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1、教学目的教学目的： 1.矩的概念. 2 .协方差与相关系数 3切贝谢夫不等式 第十三讲 协方差与相关系数教学内容教学内容： 第三章， 3.6 3.7 。 概率论第十三讲协方差与相关系数课件一 矩设 X 为离散 r.v. 分布为X连续 r.v. ，d.f. 为定义定义概率论第十三讲协方差与相关系数课件二二 协方差和相关系数协方差和相关系数问题问题 对于二维随机变量(X ,Y ):已知联合分布边缘分布 对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系问题是用一个怎样的数去反映这种联系. 数反映了随机变量反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系之间的某种关系概率论第十三讲
2、协方差与相关系数课件 称为 X ,Y 的协方差. 记为 称为（X , Y ）的协方差矩阵可以证明可以证明 协方差矩阵协方差矩阵 为为 半正定矩阵半正定矩阵协方差和相关系数的定义协方差和相关系数的定义定义定义概率论第十三讲协方差与相关系数课件若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,称为X ,Y 的 相关系数，记为事实上，若称 X ,Y 不相关.无量纲 的量概率论第十三讲协方差与相关系数课件 若若 ( X ,Y ) 为离散型，为离散型，若若 ( X ,Y ) 为连续型，为连续型，协方差和相关系数的计算协方差和相关系数的计算q 概率论第十三讲协方差与相关系数课件求 cov (X ,Y ), XY
3、1 0 p qX P 1 0 p qY P 例例1 1 已知 X ,Y 的联合分布为XYpij 1 010 p 0 0 q0 p 0, D(Y ) 0 时，当且仅当时, 等式成立 Cauchy-Schwarz不等式证证 令对任何实数 t ,概率论第十三讲协方差与相关系数课件即等号成立有两个相等的实零点即显然 概率论第十三讲协方差与相关系数课件即即 Y 与 X 有线性关系的概率等于1, 这种线性关系为概率论第十三讲协方差与相关系数课件完全类似地可以证明当E(X 2) 0, E(Y 2 ) 0 时,当且仅当时, 等式成立.概率论第十三讲协方差与相关系数课件相关系数的性质q q Cauchy-Sch
4、warz不等式的等号成立即Y 与X 有线性关系的概率等于1，这种线性关系为概率论第十三讲协方差与相关系数课件概率论第十三讲协方差与相关系数课件如例1中 X ,Y 的联合分布为XYpij 1 010 p 0 0 q0 p 0, 不等式 成立，或返回主目录概率论第十三讲协方差与相关系数课件返回主目录概率论第十三讲协方差与相关系数课件例4假设一批种子的良种率为 ，从中任意选出600粒，试用切比晓夫（Chebyshev）不等式估计：这600粒种子中良种所占比例与 之差的绝对值不超过0.02的概率。概率论第十三讲协方差与相关系数课件性质 4 的逆命题不成立，即若E (X Y ) = E (X )E (Y
5、 )，X ,Y 不一定独立反例反例 1 1X Y pij-1 0 1-1 0 10p jpi附录1概率论第十三讲协方差与相关系数课件X Y P -1 0 1但概率论第十三讲协方差与相关系数课件反例反例2 2概率论第十三讲协方差与相关系数课件但概率论第十三讲协方差与相关系数课件几个重要的 r.v. 函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 X 的 k 阶绝对原点矩 X 的 k 阶中心矩 X 的 方差附录2概率论第十三讲协方差与相关系数课件 X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 X ,Y 的 二阶原点矩 X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 X ,Y 的相关系数概率论第十三讲协方差与相关系数课件作业 P.117 习题三 23 24 25 26 概率论第十三讲协方差与相关系数课件
