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1、北 师 大 版 数 学 课 件精 品 资 料 整 理 数乘向量数乘向量复习复习1:1:向量的加法向量的加法BA如图如图, ,已知向量已知向量a a和向量和向量b,b,作向量作向量a+b.a+b.bao.O O. .C Ca+bbaABba+ba1.1.向量加法三角形法则向量加法三角形法则: :2.2.向量加法平行四边形法则向量加法平行四边形法则: :特点特点:首尾相接，首尾连首尾相接，首尾连特点特点:共起点共起点复习复习2:向量的减法向量的减法o.BAa-b如图如图, ,已知向量已知向量a a和向量和向量b,b,作向量作向量a-b.a-b.aba-bo.BAab特点：特点：共起点，连终点，方向
2、指向被减数共起点，连终点，方向指向被减数实际背景实际背景在物理中位移与速度的关系：在物理中位移与速度的关系：s s= =v vt t，力与，力与加速度的关系：加速度的关系：f f=m=ma.a. 其中位移、速度，力、加速度都是向量，其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、质量都是数量而时间、质量都是数量讲授新课讲授新课思考题思考题1:已知向量已知向量 如何作出如何作出 和和 OABCNMQP记记:即即:同理可得同理可得:思考题思考题2: 向量向量 与向量与向量 有什么关系有什么关系? 向量向量 与向量与向量 有什么关系有什么关系? (1)向量向量 的方向与的方向与 的方向相同的方向相同,
3、向量向量 的长度是的长度是 的的3倍倍,即即(2)向量向量 的方向与的方向与 的方向相反的方向相反, 向量向量 的长度是的长度是 的的3倍倍,即即定义定义定义定义: :特别地，当特别地，当 =0 =0 或或 a = 0 a = 0 时时, a = 0, a = 0(2) (2) 方向方向 当当00时时,a,a的方向与的方向与a a方向相同；方向相同； 当当00时时,a,a的方向与的方向与a a方向相反；方向相反；(1) (1) 长度长度 |a|=|a|=|a|a| 一般地，实数一般地，实数与向量与向量a a的积是一个向量，这种运的积是一个向量，这种运算叫做算叫做向量的数乘运算向量的数乘运算，记
4、作，记作aa。它的长度和方向规定如下：它的长度和方向规定如下：练习练习2:2:结论:2a+2b2b(2) (2) 已知向量已知向量a,ba,b，求作向量，求作向量2(a+b)2(a+b)和和2a+2b2a+2b，并比较。，并比较。ab结论:2a+2b=2(a+b)a+b6a3(2a)a2(a+b)2a3(2a)=6a(2+4)a=2a+4a(1) (1) 根据定义，求作向量根据定义，求作向量3(2a)3(2a)和和(6a) (a(6a) (a0) )，并比较。，并比较。(a)=() a 运算律运算律: 设设a a、b b为任意向量，为任意向量，、为任意实数，则有：为任意实数，则有： (+) a
5、=a+a (a+b)=a+b2(a+b)数乘向量的运算律：数乘向量的运算律：结合律结合律第一分配律第一分配律第二分配律第二分配律练习练习3:解解: (1) : (1) 原式原式 = = (2) (2) 原式原式 = =(3) (3) 原式原式 = =计算：计算：( (口答口答) ) (1) (-3) (1) (-3)4 a4 a (2) 3( a+b) (2) 3( a+b) 2( a-b)-a2( a-b)-a (3) (2a+3b-c) (3) (2a+3b-c) (3a-2b+c )(3a-2b+c ) (3-2-1)a+(3+2)b (3-2-1)a+(3+2)b= 5b= 5b (2
6、-3)a+(3+2)b+(-1-1)c (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c= -a+5b-2c= -a+5b-2c -12a -12a 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。对于任意的向量对于任意的向量 a,b a,b 以及任意实数以及任意实数 , , ,恒有恒有 (1 1a a2 2b)=b)= 1 1a a2 2b b思考思考:判定定理判定定理:当当a a与与b b同方向时，有同方向时，有b=a;b=a;当当a a与与b b反方向时，有反方向时，有b=-ab=-a，所以始终有一个实数所以始终有一个实数，使，使b=ab=a。1 1、如
7、果、如果 b=a , b=a , 那么，向量那么，向量a a与与b b是否共线？是否共线？2 2、如果非零向量、如果非零向量a a与与b b共线，那么是否有共线，那么是否有，使，使b=a b=a ？ 对于向量对于向量a(a0)a(a0)、b b，如果有一个实数，如果有一个实数，使得，使得b=a , b=a , 那么，由数乘向量的定义知：向量那么，由数乘向量的定义知：向量a a与与b b共线。共线。 若向量若向量a a与与b b共线，共线，a0a0，且向量，且向量b b的长度是的长度是a a的长的长度的度的倍，即有倍，即有|b|=|a|,|b|=|a|,且且2) b 可以是零向量吗?思考思考:1
8、) a为什么要是非零向量?向量向量b b与与非零向量非零向量a a共线共线当且仅当有唯一当且仅当有唯一一个实一个实数数，使得，使得 b=a.b=a.a是一个非零向量，若存在一个实数是一个非零向量，若存在一个实数，使，使得得 b=a ，则向量，则向量b与非零向量与非零向量a共线共线例题例题1:AEDCB解：解： =3 AC=3 AC =3( AB+ BC )=3( AB+ BC ) AB+BC=AC AB+BC=AC =3 AB+3 BC =3 AB+3 BC又又 AE=AD+DEAE=AD+DE ACAC与与AE AE 共线共线如图，已知如图，已知AD=3ABAD=3AB、DE=3BCDE=3
9、BC，试判断，试判断ACAC与与AEAE是否共线是否共线? ?变变：若若B B、C C分别是分别是ADAD、AEAE的三等分点，证明：的三等分点，证明：BCBCDEDE。例题例题2:解：作图如右解：作图如右OABC依图猜想依图猜想:A:A、B B、C C三点共线三点共线 A A、B B、C C三点共线三点共线. .abbb已知任意两非零向量已知任意两非零向量a a、b b，试作试作 OA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3bOA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3b。你能判断你能判断A A、B B、C C三点之间的位置关系吗？为什么？三点之间的位置关系吗？为什么？ba AB=OB-
10、OAAB=OB-OA AC=2ABAC=2AB又又 AC=OC-OAAC=OC-OA =a+3b-(a+b)=2b =a+3b-(a+b)=2b =a+2b-(a+b)=b =a+2b-(a+b)=b又又 ABAB与与ACAC有公共点有公共点A A，APBC例例3 ABC平面内的三点，切平面内的三点，切A与与B不重合，不重合，P是是平面内任意一点，若点平面内任意一点，若点C在在AB上，则存在实上，则存在实数数，使得，使得 PC= PA+(1- )PB小结回顾小结回顾: 二、知识应用：二、知识应用： 1.1.证明证明 向量共线；向量共线； 2.2.证明证明 三点共线三点共线: AB=BC A,B,C: AB=BC A,B,C三点共线；三点共线； 3.3.证明证明 两直线平行两直线平行: : AB=CD ABCD AB=CD ABCD AB AB、CDCD不重合不重合直线直线ABAB直线直线CDCD一、概念与定理一、概念与定理 a a 的定义及运算律的定义及运算律 向量共线定理向量共线定理 ( a0 )( a0 ) b=ab=a 向量向量a a与与b b共线共线
