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1、3.4基本不等式第一课时一、引入一、引入探究问题探究问题 下图是在北京召开的第下图是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会届国际数学大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客你能在你能在这个图案中找出一些相等关系和不等关系吗？这个图案中找出一些相等关系和不等关系吗？一、引入一、引入探究问题探究问题 下图是在北京召开的第下图是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会届国际数学大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明
2、暗标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客你能在你能在这个图案中找出一些相等关系和不等关系吗？这个图案中找出一些相等关系和不等关系吗？ABCDEFGHab设设AE=a,BE=b,则正方形则正方形ABCD的面积的面积是是_，这这4个直角三角形的面积个直角三角形的面积之和是之和是_，a2+b22ab当且当且仅仅当当a=b时时，等号成立，等号成立二、新课二、新课结论：结论： 文字叙述为文字叙述为: : 两数的平方和大于或等于它们积的两数的平方和大于或等于它们积的2 2倍。倍。 一般地，一般地，对对于任意于任
3、意实实数数a、b b，总总有有当且当且仅仅当当a=b时时，等号成立，等号成立特别地，若特别地，若a0，b0，则，则通常我们把上式写作：通常我们把上式写作：当且仅当当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做时取等号，这个不等式就叫做基本不等式基本不等式.二、新课二、新课通常我们把上式写作：通常我们把上式写作：当且仅当当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.证明：要证证明：要证 只要证只要证要证要证，只要证，只要证要证要证，只要证，只要证显然显然, 是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a=b时时, 中的等号成立中的等号成立. 分分析析法法执果索因执果索因
4、几何意义：半径不小于半弦几何意义：半径不小于半弦如如图图, ,AB是是圆圆的直的直径，径，C是是AB上任一上任一点点AC=a, , CB=b, ,过过点点C 作垂直于作垂直于AB的的弦弦DE，连连 AD, BD, ,则则CD= =, ,半径半径为为二、新课二、新课对基本不等式对基本不等式 的几何意义作进一步探究的几何意义作进一步探究基本不等式：基本不等式：注意注意：（：（1）不等式使用的条件不同；）不等式使用的条件不同； （2）当且仅当）当且仅当a=b时取等号；时取等号； （3） 叫做正数叫做正数a，b的的算术平均数算术平均数， 叫做正数叫做正数a，b的的几何平均数几何平均数；均值不等式均值不
5、等式二、新课二、新课例例1：(1)用篱笆围成一个面积为用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，的矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。 最短的篱笆是多少？最短的篱笆是多少？解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为x m，宽为，宽为y m， 则则xy=100，篱笆的长为，篱笆的长为2（x+y）m. 等号当且仅当等号当且仅当x=y时成立，此时时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆时，所用的篱笆最短最短的篱笆是最短最短的篱笆是40m. 结论结论1.两个正数积为定值，则和有最小
6、值两个正数积为定值，则和有最小值三、例题三、例题例例1：(2)用一段长为用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，的篱笆围成一个矩形菜园， 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面 积最大，最大面积是多少？积最大，最大面积是多少？三、例题三、例题解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为x m，宽为，宽为y m， 则则 2(x + y)= 36 , x+ y =18矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xy m2=18/2=9得得 xy 81当且仅当当且仅当x=y,即即x=y=9时，等号成立时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9m
7、时，时， 菜园面积最大，最大面积是菜园面积最大，最大面积是81m2结论结论2.两个正数和为定值，则积有最大值两个正数和为定值，则积有最大值最值定理：最值定理：若若x、y皆为正数，则皆为正数，则（1）当）当x+y的值是常数的值是常数S时，时，当且仅当当且仅当x=y时，时，xy有最有最 大值大值_；（2）当）当xy的值是常数的值是常数P时，时，当且仅当当且仅当x=y时，时， x+y有最有最 小值小值_.注意：注意：各项皆为正数；各项皆为正数； 和为定值或积为定值；和为定值或积为定值； 注意等号成立的条件注意等号成立的条件.一一“正正”二二“定定”三三“相等相等”和和定定积积最最大大，积积定定和和最
8、最小小三、例题三、例题注：注：应用此不等式关键是配凑应用此不等式关键是配凑和一定和一定或或积一定积一定21四、练习四、练习2. 当当 x0 时，时， 的最小值为的最小值为 ，此时，此时x= 。思考：当思考：当 x-1, 当当 x 取什么值时取什么值时, 的值最小的值最小? 最小值是最小值是 多少多少?1.已知已知x0，y0，(1).若若xy=36，则，则x+y的最小值是的最小值是_，此时，此时x=_，y=_；(2).若若x+y=18，则，则xy的最大值是的最大值是_，此时，此时x=_，y=_；(3).若若x+2y=4，则，则xy的最大值是的最大值是_，此时，此时x=_，y=_；22112668199本节课主要探究基本不等式的证明与初步应用本节课主要探究基本不等式的证明与初步应用1.两个重要的不等式两个重要的不等式（1）（2） (当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立)五、小结五、小结作业：作业：1. 课本课本P 100 A组组2.不等式的简单应用：主要在于求最值不等式的简单应用：主要在于求最值 把握把握 ”六字方针六字方针” 即即 “一正，二定，三等一正，二定，三等”
