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1、一、正项级数及其审敛法1.3 正项级数的审敛法上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、正项级数及其审敛法 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界 v正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数 这是因为正项级数的部分和数列sn是单调增加的 而单调有界数列是有极限 下页v定理1(正项级数收敛的充要条件) 上页下页铃结束返回首页v定理2(比较审敛法) v定理3 下页上页下页铃结束返回首页仅就unvn (n1 2 )的情形证明 简要证明 因此级数un收敛 即部分和数列sn有界 v1v2 vns (n1, 2, )snu1u2 un则级数un的部分和 设级数vn收敛 其和为s 反之 若级
2、数un发散 则级数vn必发散 由已证结论 级数un也收敛 矛盾 这是因为如果级数vn收敛定理2(比较审敛法) 上页下页铃结束返回首页 解 下页v定理2(比较审敛法) 设un和vn都是正项级数 且unkvn(k0 nN) 若级数vn收敛 则级数un收敛; 若级数un发散 则级数vn发散 上页下页铃结束返回首页将级数改写成2) 若当p1时，上式中的最后一个级数是收敛的几何级数，其部分和n有界，从而p-级数的部分和sn满足也即sn有界，由定理结论知，当p1时， p-级数收敛。上页下页铃结束返回首页 设un和vn都是正项级数 且unkvn(k0 nN) 若级数vn收敛 则级数un收敛; 若级数un发散
3、 则级数vn发散 vp级数的收敛性 证 下页v定理2(比较审敛法) 上页下页铃结束返回首页调和级数与 p 级数是用于正项级数收敛性判断的两个常用的比较级数.若存在对一切上页下页铃结束返回首页例：提示：调和级数与 p 级数是用于正项级数收敛性判断的两个常用的比较级数.若存在对一切上页下页铃结束返回首页 简要证明 当nN时 有不等式 再根据比较审敛法 即得所要证的结论 (1)如果lvunnnlim(0l) 且1nnv 收敛 则1nnu 收敛; (2)如果lvunnnlim(0l) 且1nnv 发散 则1nnu 发散 v定理4(比较审敛法的极限形式) 上页下页铃结束返回首页下页v定理4(比较审敛法的
4、极限形式) 例例3 3解: (1)如果lvunnnlim(0l) 且1nnv 收敛 则1nnu 收敛; (3)如果lvunnnlim(0l) 且1nnv 发散 则1nnu 发散 上页下页铃结束返回首页下页v定理5(极限审敛法) 例例4 4解:上页下页铃结束返回首页设正项级数收敛, 能否推出收敛 ?提示提示:由比较判敛法可知收敛 .注意注意: 反之不成立. 例如,收敛 ,发散 .思考：上页下页铃结束返回首页设级数收敛, 能否推出收敛 ?提示提示:思考：则级数收敛 且其和su1 其余项rn的绝对值|rn|un1 v定理(莱布尼茨（ Leibnitz ）定理) 上页下页铃结束返回首页这是一个交错级数
5、 解 由莱布尼茨定理 级数是收敛的 且其和su11首页则级数收敛 且其和su1 其余项rn的绝对值|rn|un1 v定理7(莱布尼茨（ Leibnitz ）定理) 因为此级数满足 例5 上页下页铃结束返回首页1. 判别级数的敛散性:解解: (1)发散 , 故原级数发散 .(2)发散 , 故原级数发散 .上页下页铃结束返回首页下页v定理8(比值审敛法 达朗贝尔审敛法) 证明：上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页提示提示:思考：上页下页铃结束返回首页提示提示:思考：上页下页铃结束返回首页 例10 解：上页下页铃结束返回首页下页v定理9(根值审敛法 柯西判别法) 所以 根据根值审敛法可知所给级数收敛 因为 解 上页下页铃结束返回首页所以 根据根值审敛法可知所给级数收敛 因为 解 下页v定理9(根值审敛法 柯西判别法) 上页下页铃结束返回首页时 , 级数可能收敛也可能发散 .例如 , p 级数 思考思考 :但级数收敛 ;级数发散 .上页下页铃结束返回首页v定理9(根值审敛法 柯西判别法) 例例解：解：上页下页铃结束返回首页v定理
