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1、 基本要求：基本要求：领会领会几何不变体系、几何可变几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系和刚片、约束、体系、瞬变体系和刚片、约束、自由度等概念。自由度等概念。 掌握掌握体系的计算自由度的概念体系的计算自由度的概念及计算及计算 无多余约束的几何不无多余约束的几何不变体系的几何组成规则，及常变体系的几何组成规则，及常见体系的几何组成分析。见体系的几何组成分析。 了解了解结构的几何特性与静力特结构的几何特性与静力特性的关系。性的关系。 Chapter Chapter 2 2 Geometric construction analysis几个基本概念体系的计算自由度无多余约束的几何不变体系的组成规则分
2、析举例第2章 平面体系的几何构造分析目的：目的：分析分析、判断一个体系是否几何可变，或者如判断一个体系是否几何可变，或者如何保证它成为几何不变体系，只有几何不变体系才何保证它成为几何不变体系，只有几何不变体系才可以作为结构。可以作为结构。1 1、研究结构正确的连接方式，确保所设计的结构能、研究结构正确的连接方式，确保所设计的结构能承受荷载，维持平衡，不至于发生刚体运动。承受荷载，维持平衡，不至于发生刚体运动。2 2、在结构计算时，可根据其几何组成情况，选择适、在结构计算时，可根据其几何组成情况，选择适当的计算方法；分析其组成顺序，寻找简便的解题当的计算方法；分析其组成顺序，寻找简便的解题途径途
3、径。2-1 2-1 概概 述述问题：问题：是不是任何一个结构都能成为工程结构？是不是任何一个结构都能成为工程结构？是不是任何一个结构都能成为工程结构？是不是任何一个结构都能成为工程结构？ 第第2章章 平面体系的几何构造（组成）分析平面体系的几何构造（组成）分析 2-1 概述概述 平面杆系：体系的所有杆件和联系平面杆系：体系的所有杆件和联系 及外部作用在一个平面内。及外部作用在一个平面内。几何构造分析：按照几何学的原理对体系发几何构造分析：按照几何学的原理对体系发 生运动的可能性进行分析。生运动的可能性进行分析。 体系受到某种荷载作用，在不考虑材料应变的体系受到某种荷载作用，在不考虑材料应变的前
4、提下，体系若不能保证几何形状、位置不变，称前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变，称为为几何可变体系几何可变体系。FPFP几何可变体系几何可变体系(geometrically changeable system)几何不变体系几何不变体系 几何可变体系几何可变体系几何不变体系几何不变体系(geometrically unchangeable system) 体系受到任意荷载体系受到任意荷载作用，在不考虑材料应作用，在不考虑材料应变的前提下，体系若能变的前提下，体系若能保证几何形状、位置不保证几何形状、位置不变，称为变，称为几何不变体系几何不变体系FP几何组成分析的目的： 1、判别某一体系是否为
5、几何不变，从而决定它能否作为结构。 2、区别静定结构、超静定结构，从而选定相应计算方法。 3、搞清结构各部分间的相互关系，以决定合理的计算顺序。2-1 概述概述 自由度自由度( (degrees of freedomdegrees of freedom) )1 1）刚刚 片片：可以看成是几何形状不变体系（刚体）可以看成是几何形状不变体系（刚体）的物体。（可以是杆、由杆组成的结构、支撑结的物体。（可以是杆、由杆组成的结构、支撑结构的地基）构的地基）刚片刚片刚片2-2 平面体系几何不变的必要条件平面体系几何不变的必要条件 2.自由度 人的身高用高度表示，水深用深度表示，体系的自由度顾名思义是指：体
6、系运动时的自由程度。例如平面内一点的自由程度、一刚体的自由程度 杆系结构是由结点和杆件构成的，我们可以抽象为点和线，分析一个体系的运动，必须先研究构成体系的点和线的运动。刚片自由程度Ayx点的自由程度yxA自由度自由度( (degrees of freedomdegrees of freedom) )自由度自由度：体系运动时，可以独立改变的几何参数的体系运动时，可以独立改变的几何参数的数目，即确定体系空间位置所需要独立坐标数目，即确定体系空间位置所需要独立坐标(广义坐广义坐标标)的数目的数目1 1动点动点= 2= 2自由度自由度xy xy1 1刚片刚片= 3= 3自由度自由度 体系有自由度，就
7、不能承受荷载，因此就应想办法减少其自由度。当对体系添加了某些装置后，限制了体系的某些方向的运动，使体系原有的自由度数减少，就说这些装置是加在体系上的约束。约束，是能减少体系自由度数的装置。能减少几个自由度就称为几个约束。 自由度：2自由度：1自由度：0自由度：3约束约束(restraint)(restraint)约束：约束：对体系各部分之间的位置关系形成几何限制的联系。对体系各部分之间的位置关系形成几何限制的联系。 约束约束(restraint)(restraint)内部约束内部约束（体系内各杆之间或结点之间的联系）（体系内各杆之间或结点之间的联系）外部约束外部约束（体系与基础之间的联系（体系
8、与基础之间的联系)单链杆单链杆链杆：两端用铰与其它物体相连的刚片。链杆链杆可以是曲的、折的杆，可以是曲的、折的杆，只要保持两铰间距只要保持两铰间距不不变，变，起到两铰连线方向约束起到两铰连线方向约束作用即可作用即可1个单链杆个单链杆 = 1个约束个约束单约束单约束 仅连接两个刚片的约束仅连接两个刚片的约束. .单刚结点单刚结点1个单刚结点个单刚结点=3个约束个约束常见约束装置常见约束装置单铰单铰1个单铰个单铰=2个约束个约束=2个的单链杆个的单链杆。虚铰虚铰在运动中虚铰的位置不在运动中虚铰的位置不定，这是定，这是虚铰虚铰和和实铰实铰的区别。通的区别。通常我们研究的是指定位置处的瞬常我们研究的是
9、指定位置处的瞬时运动，因此，虚铰和实铰所起时运动，因此，虚铰和实铰所起的作用是相同的都是相对转动中的作用是相同的都是相对转动中心。心。连接连接两个刚片两个刚片的铰的铰IIIIIIOO是虚铰吗？O不是 图示结构有几个单铰？2个复铰复铰一个连接一个连接 n个刚片的复铰相当个刚片的复铰相当于于(n-1)个个单铰，相当于单铰，相当于2(n-1)个个约束。约束。复约束复约束 连接两个以上刚片的约束连接两个以上刚片的约束复刚复刚一个连接一个连接 n个刚片的复刚相当个刚片的复刚相当3(n-1)个个约束。约束。复链杆复链杆连接连接n个结点的复链杆相当于个结点的复链杆相当于2n-3个单链杆个单链杆必要约束、多余
10、约束必要约束、多余约束多余约束多余约束 ( ( redundent restraints)：体系体系中增加一个或减少一个该约束并不中增加一个或减少一个该约束并不改变体系的自由度数改变体系的自由度数。结论结论：只有只有必要约束必要约束才能对体系自由度有影响。才能对体系自由度有影响。必要约束必要约束 ( ( necessary restraints)：体系中体系中增加一个或减少一个该约束，将改变增加一个或减少一个该约束，将改变体系的自由度数体系的自由度数。必要约束必要约束多余约束多余约束注意：多余约束将影响结构的受力与变形。注意：多余约束将影响结构的受力与变形。材力中多余约束的概念是从平衡方程的个
11、数和未知力的个数的比较找出多余约束的。2-3 平面几何不变体系的组成规则 规律规律规律规律1 1. . 点与刚片两杆连，二杆不共线点与刚片两杆连，二杆不共线 （三铰不共线）（三铰不共线）AB规律规律规律规律2 2. . 两个刚片铰、杆连，铰不过杆两个刚片铰、杆连，铰不过杆规律规律规律规律3 3. . 三个刚片三铰连，三铰不共线三个刚片三铰连，三铰不共线规律规律规律规律4 4. . 两个刚片三杆连，三杆不共点两个刚片三杆连，三杆不共点ABCBABA组成没组成没有多余有多余约束的约束的几何不几何不变体系变体系2-3 平面几何不变体系的组成规则 2-3-1 两刚片组成规则 常变体系 瞬变体系 常变体
12、系 瞬变体系 几何可变体系又可分为两种几何可变体系又可分为两种（1 1）几何常变体系）几何常变体系( (constantly changeable systemconstantly changeable system) )（2 2）几何瞬变体系）几何瞬变体系( (instantaneously changeable systeminstantaneously changeable system) )发生有限位移发生微小位移 体系受到任意荷载作用，在不考虑材料应变的体系受到任意荷载作用，在不考虑材料应变的前提下，体系产生瞬时变形后，变为几何不变体系，前提下，体系产生瞬时变形后，变为几何不变体系，
13、则称则称几何瞬变体系几何瞬变体系。FPFP组成几何不变体系的条件：组成几何不变体系的条件： 具有必要的约束数；具有必要的约束数； 约束布置方式合理约束布置方式合理2-3-2 三刚片组成规则 三刚片用不在一直线上的三个铰两两相联，其内部是几何不 变的，并且没有多余的约束。 实铰相联： 虚铰相联： 当三个铰在一直线上时： 瞬变体系 两刚片和三刚片组成规则都是基于同一简单的事实，即边长 给定的三角形的几何形状是惟一确定的。因此，平面几何不变体 系的基本组成规则可称为三角形规则。 APANNPNNPAP是微量是微量Y=0Y=0，N=0.5P/sinN=0.5P/sin 由于瞬变体系能产生很由于瞬变体系
14、能产生很大的内力，故几何常变体大的内力，故几何常变体系和几何瞬变体系不能作系和几何瞬变体系不能作为建筑结构使用为建筑结构使用. . 只有几何不变体系才能作为建筑结构使用！发生微量位移发生微量位移瞬变体系分析瞬变体系分析特点特点：从微小运动角度看，这是一从微小运动角度看，这是一个可变体系；个可变体系；微小运动后即成不变体系。微小运动后即成不变体系。2-3-3 基本组成规则的应用技巧 一元体：一个刚片与一个体系之间只用三根不相交于一点也不相 平行的链杆联结，则该刚片称为一元体。减少或增加一元体不改 变体系的几何构造特征。 可去除基础只分析上 部体系的几何构造。 二元体：两个刚片与一个体系之间只用三
15、个不在一直线上的铰两 两相联，则两个刚片称为二元体。 二元体 减少或增加二元体不改 变体系的几何构造特征。AO联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单铰即瞬铰。单铰瞬铰定轴转动绕瞬心转动！能形成虚铰的是链杆( )2，3虚铰虚铰(瞬铰瞬铰)无穷远处的瞬铰无穷远处的瞬铰 两两根根平平行行的的链链杆杆把把刚刚片片I与与基基础础相相连连接接， 则则两两根根链链杆杆的的交交点点在在无无穷穷远远处处。两两根根链链杆杆所所起起的的约约束束作作用用相相当于当于无穷远处的瞬铰无穷远处的瞬铰所起的作用。所起的作用。无穷远处的含义无穷远处的含义（1）每一个方向有一个）每一个方向有一个点；点；（2）不同方向有不同的）
16、不同方向有不同的点；点；（3） 各各点都在同一直线上，此直线称为点都在同一直线上，此直线称为线；线；（4）各有限点都不在线）各有限点都不在线上。上。定向支座（平行支链杆）减少二个自由度三刚片相联的几种特殊情况： 2-4 平面体系几何构造分析举例 例2-3 试分析图示体系的几何构造。 解：去除作为一元体的基础并划分三刚片。 （, ） （, ） （, ） 刚片、由不在一直线上的三个铰（、）、 （、）、（、）两两相联，符合几何不变的组 成规则。所以，体系几何不变，并且无多余约束。 例2-4 试分析图示体系的几何构造。 解：扩大基础刚片至D。 刚片、由三根不相交于一点也不平行的链杆相联， 符合几何不变
17、的组成规则，所以，体系几何不变，并且 无多余约束。 例2-5 试分析图示体系的几何构造。 解：先去除一元体FC（或视为由FC和C处支杆所构成的二元体） 再将刚片GHJ和基础刚片均用链杆代替。 刚片、由相互平行但不等长的 三根链杆相联，所以，体系是瞬变 的。 例2-5 试分析图示体系的几何构造。 也可按三刚片联结的特殊情况进行分析： 刚片、由相互平行但不等长的 三根链杆相联，所以，体系是瞬变 的。 刚片、由铰（, ）、(, )和一组平行链杆两两 相联，因平行链杆与上述两铰的连线平行，所以体系是瞬变的.例2-6 试分析图示体系的几何构造。 解：若按图b或图c所示的刚片划分，则刚片与基础刚片之间 均
18、只有一根支座链杆直接联系，另一个为间接联系，不能直 接套用三刚片规则。 图b 图c 刚片、之间通过链杆ED和CF 相联，其延长后形成虚铰(,) ; 刚片、之间通过AD杆和支座链杆相联，形成虚铰(, ); 刚片 、之间通过AE杆和C支座链杆 相联，形成虚铰(, )。 体系为几何不变，并且无多余约束。 例2-7 试分析图示体系的几何构造。 解：首先考察中间部分，由两个弧形刚片和一根链杆构成内部几 何不变体。该几何不变体通过三个铰对外联系，因而可以用 一个铰接三角形体系等效替代。 刚片、和、分别通过虚铰(, )和(, )联结，刚片 、通过一对平行链杆联结。因为，两个虚铰的连线平行于 上述平行链杆，所
19、以体系是瞬变的。 等效代换：等效代换：即链杆与刚片之间的代换。 任何链杆（包括支座链杆）都可以看作刚片。 刚片看作链杆则是有条件的：若一个刚片仅通过两个铰（包括 虚铰）对外联系，则该刚片可看作通过这两个铰的链杆；若一 个刚片是通过3个或3个以上的铰与外部联结，则该刚片看作联 结这些铰的内部几何不变，并且无多余约束的链杆体系。注意：若一个刚片内部具有多余约束，则在对体系的几何可变性 进行分析时可以看作一般刚片，但在求体系的计算自由度 或是多余约束数量时应计入上述多余约束。如：封闭刚结框架体系是具有3个内部多余约束的几何不变体系。2-5 体系的几何构造与静定性 体系的静定性：是指体系在任意荷载作用
20、下的全部反力和内力是 否可以根据静力平衡条件确定。 几何不变，无多余约束 几何不变，有多余约束 几何常变体系 在任意荷载作用下，处于平衡状态的任一平面体在其平面内 可建立三个独立的静力平衡方程，即： 静定结构 超静定结构 不能作为结构 对于瞬变体系： 由于荷载有竖向分力，体系在其原始的水平位置上不可能达 到平衡，体系发生有限位形变化。 但此时体系中杆件的轴力非常大，可能导致杆件的破坏。所 以瞬变体系也不能用作结构，而且结构设计中应避免采用接近瞬 变的几何构造，以防止个别杆件的内力过大。 计算自由度计算自由度体系是否几何可变？自由度的个数体系是否几何可变？自由度的个数S=？体系有无多余约束？多余
21、约束的个数体系有无多余约束？多余约束的个数n=？S=a-ca - 自由度总和自由度总和c - 非多余约束非多余约束W=a-dd- 全部约束全部约束定义定义定义定义：体系中各构件间无任何约束时的总自体系中各构件间无任何约束时的总自由度数与总约束数之差称由度数与总约束数之差称计算自由度（计算自由度（W）。S-W=d-c=n 多余约束多余约束一个体系必有：一个体系必有：S0， n 0S WS-W=n 0n+W=S 0n -WW=a-dS=a-c1 1个单链杆个单链杆 = 1= 1个约束个约束1 1个单刚结点个单刚结点=3=3个约束个约束1 1个单铰个单铰=2=2个约束个约束=2=2个单链杆个单链杆单
22、约束单约束复约束复约束一个连接一个连接 n个刚片的复铰个刚片的复铰相当于相当于(n-1)个个单铰，相单铰，相当于当于2(n-1)个个约束约束一个连接一个连接 n个刚片的复刚个刚片的复刚相当相当3(n-1)个个约束约束连接连接n个结点的复链杆相个结点的复链杆相当于当于2n-3个单链杆个单链杆算法算法算法算法1 1： 刚片系刚片系刚片系刚片系 W = 3m-(3g+2h+b)m - 刚片数（不含地基）刚片数（不含地基）g - 单刚结点数单刚结点数h - 单铰结点数单铰结点数b - 单链杆个数（含支杆）单链杆个数（含支杆）算法算法算法算法2 2：结点系：结点系：结点系：结点系W = 2j-bj -
23、铰结点个数铰结点个数b - 单链杆个数单链杆个数算算 法法 介介 绍绍W = (3m+2j)-(3g+2h+b)算法算法算法算法3 3：混合系：混合系：混合系：混合系例例: :计算图示体系的自由度计算图示体系的自由度W=3 9- -(212+3)=0按刚片计算按刚片计算3321129根杆根杆,9个刚片个刚片有几个单铰有几个单铰？3根单链杆根单链杆另一种解法另一种解法W=2 6- -12=0按铰结计算按铰结计算6个铰结点个铰结点12根单链杆根单链杆W=0,体系体系是否一定是否一定几何不变呢几何不变呢？讨讨 论论W=3 9- -(212+3)=0体系体系W等于多少等于多少？可变吗？可变吗？3221
24、13有有几几个个单单铰铰？ 除去约束后，体系的自由度将增除去约束后，体系的自由度将增加，这类约束称为加，这类约束称为必要约束必要约束。 因为除去图中因为除去图中任意一根杆，体任意一根杆，体系都将有一个自系都将有一个自由度，所以图中由度，所以图中所有的杆都是所有的杆都是必必要的约束要的约束。 除去约束后，体系的自由度并不除去约束后，体系的自由度并不改变，这类约束称为改变，这类约束称为多余约束多余约束。 下部正方形中任意下部正方形中任意一根杆，除去都不增一根杆，除去都不增加自由度，都可看作加自由度，都可看作多余的约束多余的约束。 图中上部四根杆图中上部四根杆和三根支座杆都是和三根支座杆都是必要的约
25、束必要的约束。 例例: :计算计算图示图示体系体系的自的自由度由度W=3 9- -(212+3)=0W=0, ,但但布置不当布置不当几何可变。几何可变。上部有多上部有多余约束，余约束，下部缺少下部缺少约束。约束。W=2 6- -12=0W0s1n1W=2 6- -13=- -10例：计算图例：计算图示体系的自示体系的自由度由度W0,体系体系是否一定是否一定几何不变呢几何不变呢？上部上部具有多具有多余联系余联系W=3 10- -(214+3)=-1-1 0 0 ，S0 S0 ，几何可变体系几何可变体系几何可变体系几何可变体系 S WWW = 0 = 0 ，S=nS=n，如无多余约束如无多余约束如
26、无多余约束如无多余约束则几何不则几何不则几何不则几何不变，如有多余约束则几何可变变，如有多余约束则几何可变变，如有多余约束则几何可变变，如有多余约束则几何可变。WW 0 0 n0 ，有多余约束有多余约束有多余约束有多余约束定性结论定性结论实例分析实例分析m7,D,E 复铰，折算全部复铰，折算全部h=9b=3，g=0AFCGBDE解解1：W37（293）0解解2：j7,AC,BC复链杆，折算全部复链杆，折算全部b=14W2j-b=27140解法一：解法一：将将AB、BC、CD、DE、FG、GH、HI、IJ、GB、HC、ID看作刚片，看作刚片，m11B、C、D、G、H、I是连接三个刚片的复刚结点，
27、因是连接三个刚片的复刚结点，因此每个结点相当于此每个结点相当于2个单刚结点，个单刚结点，g12F、J是固定铰支座，各相当于是固定铰支座，各相当于2个约束（联系），再个约束（联系），再加上加上A、E支座的三个约束，共支座的三个约束，共7个约束。个约束。在在m=11的情况下，刚片间没有铰结点，的情况下，刚片间没有铰结点，h=0W311（3127）10解法二：解法二：将将ABCDEGHI、FGHIJ看看作刚片，作刚片，m2G、H、I是连接两个刚片的单刚结点，是连接两个刚片的单刚结点，g3F、J是固定铰支座，各相当于是固定铰支座，各相当于2个约束（联系），再个约束（联系），再加上加上A、E支座的三个约
28、束，共支座的三个约束，共7个约束。个约束。在在m=2的情况下，刚片间没有铰结点，的情况下，刚片间没有铰结点，h=0W32（337）10由此可得什由此可得什么结论？么结论？小小 结结WW 0 0 表明体系存在自由度，肯定是几何可变体系表明体系存在自由度，肯定是几何可变体系表明体系存在自由度，肯定是几何可变体系表明体系存在自由度，肯定是几何可变体系WW = 0 = 0 表明体系的约束数正好等于部件总自由度数，表明体系的约束数正好等于部件总自由度数，表明体系的约束数正好等于部件总自由度数，表明体系的约束数正好等于部件总自由度数，是体系不变的必要条件，而非是体系不变的必要条件，而非是体系不变的必要条件
29、，而非是体系不变的必要条件，而非充分充分充分充分条件，如条件，如条件，如条件，如无多余约束，体系是静定结构。无多余约束，体系是静定结构。无多余约束，体系是静定结构。无多余约束，体系是静定结构。WW 0 0体系几何可变体系几何可变W 0体系几何不变体系几何不变注意：注意：W W并不一定代表体系的实际自由度，仅并不一定代表体系的实际自由度，仅说明了体系必须的约束数够不够说明了体系必须的约束数够不够。W0 W0 只是保证体系为几何不变只是保证体系为几何不变的必要条件的必要条件, ,而不是充分条件而不是充分条件S=（各部件自由度总数）（非多余约束数）（各部件自由度总数）（非多余约束数） =（各部件自由度总数）（全部约束数多余约束（各部件自由度总数）（全部约束数多余约束数）数） =（各部件自由度总数）（全部约束数）（各部件自由度总数）（全部约束数）+（多余（多余约束数）约束数）由此可见：只有当体系上没有多余约束时，计算自由度才是 体系的实际自由度！+ n所以：所以： S = WW实际自由度实际自由度S S、计算自由度、计算自由度W W和多余约和多余约束束n n之间的关系：之间的关系：W
