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1、高等代数课 程 教 案(另有电子多媒体制作的课件教案)(一) 课程概况 课程名称: 高等代数I，高等代数II 课程学时：两学期，课内周学时，共计128学时。课外另有讨论课。 课程性质：必修基础课。 讨论交流：每周安排1次讨论课。 考核方法： 多种形式结合。平时表现 (课堂讨论、作业、思考题)占10%， 期中考试占20%，期末考试(和小论文小答辩)占70%. 开课学期：秋季学期、春季学期。(二) 使用教材：1.高等代数学(第一、二版), 张贤科，许甫华编著，清华大学出版社(主教材)2.高等代数解题方法，许甫华、张贤科编著，清华大学出版社(辅导教材)3.Theory and Problems of
2、 Linear Algebra，S. Lipschutz著， McGraw-Hill出版.4.Linear Algebra，S.Berberian著，Oxford Univ. 出版5. Advanced Linear Algebra，S. Roman著，Springer出版社。 (以上3本为参考书) (三) 内容合进度安排 (带星号*的是简单介绍性内容) 第一部分 基 础 内 容 (第一学期上课)第1章 数与多项式1.1 数的进化与代数系统 (第1大节上课) *1.2 整数的同余与同余类 (第2大节上课)1.3 多项式形式环 (第3大节上课)1.4 带余除法与整除性1.5 最大公因子与辗转相除
3、法 (第4大节上课)1.6 唯一析因定理1.7 根与重根 (第5大节上课)1.8 与 (第6大节上课)1.9 与1.10 多元多项式 (第7大节上课)1.11 对称多项式习题1 (4 次讨论课)第2章 行列式2.1 排列 (第8大节上课)2.2 行列式的定义2.3 行列式的性质2.4 Laplace 展开 (第9大节上课)2.5 Cramer 法则与矩阵乘法 (第10大节上课)2.6 矩阵的乘积与行列式 (第11大节上课)2.7 行列式的计算习题2 (2次讨论课)第3章 线性方程组3.1 Gauss消元法 (第12大节上课)3.2 方程组与矩阵的秩3.3 行向量空间和列向量空间 (第13大节上
4、课)3.4 矩阵的行秩和列秩3.5 线性方程组解的结构 (第14大节上课)3.6 例题 *3.7 结式与消去法习题3 (2次讨论课)第4章 矩阵的运算与相抵4.1 矩阵的运算 (第15大节上课)4.2 矩阵的分块运算4.3 矩阵的相抵 (第16大节上课)4.4 矩阵运算举例 (第17大节上课)4.5 矩阵与映射 (第18大节上课) *4.6 矩阵的广义逆 *4.7 最小二乘法习题4 (2 次讨论课)-复习, 期中考试 (第19大节)第5章 线性(向量)空间5.1 线性(向量)空间 (第20大节上课)5.2 线性映射与同构 (21大节上课)5.3 基变换与坐标变换 (第22大节上课)5.4 子空
5、间的和与直和 (第23大节上课) *5.5 商空间习题5 (两次讨论课)第6章 线性变换6.1 线性映射及其矩阵表示 (第24大节上课)6.2 线性映射的运算 (第25大节上课)6.3 线性变换 (第26大节上课) *6.4 线性表示介绍6.5 不变子空间 (第27大节上课)6.6 特征值与特征向量 (第28大节上课)6.7 方阵的相似 (第29大节上课)习题6 (两次讨论课)-复习, 期末考试 (第30-32大节) 第二部分 深 入 内 容(第二学期上课)第7章 方阵相似标准形与空间分解7.1 引言: 孙子定理 (第1大节上课)7.2 零化多项式与最小多项式 (第2大节上课)7.3 准素分解
6、与根子空间 (第3大节上课)7.4 循环子空间 (第4大节上课)7.5 循环分解与有理标准形 (第5大节上课)7.6 Jordan 标准形 (第6-7大节上课)7.7 矩阵与空间分解 (第8大节上课)7.8 矩阵的相抵与Smith标准形 (第9大节上课)7.9 三种因子与方阵相似标准形 (第10大节上课) *7.10 方阵函数 (第11大节上课) *7.11 与可交换的方阵 *7.12 模分解基本定理7.13 若干例题习题7 (讨论课4次)第8章 双线性型、二次型与方阵相合8.1 二次型与对称方阵 (第12大节上课)8.2 对称方阵的相合 (第13大节上课)8.3 正定实对称方阵 (第14大节
7、上课)8.4 交错方阵的相合及例题 (第15大节上课)8.5 线性函数与对偶空间 (第16大节上课)8.6 双线性函数 (第17大节上课)8.7 对称双线性型与二次型 (第18大节上课) *8.8 二次超曲面的仿射分类 *8.9 无限维线性空间习题8 (讨论课 3次)-复习, 期中考试 (第19大节上课)第9章 欧几里得空间与酉空间9.1 标准正交基 (第20大节上课)9.2 方阵的正交相似 (第21大节上课)9.3 欧几里得空间的线性变换 (第22大节上课)9.4 正定性与极分解 (第23大节上课) *9.5 二次超曲面的正交分类 (第24大节上课)9.6 杂例 (第25大节上课)9.7 H
8、ermite型 (第26大节上课)9.8 酉空间和标准正交基 (第27大节上课)9.9 方阵的酉相似与线性变换 (第28大节上课) *9.10 变换族与群表示9.11 型与线性变换 (第29大节上课)习题9 (讨论课 4次)-复习, 期末考试 (第30-32大节) 第三部分 选 学 内 容 (课外阅读材料, 不在课内讲课, 或稍作介绍)第10章 正交几何与辛几何10.1 根与正交补10.2 正交几何与辛几何的结构10.3 等距变换与反射10.4 Witt定理10.5 极大双曲子空间习题10第11章 Hilbert空间11.1 内积与度量空间11.2 内积空间与完备11.3 逼近与正交直和11.
9、4 Fourier展开11.5 等距同构于11.6 有界函数与Riesz表示习题11第12章 张量积与外积12.1 引言与概述12.2 张量积12.3 线性变换及对偶12.4 张量及其分量12.5 外积12.6 交错张量习题12(四)课程的定位和作用 高等代数是数学的核心基础课程。它的理论密切联系于数学的各个领域, 联系于科学技术的各个领域, 构成它们的理论和方法基础. 无论学生要学任何后续理工科课程,也无论学生未来从事数学、科学的理论研究, 或者未来从事实际技术工程工作, 高等代数的基础都是至关重要的. 按照著名的布尔巴基(N. Bourbaki)学派的 数学结构主义, 全部数学基于三种 母
10、结构: 代数结构、顺序结构、拓扑结构. 它们相互组合分化, 构筑起数学巨厦. 其中代数结构尤其在数学的现代化中起到决定作用. 与代数密切关联的现代数学学科有: 代数数论, 代数几何, 算术代数几何, 代数拓扑, 代数表示论, 代数K-理论, 泛函分析, 模形式(自守函数论), lie群与lie代数, 同调代数, 拓扑代数, 范畴理论, 格论, 代数编码, 等等. 此外如统计理论等等, 尤其大量应用线性代数和矩阵理论. 代数学处理的是 结构,其意义有如下论述. 数学大师赛尔伯格(A. Selberg)指出, 今天的数学主要关心的是结构以及结构之间的关系, 而不是数之间的关系. 这种情况最初发生在
11、1800年左右, 首次的突破是抽象群概念的引入, 目前它在数学领域中无所不在. 法国大数学家嘉当(H. Cartan)指出: 我们目睹了代数在数学中名副其实的到处渗透 ,日益清楚的意识到代数概念在数学的几乎所有分支中所起的作用, 随着目前数学的这种代数化, 任何研究人员再也不能无视近世代数这一必不可少的工具了.(五) 课程的指导教育理念 1. 以现代科学(数学)的视角和精神, 阐释基础课程. 适当介绍现代科学的知识, 重要的理论、成果、概念、方法, 扩展延拓传统的内容, 与现代科学(技术和应用)建立联系. 以现代视角和精神审视传统内容, 改革内容体系, 整合优化新的模块和脉络. 适当运用现代数
12、学和应用中(或当前国际常用)的理念思想、语言概念, 名词符号. 2. 辨证科学地处理课程和教学中的各种关系. 由浅入深,由具体到抽象,由低级到高级, 符合人的认识规律. 代数学的高度抽象性,不同于其它任何学科. 这常给学习者带来很多困难. 国外大学界有格广为传扬的说法: 学代数是一场灾难, 教代数也是一场灾难.因此代数课的教学必须力求符合人的认识规律, 由浅入深, 由具体到抽象, 逐步认识掌握熟悉抽象, 最后在思维中建立理论的具体. 基础为本,高层开拓.既需要深厚的基础,而且有一定的磨练过程,又不能局限于底层. 既需要以开拓心态学习高层理论,又要立于实地.辨证统一,不相割裂,基础与前沿贯通.
13、理论的理解和解题能力的辨证统一.细节与整体的辨证统一.教学始于细节,基于细节,但不被细节局限.一般寓于特殊之中. 矩阵坐标方法和映射变换理论的辩证统一. 3. 人文关怀寓于知识传授, 精神力量引导新一代成长 教育的最终目的是育人.教育要超越单纯的知识传授,要超脱简单的技术细节.要避免简单的功利主义.要有精神,要有理想,要有高远的视野.教师不能刻板的局限于教学大纲,学生不能怯懦的臣服于分数面前.要避免狭隘、匠气, 要面向世界,面向未来. 教知识,也要关心人生理想. 教数学,也要在意志向物理和信息.教基础, 也要联系高层前沿国际大师. 爱贯穿于教育始终. 爱学生,爱教学,爱数学,爱国家. 爱学生,
14、学生才能健康成长,才能有自信,自强,大志向,才能有出息. 那些为了讲授一个问题,而打压学生的自信(甚至羞辱了学生的自尊)的做法, 无异于给了他一碗红豆汤,而剥夺了他的太子继承权. 华罗庚提出人梯精神,要一代托举一代,象搭人梯一样,把青年人推上去. 教师正是要这样做. 大志是成功的基因; 自信是成功的钥匙;勤奋是成功的度量. 尊重个性. 共性寓于个性之中. 教学风格有个性. 理解学生的个性. (六) 内容体系的优化与充实 1.调整优化高等代数课程的模块新体系, 基础-前沿贯通 引入新的教学内容,介绍了(适当消化引入了)数学的最新发展成果,加大了知识信息量. 特别如, 选学部分, 介绍了辛几何与正
15、交几何,Hilbert空间, 张量积与外积. 其他章节在适当地方,介绍了群表示论的萌芽,变换族,模及其分解, 对偶概念, 商空间和商环概念, 结式和消去法, 判别式, 等等. 也介绍了空间各种分解,矩阵函数, 代数编码等.这些介绍的内容之中, 有的是前沿的重要内容(如变换族在费尔马大定理证明中,模形式理论中),有的是多领域需要的重要内容(如模的概念,张量积与外积),有的是原来的基础内容的自然的稍稍的拓展, 都基于基本内容而且相互建立起密切联系. 调整了传统内容及其发展脉络.最为鲜明的特点, 就是一改过去半个多世纪的因袭(有不少是前苏联原来的内容, 文革以后又把旧内容翻出来的), 而改用新视角,
16、 即现代科学的视角, 适应科学的新发展, 适应新时代的社会要求. 由对称多项式引至判别式(和结式), 由线性方程组引至行向量(和消去法)，由矩阵引至变换，由变换的矩阵引至线性表示(介绍,选读)，由空间分解引至模及其分解(介绍),都是具体和抽象贯通、基础与现代贯通的例子. 2. 前沿性、时代性-新的平台,新的理念, 新的概念,语言,和符号 基域的选取, 一改对实数域的因袭, 全部基于一般的域, 特别可以是二元域, 这是电子计算机、信息和编码等的基域, 也与理论前沿衔接. 适当使用群环域的名词和概念, 不仅对众多内容提纲挈领,也在应用中不断加深,为进一步理论打开了大门. 采用国际通用符号等. 数与
17、多项式为第一章,讲解透彻，由具体范例,引发到熟悉代数的抽象概念. 3. 在经典内容的阐释方面, 有许多新的发展, 新的讲法, 新的思路, 和新的证明方法. 4. 大量的各种层次的例题、习题.(七) 改革教学方法,方式 1. 用先进的视角和精神统领基础课教学. 2. 以积极的态度, 辨证地处理课程中的矛盾关系 3. 教书育人, 爱的教育贯穿始终 爱学生,爱教学,爱数学,爱国家. 建立学生的自信,自强,大志.实践华罗庚提出的人梯精神,一代托举一代,把青年人推上去. 大志是成功的基因; 自信是成功的钥匙;勤奋是成功的度量. 因材施教,尊重个性. 教学要有个性. 要理解学生的个性. 4. 课堂上互动交流. 5. 课外阅读材料. 6.布置课外思考题. 7. 讨论课, 师生共同解决问题. 8.考试改革: 小论文, 小答辩,多结合. 9. 教学资料上网. 10. 重要的适合的内容, 做成了多媒体课件.?1
