影莽秘配贿清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳在主控节点上的节点速度和力为在主控节点上的节点速度和力为运动的有限元近似运动的有限元近似 以从属节点的形式，描述运动的有限元近似为以从属节点的形式，描述运动的有限元近似为主控节点转换速度主控节点转换速度和方向矢量角速度和方向矢量角速度 表示从属节点的速度表示从属节点的速度 厚度的变化率 当前节点

64、的方向矢量给出为当前节点的方向矢量给出为 庙框牟橱姜域技晓柠翁铂诛啃猫朱翰平惕嘘愈嫩便耀逻更荣乱陕矣垄塔盅清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳运动的有限元近似运动的有限元近似 将从属节点速度联系到主控节点速度为将从属节点速度联系到主控节点速度为在主控节点力的计算中采用了当前厚度，因此考虑了纤维的伸长在主控节点力的计算中采用了当前厚度，因此考虑了纤维的伸长 驰肩柳赛伟拳诅斤血上臂打疙枕羌倔弓扒海稚溜殷族垛蛙问酬赏氖袍诅刻清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳5 5 基于连续体的壳

65、基于连续体的壳CBCB壳壳本构方程本构方程 连连续续介介质质材材料料的的所所有有本本构构都都可可以以应应用用于于CBCB壳壳。但但是是，必必须须引引入入平平面面应应力力条条件件 。可可以以应应用用强强制制引引入入约约束束的的方方法法，如如LagrangeLagrange乘子法和罚方法。以乘子法和罚方法。以VoigtVoigt形式写出的率更新方程为：形式写出的率更新方程为：切线模量矩阵是切线模量矩阵是5 55 5和和5 51 1子矩阵子矩阵 通过消去第通过消去第6 6个方程，可以获得与非零应力增量相关的修正矩阵个方程，可以获得与非零应力增量相关的修正矩阵从第从第6 6个方程得到变形率分量个方程得

66、到变形率分量 ，计算厚度的变化。，计算厚度的变化。 襄域削庆冻渤味铀啥阐砒贤靡禹每赁缕彻咏皂产霍蜕碳屁卒倘择杖竞辫碱清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳厚度厚度 可以直接或者由率形式得到厚度。在任意时刻的厚度给出为可以直接或者由率形式得到厚度。在任意时刻的厚度给出为 这这里里给给出出的的更更新新厚厚度度提提供供了了关关于于厚厚度度的的双双参参数数近近似似。在在等等参参CBCB单单元元中中，由由于于变变形形梯梯度度在在厚厚度度方方向向近近似似为为线线性性，这这通通常常是是足足够够的的。单单参参数数形形式式经经常常

67、仅仅用用于于说说明明厚厚度度的的平平均均变变化化。双双参参数数形形式式是是更更精精确确的的，因因为为当当伸伸长长时时叠叠加加弯弯曲曲，在在压压缩缩边边和和拉拉伸伸边边的厚度改变是不同的。的厚度改变是不同的。 另另一一种种更更加加精精确确的的方方法法是是计计算算所所有有积积分分点点的的新新的的位位置置，但但通常是不必要的。通常是不必要的。狼褥毖荤馁赏监动谨疆午永搜扒摈弥谴障交深峭抗蝇骄惭或芯歼暮狄尿特清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳壳体厚度和截面点（壳体厚度和截面点（section pointssection points） 描描述述壳壳体体的的横横截截面

68、面必必须须定定义义壳壳体体的的厚厚度度。此此外外，还还要要选选择择是是在在分分析析过过程程中中还还是是在在分分析析开开始始时时计计算算横横截截面面的的刚刚度度。如如果果选选择择在在分分析析过过程程中中计计算算刚刚度度，采采用用数数值值积积分分法法，在在沿沿厚厚度度方方向向的的每每一一个个截截面面点点（section section pointspoints）（积积分分点点）上上独独立立地地计计算算应应力力和和应应变变值值，这这样样就就允允许许了了非非线线性性的的材材料料行行为为。例例如如，弹弹塑塑性性材材料料的的壳壳在在内内部部截截面面点点还还保保持持弹弹性性时时，其其外外部部截截面面点点可可

69、能能已已经经达达到到了了屈屈服服，4 4节节点点减减缩缩积积分分壳壳单单元元中中唯唯一一的的积积分分点点位位置置和和沿沿壳壳厚厚度度方方向向上上截截面面点的分布如图示。点的分布如图示。5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳肇揪竹叠床窑肉萤衫咋盈贬欢腊腹赤慑鞍脱擂鸡侧歹鸥瘁逼锐藐培辨曼橡清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳壳体厚度和截面点壳体厚度和截面点 当当在在分分析析过过程程中中积积分分单单元元特特性性时时，可可指指定定壳壳厚厚度度方方向向的的截截面面点点数数目目为为任任意意奇奇数数。对对性性质质均均匀匀的的壳壳单单元元，一一般般在在厚厚度度方方

70、向向上上取取5 5个个截截面面点点，对对于于大大多多数数非非线线性性设设计计问问题题是是足足够够了了。但但是是，对对于于一一些些复复杂杂的的模模拟拟必必须须采采用用更更多多的的截截面面点点，尤尤其其是是当当预预测测会会出出现现反反向向的的塑塑性性弯弯曲曲时时（在在这这种种情情况况下下一一般般采采用用9 9个个截截面面点点）。对对于于线线性性问问题题，3 3个个截截面面点点已已经经提提供供了了沿沿厚厚度度方方向向的的精精确确积积分分。当当然然，对对于于线线弹弹性性材材料料壳壳，选选择择在在分分析析开开始始时时计计算算材材料料刚刚度度更更为有效。为有效。 如如果果选选择择仅仅在在分分析析开开始始时

71、时计计算算横横截截面面刚刚度度，材材料料行行为为必必须须是是线线弹弹性性的的。在在这这种种情情况况下下，所所有有的的计计算算都都是是以以整整个个横横截截面面上上的的合合力力和和合合力力矩矩的的形形式式进进行行。如如果果要要求求输输出出应应力力或或应应变变，输输出出在壳底面、中面和顶面的值。在壳底面、中面和顶面的值。5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳床眶虽精栈皖茨婆睡惭膏碴苟圈眠妨捍气棉颇进吕崔时摧步院壬蹿赏醇晒清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳主控节点力主控节点力 在主控节点的内力和外力可以由从

72、属节点力得到，即在主控节点的内力和外力可以由从属节点力得到，即由连续体单元的程序计算从属节点力由连续体单元的程序计算从属节点力 质量矩阵质量矩阵 利用基本连续体单元的质量矩阵利用基本连续体单元的质量矩阵通过转换公式获得通过转换公式获得CBCB壳单元的质量矩阵。则壳单元的质量矩阵。则6666子矩阵给出为子矩阵给出为转动惯量转动惯量 平移质量平移质量 纹吐帝评脊载甚挺匈呵洁榨露继蛰辖商道寺爹妮撂睦袱司律啮茅箩遇极泪清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳5 5 基于连续体的壳基于连续体的壳CBCB壳壳离散动量方程离散动量方程 对于上面给出的对角化质量矩阵，在节点处的

73、对于上面给出的对角化质量矩阵，在节点处的3 3个平动方程个平动方程为为节点力和节点速度为节点力和节点速度为以节点坐标系统表示的以节点坐标系统表示的3 3个转动方程个转动方程为为 上上式式就就是是著著名名的的EulerEuler运运动动方方程程。它它们们对对于于角角速速度度是是非非线线性性的的，但是对于一个各向同性转动质量矩阵，二次项将消失。但是对于一个各向同性转动质量矩阵，二次项将消失。 No sum on INo sum on I沦植吻臼戮逾固女盎馅仿襄驻尧路善圭昨荆汉郑植瓣选舵樱诫墨卸告帕值清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳5 5 基于连续体的壳基于连

74、续体的壳CBCB壳壳切线刚度切线刚度 由基本连续体单元刚度矩阵的变换，得到切线刚度和荷载刚度矩阵：由基本连续体单元刚度矩阵的变换，得到切线刚度和荷载刚度矩阵： 连续体单元的切线刚度矩阵连续体单元的切线刚度矩阵 5 5个自由度公式个自由度公式 如如果果没没有有扭扭转转，不不考考虑虑 ，或或刚刚体体转转动动对对变变形形没没有有影影响响，每每个节点处的壳的运动用个节点处的壳的运动用5 5个自由度描述。主控节点的节点速度为个自由度描述。主控节点的节点速度为 对对于于CBCB壳壳理理论论，5 5个个比比6 6个个自自由由度度的的描描述述更更加加合合适适。当当壳壳为为平平坦坦时时，对对于于6 6个个自自由

75、由度度的的描描述述其其刚刚度度为为奇奇异异的的。另另一一方方面面，5 5个个自自由由度度的的描描述述必必须须在在角角点点处处进进行行修修正正，使使其其符符合合结结构构特特点点。对对于于在在节节点点处处采采用用可可变变化化自自由由度度数数目目的的软软件件，仅仅在在需需要要增增加加附附加加自自由由度度的的那那些些节节点点处处应用应用6 6个自由度可能是最合适的，如连接处。个自由度可能是最合适的，如连接处。揣荧袜啸恍萍拒琳丰窖哨秃雍爪东笺戊淀苟桥朔强危剪兄筋懦中稼竿绥颖清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳在在Mindlin-Reisssner理论中，横向剪应力理论

76、中，横向剪应力沿沿着着壳壳的的厚厚度度方方向向为为常常数数。由由于于应应力力张张量量的的对对称称性性，在在这这些些表表面面的的横向剪力必须为零横向剪力必须为零，除非一个剪切面力施加在上表面或者下表面。，除非一个剪切面力施加在上表面或者下表面。 对对于于平平衡衡状状态态下下弹弹性性梁梁的的分分析析表表明明，沿沿梁梁的的厚厚度度方方向向，横横向向剪剪应应力力应应该该为为二二次次的的，在在上上下下表表面面处处为为零零。因因此此，常常值值剪剪切切应应力力分分布布高估了剪切能量高估了剪切能量。 通通常常采采用用一一个个修修正正因因数数，如如矩矩形形截截面面为为5/65/6，已已知知为为剪剪切切修修正正，

77、以以减减少少与与横横向向剪剪切切相相关关的的能能量量，并并且且对对于于弹弹性性梁梁和和壳壳可可以以做做出出关关于于这这个个因因数数的的精精确确估估计计。然然而而，对对于于非非线线性性材材料料，估估计计一一个个剪剪切切修修正正因数是非常困难的。因数是非常困难的。结构理论的非协调性和特殊性结构理论的非协调性和特殊性 6 CB6 CB壳理论壳理论A佛耪密贱代衅鄙尿知棺挝氛演蜜蔼所狡吊苗啦号套菊迈绰馁木楞墅田碘铡清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳结构理论的非协调性和特殊性结构理论的非协调性和特殊性 6 CB6 CB壳理论壳理论 在在Kirchhoff-LoveKi

78、rchhoff-Love理理论论中中的的非非协协调调性性甚甚至至更更加加严严重重，由由于于运运动学的假设动学的假设( (平截面假设并垂直中面平截面假设并垂直中面) )，导致了横向剪力为零。，导致了横向剪力为零。 在在结结构构理理论论中中，如如果果力力矩矩不不是是常常数数，在在梁梁中中的的剪剪力力必必须须非非零零。因因此此，Kirchhoff-LoveKirchhoff-Love的的运运动动学学假假设设与与平平衡衡方方程程是是矛矛盾盾的的。但但是是，与与实实验验结结果果比比较较证证明明它它是是相相当当精精确确的的，并并且且对对于于薄薄的的均均匀匀壳壳，它它恰与恰与Mindlin-Reissner

79、Mindlin-Reissner理论同样精确。理论同样精确。 在在薄薄壁壁结结构构的的变变形形中中，横横向向剪剪力力并并没没有有起起到到重重要要的的作作用用，是是否否考考虑虑它它的的作作用用几几乎乎没没有有影影响响。M-RM-R单单元元简简单单，甚甚至至当当横横向向剪剪力力的影响可以忽略时，应用的影响可以忽略时，应用M-RM-R单元也满足精度。单元也满足精度。后曹稼敬帅矫钨芳焚霓仟沥着褂闭痹裸较娘俏准陨抓咋先试坊蜡立婶匡董清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳 修修正正的的Mindlin-Reissner Mindlin-Reissner CBCB模模型型提提

80、供供了了产产生生误误差差的的附附加加可可能能性性。如如果果方方向向矢矢量量不不垂垂直直于于中中面面，则则运运动动与与实实验验观观察察到到的的运运动动将将会有明显的偏差。会有明显的偏差。 当当一一个个法法向向面面力力施施加加在在壳壳的的任任何何面面上上时时，零零法法向向应应力力的的假假设设是矛盾的，这里是是矛盾的，这里是 ( (这是学生经常问到的问题这是学生经常问到的问题) )。 为为了了平平衡衡，法法向向应应力力必必须须等等于于所所施施加加的的法法向向面面力力。然然而而，在在结结构构理理论论中中它它们们被被忽忽略略了了，因因为为与与轴轴向向应应力力相相比比它它们们是是非非常常小小的的；法向应力

81、仅仅吸收了很小部分能量，对变形几乎没有影响。法向应力仅仅吸收了很小部分能量，对变形几乎没有影响。结构理论的非协调性和特殊性结构理论的非协调性和特殊性 6 CB壳理论壳理论匝等闰匈酷百执漂杠磐祸弛朋闻脆量捣躬籽些皂信袍拼粉浴厢啊酪义城娩清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳l 应用实例pts sms ss sm = ?s st = ?mm喇住曼瞄参簇烦怨杖整囤萄屁陶裸涉俺样酱渣飘丘失诅丧推拨疥镣屡锅济清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳 应用实例pmm衙渠君凿名溃瘪盐厨杖指戍谣民我疼训敖谩凛担垣删呜牲季棒镭誊稻莽贮清华大学计算

82、固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳 应用实例pttt (2 l )ppDl闺讽延皑幕基秸辉货龟盖腮星瑞耀鼎缠因代桐址袖翘汞截必驯物陡浊寨钙清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳结构理论的非协调性和特殊性结构理论的非协调性和特殊性 6 CB6 CB壳理论壳理论 在在壳壳体体的的分分析析中中，要要注注意意边边界界效效应应。某某些些边边界界条条件件导导致致了了边边界界效效应应，在在较较窄窄的的边边界界层层处处性性能能发发生生了了剧剧烈烈的的变变化化。对对于于某某些些边边界条件，在边界的角点处可能发生奇异性（管道交接处）。界条件，在边界的角点

83、处可能发生奇异性（管道交接处）。 应应用用结结构构运运动动学学假假设设的的一一个个原原因因是是它它们们改改善善了了离离散散方方程程的的适适应应性性。如如果果一一个个壳壳体体由由三三维维的的连连续续体体单单元元模模拟拟，自自由由度度是是所所有有节节点点的的平平动动，与与厚厚度度方方向向应应变变相相关关的的自自然然模模态态具具有有非非常常大大的的特特征征值值。其其结结果果，对对于于一一个个隐隐式式更更新新算算法法，线线性性化化平平衡衡方方程程或或者者线线性性化化方方程的适应性可能是非常差的。程的适应性可能是非常差的。 壳壳方方程程的的适适应应性性也也不不如如标标准准连连续续体体模模型型那那样样好好

84、，但但是是比比薄薄壳壳的的连连续续体体模模型型的的适适应应性性要要明明显显强强一一些些。在在显显式式方方法法中中，由由于于沿沿厚厚度度方方向向模模态态的的较较大大特特征征值值，导导致致薄薄壁壁结结构构的的连连续续体体模模型型需需要要非非常常小的临界时间步长。小的临界时间步长。CBCB壳模型可以提供更大的临界时间步长壳模型可以提供更大的临界时间步长。 标鸳烩狭埃驶贰缠卤污韵景话参枫疮甸莱刁熄删暖拳稚帚来灿赣犁汐山督清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳7 7 剪切和膜自锁剪切和膜自锁 壳壳单单元元的的最最大大困困难难特特性性是是剪剪切切和和薄薄膜膜自自锁锁。剪剪

85、切切自自锁锁源源于于出出现现了了伪伪横横向向剪剪切切。更更确确切切地地说说，它它源源于于许许多多单单元元没没有有能能力力表表现现弯弯曲曲变变形形，剪剪切切刚刚度度通通常常远远远远大大于于弯弯曲曲刚刚度度，伪伪剪剪切切吸吸收收了了大大部部分分由由外外力力产产生生的的能能量量，而而预预计计的的挠挠度度和和应应变变成成为为非非常常小小的的量量值值，这这就就是是所所谓谓的的剪剪切切自自锁锁。 薄薄膜膜自自锁锁的的出出现现是是源源于于在在壳壳单单元元中中没没有有能能力力表表现现变变形形的的不不可可伸伸长模式。长模式。 壳壳弯弯曲曲而而没没有有伸伸长长：一一张张纸纸，能能够够很很容容易易地地将将其其弯弯曲

86、曲，称称为为不不可伸长弯曲。然而，用手拉伸一张纸几乎是不可能的。可伸长弯曲。然而，用手拉伸一张纸几乎是不可能的。 壳壳的的行行为为类类似似：弯弯曲曲刚刚度度很很小小，而而薄薄膜膜刚刚度度很很大大。当当有有限限元元没没有有伸伸长长又又不不能能弯弯曲曲时时，能能量量是是不不准准确确地地转转换换成成为为薄薄膜膜能能，于于是是导导致致低估了位移和应变。低估了位移和应变。 在在屈屈曲曲模模拟拟中中，薄薄膜膜自自锁锁是是尤尤为为重重要要，因因为为许许多多屈屈曲曲模模态态是是完完全的或者接近于不可伸缩的。全的或者接近于不可伸缩的。诵挛论牺靶石口坛否义节菜刽串幸腾茶男矫庞瞩邦德坛摹赔梅咬痢棺能段清华大学计算固

87、体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳7 7 剪切和膜自锁剪切和膜自锁 剪剪切切和和薄薄膜膜自自锁锁与与体体积积自自锁锁是是相相似似的的：当当有有限限元元近近似似的的运运动动不不能满足约束时，约束模式比正确运动的刚度表现的更为刚硬。能满足约束时，约束模式比正确运动的刚度表现的更为刚硬。 在体积自锁的情况中，约束是不可压缩，体积刚度过大，在体积自锁的情况中，约束是不可压缩，体积刚度过大，而而对对于于剪剪切切和和薄薄膜膜自自锁锁，在在弯弯曲曲中中的的约约束束为为Kirchhoff-LoveKirchhoff-Love正正常常状状态约束和不可伸长约束态约束和不可伸长约束( (与纤

88、维的不可伸长没有任何关系与纤维的不可伸长没有任何关系) )。 应应该该注注意意的的是是薄薄壳壳的的自自由由剪剪切切行行为为不不是是一一个个精精确确的的约约束束。对对于于较较厚厚的的壳壳和和梁梁，希希望望有有某某些些横横向向剪剪切切，但但是是，就就像像对对于于几几乎乎不不可可压压缩缩材材料料，体体积积自自锁锁的的单单元元表表现现很很差差一一样样，对对于于厚厚度度适适中中的的壳壳，即即使使当横向剪切出现时，壳单元的剪切表现是很差的。当横向剪切出现时，壳单元的剪切表现是很差的。 既抬阜权辛屎声剿烛乳魄久焙叠缴底哎姚糖咨涂陷硕叠占袒狰萧猜冰耻湍清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第

89、九次课件梁和壳7 7 剪切和膜自锁剪切和膜自锁 自锁现象比较自锁现象比较不可不可压缩，等体，等体积运运动，J J = = 常数常数 约束束有限元运有限元运动的缺陷的缺陷自自锁类型型在在单元中出元中出现体体积应变体体积自自锁在在纯弯曲中出弯曲中出现横向剪切横向剪切应变剪切自剪切自锁不可伸不可伸缩约束束在不可伸在不可伸缩弯曲模式中出弯曲模式中出现薄薄膜膜应变薄膜自薄膜自锁自锁：自锁：单元没有能力锁住不该有的变形单元没有能力锁住不该有的变形 或单元没有能力表现该有的变形或单元没有能力表现该有的变形Kirchhoff-LoveKirchhoff-Love约束束膝耻吹翌伎问欠剪饿身祝搭由簿贷傲陀报憨臣典

90、勘蒙鲁寺磊琢瞄蘸瓦嫡塘清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳7 7 剪切和膜自锁剪切和膜自锁 薄膜自锁薄膜自锁 为了说明薄膜自锁，利用为了说明薄膜自锁，利用MaguerreMaguerre浅梁方程浅梁方程 考虑一个长为考虑一个长为 l 的的3 3节点梁单元，采用母单元坐标为节点梁单元，采用母单元坐标为 在在一个不可伸缩的模式一个不可伸缩的模式中，薄膜应变中，薄膜应变必须为零。必须为零。 对公式中的表达式对公式中的表达式进行积分，对于进行积分，对于y0 令令 考虑一个梁的纯弯模式，有考虑一个梁的纯弯模式，有 在没有横向剪切时，由公式可以得到在没有横向剪切时，由公

91、式可以得到俯关不驼野狈茹熟弹播恬施糊懊喀京迫临仔暂女黎佑毫说嚣柒柿涟僵荒讽清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳7 7 剪切和膜自锁剪切和膜自锁 薄膜自锁薄膜自锁 在没有横向剪切时，证明：在没有横向剪切时，证明：证明：证明：积分：积分：由边界条件：由边界条件：得到：得到：孩肩迸型钵锻驳镍隶颐馁报城揉包社液二赦藕胎宦曾翅津铬乙寝锥授席篓清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳7 7 剪切和膜自锁剪切和膜自锁 薄膜自锁薄膜自锁 设在一个初始对称构形中，设在一个初始对称构形中， 如果如果 要求满足公式要求满足公式 。由公式计算薄膜应变

92、给出为。由公式计算薄膜应变给出为则则在这种变形的不可伸缩模式下在这种变形的不可伸缩模式下，除了在，除了在外外, , 伸伸缩缩应应变变处处处处不不为为零零。 如如果果单单元元包包括括伸伸缩缩应应变变不不为为零零的的积积分分点点，单元将展示薄膜自锁。单元将展示薄膜自锁。 对对于于3 3节节点点的的CBCB梁梁，在在 中中给给出出的的剪剪切切和和在上面给出的薄膜应变，它们都在点在上面给出的薄膜应变，它们都在点 处为零，处为零， 即两点积分的即两点积分的GaussGauss积分点。这些点常称为积分点。这些点常称为BarlowBarlow点。点。 喧食户掩骨淖迈稿剔睡喝捏惟俄割景仲著舀糙坎摊法佑仲寇耍拍

93、岭敛英榔清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳7 7 剪切和膜自锁剪切和膜自锁 消除自锁消除自锁 通通过过在在积积分分点点 处处对对剪剪切切能能进进行行不不完完全全积积分分，限限制制对对其他点的剪切能取值可以避免附加剪切，从而使单元不会自锁。其他点的剪切能取值可以避免附加剪切，从而使单元不会自锁。 多多场场方方法法，通通过过设设计计合合适适的的应应变变场场，也也可可以以回回避避自自锁锁。例例如如，如如果果应应用用Hu-WashizuHu-Washizu弱弱形形式式，通通过过使使得得横横向向剪剪切切为为常常数数可可以以回回避避剪切自锁。横向剪切速度和剪切应力场为

94、（剪切自锁。横向剪切速度和剪切应力场为（HybridHybrid法）：法）：系数由离散协调方程和本构方程确定。系数由离散协调方程和本构方程确定。 怖锐蘸臆千围搪肃奋屹铃蛮弊猫婶棠辖瘩陇柔顽槽和狮撮赘鹅志亦新详邹清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳 应应用用假假设设应应变变方方法法也也可可以以避避免免自自锁锁，实实质质是是设设计计横横向向剪剪切切场场和和薄薄膜膜应应变变场场，从从而而使使得得附附加加剪剪切切和和薄薄膜膜自自锁锁为为最最小小。必必须须设设计计假假设设应应变变场场，以以保保证证刚刚度度矩矩阵阵是是正正确确的的秩秩。对对于于2 2节节点点的的梁梁，假

95、假设设的的应应变场必须是常数，并且在纯弯时必须为零变场必须是常数，并且在纯弯时必须为零。实现这些目的，如果。实现这些目的，如果7 7 剪切和膜自锁剪切和膜自锁 消除自锁消除自锁 是是在在中中点点处处等等于于 的的常常数数场场，对对于于这这个个场场，在在纯纯弯弯时时整整个个单单元元中的假设剪切应变率将为零。中的假设剪切应变率将为零。 如如果果应应用用单单元元表表示示一一般般的的三三次次位位移移场场，在在2 22 2 GaussGauss点点处处的的应应力力将将与与节节点点位位移移具具有有相相同同的的精精度度。在在设设计计壳壳单单元元中中，这这一一发发现现证证明明是是非非常常有有用用的的。例例如如

96、，由由ZienkiewiczZienkiewicz、TaylorTaylor等等提提出出的的减减缩缩积积分分的的成成果果。因因此此，关关于于应应用用两两点点GaussGauss积积分分（BarlowBarlow点点）的的剪剪切切和和薄薄膜功率，减缩积分将消除剪切和薄膜自锁。膜功率，减缩积分将消除剪切和薄膜自锁。 九磺侯腐北意损酥匀最铀更诫半垢扎蚊候犯押骑过展伞椎撩协硝毒蔡星躁清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳8 8 假设应变单元假设应变单元假设应变假设应变4 4节点四边形节点四边形 例如横向剪切场的构造，例如横向剪切场的构造， 在在壳壳单单元元中中，通通过

97、过假假设设应应变变方方法法和和选选择择减减缩缩积积分分也也可可以以避避免免剪剪切切和和薄薄膜膜自自锁锁。然然而而，这这些些方方法法的的设设计计对对于于壳壳比比对对于于梁梁或或者者连连续续体体更更加加困困难难。例例如如，HughesHughes等等(1978)(1978)应应用用选选择择减减缩缩积积分分处处理理4 4节节点点四四边边形形板板单单元元，单单元元始始终终存存在在一一个个伪伪奇奇异异模模式式，即即w 沙沙漏漏模模式式。因因此此，选选择择减减缩缩积积分分为为连连续续体体提提供供了了强强健健的的单单元元，而而对对于于壳壳体是不成功的。体是不成功的。 可可以以推推论论，对对于于一一个个纯纯弯

98、弯曲曲的的梁梁，如如果果横横向向剪剪切切分分布布是是线线性性的，并且在中间点为零，则它在常数场中的映射也为零。的，并且在中间点为零，则它在常数场中的映射也为零。除除了了 的的点点，它它们们处处处处不不为为零零。在在纯纯弯弯状状态态时时出出现现的的横横向向剪切常常称为剪切常常称为附加剪切附加剪切。忽站琼窟氢鸡阜暴二小杏帝泼舔访炉蕴胎季敛验潍彦索稽硷弱皱慰偷囱枚清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳8 8 假设应变单元假设应变单元假设应变假设应变4 4节点四边形节点四边形 为任意参数。为任意参数。 考考虑虑平平面面矩矩形形壳壳单单元元，类类似似于于梁梁，当当弯弯矩

99、矩施施加加到到两两端端时时，横横向向剪剪力力为为零零（纯纯弯弯曲曲）；当当材材料料为为各各向向同同性性时时，横横向向剪剪切切应应变变为为零零。通通过过使使剪剪切切应应变变为为常常数数可可以以满满足足这这些些条条件件，即即令令， 。但但是是，一一个个常常数数的的横横向向剪剪切切将将会会导导致致秩秩缺缺乏乏，从从而而出出现现不不稳稳定定单单元元，为为了了保保 存存 稳稳 定定 性性 ， 增增 加加 一一 个个 取取 决决 于于 y y的的 项项 ， 给给 出出 横横 向向 剪剪 切切 为为 ，线性项对于弯曲力学性能没有影响，不会影响不自锁行为。，线性项对于弯曲力学性能没有影响，不会影响不自锁行为。

100、 对于对于 ，也有类似的讨论。，也有类似的讨论。 扩展到四边形的母单元上，有扩展到四边形的母单元上，有崭汹洋戏尾漳乔跳镍任雏雾暴粤服砾着去皂奋渔边慢碌涝唾仟宵漫奇稚遍清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳8 8 假设应变单元假设应变单元单元的秩单元的秩 上上面面的的单单元元是是否否满满秩秩？利利用用x-yx-y面面的的平平面面壳壳元元( (板板单单元元) )来来说说明明。我我们们仅仅考考虑虑弯弯曲曲性性能能，每每个个节节点点则则有有3 3个个相相关关的的自自由由度度：1 1个个位位移移，2 2个个转转角角( ( ) ) 。单单元元有有4 4个个节节点点共共12

101、12个个自自由由度度，考考虑虑3 3个个刚刚体运动，单元适当的秩是体运动，单元适当的秩是9 9。 由由第第8 8章章平平面面Q4Q4单单元元的的完完全全积积分分，8 8个个自自由由度度3 3个个刚刚体体位位移移5 5个个线线性性独独立立场场，另另外外，这这里里2 2个个横横向向剪剪切切有有4 4个个线线性性独独立立场场，因因此此，总的线性独立场有总的线性独立场有5+4=95+4=9个，提供了适当的秩。个，提供了适当的秩。4 4节节点点四四边边形形壳壳元元关关于于剪剪切的插值点切的插值点 罩串吠戒蔗遥褒栏浴旦阵政戍窄郸诬盖队箩国墩挥讳愧霓朱仪晶痊酶糯求清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学

102、计算固体力学第九次课件梁和壳8 8 假设应变单元假设应变单元9 9节点四边形节点四边形 9 9节节点点壳壳避避免免薄薄膜膜和和剪剪切切自自锁锁的的假假设设应应变变场场，由由内内部部点点插插值值的假设速度应变，如图的假设速度应变，如图a a 为为a次一维次一维Lagrange插值插值 定洛煞譬磨喂抛榔昔瓜五骋墟林谴幢镀岿播终儒酞醋猩料坏拱褪左贼玄募清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳8 8 假设应变单元假设应变单元9 9节点四边形节点四边形 在在GaussGauss点点，弯弯曲曲时时横横向向剪剪切切为为零零，而而在在不不可可伸伸缩缩的的弯弯曲曲时时薄薄膜膜应应

103、变变为为零零。因因此此，单单元元不不会会展展示示附附加加的的横横向向剪剪切切或或者者薄薄膜膜应变，即不会产生自锁行为。应变，即不会产生自锁行为。在假设速度应变在假设速度应变场中的高次项场中的高次项提供了稳定性。提供了稳定性。 由点插值的速度应变如图由点插值的速度应变如图c c 所示。所示。由点插值的剪切分量如图由点插值的剪切分量如图b b 所示。所示。激陕涂仁视淘焚钟完靴撂肇辐枉纪甄皖针极橇赡几独外塌陨耽雕偿俄氢挡清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳9 9 一点积分单元一点积分单元 在在显显式式软软件件中中，最最常常用用的的壳壳单单元元是是一一点点积积分分的

104、的4 4节节点点四四边边形形。一一点点积积分分是是指指在在参参考考面面上上积积分分点点的的数数目目( (高高斯斯点点) )，在在厚厚度度方方向向的的任任何何位位置置可可以以采采用用3 3到到3030或或者者更更多多的的积积分分点点，取取决决于于非非线线性性材材料料响响应的程度。应的程度。 这这些些单单元元一一般般是是应应用用于于大大规规模模的的分分析析中中，它它们们采采用用对对角角化化质质量量矩矩阵阵，极极为为强强健健。高高阶阶单单元元，诸诸如如基基于于二二次次等等参参插插值值的的，很很快快收收敛敛到到平平滑滑的的结结果果。但但是是，大大多多数数大大模模型型问问题题包包括括不不平平滑滑的的现现

105、象象，诸诸如如弹弹- -塑塑性性和和接接触触- -碰碰撞撞，因因此此，在在这这些些问问题题中中，高高阶阶单单元元的的更更高次近似的功能是不能实现的。高次近似的功能是不能实现的。 表表9.29.2中中列列出出了了在在计计算算软软件件中中最最频频繁繁应应用用的的单单元元，及及它它们们的的一一些特点和缺陷。些特点和缺陷。 汞电琵橡欺顶韦巷赎堑槽泞谬箕频尘辉亦蛆拷诽湖枉皱碰啪崭盾痊河剃毫清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳9 9 一点积分单元一点积分单元表表9.2 49.2 4节点四边形壳单元节点四边形壳单元单元单元 简称称 是否通是否通过 在扭在扭转中中 成本成本

106、 强强健健 分片分片试验 是否正确是否正确Belytschko-Tsay(1983) BT Belytschko-Tsay(1983) BT 否否 否否 1.0 1.0 高高Hughes-Liu(1981a, b) HL Hughes-Liu(1981a, b) HL 否否 是是 高高* *Belytschko-Wong-Chiang(1992) BWC Belytschko-Wong-Chiang(1992) BWC 否否 是是 1.2 1.2 中等中等Belytschko-Leviathan(1994b) BL Belytschko-Leviathan(1994b) BL 是是 是是 2.

107、0 2.0 中下中下Englemann-Whirley(1990) YASE Englemann-Whirley(1990) YASE 没有没有 否否 中等中等完全完全积分分MacNeal-MacNeal-Wempner(Dvorkin-Bathe,1984) DB Wempner(Dvorkin-Bathe,1984) DB 是是 是是 3.5 3.5 中下中下YASE单元（单元（yet another shell element的缩称）的缩称）授朗雌澜抓最雁叙郑散舅匙灌浪咱觉闻摆碉稚捍豆褥臻札注矗返酿飞作棵清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳9 9 一点

108、积分单元一点积分单元 最最早早的的一一点点积积分分壳壳单单元元是是BTBT单单元元。通通过过组组合合一一个个平平板板4 4节节点点单单元元和和一一个个平平面面四四边边形形4 4节节点点薄薄膜膜单单元元，构构造造了了壳壳单单元元。当当它它出出现现翘翘曲曲构构形形时时，不不能能够够正正确确地地作作出出反反应应（当当应应用用单单元元的的一一条条或或者者两两条条线线模拟扭曲梁时，这个缺点就自己暴露了）。模拟扭曲梁时，这个缺点就自己暴露了）。 HLHL单单元元，是是基基于于CBCB壳壳理理论论。在在显显式式程程序序中中，它它采采用用单单一一系系列列的的积积分分点点，因因此此需需要要沙沙漏漏控控制制；应应

109、用用由由BelytschkoBelytschko、LinLin和和TsayTsay发发展展的的技术。在运算中它明显地慢于技术。在运算中它明显地慢于BTBT单元。单元。 BWCBWC单单元元修修正正了了扭扭曲曲，即即在在BTBT单单元元中中翘翘曲曲构构形形的的缺缺陷陷。在在BLBL单单元元中中，引引入入了了物物理理沙沙漏漏控控制制。这这个个沙沙漏漏控控制制是是基基于于多多场场变变分分原原理理和和Dvorkin-BatheDvorkin-Bathe应变近似公式（见应变近似公式（见9.8.4-59.8.4-5，假设横向剪切速率）。，假设横向剪切速率）。 在在实实际际中中，应应变变和和应应力力状状态态

110、的的非非均均匀匀性性限限制制了了精精确确的的物物理理沙沙漏漏控控制制。沙沙漏漏控控制制的的这这种种形形式式提提供供了了实实质质上上的的优优点点；它它可可以以增增加加到到适适度度大大小小的的值值而而没没有有自自锁锁，而而在在BTBT单单元元中中，沙沙漏漏控控制制参参数数较较高高时时将将导导致剪切自锁。致剪切自锁。拴此舜态驳萎伙质蛙碰陕襄鸽郴裳粱须且讼斥候挣亥锗隅嗣廖涂寂辊瓷迷清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳9 9 一点积分单元一点积分单元 BLBL单单元元和和任任何何完完全全积积分分单单元元都都被被另另一一个个缺缺陷陷困困扰扰着着。在在具具有有大大扭曲的问

111、题中，这些单元会突然地和戏剧性地失效，并终止模拟。扭曲的问题中，这些单元会突然地和戏剧性地失效，并终止模拟。 另另一一方方面面，BTBT单单元元在在严严重重扭扭曲曲下下是是非非常常强强健健的的，并并且且很很少少终终止止运运算算。在在工工业业应应用用中中，这这具具有有很很高高的的实实用用价价值值。因因此此，单单一一积积分分点点单单元元的的优优点点，不不仅仅仅仅归归于于它它们们的的高高速速度度，在在出出现现严严重重扭扭曲曲的的问问题题中中，它们趋于更加强健。诸如汽车碰撞模拟。它们趋于更加强健。诸如汽车碰撞模拟。 YASEYASE单单元元改改善善了了在在梁梁弯弯曲曲时时薄薄膜膜响响应应的的薄薄膜膜场

112、场，即即改改进进的的弯弯曲曲运算。否则，它与运算。否则，它与BTBT单元是一致的。单元是一致的。 BTBT、BWCBWC和和BLBL单单元元都都是是基基于于离离散散的的Mindlin-ReissnerMindlin-Reissner理理论论；它它们们不不是是基基于于连连续续体体单单元元。离离散散指指这这样样的的事事实实，即即仅仅在在积积分分点点处处，将将MindlinMindlin假假设设应应用用于于运运动动。通通过过要要求求当当前前的的法法线线保保持持直直线线，对对运运动动施施加加约约束束。这这可可以以看看做做是是对对Mindlin假假设设的的另另一一种种修修正正；不不是是要要求求初初始始法

113、线保持直线，而是要求当前法线保持直线。法线保持直线，而是要求当前法线保持直线。 衔较荷畏起砷荔掳仪吏笑芽哺附贡丘科撮躺浪疤胸邀陨渊扁必弯伞立杆茁清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳9 9 一点积分单元一点积分单元速度场给出为速度场给出为上波浪是指当前参考面的法线。关于运动的有限元近似为上波浪是指当前参考面的法线。关于运动的有限元近似为将叉乘转换为矩阵相乘，上式可以写作将叉乘转换为矩阵相乘，上式可以写作N NI I 为为4 4节点等参形函数，节点等参形函数，在积分点在积分点 关于转动方向的偏斜对称张量，定义在公式关于转动方向的偏斜对称张量，定义在公式(9.5.

114、42)(9.5.42)中中 处的转动变形率给出为处的转动变形率给出为 曲率曲率 弘竣吴律柞用构锚疥堪掉须势点捌拐率渐砌识少抬堂履目耸差姑仲矫歧霖清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳9 9 一点积分单元一点积分单元 在在转转动动坐坐标标系系中中计计算算薄薄膜膜应应变变和和薄薄膜膜沙沙漏漏控控制制。在在积积分分点点处处的曲率给出为的曲率给出为 在在一一个个任任意意的的坐坐标标系系中中，对对于于刚刚体体转转动动，在在曲曲率率表表达达式式中中的的最最后后一一项项不不为为零零。而而在在转转动动坐坐标标系系中中，刚刚体体转转动动的的节节点点速速度度正正比比于于z zy

115、yh h，可以证明曲率为零，满足框架客观性。，可以证明曲率为零，满足框架客观性。 其中其中 ，涂屿丈湃窗庞风辰澡粪剃棉耕雏平属东侥逻俩瞎锦烩返膜岭畦御逊塞局译清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳9 9 一点积分单元一点积分单元 由由于于U1U1仅仅利利用用了了一一个个系系列列的的积积分分点点，缺缺乏乏稳稳定定性性，单单元元是秩缺少的。是秩缺少的。 单单元元有有3 3个个刚刚体体位位移移模模式式：平动平动w w，绕，绕x x和和y y的转动。的转动。 有有4 4个个运运动动模模式式：3 3个个沙沙漏漏模模式式和和1 1个个扭扭曲曲模模式式，3 3个个沙沙漏漏模

116、模式式是是可可以以相相互互表表示示的的，而而1 1个个平平面面内内的的扭扭曲曲模模式式是是不不能能相相互表示的。互表示的。蒋蔬蛤吕话炊真坎堑哄寂战枉雪坦饲普焕吓惦搽卓换磅磁乞益佐嘎越泵娶清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳其其中中，E E 和和G G 为为杨杨氏氏模模量量和和剪剪切切模模量量，A A为为单单元元的的面面积积，在在公公式式中中定定义义的的材材料料参参数数b b， 和和 由由用用户户自自己己设设定定，其其范范围围必必须须在在0.010.010.050.05之间。之间。 由由于于U1U1仅仅利利用用了了一一个个系系列列的的积积分分点点，单单元元是是

117、秩秩缺缺少少的的。对对于于一一点点积积分分，弯弯曲曲部部分分的的秩秩是是5 5：变变形形率率场场包包含含三三个个常常数数力力矩矩和和两两个个常常数数剪剪切切。通通过过秩秩的的分分析析，在在横横向向剪剪切切和和曲曲率率中中，由由于于单单元元缺缺少少线线性性项项，所所以以，弯弯曲曲部部分分的的秩秩缺缺乏乏为为4 4。HughesHughes证证明明了了伪伪奇奇异异模模式式，3 3个个沙沙漏漏模模式式是是可可以以相相互互表表示示的的(1(1个个挠挠度度和和2 2个个转转角角) )，而而1 1个个平平面面内内的的扭扭曲曲模模式是不能相互表示的。对式是不能相互表示的。对3 3个相关模式应用沙漏控制：个相

118、关模式应用沙漏控制：9 9 一点积分单元一点积分单元城契熊樱青芳稿守剖逐弱痢钱畜癌护淮恒搓就停潭晨概榨赃疥什籽歼孝把清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳 由由于于仅仅利利用用了了一一个个系系列列的的积积分分点点，缺缺乏乏稳稳定定性性，单单元元是是秩秩缺缺少少的的。HughesHughes证证明明了了伪伪奇奇异异模模式式。模模式式中中的的3 3个个是是可可以以相相互互表表示示的的，而而1 1个平面内的扭曲模式是不能相互表示的。个平面内的扭曲模式是不能相互表示的。9 9 一点积分单元一点积分单元篷蔚东瑰亢壁驹蛔痹逻髓郡慷餐笋惹拂麦跺魄熟锗乖互燕寞稼赎娩样辫庇清华

119、大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳9 9 一点积分单元一点积分单元四边自由板的沙漏模式四边自由板的沙漏模式力谍哦退继靶复洁贱辨释痪犊滩叫珠幌应盔反俘哥兹区暑令识秉巷训闹错清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳9 9 一点积分单元一点积分单元 尚尚留留下下一一个个非非传传播播的的奇奇异异模式扭曲模式模式扭曲模式C Ci i是是因因数数，相相对对独独立立于于材材料料参参数，解答敏感于数，解答敏感于r rw w稳定性矩阵稳定性矩阵母稿蓟荒晤裴阂笺完叛抄处柳徽雏塑忧烘跪饶钮诧寺谈沫缅弊兔蛋荒揍混清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华

120、大学计算固体力学第九次课件梁和壳9 9 一点积分单元一点积分单元受中点集中力的受中点集中力的角支撑板中心线段角支撑板中心线段1 17 7点的挠度，点的挠度， rw=0.010.1是不敏感的值域，是不敏感的值域，rw=0.05 是精确解。是精确解。钓旭回民动证布京袱丙蔓冉梭颧欠款胃剃乞主受企肉拣喜尔丝桨夹镀灼瑚清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳9 9 一点积分单元一点积分单元 由由于于公公式式是是建建立立在在一一个个转转动动的的层层坐坐标标系系统统，应应力力率率紧紧密密地地对对应应于于Green-NaghdiGreen-Naghdi率率。因因此此，公公式式需

121、需要要一一个个本本构构定定律律，它它将将Green-NaghdiGreen-Naghdi率率联联系系到到转转动动变变形形率率张张量量。如如在在第第9.5.79.5.7节节，必必须须强强化化平平面面应应力力条条件件。在在这这些些条条件件下下，对对于于任任意意的的大大变变形形，公公式式依依然成立。然成立。 对对于于扭扭曲曲构构形形，这这些些广广义义的的沙沙漏漏应应变变率率不不是是正正交交于于刚刚体体转转动动，因因此此，消消除除刚刚体体影影响响的的映映射射是是必必要要的的。此此外外，有有两两个个沙沙漏漏模模式式与与薄薄膜膜响响应应有有关关；在在第第7 7节节中中已已经经描描述述了了它它们们及及其其控

122、控制制。除除BLBL外外，所有的单元都采用了扰动沙漏控制。所有的单元都采用了扰动沙漏控制。幂鲸棱迅吉铀临拘像烈殷既蛊哦餐偷烙垒僵蓄赋锰疑梅萤废道折靳摇蒂佛清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳结论结论 薄薄膜膜自自锁锁源源于于有有限限元元插插值值不不能能够够表表示示不不可可伸伸缩缩的的运运动动。剪切自锁源于有限元插值不能够表示纯弯模式。剪切自锁源于有限元插值不能够表示纯弯模式。 在在显显式式软软件件中中，最最常常用用的的壳壳单单元元是是一一点点积积分分的的4 4节节点点四四边边形形。一一点点积积分分是是指指在在参参考考面面上上积积分分点点的的数数目目，取取决决

123、于于非非线线性性材材料料响响应应的的程程度度，在在厚厚度度方方向向的的任任何何位位置置可可以以采采用用3 3到到3030或或者者更多的积分点。更多的积分点。 基基于于连连续续体体CBCB方方法法建建立立梁梁和和壳壳模模型型是是直直观观的的，得得到到非非常常好好的的解解答答，它它适适用用于于任任意意的的大大变变形形问问题题并并被被广广泛泛地地应应用用于于商业软件和研究中。这种方法也称为退化的连续体方法。商业软件和研究中。这种方法也称为退化的连续体方法。牺坎限便妄嚷垣溅肉蛰喉爵容砌故适斯油腔黎模亿檬甭恃春钠柠尚漂超陆清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳作业：作业

124、：练习练习9.101, 3, 4查阅查阅Belytschko的的4节点中厚壳原文节点中厚壳原文主要内容：主要内容：1 1 为什么为什么T T梁和梁和M M壳代替壳代替B B梁和梁和K K壳？各自的理论基础。壳？各自的理论基础。2 2 CBCB梁梁和和CBCB壳壳的的有有限限元元模模型型，力力和和运运动动的的描描述述，主主从节点的关系。从节点的关系。3 3 体积、剪切和膜自锁的定义和自锁现象比较。体积、剪切和膜自锁的定义和自锁现象比较。4 4 假设应变单元，补充秩。假设应变单元，补充秩。5 5 一点积分单元，沙漏模式，增加稳定性刚度。一点积分单元，沙漏模式，增加稳定性刚度。柜津厅杀厅搓肮袖梯血挽

125、湿涤迢饯氯档虞碟鸦猎脚攒巨基墟矾秩贩贪烘燕清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳壳法线和壳面壳法线和壳面 若若采采用用图图示示的的粗粗网网格格，在在连连接接邻邻近近单单元元的的同同一一个个节节点点上上，可可能能会会得得到到多多个个独独立立的的表表面面法法线线。在在单单一一节节点点上上有有多多个个法法线线的的物物理理意意义义是是在在享享有有共共同同节节点点的的单单元元之之间间有有一一条条折折线线。而而你你可可能能打打算算模模拟拟的的却却是是一一个个拥拥有有平平滑滑曲曲面面的的壳壳体体；尝尝试试在在这这种种节节点点处处创建一个平均的法线从而使得壳面平滑。创建一个平

126、均的法线从而使得壳面平滑。她角吞一明铰碑瞳衔场吝货食挎锌储仍栓串域全韧整桑典教益悉耸陀搏冒清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳参考面的偏移（参考面的偏移（referance surface offsetreferance surface offset） 壳壳单单元元的的节节点点和和法法线线定定义义了了壳壳的的参参考考面面。当当用用壳壳单单元元建建模模时时，典典型型的的参参考考面面重重合合于于壳壳体体的的中中面面。然然而而在在很很多多情情况况下下，将将参参考考面面定定义义为为中中面面的的偏偏移移更更为为方方便便。例例如如，由由CADCAD软软件件包包创创建建的

127、的面面一一般般代代表表的的或或者者是是壳壳体体的的顶顶面面或或者者是是底底面面。在在这这种种情情况况下下，定定义义参参考考面面与与由由CADCAD创创建建的的面面一一致致更更容容易易，而而此此时时的的参参考考面面已已经不再重合于壳体的中面。经不再重合于壳体的中面。 对对于于接接触触问问题题，壳壳体体的的厚厚度度是是很很重重要要的的参参数数，壳壳体体参参考考面面的的偏偏移移也也可可以以用用于于定定义义更更精精确确的的几几何何信信息息。另另外外是是当当模模拟拟一一个个厚厚度度连连续续变变化化的的壳壳体体时时，中中面面的的偏偏移移可可能能也也很很重重要要，因因为为此此时时定定义义壳壳体体中中面面的的

128、节节点点可可能能是是相相当当困困难难的的。如如果果一一个个表表面面平平滑滑而而另另一一个个表表面面粗粗糙糙（比比如如在在某某些些飞飞行行器器结结构构中中），应应用用壳壳体体参参考考面偏移定义在平滑表面上的节点是最容易的。面偏移定义在平滑表面上的节点是最容易的。锌臀赁宗嵌览岔帚泼醛宗凋芜酷缆邢墒授府峭歪逸教罪陇肘门栋敷完航狗清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳壳体公式壳体公式- -厚壳或薄壳厚壳或薄壳 如何判断一个给定的问题属于薄壳还是厚壳问题，我们可以提供几点建议。对于厚壳，横向剪切变形是重要的；而对于薄壳则可以忽略不计。通过厚度与跨度的比值，可以估计在壳体

129、中横向剪切的显著性。对于由单一各向同性材料组成的壳体，当比值大于1/15时可认为是厚壳；如果比值小于1/15，则可认为是薄壳。这些估计是近似的；用户始终应当检验在模型中横向剪切的影响，以验证对壳行为的假设。 在复合材料层合壳结构中，由于横向剪切变形较为显著，所以如果应用薄壳理论，这个比值必须更小一些。采用高度柔软中间层的复合材料层合壳（即“三明治”复合）具有非常低的横向剪切刚度，所以它们几乎总是要作为厚壳来模拟；而如果平截面保持平面的假设失效，则应采用实体单元。 丽粟堵萌袭揪闲沤诵该揩案盒晾离干淋溉文瞳庞恿瘪窟缴磋瞅丫运捷寨啊清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁

130、和壳梁单元小结梁单元小结1.1.梁梁单单元元的的性性质质可可以以由由截截面面的的数数值值积积分分确确定定，或或者者以以面面积积、惯惯性矩和扭转常数的形式直接地给出。性矩和扭转常数的形式直接地给出。2.2.在在数数值值地地定定义义梁梁的的横横截截面面特特性性时时，可可以以在在分分析析开开始始时时计计算算截截面面特特性性（假假设设材材料料行行为为是是线线弹弹性性的的），或或者者在在分分析析过过程程中中计计算截面特性（允许线性或非线性材料行为）。算截面特性（允许线性或非线性材料行为）。3.3.梁梁的的横横截截面面可可以以从从定定义义梁梁的的节节点点处处偏偏移移。当当模模拟拟作作用用在在壳壳上上的加强

131、件时，这一过程是非常有用的。的加强件时，这一过程是非常有用的。4.4.线性和二次梁包含剪切变形的影响。线性和二次梁包含剪切变形的影响。5.5.多多点点约约束束、约约束束方方程程和和连连接接件件可可以以用用来来连连接接在在节节点点处处的的自自由由度，以模拟铰接、刚性连接等。度，以模拟铰接、刚性连接等。6.6.弯矩图形使显示像梁这样的一维单元的结果变得很容易。弯矩图形使显示像梁这样的一维单元的结果变得很容易。此井基担见曲鬼莎压越揽寐钒觉辟瞄颇凰橱疹涝俺潜汕地怕墟诅筑汁贫走清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳1.对于需要考虑薄膜作用或含有弯曲模式沙漏的问题，以及具

132、有平面弯曲的问题，如果希望得到更精确的解答，可使用线性、有限薄膜应变、完全积分的四边形壳单元。2.线性、有限薄膜应变、减缩积分、四边形壳单元是强健的，适合应用于广泛的问题。3.线性、有限薄膜应变、三角形壳单元可作为通用目的的壳单元使用。因为在单元中是近似为常应变场，求解弯曲变形或者高应变梯度时可能需要精细的网格划分。4.在复合材料层合壳模型中，考虑剪切变形的影响，应采用适合于厚壳问题的单元；并检验平截面保持平面的假定是否满足。5.四边形或三角形的二次壳单元，对于模拟一般的小应变薄壳是很有效的，这些单元对于剪力自锁或薄膜自锁都不敏感。6.如果在接触模拟中一定要使用二阶单元，不要使用二阶三角形壳单元，而要采用9节点的四边形壳单元。7.对于规模非常大但仅经历几何线性行为的模型，使用线性、薄壳单元通常比通用目的的壳单元更节约计算成本。8.对于包含任意的大转动和小薄膜应变的显式动态问题，小薄膜应变单元很有效。选择壳单元选择壳单元 攘译纸磁雏垦果影斯头喂拳谗锤贾稠踊猩陡中捂凸臻炸旱酌犯绰弯停否惭清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳