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1、数学（第4册）直直 线线第 十二 章两个基本公式第一节直线的方程第二节两直线的位置关系第三节点与直线的距离第四节目录CONTENTS第一节两个基本公式 两点间的距离公式 一、在初中的数学知识中，我们学习了怎么求数轴上的两点间的距离.一般地，如果x轴上的两点A与B的坐标分别是x1，x2，那么A与B的距离为即x轴上的两点的距离是这两点坐标差的绝对值.同样，y轴上的两点间的距离也是两点坐标差的绝对值.第一节两个基本公式我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.于是勾股定理可叙述为：勾方加股方等于弦方.下面我们来讨论已知平面直角坐标系中任意两点的坐标，如何计算
2、这两点的距离.设A(x1,y1)，B(x2,y2)是平面直角坐标系内的任意两点，从A，B两点出发分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A1，A2，B1，B2，再过A作BB1的垂线，垂足为C，如图12-1所示.在直角三角形ABC中，根据勾股定理有第一节两个基本公式图12-1第一节两个基本公式学习提示学习提示第一节两个基本公式由此得到坐标平面上任意两点A(x1,y1)，B(x2,y2)间的距离为特别地，原点O与任意一点A(x,y)间的距离为第一节两个基本公式【例例1 1】 课堂堂练习计算下列两点间的距离：（1）A(1,4),B(3,7)；（2）A(1,1),B(5,7).第一节两个基本公式 线段中点坐
3、标公式二、设A(x1,y2)，B(x2,y2)是平面直角坐标系内的任意两点，点M(x0,y0)是线段AB的中点.过点A，B，M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A1，A2，B1，B2，M1，M2，如图122所示.图122第一节两个基本公式因为点M为线段AB的中点，根据平行线的性质，点M1和点M2分别是线段A1B1和A2B2的中点，即A1M1=M1B1,A2M2=M2B2，所以x0x1=x2x0,y0y1=y2y0，即这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式.第一节两个基本公式【例例3 3】所以BC边上的中点D的坐标为(1,2).根据两点间的距离公式可得AD的长度为第一节两个基本公式 课堂堂练
4、习1.求连结下列两点的线段的中点坐标：（1）A(-7,4),B(3,8)；（2）A(3,1),B(2,5).2.已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(2,2),B(0,1),C(2,5)，求BC边上的中线AD的长度.第二节直线的方程 直线的倾斜角与斜率 一、直线l在直角坐标系中与两个坐标轴有不同的夹角，其中直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫作直线l的倾斜角，如图12-3所示的角.图12-3第二节直线的方程规定：当直线l与x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为零度角.这样，对任意的直线l，它的倾斜角的取值范围是0180.直线l的倾斜角为（90），则的正切值叫作这条直线的斜率，通常用小
5、写字母k表示，即k=tan.（12-3）当=90时，直线l的斜率不存在，当90时，直线l都有确定的斜率.学习提示学习提示第二节直线的方程当为钝角时，k0；当=90时（直线平行或重合于y轴），k不存在；当=0时（直线平行或重合于x轴），k=0；第二节直线的方程下面我们研究如何根据直线上的任意两个点的坐标来确定倾斜角和斜率的大小.如图12-4所示，设图中点A(x1,y1),B(x2,y2)为直线l上的任意两点，我们可以得到：图12-4第二节直线的方程如图12-4（a）、（b）所示，当90时，x1x2，如图12-4（c）所示，当=90时，x1=x2，k=tan的值不存在，此时直线l与x轴垂直.因此，
6、设点A(x1,y1),B(x2,y2)为直线l上的任意两点，则直线l的斜率为第二节直线的方程【例例1 1】（2）由于直线经过点A(2,3),B(2,1)，x1x2，所以直线的斜率为第二节直线的方程 课堂堂练习1.判断满足下列条件的直线的斜率是否存在，若存在，求出斜率的值.（1）直线的倾斜角为45；（2）直线过点A(2,1),B(3,5)；（3）点A(5,2),B(5,4)在直线上.2.设点A(3,1),B(5,3)在直线l上，求直线l的斜率和倾斜角.第二节直线的方程 直线的点斜式和斜截式方程 二、已知直线l的斜率为k，并且经过点P0(x0,y0)，如图12-5所示，求直线l的方程.图12-5第
7、二节直线的方程设点P(x,y)是直线上不同于点P0的任意一点，因为直线l的斜率为k，则根据过两点的直线的斜率公式，得即yy0=k(xx0)，也即斜率为k，并且经过点P0(x0,y0)的直线的方程为yy0=k(xx0).（12-5）由于这个方程是由直线上的一点和直线的斜率确定的，所以叫作直线的点斜式方程.第二节直线的方程【例例3 3】根据点斜式方程得直线的方程为第二节直线的方程如图12-6所示，直线l与x轴交于点A(a,0)，与y轴交于点B(0,b)，则a叫作直线l在x轴上的截距（或横截距），b叫作直线在y轴上的截距（或纵截距）.图12-6第二节直线的方程设直线l的斜率为k，并且在y轴上的截距为
8、b，即直线经过点(0,b)，则直线l的方程为yb=k(x0)，即y=kx+b.斜率为k，在y轴上的截距为b的直线的方程为y=kx+b，（12-6）这个方程叫作直线的斜截式方程.学习提示学习提示第二节直线的方程在实际应用时，应如何对方程的点斜式方程和斜截式方程进行选择？想一想第二节直线的方程 课堂堂练习1.已知直线经过下列两点，求出它们的方程：（1）P1(2,1),P2(0,3)；（2）P1(1,5),P2(2,1).2.写出符合条件的直线的斜截式方程：第二节直线的方程 直线的两点式方程 三、如图12-8所示，已知直线l经过点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2),由斜率公式可得故直
9、线l的方程为图12-8第二节直线的方程当y1y2时，方程可写成y-y1y2-y1=x-x1x2-x1(x1x2且y1y2).由于上述方程是由直线上的两点确定的，所以称为直线的两点式方程.第二节直线的方程【例例5 5】整理得第二节直线的方程直线经过点A（0，3），B（-6，0），由直线的两点式方程得第二节直线的方程 课堂堂练习1.写出经过下列两点的直线方程.（1）A（4，-1），B（2，2）；（2）A（-1，5），B（3，0）.2.已知两点A（2，5），B（-1，2），若点P（6，m）在直线AB上，求实数m的值.第二节直线的方程 直线的一般式方程 四、直线的点斜式方程yy0=k(xx0)可以化为
10、kxy+y0kx0=0；直线的斜截式方程y=kx+b可以化为kxy+b=0.由此可以知道，直线的点斜式方程和斜截式方程都可以转化为二元一次方程的一般形式Ax+By+C=0.第二节直线的方程第二节直线的方程因此，二元一次方程Ax+By+C=0（其中A,B不全为零）表示一条直线.方程Ax+By+C=0（其中A,B不全为零）（12-7）叫作直线的一般式方程.直线的点斜式、斜截式、两点式和一般式方程之间如何相互转换？试举例说明.思考与讨论思考与讨论第二节直线的方程【例例6 6】第二节直线的方程【例例7 7】第二节直线的方程 课堂堂练习1.根据下列条件写出直线方程，并化为一般式：（1）经过点P(3,5)
11、，斜率为2；（2）倾斜角为120，在y轴上的截距为3.2.将下列直线的方程化为一般式方程：第三节两直线的位置关系 两条相交直线的交点 一、设两条直线的方程是：l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0.如果这两条直线相交，由于交点同时在l1和l2上，交点坐标同时要满足两个方程，是这两个方程的唯一的公共解；反之，如果这两个直线方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点.第三节两直线的位置关系因此，两条直线是否有交点，主要是看方程组是否有唯一解.第三节两直线的位置关系【例例1 1】第三节两直线的位置关系 课堂堂练习求下列两条直线的交点:(1)l1:2xy
12、3=0与l2:4x+5y+1=0；(2)l1:2x5y+3=0与l2:x2y2=0.学习提示学习提示第三节两直线的位置关系 两条相交直线的交点二、平面内不重合的两条直线只有相交和平行两种位置关系.前面我们学习了两条相交直线的交点，下面我们将利用直线的斜截式方程来讨论两条直线平行的条件.如图12-9（a）所示，两条直线l1,l2的斜率都存在且都不为0，如果直线l1平行于l2，那么这两条直线与x轴相交的同位角相等，即两条直线的倾斜角相等，故两条直线的斜率相等；反之，两条直线l1,l2的斜率都存在且都不为0，如果直线的斜率相等，那么这两条直线的倾斜角相等，即两条直线与x轴相交的同位角相等，故两条直线
13、平行.第三节两直线的位置关系图12-9第三节两直线的位置关系如图12-9（b）所示，两条直线l1,l2的斜率都为0，则这两条直线都与x轴平行，所以直线l1,l2平行.如图12-9（c）所示，两条直线l1,l2的斜率都不存在，则这两条直线都与y轴平行，所以直线l1,l2平行.所以，当两条直线的斜率都存在但不相等或一条直线的斜率存在而另一条直线的斜率不存在时，两条直线相交，这样我们就可以利用前面的知识求两条直线的交点.第三节两直线的位置关系当两条直线的斜率都存在时，可以利用直线的斜率及直线在y轴上的截距，来判断两条直线的关系.设两条直线的方程分别为l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，则
14、（1）如果k1k2，则两条直线l1,l2相交；（2）如果k1=k2，当b1b2时，则两条直线l1,l2平行；当b1=b2，则两条直线l1,l2重合.第三节两直线的位置关系因此，判断两条直线是否平行的一般步骤是：（1）判断两条直线的斜率是否存在，若都不存在，则两条直线平行（或重合），若只有一个不存在，则两条直线相交；（2）若两条直线的斜率都存在，将它们都化成斜截式方程，若斜率不相等，则相交；（3）若斜率相等，比较两条直线在y轴上的截距，截距相等，则两条直线重合，截距不相等，则两条直线平行.第三节两直线的位置关系【例例2 2】第三节两直线的位置关系将方程2x6y=0化为斜截式方程得第三节两直线的位
15、置关系第三节两直线的位置关系（3）将方程2x+3y1=0化为斜截式方程得第三节两直线的位置关系【例例3 3】第三节两直线的位置关系 课堂堂练习1.判断下列各组直线的位置关系：（1）l1:x+y=0，l2:2x3y+1=0；（2）l1:2x5y+2=0，l2:4x10y+1=0；2.已知直线l过点A(1,4)，且与直线x3y+4=0平行，求直线l的方程.第三节两直线的位置关系 两条直线垂直的条件三、在这里我们利用直线的斜截式方程讨论两条相交直线的一种特殊情形，即直线垂直的情形.两条直线l1和l2的斜率都存在也都不为0，设直线方程分别为l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2.如图12-10
16、所示，若l1l2，则第三节两直线的位置关系图12-10第三节两直线的位置关系由上述可知，当两条直线的斜率都存在且不等于0时，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即显然，平行于x轴的直线与平行于y轴的直线互相垂直，即斜率为零的直线与斜率不存在的直线互相垂直.第三节两直线的位置关系【例例4 4】第三节两直线的位置关系【例例5 5】第三节两直线的位置关系例5中，与直线Ax+By+c=0垂直的直线方程可设为Bx+Ay+D=0，请同学们求解一下.思考与讨论思考与讨论 课堂堂练习1.判断下列各组直线是否垂直：（1）2x5y+3=0与10x+4y5=
17、0；（2）y=x+2与3x3y1=0.2.已知直线l经过点A(3,4)，且垂直于直线2x+y3=0，求直线l的方程.第四节点与直线的距离设点P0(x0,y0)为直线Ax+By+C=0外一点，则点到直线的距离为第四节点与直线的距离 点到直线的距离 一、我们知道，在直角坐标系中，直线外一点和直线上的点连结所组成的线段中，垂线段最短，称为点到直线的距离，常用d表示.如图12-11所示，P0Q的长度为点P0到直线l的距离.图12-11第四节点与直线的距离【例例1 1】第四节点与直线的距离第四节点与直线的距离 课堂堂练习根据下列条件，求点到直线的距离：（1）P0(3,0)，l:3x+4y1=0；（2）P
18、0(4,2)，l:12x5y6=0；（3）P0(3,5)，l:2x+6y5=0.学习提示学习提示第四节点与直线的距离 两平行直线间的距离 二、【例例2 2】第四节点与直线的距离图12-12第四节点与直线的距离由例2可知，求两平行线间的距离可归结为求点到直线间的距离，即在两平行线中的任一条上任取一点，则该点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离依此法可以证明平行直线l1：Ax+By+C1=0和l2：Ax+By+C2=0的距离公式为第四节点与直线的距离在例2中，若首先把l1，l2方程中x，y前面的系数化成一致，如l1：4x-6y-14=0，l2：4x-6y-3=0，则A=4，B=-6，C1=-14，C2=-3，代入公式(12-9)，得感谢聆听批评指导
