《北师大版数学必修二课件：第一章立体几何初步阶段复习课》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版数学必修二课件：第一章立体几何初步阶段复习课（74页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精 品 数 学 课 件北 师 大 版阶段复习课第 一 章【核心解读核心解读】1.1.多面体的性质多面体的性质(1)(1)棱柱的侧面、过不相邻侧棱的截面都是平行四边形棱柱的侧面、过不相邻侧棱的截面都是平行四边形. .(2)(2)棱锥、棱台的高与其侧棱棱锥、棱台的高与其侧棱( (或其他线段或其他线段) )能共处于同一三角能共处于同一三角形中形中. .2.2.旋转体的有关性质旋转体的有关性质(1)(1)球面无法展开成平面；圆柱、圆锥、圆台的侧面可以展开球面无法展开成平面；圆柱、圆锥、圆台的侧面可以展开成平面成平面. .(2)(2)圆柱、圆锥、圆台中与底面平行的截面是圆面圆柱、圆锥、圆台中与底面平行的
2、截面是圆面. .3.3.球的有关概念球的有关概念(1)(1)球的截面都是圆面球的截面都是圆面. .(2)(2)球心和截面球心和截面( (不过球心不过球心) )圆心的连线垂直于圆心的连线垂直于截面截面. .(3)(3)设球的半径为设球的半径为R R，截面圆的半径为，截面圆的半径为r r，球心到截面圆的距离，球心到截面圆的距离就是球心就是球心O O到截面圆心到截面圆心O O1 1的距离，它们的关系是：的距离，它们的关系是：OOOO1 1= =4.4.几种常见几何体的三视图几种常见几何体的三视图(1)(1)直立放置的圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图为圆直立放置的圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视
3、图为圆. .(2)(2)直立放置的圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视直立放置的圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆及圆心图是圆及圆心. .(3)(3)直立放置的圆台的主视图和左视图都是等腰梯形，俯视图直立放置的圆台的主视图和左视图都是等腰梯形，俯视图是两个同心圆是两个同心圆. .(4)(4)球的三视图都是圆球的三视图都是圆. .5.5.表面积与体积公式表面积与体积公式(1)(1)柱体：柱体：表面积：表面积：S=SS=S侧侧+2S+2S底底；体积：体积：V=SV=S底底h(hh(h为柱体的为柱体的高高).).(2)(2)锥体：锥体：表面积：表面积：S=SS=S侧侧+S+S底底；体
4、积：体积：V= SV= S底底h(hh(h为锥体为锥体的高的高).).(3)(3)台体：台体：表面积：表面积：S=SS=S侧侧+S+S上底上底+S+S下底下底；体积：体积：V= (SV= (S上底上底+ + +S +S下底下底)h(h)h(h为台体的高为台体的高).).(4)(4)球体：球体：表面积：表面积：S=4RS=4R2 2；体积：体积：V= RV= R3 3. .6.6.三棱锥顶点在底面的投影与三角形三心的关系三棱锥顶点在底面的投影与三角形三心的关系(1)(1)三棱锥中：侧棱长相等三棱锥中：侧棱长相等( (或侧棱与底面所成角相等或侧棱与底面所成角相等) )顶点顶点在底面投影为底面三角形
5、的外心在底面投影为底面三角形的外心. .(2)(2)侧棱两两垂直侧棱两两垂直( (或对棱垂直或对棱垂直) )顶点在底面的投影为底面三顶点在底面的投影为底面三角形的垂心角形的垂心. .(3)(3)斜高相等斜高相等( (或侧面与底面所成角相等或侧面与底面所成角相等) )顶点在底面的投影顶点在底面的投影为底面三角形的内心为底面三角形的内心. .7.7.球与两种几何体之间的关系球与两种几何体之间的关系(1)(1)球与正方体的组合体：球与正方体的组合体：球内切于正方体：此时球半径球内切于正方体：此时球半径R R与正方体棱长与正方体棱长a a有关系式有关系式2R=a2R=a成立成立. .球外接于正方体：球
6、外接于正方体：2R= a.2R= a.球与正方体的球与正方体的1212条棱相切：条棱相切：2R= a.2R= a.(2)(2)球与正四面体的组合体：球与正四面体的组合体：球内切于正四面体：球半径球内切于正四面体：球半径R R与正四面体的高与正四面体的高h h有关系式有关系式R= h(R= h(可以用分割法可以用分割法).).球外接于正四面体：球外接于正四面体：R= h.R= h.即一个正四面体的内切球与外接球的半径之比为即一个正四面体的内切球与外接球的半径之比为13.13.8.8.面面平行的性质定理的几个有用推论面面平行的性质定理的几个有用推论(1)(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条
7、直线平行于另两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面一个平面. .(2)(2)夹在两个平行平面之间的平行线段相等夹在两个平行平面之间的平行线段相等. .(3)(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. .(4)(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. .(5)(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行相平行. .9.9.关于直线与平面垂直的其他性质：关于直线与平面垂直的其他性质：(1)(1)
8、如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内的任意一条直线垂直的任意一条直线垂直. .(2)(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面于该平面. .(3)(3)若若l于点于点A A，APAPl，则，则AP .AP .(4)(4)垂直于同一条直线的两个平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行. .(5)(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面于另一个平面. .主题一主题一 直观图与三视图直观图与
9、三视图【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014亳州高一检测亳州高一检测) )平面图形的直观图如图所平面图形的直观图如图所示，它原来的面积是示，它原来的面积是_._.(2)(2)一几何体的三视图如图所示一几何体的三视图如图所示. .计算该几何体的体积与表面积计算该几何体的体积与表面积. .【自主解答自主解答】(1)(1)由直观图知原图是直角三角形，两直角边的由直观图知原图是直角三角形，两直角边的长为长为2 2，4 4，故面积为，故面积为4.4.答案：答案：4 4(2)(2)由三视图知该几何体是由一个圆柱与一个等底由三视图知该几何体是由一个圆柱与一个等底圆锥拼接而成的组合体，其直观图如图
10、所示圆锥拼接而成的组合体，其直观图如图所示. .由三视图中尺寸知，组合体下部是底面直径为由三视图中尺寸知，组合体下部是底面直径为8cm8cm，高为高为20cm20cm的圆柱，上部为底面直径为的圆柱，上部为底面直径为8cm8cm，母线长，母线长为为5cm5cm的圆锥的圆锥. .易求得圆锥高易求得圆锥高h= =3(cm)h= =3(cm)，所以所以V=V=4 42 220+ 20+ 4 42 23=336(cm3=336(cm3 3) )，S=S=4 42 2+2+24 420+20+4 45=196(cm5=196(cm2 2).).所以该几何体的体积为所以该几何体的体积为336cm336cm3
11、 3，表面积为，表面积为196cm196cm2 2. .【方法技巧方法技巧】1.1.画空间几何体的直观图的基本步骤画空间几何体的直观图的基本步骤(1)(1)画几何体的底面画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的在已知图形中取互相垂直的x x轴、轴、y y轴，两轴相交于点轴，两轴相交于点O O，画直，画直观图时，把它们画成对应的观图时，把它们画成对应的xx轴、轴、yy轴，两轴相交于点轴，两轴相交于点OO，且使，且使xOy=45xOy=45或或135135，已知图形中平行于，已知图形中平行于x x轴、轴、y y轴的线段，在直观图中平行于轴的线段，在直观图中平行于xx轴、轴、yy轴轴. .已知图形中平
12、行已知图形中平行于于x x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y y轴的线段，长度轴的线段，长度变为原来的一半变为原来的一半. .(2)(2)画几何体的高画几何体的高在已知图形中过在已知图形中过O O点作点作z z轴垂直于轴垂直于xOyxOy平面，在直观图中作对应平面，在直观图中作对应的的zz轴，也垂直于轴，也垂直于xOyxOy平面，已知图形中平行于平面，已知图形中平行于z z轴的轴的线段，在直观图中平行于线段，在直观图中平行于zz轴且长度不变轴且长度不变. .2.2.画空间几何体的三视图要注意的问题画空间几何体的三视图要注意的问题(1)(1)三个视图要配合
13、画，并做到三个视图要配合画，并做到“主左一样高，主俯一样长，主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽俯左一样宽”. .(2)(2)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，分界线和可见轮廓线都用实线画出，看不见的轮廓线画成虚线分界线和可见轮廓线都用实线画出，看不见的轮廓线画成虚线. .(3)(3)与视线垂直的平面内的线段，其在三视图中的长度与其实与视线垂直的平面内的线段，其在三视图中的长度与其实际长度相同际长度相同. .提醒：提醒：简单几何体的三视图与直观图的互化问题应注意确定主简单几何体的三视图与直观图的互化问题应注意确定主视、俯视、左视的
14、方向与直观图的对应性，同一物体放置位置视、俯视、左视的方向与直观图的对应性，同一物体放置位置的不同，其三视图可能会有不同的不同，其三视图可能会有不同. .【补偿训练补偿训练】(2013(2013山东高考山东高考) )一个四棱锥的侧棱长都相等，一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正底面是正方形，其正( (主主) )视图如图所示，该四棱锥侧面积和体视图如图所示，该四棱锥侧面积和体积分别是积分别是( () )【解析解析】选选B.B.由图知，此棱锥高为由图知，此棱锥高为2 2，底面正方形的边长为，底面正方形的边长为2 2，V= V= 2 22 22= 2= ，侧面积需要计算侧面三角形的高侧面积需
15、要计算侧面三角形的高h= h= ，S S侧侧= =主题二主题二 空间几何体的表面积、体积空间几何体的表面积、体积【典例典例2 2】(1)(2014(1)(2014焦作高一检测焦作高一检测) )如图所示，正方体如图所示，正方体ABCD-ABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a.a.将该正方体沿对角面将该正方体沿对角面BBBB1 1D D1 1D D切成两块，再将切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的表这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的表面积为面积为_._.(2)(2)四棱锥四棱锥P-ABCDP-ABCD的顶点的顶点
16、P P在底面在底面ABCDABCD中的投影恰好是中的投影恰好是A A，其三，其三视图如图，则四棱锥视图如图，则四棱锥P-ABCDP-ABCD的体积为的体积为_._.【自主解答自主解答】(1)(1)由题意可知，组成新的四棱柱后的表面积是由题意可知，组成新的四棱柱后的表面积是由原来的四个相同正方形的面积和两个阴影部分的面积组成由原来的四个相同正方形的面积和两个阴影部分的面积组成的，则所得四棱柱的表面积为的，则所得四棱柱的表面积为4a4a2 2+ a+ aa a2=(4+2 )a2=(4+2 )a2 2. .答案：答案：(4+2 )a(4+2 )a2 2(2)(2)易知该四棱锥中，易知该四棱锥中，P
17、APA底面底面ABCDABCD，PA=aPA=a，底面是边长为，底面是边长为a a的正方形，故体积的正方形，故体积V= aV= a2 2a= aa= a3 3. .答案：答案： a a3 3【方法技巧方法技巧】空间几何体体积与表面积的计算方法空间几何体体积与表面积的计算方法(1)(1)等积法等积法. .(2)(2)割补法割补法. .(3)(3)展开法：把简单几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形，展开法：把简单几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形，这样便把空间问题转化为平面问题，可以有效地解决简单空间这样便把空间问题转化为平面问题，可以有效地解决简单空间几何体的表面积问题或侧面上几何体的表面积问
18、题或侧面上( (球除外球除外) )两点间的距离问题两点间的距离问题. .(4)(4)构造法：对于某些几何体的表面积和体积求解较困难时，构造法：对于某些几何体的表面积和体积求解较困难时，我们可以将它构造成我们熟悉的几何体，如正方体等这些对称我们可以将它构造成我们熟悉的几何体，如正方体等这些对称性比较好的几何体，以此来解决性比较好的几何体，以此来解决. .【拓展延伸拓展延伸】求几何体的体积、表面积的题型分类求几何体的体积、表面积的题型分类(1)(1)已知几何体的三视图求其体积、表面积已知几何体的三视图求其体积、表面积. .(2)(2)与线面垂直关系结合命题与线面垂直关系结合命题. .(3)(3)组
19、合体问题，考查割补转化思想组合体问题，考查割补转化思想. .(4)(4)旋转体问题旋转体问题. .【补偿训练补偿训练】如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为1 1，E E，F F分别分别为线段为线段AAAA1 1，B B1 1C C上的点，则三棱锥上的点，则三棱锥D D1 1-EDF-EDF的体积为的体积为_._.【解析解析】答案：答案：主题三主题三 空间中的共点、共线、共面问题空间中的共点、共线、共面问题【典例典例3 3】(1)(1)已知已知AAl，BBl，CCl，D D l( (如图如图) )，求证：直，求证：直线线ADA
20、D，BDBD，CDCD共面共面. .(2)(2)如图，如图，O O1 1是正方体是正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的上底面的上底面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的中心，的中心，M M是对角线是对角线A A1 1C C和截面和截面B B1 1D D1 1A A的交点的交点. .求证：求证：O O1 1，M M，A A三点共线三点共线. .【自主解答自主解答】(1)(1)因为直线因为直线l与点与点D D可以确定平面可以确定平面，所以只需证，所以只需证明明ADAD，BDBD，CDCD都在平面都在平面内即可内即可. .因为因为AAl，所以，所以
21、A.A.又又DD，所以，所以ADAD .同理同理BD BD ，CD .CD .所以所以ADAD，BDBD，CDCD都在平面都在平面内，即它们共面内，即它们共面. .(2)(2)因为上底面中因为上底面中A A1 1C C1 1BB1 1D D1 1=O=O1 1，A A1 1C C1 1 平面平面A A1 1C C1 1CACA，B B1 1D D1 1 平面平面ABAB1 1D D1 1，所以，所以，O O1 1是平面是平面A A1 1C C1 1CACA与平面与平面ABAB1 1D D1 1的公共点的公共点. .又因为又因为A A1 1CC平面平面ABAB1 1D D1 1=M=M，A A1
22、 1C C 平面平面A A1 1C C1 1CACA，所以，所以，M M是平面是平面A A1 1C C1 1CACA与平面与平面ABAB1 1D D1 1的公共点的公共点. .又因为又因为AA平面平面ABAB1 1D D1 1，AA平面平面A A1 1C C1 1CACA，所以，所以，A A是平面是平面A A1 1C C1 1CACA与平面与平面ABAB1 1D D1 1的公共点的公共点. .所以，所以，O O1 1，M M，A A都是平面都是平面A A1 1C C1 1CACA与平面与平面ABAB1 1D D1 1的公共点，所以的公共点，所以O O1 1，M M，A A三点共线三点共线. .
23、【方法技巧方法技巧】1.1.证明共面问题的方法证明共面问题的方法(1)(1)由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内. .(2)(2)分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合. .2.2.证明三点共线问题的方法证明三点共线问题的方法证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个平面的交线证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是这两个平面的公共点，当然必在这两
24、个平面的交线上点是这两个平面的公共点，当然必在这两个平面的交线上. .3.3.证明三线共点问题的方法证明三线共点问题的方法证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题. .【补偿训练补偿训练】(2014(2014咸阳高一检测咸阳高一检测) )如图如图所示，空间四边形所示，空间四边形ABCDABCD中，中，E E，F F分别为分别为ABAB，ADAD的中点，的中点，G G，H H分别在分别在BCBC，CDCD上，且上，且BGGC=DHHC
25、=12.BGGC=DHHC=12.求证：求证：(1)E(1)E，F F，G G，H H四点共面四点共面. .(2)GE(2)GE与与HFHF的交点在直线的交点在直线ACAC上上. .【证明证明】(1)(1)因为因为BGGC=DHHCBGGC=DHHC，所以，所以GHBDGHBD，又，又EFBDEFBD，所，所以以EFGHEFGH，所以，所以E E，F F，G G，H H四点共面四点共面. .(2)(2)因为因为G G，H H不是不是BCBC，CDCD的中点，所以的中点，所以EFGH.EFGH.又又EFGHEFGH，所以，所以EGEG与与FHFH不平行，则必相交，设交点为不平行，则必相交，设交点
26、为M.M. MM平面平面ABCABC且且MM平面平面ACDACD，所以所以M M在平面在平面ABCABC与平面与平面ACDACD的交线上，即的交线上，即MAC.MAC.所以所以GEGE与与HFHF的交点在直线的交点在直线ACAC上上. .EG EG 平面平面ABCABCHF HF 平面平面ACDACD主题四主题四 平行关系的判定与性质平行关系的判定与性质【典例典例4 4】(1)(1)设设，是两个平面，是两个平面，l，m m是两条直线，下列命是两条直线，下列命题中，可以判断题中，可以判断的是的是( () )A.A.l ，m m 且且l，mmB.B.l ，m m 且且lmmC.C.l，mm且且lm
27、mD.D.l，mm且且lmm(2)(2)如图，在四面体如图，在四面体A-BCDA-BCD中，中，M M是是ADAD的中点，的中点，P P是是BMBM的中点，点的中点，点Q Q在线段在线段ACAC上，且上，且AQ=3QC.AQ=3QC.证明：证明：PQPQ平面平面BCD.BCD.【自主解答自主解答】(1)(1)选选D.D.A A中当中当l与与m m相交时，才能得出相交时，才能得出，故，故A A不能；不能；B B中，中，=a=a，laa，mama，如图，故，如图，故B B不能；不能；同样同样C C也不能；也不能；D D中，当中，当l，lmm时，时，mm，又又mm，所以，所以.(2)(2)取取BDB
28、D的中点的中点O O，在线段，在线段CDCD上取点上取点F F，使得，使得DF=3FCDF=3FC，连结，连结OPOP，OFOF，FQFQ，因为因为AQ=3QCAQ=3QC，所以，所以QFADQFAD，且，且QF= AD.QF= AD.因为因为O O，P P分别为分别为BDBD，BMBM的中点，所以的中点，所以OPOP为为BDMBDM的中位线，所的中位线，所以以OPDMOPDM，且，且OP= DMOP= DM，由点，由点M M为为ADAD的中点，所以的中点，所以OPADOPAD，且，且OP= ADOP= AD，从而从而OPQFOPQF，且，且OP=QFOP=QF，所以四边形所以四边形OPQFO
29、PQF为平行四边形，故为平行四边形，故PQOF.PQOF.又又PQPQ 平面平面BCDBCD，OF OF 平面平面BCDBCD，所以所以PQPQ平面平面BCD.BCD.【方法技巧方法技巧】1.1.线线平行、线面平行、面面平行之间的关系线线平行、线面平行、面面平行之间的关系2.2.证明线线平行的依据证明线线平行的依据(1)(1)平面几何法平面几何法( (常用的有三角形中位线、平行线分线段成比例、常用的有三角形中位线、平行线分线段成比例、平行四边形对边平行平行四边形对边平行).).(2)(2)线面平行的性质定理线面平行的性质定理. .(3)(3)面面平行的性质定理面面平行的性质定理. .3.3.判
30、断或证明线面平行的方法判断或证明线面平行的方法(1)(1)利用线面平行的定义利用线面平行的定义( (无公共点无公共点).).(2)(2)利用线面平行的判定定理利用线面平行的判定定理(a(a ，b b ，abab a).a).(3)(3)利用面面平行的性质定理利用面面平行的性质定理(，a a a).a).(4)(4)利用面面平行的性质利用面面平行的性质(，a a ，aa a).a).4.4.证明面面平行的方法证明面面平行的方法(1)(1)面面平行的定义面面平行的定义. .(2)(2)面面平行的判定定理面面平行的判定定理. .(3)(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行利用垂直于同一条直线的两个
31、平面平行. .(4)(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行. .(5)(5)利用利用“线线平行线线平行”“”“线面平行线面平行”“”“面面平行面面平行”的相互转化的相互转化. .【补偿训练补偿训练】(2013(2013陕西高考陕西高考) )如图，如图，四棱柱四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的底面的底面ABCDABCD是正方是正方形，形，O O为底面中心，为底面中心，A A1 1OO底面底面ABCDABCD，AB=AAAB=AA1 1= .= .(1)(1)证明：平面证明：平面A A1 1BD
32、BD平面平面CDCD1 1B B1 1. .(2)(2)求三棱柱求三棱柱ABD-AABD-A1 1B B1 1D D1 1的体积的体积. .【解析解析】(1)(1)连接连接A A1 1C C1 1，交，交B B1 1D D1 1于点于点O O1 1，连接，连接O O1 1C C，由题意知由题意知BDBBDB1 1D D1 1，A A1 1O O1 1OCOC且且A A1 1O O1 1=OC=OC 四边形四边形A A1 1OCOOCO1 1为平行四为平行四边形边形 A A1 1OOOO1 1C.C.且且A A1 1OBD=OOBD=O，O O1 1CBCB1 1D D1 1=O=O1 1 平面
33、平面A A1 1BDBD平面平面CDCD1 1B B1 1. .(2)(2)因为因为A A1 1OO底面底面ABCDABCD，所以所以A A1 1O O是三棱柱是三棱柱A A1 1B B1 1D D1 1-ABD-ABD的高的高. .在正方形在正方形ABCDABCD中，中，AO=1.AO=1.在在RtARtA1 1OAOA中，中，A A1 1O=1.O=1.三棱柱三棱柱A A1 1B B1 1D D1 1-ABD-ABD的体积的体积所以，三棱柱所以，三棱柱A A1 1B B1 1D D1 1-ABD-ABD的体积为的体积为1.1.主题五主题五 垂直关系的判定与性质垂直关系的判定与性质【典例典例
34、5 5】(2013(2013大纲版全国卷大纲版全国卷) )如图，如图，四棱锥四棱锥P-ABCDP-ABCD中，中，ABC=BAD=90ABC=BAD=90，BC=2ADBC=2AD，PABPAB与与PADPAD都是边长为都是边长为2 2的的等边三角形等边三角形. .(1)(1)证明：证明：PBCD.PBCD.(2)(2)求点求点A A到平面到平面PCDPCD的距离的距离. .【自主解答自主解答】(1)(1)取取BCBC的中点的中点E E，连接，连接DEDE，则四边形则四边形ABEDABED为正方形为正方形. .过点过点P P作作POPO平面平面ABCDABCD，垂足为，垂足为O.O.连接连接O
35、AOA，OBOB，ODOD，OE.OE.由由PABPAB和和PADPAD都是等边三角形知都是等边三角形知PA=PB=PDPA=PB=PD，所以所以OA=OB=ODOA=OB=OD，即点，即点O O为正方形为正方形ABEDABED对角线的交点，对角线的交点，故故OEBDOEBD，又，又OEPOOEPO，POBD=OPOBD=O，则，则OEOE平面平面PBDPBD，从而从而PBOE.PBOE.因为因为O O是是BDBD的中点，的中点，E E是是BCBC的中点，所以的中点，所以OECDOECD，因此因此PBCD.PBCD.(2)(2)取取PDPD的中点的中点F F，连接，连接OFOF，则，则OFPB
36、.OFPB.由由(1)(1)知，知，PBCDPBCD，故，故OFCD.OFCD.又又OD= BD= OD= BD= ，OP=OP=故故PODPOD为等腰三角形，因此为等腰三角形，因此OFPD.OFPD.又又PDCD=DPDCD=D，所以，所以OFOF平面平面PCD.PCD.因为因为AECDAECD，CDCD 平面平面PCDPCD，AEAE 平面平面PCDPCD，所以所以AEAE平面平面PCD.PCD.因此因此O O到平面到平面PCDPCD的距离的距离OFOF就是就是A A到平面到平面PCDPCD的距离，的距离，而而OF= PB=1OF= PB=1，所以所以A A到平面到平面PCDPCD的距离为
37、的距离为1.1.【方法技巧方法技巧】1.1.线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的关系，如图所示线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的关系，如图所示2.2.两条异面直线相互垂直的证明方法两条异面直线相互垂直的证明方法(1)(1)定义定义. .(2)(2)线面垂直的性质定理线面垂直的性质定理. .3.3.直线和平面垂直的证明方法直线和平面垂直的证明方法(1)(1)线面垂直的判定定理线面垂直的判定定理. .(2)(2)面面垂直的性质定理面面垂直的性质定理. .4.4.平面和平面相互垂直的证明方法平面和平面相互垂直的证明方法(1)(1)定义定义. .(2)(2)面面垂直的判定定理面面垂直的判定定理. .【补
38、偿训练补偿训练】(2013(2013广东高考广东高考) )如图，在边长为如图，在边长为1 1的等边的等边ABCABC中，中，D D，E E分别是分别是ABAB，ACAC边上的点，边上的点，ADAD=AE=AE，F F是是BCBC的中点，的中点，AFAF与与DEDE交于交于点点G G，将，将ABFABF沿沿AFAF折起，得到如图所示的三棱锥折起，得到如图所示的三棱锥A-BCFA-BCF，其中，其中BC= .BC= .(1)(1)证明：证明：DEDE平面平面BCF.BCF.(2)(2)证明：证明：CFCF平面平面ABF.ABF.(3)(3)当当AD= AD= 时，求三棱锥时，求三棱锥F-DEGF-
39、DEG的体积的体积V VF-DEGF-DEG. .【解题指南解题指南】本题以折叠问题为背景，考查线面平行与垂直的本题以折叠问题为背景，考查线面平行与垂直的证明及空间几何体体积的求法，对于立体几何中的折叠问题要证明及空间几何体体积的求法，对于立体几何中的折叠问题要注意折叠前后变与不变的量注意折叠前后变与不变的量. .【解析解析】(1)(1)在等边在等边ABCABC中，中，AD=AEAD=AE，所以，所以 ，在折叠，在折叠后的三棱锥后的三棱锥A A- -BCFBCF中也成立，所以中也成立，所以DEBC.DEBC.因为因为DEDE 平面平面BCFBCF，BC BC 平面平面BCFBCF，所以，所以D
40、EDE平面平面BCF.BCF.(2)(2)在等边在等边ABCABC中，中，F F是是BCBC的中点，的中点，所以所以AFFCAFFC，BF=CF= .BF=CF= .因为在三棱锥因为在三棱锥A-BCFA-BCF中，中，BC= BC= ，所以所以BCBC2 2=BF=BF2 2+CF+CF2 2，CFBF.CFBF.因为因为BFAF=FBFAF=F，所以，所以CFCF平面平面ABF.ABF.(3)(3)易知易知GECFGECF，结合，结合(2)(2)可得可得GEGE平面平面DFG.DFG.V VF-DEGF-DEG=V=VE-DFGE-DFG= = DGDGFGFGGE=GE=【强化训练强化训练
41、】1.(20141.(2014驻马店高一检测驻马店高一检测) )如图所示，甲、乙、丙是三个立体如图所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是( () )长方体长方体圆锥圆锥三棱锥三棱锥圆柱圆柱A.A.B.B.C.C.D.D.【解析解析】选选A.A.由于甲的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又由于甲的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又因主视图和左视图均是矩形，则甲是圆柱；由于乙的俯视图是因主视图和左视图均是矩形，则甲是圆柱；由于乙的俯视图是三角形，则该几何体是多面体，又因主视图和左视图均是三角三角形，则该几何体是多面体，又因主视图
42、和左视图均是三角形，则该多面体的各个面都是三角形，则乙是三棱锥；由于丙形，则该多面体的各个面都是三角形，则乙是三棱锥；由于丙的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又因主视图和左视图均的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又因主视图和左视图均是三角形，则丙是圆锥是三角形，则丙是圆锥. .2.(20132.(2013新课标全国卷新课标全国卷)已知已知m m，n n为异面直线，为异面直线，mm平面平面，nn平面平面.直线直线l满足满足lmm，lnn，l ，l ，则，则( () )A.A.且且lB.B.且且lC.C.与与相交，且交线垂直于相交，且交线垂直于lD.D.与与相交，且交线平行于相交，且交线平行于l【
43、解析解析】选选D.D.因为因为m m，n n为异面直线，所以过空间内一点为异面直线，所以过空间内一点P P，作，作mmmm，nnnn，则，则lmm，lnn，即，即l垂直于垂直于mm与与nn确定的确定的平面平面，又，又mm平面平面，nn平面平面，所以，所以mm平面平面，nn平面平面，所以平面，所以平面既垂直于平面既垂直于平面，又垂直于平面，又垂直于平面，所以，所以与与相交，且交线垂直于平面相交，且交线垂直于平面，故交线平行于，故交线平行于l，选，选D.D.3.3.已知三棱柱已知三棱柱ABC-ABCABC-ABC的体积为的体积为V V，P P，Q Q分别在侧棱分别在侧棱AAAA，CCCC上，且上，
44、且AP=CQAP=CQ，则四棱锥，则四棱锥B-ACQPB-ACQP的体积是的体积是( () )【解析解析】选选B.B.连接连接BABA，BC.BC.如图，如图，V VB-ABCB-ABC V V，V VB-ACQPB-ACQPV VB-ACQPB-ACQP，所以所以V VB-ACQPB-ACQP V.V. 4.(20134.(2013江西高考改编江西高考改编) )如图，正方体的底面与正四面体的底如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面面在同一平面上，且上，且ABCDABCD，正方体的六个面所在的平面与，正方体的六个面所在的平面与直线直线CECE，EFEF相交的平面个数分别记为相交的平面个数
45、分别记为m m，n n，那么，那么m+n=_.m+n=_.【解析解析】取取CDCD中点中点G G，连接，连接EGEG，FGFG，可知，可知CDCD平面平面EFGEFG，因为，因为ABCDABCD，所以，所以ABAB平面平面EFGEFG，容易知道平面，容易知道平面EFGEFG与正方体的左右与正方体的左右两个侧面平行，所以两个侧面平行，所以EFEF与正方体的两个侧面平行，观察可知与正方体的两个侧面平行，观察可知n=4n=4；又正方体的底面与正四面体的底面共面，所以过点；又正方体的底面与正四面体的底面共面，所以过点A A可作可作AHCEAHCE，易知，易知CECE与正方体的上底面平行，在下底面内，与
46、其他与正方体的上底面平行，在下底面内，与其他四个面相交，所以四个面相交，所以m=4m=4，即得，即得m+n=8.m+n=8.答案：答案：8 85.(20135.(2013福建高考改编福建高考改编) )如图，在四棱柱如图，在四棱柱P-ABCDP-ABCD中，中，PDPD平面平面ABCDABCD，ABDCABDC，ABADABAD，BC=5BC=5，DC=3DC=3，AD=4AD=4，PAD=60.PAD=60.(1)(1)当主视方向与向量当主视方向与向量 的方向相同时，画出四棱锥的方向相同时，画出四棱锥P-ABCDP-ABCD的主视图的主视图( (要求标出尺寸，并写出演算过程要求标出尺寸，并写出
47、演算过程).).(2)(2)若若M M为为PAPA的中点，求证的中点，求证DMDM平面平面PBC.PBC.(3)(3)求三棱锥求三棱锥D-PBCD-PBC的体积的体积. .【解题指南解题指南】先求出各棱长，画主视图时，先投射底面，然后先求出各棱长，画主视图时，先投射底面，然后连接连接P P的投影即可；结合中点找中位线，证明线面平行；求体的投影即可；结合中点找中位线，证明线面平行；求体积时，要注意表达，要说明哪个线段是高积时，要注意表达，要说明哪个线段是高. .【解析解析】(1)(1)在梯形在梯形ABCDABCD中，过点中，过点C C作作CEABCEAB，垂足为，垂足为E E，由已知得，四边形由
48、已知得，四边形ADCEADCE为矩形，为矩形，AE=CD=3AE=CD=3，在在RtBECRtBEC中，由中，由BC=5BC=5，CE=4CE=4，依勾股定理，依勾股定理得：得：BE=3BE=3，从而，从而AB=6.AB=6.又由又由PDPD平面平面ABCDABCD得，得，PDADPDAD，从而在从而在RtPDARtPDA中，由中，由AD=4AD=4，PAD=60PAD=60，得得PD=4 .PD=4 .主视图如图所示主视图如图所示. .(2)(2)取取PBPB中点中点N N，连接，连接MNMN，CNCN，在在PABPAB中，中，M M是是PAPA中点，中点，所以所以MNABMNAB，MN=
49、AB=3MN= AB=3，又又CDABCDAB，CD=3CD=3，所以所以MNCDMNCD，MN=CDMN=CD，所以四边形所以四边形MNCDMNCD为平行四边形，所以为平行四边形，所以DMCN.DMCN.又因为又因为DMDM 平面平面PBCPBC，CN CN 平面平面PBCPBC，所以所以DMDM平面平面PBC.PBC.(3)V(3)VD-PBCD-PBC=V=VP-DBCP-DBC= S= SDBCDBCPDPD，又因为又因为S SDBCDBC=6=6，PD=4 PD=4 ，所以，所以V VD-PBCD-PBC=8 .=8 .【一题多解一题多解】(1)(1)同题目解析同题目解析. .(2)
50、(2)取取ABAB的中点的中点E E，连接，连接MEME，DEDE，在梯形在梯形ABCDABCD中，中，BECDBECD，且，且BE=CDBE=CD，所以四边形所以四边形BCDEBCDE为平行四边形，为平行四边形，所以所以DEBCDEBC，又，又DEDE 平面平面PBCPBC，BC BC 平面平面PBCPBC，所以所以DEDE平面平面PBC.PBC.在在PABPAB中，中，MEPBMEPB，MEME 平面平面PBCPBC，PB PB 平面平面PBCPBC，所以所以MEME平面平面PBC.PBC.又因为又因为DEME=EDEME=E，所以平面所以平面DMEDME平面平面PBCPBC，又因为，又因为DM DM 平面平面DMEDME，所以所以DMDM平面平面PBC.PBC.(3)(3)同题目解析同题目解析. .
