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1、平面问题的有限单元法平面问题的有限单元法12一、结构离散化一、结构离散化把弹性体划分为有限个且不重叠的三角形单元，相邻把弹性体划分为有限个且不重叠的三角形单元，相邻单元仅在角点相连。单元仅在角点相连。离散模型离散模型(三角形单元三角形单元)取典型单元取典型单元1.1 三角形常应变单元三角形常应变单元悬臂深梁3在在oxy坐标下，取三角形的三个顶点为结点坐标下，取三角形的三个顶点为结点（i，j，m），），每个结点有每个结点有2个结点位移分量，整个单元有个结点位移分量，整个单元有6个分量，个分量，单元位移列阵写为单元位移列阵写为（1-11）单元试函数为线性函数单元试函数为线性函数， ， ， ， ，为
2、待定常数。为待定常数。用结点位移作为待定系数表示函数用结点位移作为待定系数表示函数 和和 式（式（1-12）在节点）在节点处成立。处成立。，（1-12）二、位移二、位移4（1-13）由（由（1-13）的左三式解出）的左三式解出，再代入（，再代入（1-12）得）得(1-16a) 其中其中A为三角元面积为三角元面积，同理同理(1-16b) 5令令(1-18)矩阵形式矩阵形式(1-20)即用结点位移表示单元位移场，即用结点位移表示单元位移场，称形函数矩阵。称形函数矩阵。则（则（1-16a）、（）、（1-16b）写成）写成（1-19），(1-16a) (1-16b) 6(1-24)(1-26)式(1-
3、24)是用结点位移表示应变，由于均为常量，因此，在单元内，的元素也为常量，故称为常应变单元。三、应变三、应变7由物理方程由物理方程（1-28）（1-29）称为应力矩阵，此时也为常量矩阵，平面应力称为应力矩阵，此时也为常量矩阵，平面应力（1-31）整个单元应力为常量，则相邻单元的应力在邻边有突整个单元应力为常量，则相邻单元的应力在邻边有突变，这因线性模式所致。变，这因线性模式所致。，注意：注意：对平面应变问题，将（对平面应变问题，将（1-31）式中的）式中的。四、应力四、应力8一、一、 形函数的性质形函数的性质其中，1. 形函数形函数在结点处具有在结点处具有0，1性质性质2. 在单元内任一点在单
4、元内任一点因为可见三个形函数中只有二个是独立的。可见三个形函数中只有二个是独立的。(1-16a) (1-16b) 1.2 形函数的性质和面积坐标形函数的性质和面积坐标9对单元对单元ijm的的ij边，形函数为边，形函数为，证明证明:即即ij边的形函数与第三个顶点坐标无关边的形函数与第三个顶点坐标无关在在ij边边，可见即交界处的位移是连续的。即交界处的位移是连续的。jim03. 相邻常应变单元的位移是连续的。相邻常应变单元的位移是连续的。，(3-21)1. 面积坐标性质面积坐标性质 显然显然，即(3-22)在结点处具有在结点处具有0，1性质性质在三角元在三角元ijm中任一点中任一点P(x,y)定义
5、面积坐标定义面积坐标0xymjiP即三个量即三个量足以描述足以描述P点在单元中的位置。点在单元中的位置。二、二、 面积坐标面积坐标11三角形三角形pjm的面积的面积可见（3-24）恰有3. 面积坐标与直角坐标关系面积坐标与直角坐标关系由对于上式定能精确描述，即0xymjiP2. 面积坐标恰为三角形常应变元的形函数面积坐标恰为三角形常应变元的形函数12可见三个面积坐标只有两个独立的。可见三个面积坐标只有两个独立的。4. 面积坐标与直角坐标的导数关系面积坐标与直角坐标的导数关系，（3-26）5. 面积坐标的积分值面积坐标的积分值面积分面积分 (3-27)为三角域面积，为三角域面积， ， ， 为整常
6、数；为整常数；线积分线积分(3-28)0xymjiP13单元等效结点力和结点位移之间的关系单元等效结点力和结点位移之间的关系单元存在集中力单元存在集中力，表面力表面力，体积力体积力假定单元假定单元e内各点发生虚位移内各点发生虚位移（a）是单元是单元e上三个结点上三个结点i，j，m的虚位移的虚位移（b）1. 单元的虚应变：（由几何方程）单元的虚应变：（由几何方程）一、单元刚度矩阵一、单元刚度矩阵1.3 刚度矩阵刚度矩阵143. 单元内，应力在虚应变上所做的功单元内，应力在虚应变上所做的功虚位移原理：外力在虚位移上的功虚位移原理：外力在虚位移上的功=应力在虚应变上的功应力在虚应变上的功2. 单元上
7、外力在虚位移上所做的功单元上外力在虚位移上所做的功(单元厚度为单元厚度为h),， 称为单元等效结点力称为单元等效结点力15由于是任意的（线性无关的），得记(1-42)式中称为单元刚度矩阵。, 均为已知的，是x，y的函数，可由积分得出虚位移原理：外力在虚位移上的功虚位移原理：外力在虚位移上的功 = = 应力在虚应变上的功应力在虚应变上的功16称为单元刚度矩阵方程，表征单元结点力和结点位移的关系（1-43）对平面应力问题：对平面应变问题，(将E换为，换为。(1-42)17中刚阵元素的物理意义，如j 结点沿y方向发生单位位移时引起 i 结点力在x方向分量为 表征了单元的结点力，结点位移，形状、大小、
8、方位和弹性常数，仅取决于单元的不随单元或坐标的平移而改变（因为平移只加刚体位移，在求导时消失）单刚方程也可以用最小势能原理导得令,则又18弹性体被划分为弹性体被划分为个单元和个单元和n节点节点1. 弹性体的节点位移列阵弹性体的节点位移列阵2. 相应的结点等效载荷相应的结点等效载荷注：注： 是是i 结点的等效结点力。结点的等效结点力。离散模型离散模型(三角形单元三角形单元)二、二、 整体刚度矩阵整体刚度矩阵193. 各单元的扩大为阶列阵其中为单元e的等效结点力，单元刚度矩阵扩大为阶离散模型离散模型(三角形单元三角形单元)20结点力的迭加(n)（I）式代入（n）得(2-34) ,其中子矩阵对于一组
9、下标r，s只有r=s或r，s同属于一个单元才有非零。整体刚度矩阵整体刚度矩阵结构整体等效节点力结构整体等效节点力4. 单元刚度方程迭加为整体刚度方程单元刚度方程迭加为整体刚度方程21因此，因此，K 在非对角线上很多零元素。上式为弹性体的在非对角线上很多零元素。上式为弹性体的刚度（平衡）方程，刚度（平衡）方程，2n个代数方程解个代数方程解2n个未知量个未知量 。注意：注意： 各各单单元元结结点点力力 求求和和时时，因因为为相相邻邻单单元元的的相相互互作作用用的的结结点点力力已已互互相相抵抵消消，无无须须迭迭加加，剩剩下下的的荷荷载载仅仅为为各各单单元元上上外外力力等等效效的的结结点点力力，但但概
10、概念念上上记记住住一一个个单单元元的的刚刚度度方方程程中中结点力列阵需包括相邻单元对结点的作用力。结点力列阵需包括相邻单元对结点的作用力。(2-34)离散模型离散模型(三角形单元三角形单元) ,221. K 中中每每一一列列元元素素的的物物理理意意义义：弹弹性性体体仅仅在在某某个个结结点点沿沿 x （或或y）方方向向发发生生单单位位位位移移时时，所所有有各各结结点点上需要施加的结点力。上需要施加的结点力。2. K 的主元素总是正的的主元素总是正的由由性性质质1知知： K 中中 元元素素表表示示结结点点2在在x方方向向产产生生单单位位位位移移时时，在在结结点点2的的x方方向向需需施施加加的的力力
11、，自自然然与与位位移移方方向向同向，同向， 必为正值。必为正值。3. K是对称阵是对称阵仅需证仅需证4. K沿主对角线呈带状稀疏阵沿主对角线呈带状稀疏阵三、整体刚度矩阵的性质三、整体刚度矩阵的性质235. K是一个奇异阵：在消除刚体位移后，它是正定阵。是一个奇异阵：在消除刚体位移后，它是正定阵。因因F 的各分量应满足三个静力平衡方程，反映的各分量应满足三个静力平衡方程，反映K存在三存在三个线性相关的列或行。对等式个线性相关的列或行。对等式同乘同乘由于由于因为因为 t A为正值为正值, D为正定阵，据矩阵代数知识为正定阵，据矩阵代数知识右边右边故知左边故知左边(2-34)24因为, 其中仅需考虑
12、单元上的集中力，表面力和体力向结点等效仅需考虑单元上的集中力，表面力和体力向结点等效为为 在集中力在集中力 作用点作用点 处的值。处的值。1集中力等效的集中力等效的2表面力的等效表面力的等效1.4 等效结点力荷载列阵等效结点力荷载列阵25例例1：重力密度为重力密度为，方向为，方向为y 轴负向。轴负向。得得，3个节点各均担个节点各均担1/3重量。重量。结结论论：对对三三角角形形常常应应变变单单元元(线线性性模模式式)，其其虚虚功功相相等等的的等等效原则与静力等效的数值相同。效原则与静力等效的数值相同。3体力的等效体力的等效26引用局部坐标，右图中在引用局部坐标，右图中在ij边边ij边上形函数：边
13、上形函数：，yOmPslx在结点在结点i 的面力集度为的面力集度为例例2：单元单元ij 边受三角形分布力，边受三角形分布力，27对对 用函数逼近。用函数逼近。1.用多项式插值逼近用多项式插值逼近项数取得多，如果弃去项，那么 无法例：例：（无法）可见可见 不是完备的函数列。不是完备的函数列。2. 的项数越多，未必能逼近的项数越多，未必能逼近 龙格现象，龙格现象，数值不稳定，为了得到稳定，收敛的插值函数数值不稳定，为了得到稳定，收敛的插值函数用分段低用分段低阶多多项式来逼近式来逼近 ，如分段线性、抛物线。，如分段线性、抛物线。1.6 收敛准则、位移函数的选择收敛准则、位移函数的选择28有限元法实质
14、按单元（子域）对位移有限元法实质按单元（子域）对位移，用插值函数逼近，为了保证有限元解的收敛性，位移用插值函数逼近，为了保证有限元解的收敛性，位移模式需满足三个条件：模式需满足三个条件：1.位移模式必须包含单元的刚体位移位移模式必须包含单元的刚体位移例：例：矩形单元矩形单元如则2.位移模式必须包含单元的常应变位移模式必须包含单元的常应变在求应变时，用了偏导，实质上的插值函数须包含一切线性项,反映力学意义为常应变。如三角形常应变单元中 项。，（1-12）一、收敛准则一、收敛准则29当单元逐渐细化，当单元逐渐细化，则变应变部分将很小则变应变部分将很小应变常应变变应变=+3. 位移模式在单元内要连续
15、，位移模式在单元内要连续，并使相邻单元间的位移必须并使相邻单元间的位移必须协调。协调。 单元间的协调性要求单元单元间的协调性要求单元之间不开裂也不重叠之间不开裂也不重叠(位移连续位移连续)在在梁梁、板板、壳壳中中，要要求求斜斜率率（位位移移的的导导数数）在在边边界界上上连连续续。一一般般当当相相邻邻单单元元在在交交界界面面上上的的位位移移取取决决于于交交界界面面上上结结点点的的位位移移时时，可可以以保保证证位位移移的的协协调调性性（连连续续），如如矩矩形形单单元元，常应变单元。常应变单元。30l在在有有限限元元法法中中，满满足足1，2的的单单元元，称称为为完完备备单单元元；满满足足3，称称为为
16、协协调调单单元元。同同时时满满足足1，2，3称称为为完完备备的的协协调单元调单元。（例：三角形常应变单元是完备的协调元）。（例：三角形常应变单元是完备的协调元）l在在某某些些梁梁、板板、壳壳单单元元，满满足足条条件件3较较难难，有有时时放放弃弃条条件件3，故称为，故称为非协调单元非协调单元。l用用插插值值函函数数代代替替真真实实位位移移，相相当当于于人人为为对对原原结结构构加加了了一一些些约约束束，使使结结构构变变“刚刚”，因因此此有有限限元元法法的的位位移移解解必必然然小小于于真真解解。而而非非协协调调单单元元放放松松了了“刚刚度度”，因因此此，有些非协调元收敛更快。有些非协调元收敛更快。1
17、. 位移模式必须包含单元的刚体位移；位移模式必须包含单元的刚体位移；2. 位移模式必须包含单元的常应变；位移模式必须包含单元的常应变；3. 位移模式在相邻单元间的位移必须协调（连续）。位移模式在相邻单元间的位移必须协调（连续）。结结 论论311. 位移模式需包含常数项、一次项。位移模式需包含常数项、一次项。2. 模式应与局部坐标系的方位无关，即不能偏惠一个方向，模式应与局部坐标系的方位无关，即不能偏惠一个方向， 所以在选择高次项时，应对称选取所以在选择高次项时，应对称选取 1 x y x2 xy y2x3 x2y xy2 y3.如果一个方向细致（阶高），另一方向形函数阶低，则低如果一个方向细致
18、（阶高），另一方向形函数阶低，则低的方向所带来的误差已抹杀了阶高方向的高精度效果。的方向所带来的误差已抹杀了阶高方向的高精度效果。二、多项式位移模式阶次的选择二、多项式位移模式阶次的选择32一、对称性利用一、对称性利用二、结点的选择和单元的划分二、结点的选择和单元的划分 1. 集中力或荷载突变处应取为结点集中力或荷载突变处应取为结点 2. 单元的三条边长度相当，避免过钝、锐角单元的三条边长度相当，避免过钝、锐角 3. 单元疏密分布要恰当单元疏密分布要恰当三、结点的编号三、结点的编号 尽量缩小刚阵带宽，平面问题半带宽为尽量缩小刚阵带宽，平面问题半带宽为, d为相邻结点的最大差值为相邻结点的最大差
19、值刚阵存储量刚阵存储量, n为总结点数为总结点数四、单元结点四、单元结点i，j，m的顺序的顺序为使为使A0, i，j，m须逆时针转向。须逆时针转向。1.7 有限元法实施步骤注意事项有限元法实施步骤注意事项1.8 边界位移条件边界位移条件总刚阵总刚阵 奇异，排除弹性刚体位移后，奇异，排除弹性刚体位移后， 才非奇异。才非奇异。如已知如已知 ，则 1. 划行划列法划行划列法 最终形式最终形式划行划列法减少了方程数目，便于手算。划行划列法减少了方程数目，便于手算。 例说例说：已知：已知 ，引入代数方程，引入代数方程 33对对 引入已知位移。引入已知位移。2. 乘大数法乘大数法第第1个方程为个方程为1、
20、2 效果一样，都保持了的稀疏，效果一样，都保持了的稀疏， 带状和对称性。带状和对称性。如已知如已知 ，则乘大数法不改变方程维数乘大数法不改变方程维数, 便于编程。便于编程。引入结构的已知位移后，总体刚度方程是非奇异的。引入结构的已知位移后，总体刚度方程是非奇异的。解之，获得结构总体节点位移解之，获得结构总体节点位移 。3435Gauss消去法解解解n 阶线性方程组阶线性方程组不妨设，导出1-9 线性方程组求解线性方程组求解36解总体刚度方程解总体刚度方程得到总结点位移列阵得到总结点位移列阵1. 从中取出各单元的位移列阵从中取出各单元的位移列阵2. 代入几何方程，得单元应变代入几何方程，得单元应
21、变3. 代入代入 得单元应力得单元应力4. 单元的单元的Mises应力应力对平面应力问题对平面应力问题对平面应变问题对平面应变问题1.10 计算单元应力计算单元应力37xy1.01.01.01.045613P=12单元：3，1，2单元：5，2，4单元：2，5，3单元：6，3，5解：解：计算单元：单元面积 A=1/2,单元、的值同单元计算单元，单元面积 A=1/2，的各单元刚阵，并迭加求总刚阵。用三角形常应变单元计算结构取例题例题:38单刚：单元刚阵装配规则：xy1.01.01.01.045613P=1239，xy1.01.01.01.045613P=12单刚方程：40逐节点力平衡，在结点2平衡：，迭加后总刚度：xy1.01.01.01.045613P=1241按照划行划列法引入边界条件后，按照划行划列法引入边界条件后，总体方程成为总体方程成为代入代数方程求解器进行计算，获得未知的节点位移值代入代数方程求解器进行计算，获得未知的节点位移值xy1.01.01.01.045613P=12已知位移已知位移42谢谢谢谢 请多提宝贵意见！请多提宝贵意见！
