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1、第四节第四节 随机变量函数的概率分布随机变量函数的概率分布 X X 是分布知的随机是分布知的随机变量，量，g ( ) g ( ) 是一个知是一个知的延的延续函数，如何求随机函数，如何求随机变量量 Y =g(X ) Y =g(X ) 的分布的分布？ 比比较常常见的一些函数的一些函数 y = g(x) 的方式是的方式是线性函数性函数 y = a + bx、幂函数函数 y = xk (特特别 k = 2 )、指数函数指数函数 y = e x、对数函数数函数 y = ln x 等等；等等； 概率概率论中的很多重要的分布都是中的很多重要的分布都是经过一些一些简单的分布的分布变换得出来的。得出来的。一一.
2、 . 离散随机变量函数的概率分布离散随机变量函数的概率分布 假假设离散随机离散随机变量量 X 具有分布律：具有分布律： P X = xk = pk , k 1 ；那么那么 Y = g(X) 也是一个离散随机也是一个离散随机变量，相量，相应分布律是分布律是 P Y = g(xk ) = pk , k 1 。 需求把能需求把能够重合的一些重合的一些 g (xk ) 的概率相加的概率相加思索思索1 X B (1,p) ，那么，那么 Y = X2 服从什么分布服从什么分布？例例2.5.1 知随机知随机变量量 X 具有如下的分布律，具有如下的分布律， X 1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0
3、.4 计算算 Y = (X 1)2 的概率分布。的概率分布。解解. (X 1)2 4 1 0 1 pk 0.2 0.3 0.1 0.4 整理后立刻得到整理后立刻得到 Y 的分布律，的分布律， Y 0 1 4 pk 0.1 0.7 0.2例例2.5.2 (报童问题报童问题) 假定报童有假定报童有 5 份报纸，卖出的数量份报纸，卖出的数量 X 分布律如下分布律如下 k 0 1 2 3 4 5 pk 0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 他每卖掉一份报纸将获得报酬他每卖掉一份报纸将获得报酬 1 元，没有卖出元，没有卖出而剩下的每份赔偿而剩下的每份赔偿 0.5 元。计算最终所得的分布。元。计
4、算最终所得的分布。解解. 以以 Y 记报童最童最终的所得，因此有的所得，因此有 Y = 1X 0.5( 5 X) = 1.5 X 2.5 k 0 1 2 3 4 5 pk 0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 X 的分布律的分布律 k 2.5 1 0.5 2 3.5 5 pk 0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 Y = 1.5 X 2.5 的分布律的分布律三、延三、延续型随机型随机变量函数的分布量函数的分布解：解：设Y的分布函数的分布函数为 FY(y)，例例2设设 X 求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.FY(y)=P Y y = P (2X+8 y )=P X =
5、 FX( )于是于是Y 的密度函数的密度函数故故留意到留意到 0 x 4 时，时， 即即 8 y 0 时时, 留意到留意到 Y=X2 0，故当，故当 y 0时，时，解：解： 设设Y和和X的分布函数分别为的分布函数分别为 和和 ，假设假设那么那么 Y=X2 的概率密度的概率密度为：其中，其中，此定理的此定理的证明与前面的解明与前面的解题思思绪类似似.x=h(y)是是y=g(x)的反函数的反函数定理定理 设设 X是一个取值于区间是一个取值于区间a,b，具有概率，具有概率密度密度 f(x)的延续型的延续型r.v,又设又设y=g(x)处处可导，且处处可导，且对于恣意对于恣意x, 恒有恒有 或恒有或恒有
6、 ，那么，那么Y=g(X)是一个延续型是一个延续型r.v，它的概率密度为，它的概率密度为 下面我下面我们用用这个定理来个定理来解一个例解一个例题 .例例6 设随机随机变量量X在在(0,1)上服从均匀分布，求上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度的概率密度.解：解： 在区在区间(0,1)上上,函数函数lnx0, 于是于是 y在区在区间(0,1)上上单调下降，有反函数下降，有反函数由前述定理得由前述定理得留意取留意取绝对值绝对值知知X在在(0,1)上服从均匀分布，上服从均匀分布，代入代入 的表达式中的表达式中得得即即Y服从参数服从参数为1/2的指数分布的指数分布.假假设 X N ( , 2 )
7、 ，常数，常数 b 0 ，那么，那么有有 Y = a + bX N ( a + b , b2 2 ) 普通正态分布与规范正态分布的相互转化普通正态分布与规范正态分布的相互转化(1) 假假设 X N ( , 2 ) ， Y = N (0,1) ；X 正态分布的线性变换依然服从正态分布正态分布的线性变换依然服从正态分布(2) 假假设 X N ( 0,1 ) ， Y = + X N ( , 2 )练习2.5.3 X U (0,1) ，那么，那么 Y = 1 X 服从什么分布？服从什么分布？普通地，均匀分布的普通地，均匀分布的线性性变换能否仍是均匀分布？能否仍是均匀分布？ 假假设随机随机变量量 X X 具有密度函数具有密度函数 pX (x) pX (x) ，那么那么Y = X2 Y = X2 的密度函数具有如下方式：的密度函数具有如下方式：随机变量平方的密度函数公式随机变量平方的密度函数公式N2(0,1)的密度的密度
