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1、专题复习专题复习 与圆的切线有关与圆的切线有关(yugun)的证明与计算的证明与计算仁德仁德(rn d)(rn d)一中一中 保德礼保德礼第一页，共25页。切线切线(qixin)(qixin)的性质的性质 定理：圆的切线定理：圆的切线_于经过切点的半径于经过切点的半径(bnjng)技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线切线切线(qixin)(qixin)的判定的判定 垂直垂直 垂直垂直 第二页，共25页。第三页，共25页。有交点，连半径有交点，连半径(bnjng)，证垂直，证垂直第四页，共25页。第五页，共25页。1.1.如图如图9 9所示，点所示，点O O在
2、在APBAPB的平分线上，的平分线上，OO与与PAPA相切于相切于点点C.C.（1 1）求证）求证(qizhng)(qizhng)：直线：直线PBPB与与OO相切相切（2 2）POPO的延长线与的延长线与OO交于点交于点E E，若，若OO的半径为的半径为3 3，PC=4.PC=4.求弦求弦CECE的长的长第六页，共25页。（1 1）证明）证明: :过点过点O O作作ODPB,ODPB,连接连接(linji)OC. (linji)OC. APAP与与OO相切相切, OCAP. , OCAP. 又又OPOP平分平分APB, OD=OC. APB, OD=OC. PBPB是是OO的切线的切线. .
3、（2）解:过C作CFPE于点F. 在在RtOCPRtOCP中，中，OP=OP=在RtCOF中，在在RtCFERtCFE中，中，第七页，共25页。【教材原型】【教材原型】如图，如图，OO的切线的切线PCPC交直径交直径(zhjng)AB(zhjng)AB的延长线于点的延长线于点P P，C C为切点，为切点，若若PP3030，OO的半径为的半径为1 1，则，则PBPB的长为的长为_第八页，共25页。【解析】连结【解析】连结OC，因为，因为PC为为 O的切的切线，所以线，所以PCO90，在在RtOCP中，中，OC1，P30，所以所以OP2OC2，所以，所以PBOPOB211.【思想方法】【思想方法】
4、(1)已知圆的切线已知圆的切线(qixin)，可得切线，可得切线(qixin)垂直于过切点的半垂直于过切点的半径；径；(2)已知圆的切线已知圆的切线(qixin)，常作过切点的半径，得到切线，常作过切点的半径，得到切线(qixin)与半径垂直。与半径垂直。第九页，共25页。练习：如：如图，ABAB是是O O 的直径的直径(zhjng)(zhjng)，OO交交BCBC的中点于的中点于D D，DEAC.DEAC.求求证：DEDE与与OO相切相切. .一题多解一题多解第十页，共25页。变式训练变式训练(xnlin) 规范书写规范书写( (昆明）如图，已知昆明）如图，已知ABAB是是OO的直径的直径(
5、zhjng)(zhjng)，过点，过点E E的直的直线线EFEF与与ABAB的延长线交于点的延长线交于点F F，ACEFACEF，垂足为，垂足为C C，AEAE平分平分FACFAC。求证：求证：CFCF是是OO的切线。（的切线。（5 5分）分）第十一页，共25页。（1）证明）证明(zhngmng)：连接：连接OE1分分AE平分平分FACCAE=OAE又又OA=OE， OEA=OAE .2分分 CAE=OEAOEAC.3分分OEF=ACF又又ACEFOEF=ACF=90OECF .4分分又又点点E在在 O上上CF是是 O的切线的切线.5分分看看看看(kn kn)你能得几分你能得几分？第十二页，共
6、25页。变式变式 （广州）（广州） 如图，如图，C=90o，BD平分平分(pngfn)ABC，DEBD ，设，设 O是是BDE的的外接圆。外接圆。求证：求证：AC是是 O的切线。的切线。DEBD ，设，设 O是是BDE的外接圆的外接圆变式训练变式训练(xnlin)第十三页，共25页。 例：如图例：如图 ，已知：，已知： 为为 角平分线上一点，角平分线上一点， 于于 ，以，以 为圆心，为圆心， 为半径作圆。为半径作圆。求证：求证： 是是 的切线。的切线。无交点，作垂直无交点，作垂直(chuzh)，证，证半径半径证明：过证明：过O作作OEAC于于E AO平分平分BAC ODAB OEOD OE是是
7、 O的半径的半径(bnjng) AC是是 O的切线的切线E第十四页，共25页。【教材原型】【教材原型】已知：如图，已知：如图，A是圆是圆 O外一点，外一点，AO的延长线交的延长线交 O于点于点C，点，点B在圆上，且在圆上，且ABBC，A30，求证求证(qizhng)：直线：直线AB是是 O的切线的切线第十五页，共25页。证明：连结证明：连结OB，OBOC，ABBC，A30，OBCCA30，AOBCOBC60.ABO180(AOBA) 180(6030)90，ABOB，AB为为 O的切线的切线【思想【思想(sxing)方法】证明圆的切线常用两种方法方法】证明圆的切线常用两种方法“连半径，证连半径
8、，证垂直垂直”或者或者“作垂直，证半径作垂直，证半径”第十六页，共25页。【中考变形】【中考变形】1如图，点如图，点C是是 O的直径的直径AB延长线上的一点，延长线上的一点，且有且有BOBDBC.(1)求证求证(qizhng)：CD是是 O的切线；的切线；(2)若半径若半径OB2，求，求AD的长的长第十七页，共25页。解：解：(1)(1)证明：连结证明：连结ODOD，BOBOBCBC，BDBD为为ODCODC的中线的中线又又DBDBBCBC，ODCODC90.90.又又ODOD为为OO的半径的半径(bnjng)(bnjng)，CDCD是是OO的切线；的切线；(2)AB(2)AB为为OO的直径，
9、的直径，BDABDA9090，BOBOBDBD2 2，ABAB2BD2BD4 4，第十八页，共25页。2.2.（20152015昆明）如图，昆明）如图，AHAH是是OO的直径，的直径，AEAE平分平分FAHFAH，交，交OO于点于点E E，过点，过点E E的直线的直线(zhxin)FGAF(zhxin)FGAF，垂足为，垂足为F F，B B为直径为直径OHOH上一点，点上一点，点E E、F F分别在矩形分别在矩形ABCDABCD的边的边BCBC和和CDCD上上（1 1）求证：直线）求证：直线(zhxin)FG(zhxin)FG是是OO的切线；的切线；（2 2）若）若CD=10CD=10，EB=
10、5EB=5，求，求OO的直径的直径第十九页，共25页。证明证明(zhngmng)(zhngmng)：（：（1 1）如图）如图1 1，连，连接接OEOE，OA=OEOA=OE，EAO=AEOEAO=AEO，AEAE平分平分FAHFAH，EAO=FAEEAO=FAE，FAE=AEOFAE=AEO，AFOEAFOE，AFE+OEF=180AFE+OEF=180，AFGFAFGF，AFE=OEF=90AFE=OEF=90，OEGFOEGF，点点E E在圆上，在圆上，OEOE是半径，是半径，GFGF是是OO的切线的切线第二十页，共25页。（2）四边形ABCD是矩形(jxng)，CD=10，AB=CD=1
11、0，ABE=90，设OA=OE=x，则OB=10x，在RtOBE中，OBE=90，BE=5，由勾股定理得：OB2+BE2=OE2，（10x）2+52=x2，OO的直径的直径(zhjng)(zhjng)为为 第二十一页，共25页。【中考预测】【中考预测】如图，如图， O的直径的直径AB为为10 cm，弦，弦BC为为6cm，D，E 分别分别是是ACB的平分线与的平分线与 O，AB的交点，的交点，P为为AB延长线上一点，且延长线上一点，且PCPE.(1)求求AC，AD的长；的长；(2)试判断试判断(pndun)直线直线PC与与 O的位置关系，并说明理的位置关系，并说明理由由第二十二页，共25页。解：
12、解：(1)(1)如图，连结如图，连结(lin ji)BD(lin ji)BD，ABAB是是OO直径，直径，ACBACBADBADB90.90.在在RtABCRtABC中，中，CDCD平分平分ACBACB，第二十三页，共25页。(2)直线直线(zhxin)PC与与 O相切相切理由：如图，连结理由：如图，连结OC， OCOA，CAOOCA.PCPE，PCEPEC.PECCAEACE，PCBECBCAEACE，CD平分平分ACB，ACEECB.PCBCAE.PCBACO.ACB90，OCPOCBPCBACOOCB90， OCPC，直线直线(zhxin)PC与与 O相切相切第二十四页，共25页。第二十五页，共25页。
