《北师大版数学必修二课件：1.7.3球》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版数学必修二课件：1.7.3球（72页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精 品 数 学 课 件北 师 大 版7.3球问题问题引航引航1.1.球的表面球的表面积积公式和体公式和体积积公式是什么？它公式是什么？它们们各具各具有什么特点？有什么特点？2.2.如何求与球有关的如何求与球有关的组组合体的表面合体的表面积积和体和体积积？1.1.球的截面球的截面用一个平面用一个平面去截半径去截半径为为R R的球的球O O的球面得到的是的球面得到的是_._.有以下有以下性性质质：(1)(1)若平面若平面过过球心球心O O，则则截截线圆线圆是以是以_为圆为圆心的球的大心的球的大圆圆. .圆圆O O(2)(2)若平面若平面不不过过球心球心O O，如，如图图，设设OOOO，垂足，垂足为
2、为OO，记记OO=dOO=d，对对于平面于平面与球面的任意一个公共与球面的任意一个公共点点P P，都，都满满足足OOOPOOOP，则则有有OP= OP= ，即此，即此时时截截线线圆圆是以是以_为圆为圆心，以心，以r= r= 为为半径的球的小半径的球的小圆圆. .OO2.2.球的切球的切线线(1)(1)定定义义：与球只有：与球只有_公共点的直公共点的直线线叫做球的切叫做球的切线线. .如如图图，l为为球球O O的切的切线线，M M为为切点切点. .唯一唯一(2)(2)性性质质：球的切球的切线线垂直于垂直于过过切点的半径；切点的半径；过过球外一点的所有切球外一点的所有切线线的的长长度都度都_._.
3、如如图图，PAPA，PBPB为为从点从点P P引到球引到球O O的切的切线线，则则PA=PB.PA=PB.从球外一点引球的切从球外一点引球的切线线，切，切线线与与圆圆面面OO构成一个构成一个_._.相等相等圆锥圆锥3.3.球的表面积与体积公式球的表面积与体积公式前提条件前提条件球的半径球的半径为为R R表面表面积积公式公式S=_S=_体体积积公式公式 V= V= 4R4R2 21.1.判一判判一判( (正确的打正确的打“”，错误错误的打的打“”) )(1)(1)决定球的表面决定球的表面积积与体与体积积的关的关键键量是球的半径量是球的半径.(.() )(2)(2)球面被球面被经过经过球心的平面截
4、得的球心的平面截得的圆圆的半径等于球的半径的半径等于球的半径. .( () )(3)(3)球的表面球的表面积积和体和体积积与半径之与半径之间间存在函数关系存在函数关系.(.() )【解析解析】(1)(1)正确正确. .因为球的表面积与体积只与球的半径有关因为球的表面积与体积只与球的半径有关. .(2)(2)正确正确. .球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的大圆，大圆球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的大圆，大圆的半径等于球的半径的半径等于球的半径. .(3)(3)正确正确. .从公式看，球的表面积和体积只与球的半径有关，给从公式看，球的表面积和体积只与球的半径有关，给定定R R都有惟一确定的都
5、有惟一确定的S S和和V V与之对应，故表面积和体积是关于与之对应，故表面积和体积是关于R R的的函数函数. .答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.2.做一做做一做( (请请把正确的答案写在横把正确的答案写在横线线上上) )(1)(1)过过球面上两点可能作出的球的大球面上两点可能作出的球的大圆圆有有_个个. .(2)(2)两个球的半径之比两个球的半径之比为为1212，则这则这两个球的表面两个球的表面积积之比之比为为_._.(3)(3)球的表面球的表面积积与体与体积积的比是的比是_.(R_.(R为为球的半径球的半径) )【解析解析】(1)(1)当球面上两点不在一条直径上时，可能作
6、出球的当球面上两点不在一条直径上时，可能作出球的大圆只有一个，若在直径上，则有无数个大圆只有一个，若在直径上，则有无数个. .答案：答案：一或无数一或无数(2)(2)由由S=4rS=4r2 2知，若半径之比为知，若半径之比为1212，则表面积之比为，则表面积之比为14.14.答案：答案：1414(3)4R(3)4R2 2 R R3 3= .= .答案：答案：【要点探究要点探究】知知识识点点1 1 球的表面球的表面积积与体与体积积1.1.正确正确认识认识球的表面球的表面积积与体与体积积公式公式(1)(1)从公式看，球的表面从公式看，球的表面积积和体和体积积的大小，只与球的半径有关，的大小，只与球
7、的半径有关，给给定定R R都有惟一确定的都有惟一确定的S S，V V与之与之对应对应，所以球的表面，所以球的表面积积和体和体积积都是关于半径都是关于半径R R的函数，因此要求球的表面的函数，因此要求球的表面积积或体或体积积，关，关键键是是确定球的半径确定球的半径. .(2)(2)球的表面不能展开成平面，所以球的表面球的表面不能展开成平面，所以球的表面积积公式的推公式的推导导与与前面所学的多面体与旋前面所学的多面体与旋转转体的体体的体积积公式的推公式的推导导方法是不一方法是不一样样的的. .我我们们只需只需记记住公式即可住公式即可. .(3)(3)球的表面球的表面积积恰好是球大恰好是球大圆圆面面
8、积积的的4 4倍倍. .2.2.计计算球的表面算球的表面积积和体和体积时积时的关的关键键及要注意的及要注意的问题问题(1)(1)关关键键是是计计算球的半径，而算球的半径，而计计算半径的关算半径的关键键是是寻寻找球心的位找球心的位置置. .因此，在解因此，在解题过题过程中要特程中要特别别关注关注题题目中所揭示的球心位置，目中所揭示的球心位置，球面上的点等信息球面上的点等信息. .(2)(2)注意公式的注意公式的“双向双向”应应用，也就是用，也就是说说当知道球的表面当知道球的表面积积或体或体积时积时，也可以求出球的半径，也可以求出球的半径. .【微思考微思考】(1)(1)两个半径不相等的球，体两个
9、半径不相等的球，体积积会相等会相等吗吗？提示：提示：不会相等，由球的体积公式可知不会相等，由球的体积公式可知. .(2)(2)顶顶点都在球上的点都在球上的长长方体的方体的对对角角线线与球的直径有何关系？与球的直径有何关系？提示：提示：相等相等. .根据长方体的中心到顶点的距离相等可知，长方根据长方体的中心到顶点的距离相等可知，长方体的对角线为球的直径体的对角线为球的直径. .【即时练即时练】1.1.已知一个球的直径已知一个球的直径为为6 6，则这则这个球的表面个球的表面积为积为_，体，体积为积为_._.2.2.若一个球的体若一个球的体积为积为4 4 ，则则它的表面它的表面积为积为_._.【解析
10、解析】1.1.由球的直径为由球的直径为6 6知球的半径为知球的半径为3 3，故，故S S表表=4r=4r2 2=36=36，V= rV= r3 3=36.=36.答案：答案：363636362.2.设球的半径为设球的半径为R R，则，则 RR3 3=4 =4 ，解得，解得R= R= ，所以球的表，所以球的表面积为面积为12.12.答案：答案：1212知知识识点点2 2 球的截面的性球的截面的性质质1.1.球的截面性球的截面性质质(1)(1)球心和截面球心和截面圆圆圆圆心的心的连线连线垂直于截面垂直于截面. .(2)(2)球心到截面的距离球心到截面的距离d d与球的半径与球的半径R R及截面的半
11、径及截面的半径r r满满足关系足关系2.2.球的球的轴轴截面的作用截面的作用球的球的轴轴截面截面( (过过球心的截面球心的截面) )是将球的是将球的问题问题( (立体几何立体几何问题问题) )转转化化为圆为圆的的问题问题( (平面平面问题问题) )的关的关键键，因此在解决球的有关，因此在解决球的有关问题时问题时，我我们们必必须须抓住球的抓住球的轴轴截面，并充分利用它来分析解决截面，并充分利用它来分析解决问题问题. .【微思考微思考】(1)(1)一个平面截一个球所得的截面一个平面截一个球所得的截面圆圆何何时时面面积积最大？最大？提示：提示：平面过球心时截得的圆的半径最大，此时其面积最大平面过球心
12、时截得的圆的半径最大，此时其面积最大. .(2)(2)表面积相等的球和正方体，哪个体积更大？表面积相等的球和正方体，哪个体积更大？提示：提示：设球的半径为设球的半径为r r，正方体的棱长为，正方体的棱长为a a，依题意得，依题意得4r4r2 26a6a2 2，所以，所以r r a.a.所以所以又因为又因为V V正方体正方体a a3 3，且，且 1 1，所以所以V V球球V V正方体正方体，即球的体积大于正方体的体积即球的体积大于正方体的体积【即时练即时练】1.1.已知球的半径已知球的半径为为10cm10cm，若它的一个截面，若它的一个截面圆圆的面的面积积是是36cm36cm2 2，则则球心与截
13、面球心与截面圆圆圆圆心的距离是心的距离是_._.2.2.如如图图所示，表面所示，表面积为积为324324的球，其的球，其内接正四棱柱的高是内接正四棱柱的高是1414，求，求这这个正四个正四棱柱的表面棱柱的表面积积. .【解析解析】1.1.设截面圆半径为设截面圆半径为r r，球心与截面圆圆心的距离为，球心与截面圆圆心的距离为d d，球半径为球半径为R R，由已知，由已知，R=10cmR=10cm，rr2 2=36cm=36cm2 2，所以，所以r=6cmr=6cm，所以所以答案：答案：8cm8cm2.2.设球的半径为设球的半径为R R，正四棱柱底面边长为，正四棱柱底面边长为a a，则轴截面如图，
14、则轴截面如图，所以所以AA=14AA=14，AC= aAC= a，又因为又因为4R4R2 2=324=324，所以，所以R=9.R=9.所以所以AC=AC=所以所以a=8.a=8.所以所以S S表表=64=642+322+3214=57614=576，即这个正四棱柱的表面积为即这个正四棱柱的表面积为576.576.【题题型示范型示范】类类型一型一 球的表面球的表面积积与体与体积计积计算算【典例典例1 1】(1)(1)球的表面球的表面积积增大增大为为原来的原来的4 4倍，倍，则则体体积积增大增大为为原来的原来的_倍倍. .(2)(2014(2)(2014淮北高一淮北高一检测检测) )用与球心距离
15、用与球心距离为为1 1的平面去截球，所的平面去截球，所得截面面得截面面积为积为，则则球的表面球的表面积为积为_._.【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中球的表面积、体积与半径的关系是什中球的表面积、体积与半径的关系是什么？么？2.2.题题(2)(2)中求球的表面积关键是什么？截面圆半径中求球的表面积关键是什么？截面圆半径r r与其到球心与其到球心的距离的距离d d有何关系？有何关系？【探究提示探究提示】1.1.球的表面积与半径的平方成正比、体积与半径球的表面积与半径的平方成正比、体积与半径的立方成正比的立方成正比. .2.2.求球表面积的关键是求球的半径求球表面积的关键是求球的半径R
16、 R，截面圆半径，截面圆半径r r2 2+d+d2 2=R=R2 2. .【自主解答自主解答】(1)(1)由球的表面积与体积公式可知，球的表面积由球的表面积与体积公式可知，球的表面积增大为原来的增大为原来的4 4倍，即半径增大为原来的倍，即半径增大为原来的2 2倍，所以体积增大为倍，所以体积增大为原来的原来的8 8倍倍. .答案：答案：8 8(2)(2)所得截面为圆，其半径所得截面为圆，其半径r=1r=1，所以球的半径所以球的半径R= R= 则球的表面积为则球的表面积为44( )( )2 2=8.=8.答案：答案：88【方法技巧方法技巧】处理球的计算问题的一个关键和两个结论处理球的计算问题的一
17、个关键和两个结论(1)(1)一个关键：一个关键：半径与球心是确定球的条件半径与球心是确定球的条件. .把握住公式，球的体积与表面积把握住公式，球的体积与表面积计算可以迎刃而解计算可以迎刃而解. .已知球的半径可以利用球的表面积已知球的半径可以利用球的表面积( (体积体积) )公式求表面积公式求表面积( (体积体积) )；反过来已知球的表面积；反过来已知球的表面积( (体积体积) )亦可求它亦可求它的半径的半径. .(2)(2)两个结论：两个结论：两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方；两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方；两两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方个球的体
18、积之比等于这两个球的半径之比的立方. .【变变式式训练训练】如果两个球的体如果两个球的体积积之比之比为为827827，那么，那么这这两个球两个球的表面的表面积积之比之比为为_._.【解析解析】由体积之比为由体积之比为827827知半径之比为知半径之比为2323，故表面积之，故表面积之比为比为49.49.答案：答案：4949【补偿训练补偿训练】球的体球的体积积与其表面与其表面积积的数的数值值相等，相等，则则球的半径等球的半径等于于_._.【解析解析】设球的半径为设球的半径为R R，则，则4R4R2 2= R= R3 3，所以，所以R=3.R=3.答案：答案：3 3类类型二型二 与三与三视图视图有
19、关的球的表面有关的球的表面积积与体与体积积【典例典例2 2】(1)(2014(1)(2014上上饶饶高一高一检测检测) )某器物的三某器物的三视图视图如如图图，根，根据据图图中数据可知中数据可知该该器物的体器物的体积积是是( () )(2)(2)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为_._.【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中的三视图所表示的几何体是什么？中的三视图所表示的几何体是什么？2.2.题题(2)(2)中的三视图所表示的几何体是什么？中的三视图所表示的几何体是什么？【探究提示探究提示】1.1.由三视图可知该几何体的上部是球，下部是
20、圆由三视图可知该几何体的上部是球，下部是圆锥锥. .2.2.由三视图可知，该几何体为一个正四棱柱和球的组合体由三视图可知，该几何体为一个正四棱柱和球的组合体. .【自主解答自主解答】(1)(1)选选D.D.由三视图可知，此几何体上部是直径为由三视图可知，此几何体上部是直径为2 2的球，下部是底面直径为的球，下部是底面直径为2 2，高为，高为 的圆锥，所以的圆锥，所以(2)(2)由三视图知该几何体是由直径为由三视图知该几何体是由直径为3 3的球和底面边长为的球和底面边长为3 3，高，高为为2 2的正四棱柱按上、下放置的一个组合体，其体积的正四棱柱按上、下放置的一个组合体，其体积V V3 32 2
21、2 2 ( )( )3 31818 .答案：答案：1818 【方法技巧方法技巧】1.1.由三视图计算球的体积与表面积的关注点由三视图计算球的体积与表面积的关注点(1)(1)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积时，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三积时，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义视图中数据的含义. .(2)(2)根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积积. .此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆此时要特别注意球的
22、三种视图都是直径相同的圆. .(3)(3)计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠和交叉接，避免重叠和交叉. .2.2.解决与球有关的组合体的策略解决与球有关的组合体的策略解决球的组合体问题的关键是正确作出截面图，球既是中心对解决球的组合体问题的关键是正确作出截面图，球既是中心对称又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，过球心的截面称又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，过球心的截面都是轴截面，因此球的问题常转化为圆的有关问题解决都是轴截面，因此球的问题常转化为圆的有关问题解决. .【变变式式训练训练】如如图图是一个几何
23、体的三是一个几何体的三视图视图，根据，根据图图中的数据可中的数据可得得该该几何体的表面几何体的表面积为积为( () )A.18 B.30 C.33 D.40A.18 B.30 C.33 D.40【解析解析】选选C.C.由三视图知该几何体由圆锥和半球组成由三视图知该几何体由圆锥和半球组成. .球半径球半径和圆锥底面半径都等于和圆锥底面半径都等于3 3，圆锥的母线长等于，圆锥的母线长等于5 5，所以该几何体，所以该几何体的表面积的表面积S=2S=23 32 2+3 35=33.5=33.【补偿训练补偿训练】(2012(2012天津高考天津高考) )一个几何体的三一个几何体的三视图视图如如图图所示所
24、示( (单单位：位：m)m)，则该则该几何体的体几何体的体积为积为_m_m3 3. .【解析解析】组合体的上面是一个长、宽、高分别为组合体的上面是一个长、宽、高分别为6 6，3 3，1 1的长的长方体，下面是两个半径为方体，下面是两个半径为 的相切的球体，所以所求的体积的相切的球体，所以所求的体积是是V=2VV=2V球球+V+V长方体长方体=2=2 +6 +63 31 1=18+9(m=18+9(m3 3).).答案：答案：18+918+9类类型三型三 与球有关的切接与球有关的切接问题问题【典例典例3 3】(1)(1)球与球与圆圆台的上、下底面及台的上、下底面及侧侧面都相切，且球面面面都相切，
25、且球面面积积与与圆圆台台的的侧侧面面积积之比之比为为3434，则则球的体球的体积积与与圆圆台的体台的体积积之比之比为为( () )A.613 B.514 C.34 D.715A.613 B.514 C.34 D.715(2)(2)已知长方体中，有一个公共顶点的三个面面积分别为已知长方体中，有一个公共顶点的三个面面积分别为 ， ， ，则长方体的体积为，则长方体的体积为_；对角线的长为；对角线的长为_；外接球的体积为；外接球的体积为_._.(3)(3)已知一正四棱锥的底面边长为已知一正四棱锥的底面边长为a a，其侧棱长为，其侧棱长为 a.a.求它的求它的外接球的体积外接球的体积. .【解题探究解题
26、探究】1.1.题题(1)(1)中球与圆台的上、下底面及侧面都相切中球与圆台的上、下底面及侧面都相切的实质是什么？的实质是什么？2.2.题题(2)(2)中长方体外接球的直径与长方体的长、宽、高有何关中长方体外接球的直径与长方体的长、宽、高有何关系？系？3.3.题题(3)(3)中如何确定外接球的半径？中如何确定外接球的半径？【探究提示探究提示】1.1.球心到各面的距离都等于半径球心到各面的距离都等于半径. .从截面图上看，从截面图上看，即大圆到等腰梯形的上下底与两腰的距离都等于半径即大圆到等腰梯形的上下底与两腰的距离都等于半径. .2.2.长方体的对角线是外接球的直径长方体的对角线是外接球的直径.
27、 .3.3.因为外接球的球心到正四棱锥的顶点距离等于半径，所以球因为外接球的球心到正四棱锥的顶点距离等于半径，所以球心是顶点与底面正方形的一条对角线所构成的三角形的外心心是顶点与底面正方形的一条对角线所构成的三角形的外心. .【自主解答自主解答】(1)(1)选选A.A.如图所示，作圆如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形台的轴截面等腰梯形ABCDABCD，球的大圆，球的大圆O O内切于梯形内切于梯形ABCD.ABCD.设球的半径为设球的半径为R R，圆台的上、下底面半，圆台的上、下底面半径分别为径分别为r r1 1，r r2 2，由平面几何知识知，圆台的高为，由平面几何知识知，圆台的高为2R2R，母
28、线长，母线长为为r r1 1+r+r2 2. .因为因为AOB=90AOB=90，OEAB(EOEAB(E为切点为切点) )，所以所以R R2 2=OE=OE2 2=AE=AEBE=rBE=r1 1r r2 2. .由已知由已知S S球球S S圆台侧圆台侧=4R=4R2 2(r(r1 1+r+r2 2) )2 2=34=34，所以所以(r(r1 1r r2 2) )2 2所以所以V V球球V V圆台圆台(2)(2)设长方体同一个顶点的三条棱长分别为设长方体同一个顶点的三条棱长分别为a a，b b，c c，则有，则有 解方程组可得解方程组可得所以所以V V长方体长方体=abc= =abc= ；所
29、以长方体的对角线长为所以长方体的对角线长为又因为长方体的外接球的直径等于其对角线的长度，所以球又因为长方体的外接球的直径等于其对角线的长度，所以球的半径的半径r= r= ，则，则答案：答案：(3)(3)如图，正四棱锥如图，正四棱锥P P- -ABCDABCD，作作PEPE垂直底面垂直底面ABCDABCD于于E E，则，则E E在在ACAC上上. .设外接球的半径为设外接球的半径为R R，球心为，球心为O O，连接连接OAOA，OCOC，则则OA=OC=OP.OA=OC=OP.所以所以O O为为PACPAC的外心，即的外心，即PACPAC的外接圆半径就是球的半径，的外接圆半径就是球的半径，因为因
30、为ABABBCBCa a，所以，所以ACAC a.a.因为因为PAPAPCPCACAC a a，所以，所以PACPAC为正三角形为正三角形所以所以R R所以所以【延伸探究延伸探究】题题(3)(3)条件不条件不变变，求它的内切球的表面，求它的内切球的表面积积. .【解题指南解题指南】内切球的球心到棱锥的各个面的距离相等，所以内切球的球心到棱锥的各个面的距离相等，所以可由正四棱锥的体积求出其半径，再求表面积可由正四棱锥的体积求出其半径，再求表面积. .【解析解析】设内切球的半径为设内切球的半径为r r，作，作PEPE平面平面ABCDABCD，作，作PFBCPFBC于于F F，连接，连接EF.EF.
31、则有则有S SPBCPBCS S棱锥全棱锥全4S4SPBCPBCS S底底( ( 1)a1)a2 2. .又又PEPE所以所以V V棱锥棱锥所以所以r r【方法技巧方法技巧】1.1.常见的几何体与球的切、接问题的解决策略常见的几何体与球的切、接问题的解决策略(1)(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等. .(2)(2)解决此类
32、问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据径或半径，关键是根据“切点切点”或或“接点接点”，作出轴截面图，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算把空间问题转化为平面问题来计算. .(3)(3)此类问题的具体解题流程：此类问题的具体解题流程：2.2.几个常用的结论几个常用的结论(1)(1)正方体的棱长为正方体的棱长为a a，球的半径为，球的半径为R R，正方体的外接球，则正方体的外接球，则2R= a2R= a；正方体的内切球，则正方体的内切球，则2R=a2R=a；球与正方体的各棱相切，则球与正方体的各棱相切，则2R= a
33、.2R= a.(2)(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为长方体的同一顶点的三条棱长分别为a a，b b，c c，外接球的，外接球的半径为半径为R R，则，则2R=2R=(3)(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为正四面体的外接球与内切球的半径之比为13.13.【变变式式训练训练】已知矩形已知矩形ABCDABCD的的顶顶点都在半径点都在半径为为4 4的球的球O O的球面的球面上，且上，且AB=6AB=6，BC=2 BC=2 ，则则棱棱锥锥O O- -ABCDABCD的体的体积为积为_._.【解析解析】依题意，棱锥依题意，棱锥O O- -ABCDABCD的四条侧棱长相等且均为球的四条侧棱长相
34、等且均为球O O的的半径，如图半径，如图连接连接ACAC，取，取ACAC中点中点OO，连接，连接OOOO，易知易知ACAC故故AOAO在在RtOAORtOAO中，中，OAOA4 4，从而从而OOOO 2.2.所以所以答案：答案：【补偿训练补偿训练】如如图图，球的一个内接，球的一个内接圆锥满圆锥满足：球心到足：球心到该圆锥该圆锥底底面的距离是球半径的一半，面的距离是球半径的一半，则该圆锥则该圆锥的体的体积积和此球体和此球体积积的比的比值值为为_._.【解析解析】设球的半径为设球的半径为r r，则球心到该圆锥底面的距离是，则球心到该圆锥底面的距离是 ，于是圆锥的底面半径为于是圆锥的底面半径为 高为
35、高为 ，该圆锥的，该圆锥的体积为体积为 球体积为球体积为 rr3 3，所以该圆锥，所以该圆锥的体积和此球体积的比值为的体积和此球体积的比值为答案：答案：【规范解答规范解答】球的截面问题球的截面问题【典例典例】(12(12分分)(2014)(2014亳州高一亳州高一检测检测) )设设球球O O的半径的半径为为5 5，一个，一个内接内接圆圆台的两底面半径分台的两底面半径分别别是是3 3和和4 4，求，求圆圆台的体台的体积积. .【审题审题】抓信息，找思路抓信息，找思路【解题解题】明步骤，得高分明步骤，得高分【点题点题】警误区，促提升警误区，促提升失分点失分点1 1：解题时，若不能根据题意正确画出组
36、合体的截面图，：解题时，若不能根据题意正确画出组合体的截面图，即在即在处出现错误，将会造成不得分处出现错误，将会造成不得分. .失分点失分点2 2：解题时，若对圆台的上下底面的直径与球心的位置：解题时，若对圆台的上下底面的直径与球心的位置关系不能进行正确分析，则在关系不能进行正确分析，则在处容易忽视一种情况，造成漏处容易忽视一种情况，造成漏解而失分，考试时最多得解而失分，考试时最多得6 6分分. .失分点失分点3 3：解题时，若不能正确运用体积公式，将在：解题时，若不能正确运用体积公式，将在处不能处不能正确得到圆台的体积，考试时最多给正确得到圆台的体积，考试时最多给1010分分. .【悟题悟题
37、】提措施，导方向提措施，导方向1.1.注意分类讨论的意识注意分类讨论的意识在求解与球有关的截面问题时，要注意球心的位置，有的时候在求解与球有关的截面问题时，要注意球心的位置，有的时候需要讨论，如本例中，题目没有给出圆台的两底面及球心的具需要讨论，如本例中，题目没有给出圆台的两底面及球心的具体位置，需要对圆台的两底面在球心的同侧和两侧进行分类讨体位置，需要对圆台的两底面在球心的同侧和两侧进行分类讨论论. .2.2.常用结论与公式要熟练常用结论与公式要熟练解题时，对于一些常用的性质、公式要记牢，并会熟练应用，解题时，对于一些常用的性质、公式要记牢，并会熟练应用，如本例，圆中的半弦长、弦心距、半径之
38、间的关系满足勾股定如本例，圆中的半弦长、弦心距、半径之间的关系满足勾股定理，如果不熟悉，将不能正确求得圆台的高，如果圆台的体积理，如果不熟悉，将不能正确求得圆台的高，如果圆台的体积公式记忆不牢，则不能准确得到其体积公式记忆不牢，则不能准确得到其体积. .【类题试类题试解解】半径半径为为10cm10cm的球被两个平行平面所截，两个截面的球被两个平行平面所截，两个截面圆圆的面的面积积分分别别是是36cm36cm2 2，64cm64cm2 2，求两个平行平面的距离，求两个平行平面的距离. .【解析解析】如图如图当球的球心在两个平行平面的外侧时，两个平行平面间的距离当球的球心在两个平行平面的外侧时，两个平行平面间的距离为球心与两个截面圆圆心的距离之差的绝对值，即为球心与两个截面圆圆心的距离之差的绝对值，即 =2(cm)=2(cm)；当球的球心在两个平行平面之间时，则两个平面间的距离为球当球的球心在两个平行平面之间时，则两个平面间的距离为球心与两个截面圆圆心的距离之和，即为心与两个截面圆圆心的距离之和，即为14(cm).14(cm).
