《高三数学一轮复习 第五章 平面向量 第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例课件 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学一轮复习 第五章 平面向量 第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例课件 理（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、理数课标版第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1.平面向量的数量积平面向量的数量积(1)向量a与b的夹角:已知两个非零向量a,b,过O点作=a,=b,则AOB=(0180)叫做向量a与b的夹角.当=90时,a与b垂直,记作ab;当=0时,a与b同向;当=180时,a与b反向.教材研读教材研读(2)a与b的数量积已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,则把数量|a|b|cos叫做a和b的数量积(或内积),记作ab=|a|b|cos.(3)规定0a=0.(4)一个向量在另一个向量方向上的投影设是a与b的夹角,则|a|cos叫做a在b的方向上的投影,|b|cos叫做b在a的方向上的投影.一个向量在
2、另一个向量方向上的投影是一个实数,而不是向量.(5)ab的几何意义ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积.2.向量的数量积的性质向量的数量积的性质设a、b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则(1)ea=ae=|a|cos.(2)abab=0.(3)当a与b同向时,ab=|a|b|.当a与b反向时,ab=-|a|b|.特别地,aa=|a|2.(4)cos=.(5)|ab|a|b|.3.向量的数量积的运算律向量的数量积的运算律(1)ab=ba.(2)(a)b=(ab)=a(b)(R).(3)(a+b)c=ac+bc.4.平面向量的数量积的坐标表示平面
3、向量的数量积的坐标表示(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.(2)若a=(x,y),则aa=a2=|a|2=x2+y2,|a|=.(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则|=,这就是平面内两点间的距离公式.(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a,b为非零向量,则abx1x2+y1y2=0.判断下列结论的正误.(正确的打“”,错误的打“”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.()(2)由ab=0,可得a=0或b=0.()(3)两向量ab的充要条件:ab=0x1x2+y1y2=0.()(4)若ab0,则a和b的夹角为锐角;若
4、ab0,则a和b的夹角为钝角.()(5)ab=ac(a0),则b=c.()1.两个非零向量a、b互相垂直,给出下列式子:ab=0;a+b=a-b;|a+b|=|a-b|;|a|2+|b|2=(a-b)2;(a+b)(a-b) = 0 . 其中正确的式子有()A.2个B.3个C.4个D.5个答案答案B显然正确;由向量运算的三角形法则知a+b与a-b长度相等、方向不同,所以错误,正确;由向量数量积的运算律可知(a-b)2=|a|2+|b|2,故正确;只有在|a|=|b|时,a+b与a-b才垂直,错误.故选B.2.(2016课标全国,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b
5、,则m=()A.-8B.-6C.6D.8答案答案D由题可得a+b=(4,m-2),又(a+b)b,43-2(m-2)=0,m=8.故选D.3.设向量a,b满足|a|=|b|=1,ab=-,则|a+2b|=()A. B. C.D.答案答案B|a+2b|=.4.(2016课标全国,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.答案答案-2解析解析由|a+b|2=|a|2+|b|2,知ab,ab=m+2=0,m=-2.5.(2016临沂模拟)已知向量|a|=1,|b|=2,a(a-b),则向量a与b的夹角大小是.答案答案解析解析设向量a与b的夹角大小是
6、,则由题意可得a(a-b)=a2-ab=1-12cos=0,解得cos=,所以=.考点一平面向量数量积的运算考点一平面向量数量积的运算典例典例1(1)(2016天津,7,5分)已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF, 则的值为()A.- B.C.D.(2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的最大值为.答案答案(1)B(2)1解析解析(1)建立平面直角坐标系,如图.考点突破考点突破则B,C,A,所以=(1,0).易知DE=AC,则EF=AC=,因为FEC=60,所以点F的坐标为,所以=,所以=(1,0)=.故
7、选B.(2)如图所示,分别以AB,AD所在的直线为x轴,y轴建立直角坐标系,则D(0,1),C(1,1),=(1,0),设E(t,0),则0t1,=(t,-1),所以=t1.所以 的最大值为1.方法技巧方法技巧向量数量积的两种计算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即ab=|a|b|cos.(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.变式变式1-1在本例(2)中,试求的取值范围.解析解析由本例(2)的解答知,=(t,-1),=(t-1,-1),t0,1,所以=t(t-1)+1=t2-t+1=+,因为t0,1
8、,所以1,即的取值范围为.变式变式1-2本例(2)中,当E是AB的中点时,试求在上的投影.解析解析解法一:如图,过点E作EFDC,垂足为F,由投影的定义知,在上的投影是.解法二:如图,向量与的夹角是EDC,所以在上的投影是|cosEDC=.考点二平面向量数量积的应用考点二平面向量数量积的应用命题角度一模的问题命题角度一模的问题典例典例2已知平面向量a,b的夹角为,且|a|=,|b|=2,在ABC中,=2a+2b,=2a-6b,D为BC的中点,则|等于()A.2B.4C.6D.8答案答案A解析解析因为=(+)=(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,所以|2=4(a-b)2=4(a2-2ba+b
9、2)=4=4,则|=2.命题角度二垂直问题命题角度二垂直问题典例典例3已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos=,若n(tm+n),则实数t的值为()A.4B.-4C.D.-答案答案B解析解析n(tm+n),n(tm+n)=0,即tmn+|n|2=0,t|m|n|cos+|n|2=0.又4|m|=3|n|,cos=,t|n|2+|n|2=0,n为非零向量,t+1=0,解得t=-4.命题角度三夹角问题命题角度三夹角问题典例典例4(1)(2014四川,7,5分)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mR),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=()A.-2B.-1C.1D.
10、2(2)已知向量a,b满足(a+2b)(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为.答案答案(1)D(2)解析解析(1)解法一:由c与a的夹角等于c与b的夹角,可设c=a+b(R),c=ma+b,m=2.解法二:c=ma+b=(m+4,2m+2),c与a的夹角等于c与b的夹角,且向量夹角的取值范围是0,=,2(ac)=bc2(m+4+4m+4)=4m+16+4m+4m=2.(2)由(a+2b)(a-b)=-6,得a2-2b2+ab=-6,又|a|=1,|b|=2,ab=1,设向量a与b的夹角为,则cos=,又0 , 故=.方法技巧方法技巧平面向量数量积的应用类型及求解策略(1)
11、求两向量的夹角:cos=,要注意0,.(2)两向量垂直的应用:abab=0|a-b|=|a+b|.(3)求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有a2=aa=|a|2或|a|=.|ab|=.若a=(x,y),则|a|=.2-1(2016合肥第二次质量检测)已知不共线的两个向量a,b满足|a-b|=2,且a(a-2b) , 则 |b|=()A. B.2C.2D.4答案答案Ba(a-2b),a(a-2b)=aa-2ab=0,由|a-b|=2得aa-2ab+bb=bb=4,|b|2=4,|b|=2.2-2(2015重庆,6,5分)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)(3a+2b),则
12、a与b的夹角为()A.B.C.D.答案答案A(a-b)(3a+2b),(a-b)(3a+2b)=03|a|2-ab-2|b|2=03|a|2-|a|b|cos-2|b|2=0.又|a|=|b|,|b|2-|b|2cos-2|b|2=0.cos=.0,=.选A.2-3已知向量与的夹角为120,且|=3,|=2.若=+,且,则实数的值为.答案答案解析解析,=0,(+)=0,即(+)(-)=-+-=0.向量与的夹角为120,|=3,|=2,(-1)|cos120-9+4=0,解得=.考点三平面向量与三角函数的综合问题考点三平面向量与三角函数的综合问题典例典例5(2017湖北仙桃一中期中)已知向量a=
13、,b=,且x.(1)求ab及|a+b|;(2)若f(x)=ab-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.解析解析(1)ab=coscos-sinsin=cos2x.a+b=,|a+b|=2|cosx|.x,cosx0,|a+b|=2cosx.(2)f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2-.x,cosx1,当cosx=时,f(x)取得最小值-;当cosx=1时,f(x)取得最大值-1.方法技巧方法技巧求解平面向量与三角函数综合问题的一般思路(1)求三角函数值,一般利用向量的相关运算得出三角函数关系式.利用同角三角函数的基本关系及三角函数中常用公式求解.(2)求角时通常
14、将向量问题转化为三角函数问题,先求三角函数值再求角.(3)解决与向量有关的三角函数问题所用的主要思想方法是转化与化归的数学思想,即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题.3-1已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).(1)若mn,求证:ABC为等腰三角形;(2)若mp,边长c=2,角C=,求ABC的面积.解析解析(1)证明:mn,asinA=bsinB,即a=b,其中R是ABC外接圆的半径,a=b.ABC为等腰三角形.(2)由题意可知mp=0,即a(b-2)+b(a-2)=0.a+b=ab.由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab，即(ab)2-3ab-4=0,ab=4(ab=-1舍去),ABC的面积S=absinC=4sin=.
