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1、复合函数求复合函数求导法法则先回先回忆一下一元复合函数的微分法一下一元复合函数的微分法则则复合函数复合函数 对 x 的的导数数为 这一一节我我们将把将把这一求一求导法法则推广到多元函推广到多元函数的情形，主要介数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。我函数的微分法。我们知道，求偏知道，求偏导数与求一元函数与求一元函数的数的导数本数本质上并没有区上并没有区别，对一元函数适用的一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法中仍然适用，那么微分法中仍然适用，那么为什么什么还要介要介绍多元多元复合函数求导法
2、则分析复合函数的微分法和复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？函数的微分法呢？这主要是主要是对于没有具体于没有具体给出式子的所出式子的所谓抽象函数抽象函数如如它是由它是由复合而成的复合而成的由于由于 f 没有具体没有具体给出出 一元复合函数的微分法一元复合函数的微分法则就无能就无能为力了，力了，为此此还要介要介绍多元复合函数的微分法和多元复合函数的微分法和隐函数的函数的微分法。微分法。复合函数求导法则分析一、一、链式法式法则证复合函数求导法则分析复合函数求导法则分析上定理的上定理的结论可推广到中可推广到中间变量多于两个的情况量多于两个的情况.如如以上公式中的以上公式中的导数数 称称为全全导数数.
3、 上定理上定理还可推广到中可推广到中间变量不是一元函数量不是一元函数而是多元函数的情况：而是多元函数的情况：复合函数求导法则分析链式法式法则如如图示示复合函数求导法则分析称称为标准法准法则或或 这个公式的特征：个公式的特征：函数函数有两个自有两个自变量量 x 和和 y故法故法则中包含中包含两个公式；两个公式；复合函数求导法则分析由于在复合由于在复合过程中有两个中程中有两个中间变量量 u 和和 v故法故法则中每一个公式都是两中每一个公式都是两项之和，之和，这两两项分分别含有含有 每一每一项的构成与一元复合函数的的构成与一元复合函数的链导法法则类似，似，即即“函数函数对中中间变量的量的导数乘以中数
4、乘以中间变量量对自自变量的量的导数数”多元复合函数的求多元复合函数的求导法法则简言之即：言之即：“分道相加，分道相加，连线相乘相乘” 复合函数求导法则分析复合函数求导法则分析特殊地特殊地其中其中即即令令两者的区两者的区别区区别类似似复合函数求导法则分析注注 此公式可以推广到任意多个中此公式可以推广到任意多个中间变量和任量和任意多个自意多个自变量的情形量的情形如如则 从以上推广中我从以上推广中我们可以得出：所有公式中可以得出：所有公式中两两乘两两乘积的的项数等于中数等于中间变量的个数，而与自量的个数，而与自变量的个数无关量的个数无关复合函数求导法则分析关于多元复合函数求偏关于多元复合函数求偏导问
5、题这是一是一项基本技能，要求熟基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二掌握，尤其是求二阶偏偏导数，既是重点又是数，既是重点又是难点。点。对求求导公式不求公式不求强记，而要切，而要切实做到做到彻底理解。注意以下几点将底理解。注意以下几点将会有助于会有助于领会和理解公式，在解会和理解公式，在解题时自如地运用自如地运用公式公式用用图示法表示出函数的复合关系示法表示出函数的复合关系函数函数对某个自某个自变量的偏量的偏导数的数的结构构（项数及数及项的构成）的构成）复合函数求导法则分析 的的结构是求抽象的复合函构是求抽象的复合函数的二数的二阶偏偏导数的关数的关键 弄清弄清 仍是复合函数仍是复合函数且复合且复合结
6、构与原来的构与原来的 f ( u , v ) 完全相同完全相同即仍是以即仍是以 u , v 为中中间变量，以量，以 x , y 为自自变量量的复合函数的复合函数因此求它因此求它们关于关于 x , y 的偏的偏导数数时必必须使使链式法式法则复合函数求导法则分析在具体在具体计算中最容易出算中最容易出错的地方是的地方是对 再求偏再求偏导数数这一步一步 是与是与 f ( u , v ) 具具有相同有相同结构的复合函数易被构的复合函数易被误认为仅是是 u 的的函数，从而函数，从而导致漏掉致漏掉原因就是不注意原因就是不注意 求抽象函数的偏求抽象函数的偏导数数时，一定要，一定要设中中间变量量注意引用注意引用
7、这些公式的条件些公式的条件外外层函数可微（偏函数可微（偏导数数连续）内内层函数可函数可导 的合并的合并问题视题设条件条件复合函数求导法则分析解解复合函数求导法则分析解解例例3 设均均满足复合函数求偏足复合函数求偏导数的条件数的条件 计算算（两重复合（两重复合问题）解解由由链式法式法则复合函数求导法则分析故故同理可得同理可得复合函数求导法则分析解解令令记同理有同理有复合函数求导法则分析于是于是二、全微分形式不二、全微分形式不变性性复合函数求导法则分析全微分形式不全微分形式不变形的形的实质： 无无论 是自是自变量量 的函数或中的函数或中间变量量 的函数，它的全微分形式是一的函数，它的全微分形式是一
8、样的的.复合函数求导法则分析 利用全微分形式不利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的性，在逐步作微分运算的过程中，不程中，不论变量量间的关系如何的关系如何错综复复杂，都可以，都可以不加辨不加辨认和区分，而一律作和区分，而一律作为自自变量来量来处理理且作微分运算的且作微分运算的结果果对自自变量的微分量的微分 来来说是是线性的性的从而从而为解解题带来很多方便，而且也不易出来很多方便，而且也不易出错复合函数求导法则分析例例5 设各函数各函数满足求足求导条件条件求求解一解一 变量量间的关系如下的关系如下图所示所示复合函数求导法则分析这里里变量量间的关系比的关系比较混乱混乱用全微分来解用全微分来解由全
9、微分定理由全微分定理注意到注意到 x , z 是独立自是独立自变量量 解二解二复合函数求导法则分析由全微分定由全微分定义注注解法二在解法二在实际计算中算中显得十分灵便且不易出得十分灵便且不易出错故故 复合函数求导法则分析三、小三、小结1、链式法式法则（分三种情况）（分三种情况）（特（特别要注意要注意课中所中所讲的特殊情况）的特殊情况）2、全微分形式不、全微分形式不变性性（理解其（理解其实质）复合函数求导法则分析思考思考题复合函数求导法则分析思考思考题解答解答复合函数求导法则分析练 习 题复合函数求导法则分析复合函数求导法则分析复合函数求导法则分析练习题答案答案复合函数求导法则分析复合函数求导法则分析
