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1、 第四章 数系的扩充_复数4.1 复数的概念复数的概念一一. 复数的概念复数的概念 数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着生产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大和充生产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大和充实，从自然数集、整数集、有理数集到实数集的每实，从自然数集、整数集、有理数集到实数集的每一次扩充，推动了生产的进一步发展，也使数的理一次扩充，推动了生产的进一步发展，也使数的理论逐步深化和发展，复数最初是由于解方程的需要论逐步深化和发展，复数最初是由于解方程的需要产生的，后来由于在科学技术中得到应用而进一步产生的，后来由于在科学技术中得到应用而进
2、一步发展。发展。 我们知道，对于实系数一元二次方程我们知道，对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0，当当b24ac0时，没有实数根。那时，没有实数根。那么我们能否将实数集么我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数进行扩充，使得在新的数集中，该问题可以得到圆满的解决呢？集中，该问题可以得到圆满的解决呢？ 回答是肯定的。实际上最根本的问题就是回答是肯定的。实际上最根本的问题就是要解决要解决 1 1的开平方问题的开平方问题，即怎样的一个数，它，即怎样的一个数，它的平方会等于的平方会等于1 1。 现在我们就引入这样一个数现在我们就引入这样一个数 i ，把把 i 叫做虚数叫做虚数单位单位，并且规定并且
3、规定： （1）i21； （2）实数可以与实数可以与 i 进行四则运算进行四则运算，在进行四在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率则运算时，原有的加法与乘法的运算率( (包括交换包括交换率、结合率和分配率率、结合率和分配率) )仍然成立。仍然成立。 这样就解决了前面所提出的问题，即这样就解决了前面所提出的问题，即 1 1可以可以开平方，且开平方，且1的平方根为的平方根为 i.形如形如a+bi(a,b R)的数叫做复数的数叫做复数.二二.复数集复数集 复数复数a+bi(a, bR)由两部分组成由两部分组成，实数实数a与与b分分别称为复数别称为复数a+bi的的实部实部与与虚部虚部，1 1与与i分
4、别是分别是实数实数单位单位和和虚数单位虚数单位， 当当b=0时时，a+bi就是就是实数实数， 当当b0时时，a+bi是虚数虚数，其中其中a=0且且b0时称为时称为纯虚数。纯虚数。 全体复数所成的集合叫做全体复数所成的集合叫做复数集复数集.这样实数集就是复数集的一个子集。这样实数集就是复数集的一个子集。它们的关系如下：它们的关系如下：三三.复数相等的定义复数相等的定义 根据两个根据两个复数相等复数相等的定义的定义，设设a, b, c, dR，两个复数两个复数a+bi和和 c+di 相等规定相等规定为为a+bi =c+di . 由这个定义得到由这个定义得到 a+bi=0 .两个复数不能比较大小两个
5、复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等只能由定义判断它们相等或不相等。 如果两个复数的实部和虚部分别相等如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就我们就说这两个说这两个复数相等复数相等.例例1.1.实数实数 m m 取什么数值时，复数取什么数值时，复数z z= =m m +1+(+1+(m m1)1)i i是：是：（1 1）实数？）实数？ （2 2）虚数？（）虚数？（3 3）纯虚数？）纯虚数？解：复数解：复数z=m+1+(m1)i 中，因为中，因为m R，所以，所以m+1，m1都是实数，它们分别是都是实数，它们分别是z的实部和虚部，的实部和虚部， （1）m=1时，时，z是实数；是实数；
6、 （2）m1时，时，z是虚数；是虚数；（3）当）当 时，即时，即m=1时，时，z是纯虚数；是纯虚数；例例2.已知已知(2x1)+i=y(3y)i，其中其中x, yR，求求x, y.解：根据复数相等的意义，两个复数相等则实部等于实部解：根据复数相等的意义，两个复数相等则实部等于实部 ，虚，虚部等于虚部，得方程组，部等于虚部，得方程组， 解得解得 x= , y=4.xo1 你能否找到用来表示复数的你能否找到用来表示复数的几何模型几何模型吗？吗？实数可以用实数可以用数轴数轴上的点来表示。上的点来表示。一一对应一一对应 规定了正方向，规定了正方向，直线直线数轴数轴原点原点，单位长度单位长度实数实数 数
7、轴数轴上的点上的点 (形形)(数数)(几何模型几何模型)复数复数z=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b) 建立了平面直角建立了平面直角坐标系来表示复数的坐标系来表示复数的平面平面x轴轴-实轴实轴y轴轴-虚轴虚轴（数）（数）（形）（形）-复数平面复数平面 (简称简称复平面复平面)一一对应一一对应z=a+bi概念辨析概念辨析例题例题复数复数z=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b) 建立了平面直角建立了平面直角坐标系来表示复数的坐标系来表示复数的平面平面x轴轴-实轴
8、实轴y轴轴-虚轴虚轴（数）（数）（形）（形）-复数平面复数平面 (简称简称复平面复平面)一一对应一一对应z=a+bi概念辨析概念辨析例题例题实数绝对值的实数绝对值的几何意义几何意义:能否把绝对值概念推广到复数范围呢？能否把绝对值概念推广到复数范围呢？XOAa| a | = | OA | 实实数数a在在数数轴轴上上所所对对应应的的点点A到到原原点点O的距离。的距离。xOz=a+biy| z | = |OZ|复数的绝对值复数的绝对值 复数复数 z=z=a+ +bi i在复在复平面上对应的点平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。到原点的距离。(复数的模复数的模)的的几何意义几何意义:Z (a,b)
9、 例例3 求下列复数的模：求下列复数的模： (1)z1=- -5i (2)z2=- -3+4i (3)z3=5- -5i(3)(3)满足满足|z|=5(zC)|z|=5(zC)的的z z值有几个？值有几个？思考：思考：(2)(2)满足满足|z|=5(zR)|z|=5(zR)的的z z值有几个？值有几个？(4)z4=1+mi(mR) (5)z5=4a- -3ai(a0)(1)(1)复数的模能否比较大小？复数的模能否比较大小？ 这些复这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？数对应的点在复平面上构成怎样的图形？ 图示图示课堂小结：课堂小结：一一. 数学知识：数学知识：二二. 数学思想：数学思想：
10、(1)复数相等复数相等(2)复平面复平面(3)复数的模复数的模(3)类比思想类比思想(2)数形结合思想数形结合思想(1)转化思想转化思想课题：复数的有关概念课题：复数的有关概念(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；(C)在在复复平平面面内内，实实轴轴上上的的点点所所对对应应的的复复数数都都是是实实数；数；(D)在在复复平平面面内内，虚虚轴轴上上的的点点所所对对应应的的复复数数都都是是纯纯虚数。虚数。辨析：辨析：1下列命题中的假命题是（下列命题中的假命题是（ ）D 2
11、“a=0”是是“复数复数a+bi (a , bR)所所对应的点在虚轴上对应的点在虚轴上”的（的（ ）。）。 (A)必要不充分条件必要不充分条件 (B)充分不必要条件充分不必要条件 (C)充要条件充要条件 (D)不充分不必要条件不充分不必要条件C例例2 2 已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i+m-2)i在复平面内所在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数对应的点位于第二象限，求实数m m允许的取值范围。允许的取值范围。 表示复数的点所表示复数的点所在象限的问题在象限的问题复数的实部与虚部所满复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题足的不等式组的
12、问题转化转化(几何问题几何问题)(代数问题代数问题)一种重要的数学思想：一种重要的数学思想：数形结合思想数形结合思想例例2 2 已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i+m-2)i在复平面内所在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数对应的点位于第二象限，求实数m m允许的取值范围。允许的取值范围。 变式：变式：证明对一切证明对一切m m，此复数所对应的点不可能位，此复数所对应的点不可能位于第四象限。于第四象限。不等式解集为空集不等式解集为空集所以复数所对应的点不可能位于第四象限所以复数所对应的点不可能位于第四象限.xyO设设z=x+yi(x,yR)z=x+yi(x,yR)满足满足|z|=5(zC)|z|=5(zC)的的复数复数z z对应的点在复对应的点在复平面上将构成怎样平面上将构成怎样的图形？的图形？5555
