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1、第十二章第十二章 格林函数法格林函数法 格林（格林（GreenGreen）函数）函数，又称为点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念格林函数代表一，又称为点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念格林函数代表一个点源在一定的边界条件下和初始条件下所产生的场知道了点源的场，就可以用叠加的方法计算个点源在一定的边界条件下和初始条件下所产生的场知道了点源的场，就可以用叠加的方法计算出任意源所产生的场出任意源所产生的场 格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一 1;.一、一、 格林公式格林公式上具有连续一阶导数上具有连续一阶导数, 在区域在区域 及其边界及其边界
2、和和 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理(12.1.1) 将对曲面将对曲面 的积分化为体积分的积分化为体积分 12.1 泊松方程的格林函数法泊松方程的格林函数法2;.以上用到公式以上用到公式称上式为第一格林公式同理有称上式为第一格林公式同理有 上述两式相减得到上述两式相减得到 3;.表示沿边界表示沿边界 的外法向偏导数的外法向偏导数称为第二格林公式称为第二格林公式进一步改写为进一步改写为4;.二、泊松方程的格林函数法二、泊松方程的格林函数法1、讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题、讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题 泊松方程泊松方程
3、边值条件边值条件 是区域边界是区域边界 上给定的函数上给定的函数. 是第一、第二、第三类边界条件的统一描述是第一、第二、第三类边界条件的统一描述 5;.典型的泊松方程（三维稳定分布）边值问题典型的泊松方程（三维稳定分布）边值问题 表示边界面表示边界面 上沿界面外法线方向的偏导数上沿界面外法线方向的偏导数 泊泊松松方方程程第一类边界条件：第一边值问题第一类边界条件：第一边值问题(狄里希利问题狄里希利问题)第二类边界条件：第二边值问题第二类边界条件：第二边值问题(诺依曼问题诺依曼问题)第三类边界条件：第三边值问题第三类边界条件：第三边值问题6;.2、格林函数的引入及其物理意义、格林函数的引入及其物
4、理意义 引入：为了求解泊松方程的定解问题，我们必须定义一个与此定解问题相应的格引入：为了求解泊松方程的定解问题，我们必须定义一个与此定解问题相应的格林函数林函数 它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类条件：它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类条件： 代表三维空间变量的代表三维空间变量的 函数，在直角坐标系中其形式为函数，在直角坐标系中其形式为 7;.格林函数的物理意义格林函数的物理意义：在区域在区域T内部内部 处放置一个点源，而在该区域处放置一个点源，而在该区域T的界面上为零的条件下的界面上为零的条件下, 那么该点点源在区域那么该点点源在区域T内内r处产生的场，由此可以进
5、一步理解通常人们为什么称格林函数为点源函数处产生的场，由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函数为点源函数 8;. 格林函数互易定理：格林函数互易定理： 因为格林函数因为格林函数 代表代表 处的点源在处的点源在 处所产生的影响（或所产生的场）处所产生的影响（或所产生的场）,所以它只能是距离所以它只能是距离 的函数的函数, 故它应该遵守如下的互易定理：故它应该遵守如下的互易定理：9;.根据格林第二公式根据格林第二公式 令令得到得到 10;.根据根据函数性函数性质有：有： 故有故有 称为泊松方程的基本积分公式称为泊松方程的基本积分公式 格林函数满足互易定理格林函数满足互易定理 并利用格林函数的对称
6、性则得到并利用格林函数的对称性则得到 11;.考虑格林函数所满足的边界条件讨论如下：考虑格林函数所满足的边界条件讨论如下： 1.第一类边值问题：第一类边值问题：相相应的格林函数的格林函数是下列是下列问题的解：的解： 考考虑到格林函数的到格林函数的齐次次边界条件，界条件，第一类边值问题的解第一类边值问题的解 12;.2.第二类边值问题第二类边值问题 相相应的格林函数的格林函数是下列是下列问题的解：的解：由公式可得由公式可得第二类边值问题解第二类边值问题解 13;.3.第三类边值问题第三类边值问题 相相应的格林函数的格林函数是下列是下列问题的解：的解：泊松方程泊松方程的的边值条件，两条件，两边同乘
7、以格林函同乘以格林函14;.格林函数格林函数的的边值条件的两条件的两边同乘以函数同乘以函数得得 相减得到相减得到代入（代入（14.2.9）得到）得到第三第三类边值问题的解的解 15;.这就是第三边值问题解的积分表示式这就是第三边值问题解的积分表示式右边第一个积分表示区域右边第一个积分表示区域 中分布的源中分布的源 在在点点产生的生的场的的总和和. 第二个第二个积分分则代表代表边界上的状况界上的状况对 点场的影响的总和两项积分中的格林函数相同这说明泊松方程的格林函数是点源在点场的影响的总和两项积分中的格林函数相同这说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的场一定的边界条件下所产生的场
8、 对于对于拉普拉斯方程拉普拉斯方程 第一边值问题的解为第一边值问题的解为第三边值问题的解为第三边值问题的解为16;.12.2无界空间的格林函数无界空间的格林函数 基本解基本解无界区域这种情形公式中的面积分应为零，故有无界区域这种情形公式中的面积分应为零，故有 选取取和和分分别满足下列方程足下列方程 17;. 三维球对称三维球对称对于三维球对称情形，我们选取对于三维球对称情形，我们选取 对上式两边在球内积分对上式两边在球内积分 （14.3.4） （14.3.5）利用高斯定理（利用高斯定理（14.1.1）得到）得到 (14.3.6)18;. 故有故有 使上式恒成立，有使上式恒成立，有 因此因此，,
9、故得到故得到 19;.对于三于三维无界球无界球对称情形的格林函数可以称情形的格林函数可以选取取为代入代入 （14.3.1）得到三）得到三维无界区域无界区域问题的解的解为上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式 20;.二维轴对称情形二维轴对称情形用单位长的圆柱体来代替球积分在单位长的圆柱体内进行，即用单位长的圆柱体来代替球积分在单位长的圆柱体内进行，即因为因为由于由于 只是垂直于只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在，且向外的分量，所以上式在圆柱体上、下底的面积分为零，只剩下沿侧面的积分，即圆柱体上、下底的面积分为零，只剩下沿侧面的积分，即 21;.选取的圆
10、柱的高度为单位长，则很容易得到下面的结果选取的圆柱的高度为单位长，则很容易得到下面的结果 令令积分常数分常数为0，得到，得到 因此二因此二维轴对称情形的格林函数称情形的格林函数为 将（将（14.3.9）代入式（）代入式（14.3.1）得到二）得到二维无界区域的解无界区域的解为22;. 用电像法确定格林函数用电像法确定格林函数用格林函数法求解的主要困难还在于如何确定格林函数本身用格林函数法求解的主要困难还在于如何确定格林函数本身 一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数 为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法为了求解的方便，对
11、一些具体问题我们给出构建格林函数的方法 电像法电像法 考虑一个具体的物理模型：设在一接地导体球内的考虑一个具体的物理模型：设在一接地导体球内的 放置一个单位正电荷，求在体内的电势分布，并满足边界条件为零放置一个单位正电荷，求在体内的电势分布，并满足边界条件为零 点点23;.对于第一于第一类边值问题，其格林函数可定，其格林函数可定义为下列定解下列定解问题的解的解 为了满足边界条件：电势为零，所以还得在为了满足边界条件：电势为零，所以还得在边界外像点（或对称点）放置边界外像点（或对称点）放置一个合适的一个合适的负电荷，这样才能使这两个电荷在界面上产生的电势之和为零负电荷，这样才能使这两个电荷在界面
12、上产生的电势之和为零 这方法是基于这方法是基于静电学的镜像原理来构建格林函数静电学的镜像原理来构建格林函数，所以我们称这种构建方法为电像，所以我们称这种构建方法为电像法（也称为镜像法）法（也称为镜像法） 24;. 上半平面区域第一边值问题的格林函数构建上半平面区域第一边值问题的格林函数构建拉普拉斯方程的第一边值问题求解拉普拉斯方程的第一边值问题求解物理模型：若在物理模型：若在 处放置一处放置一正单位点电荷正单位点电荷 则虚设的负则虚设的负单位点电荷单位点电荷应该在应该在 于是得到这两点于是得到这两点电荷电荷在在 xoy 的上半平面的电位分布也就是本问题的格林函数，的上半平面的电位分布也就是本问
13、题的格林函数，即为即为 （14.4.2） 25;.据上述物理模型可求解下列定解问题据上述物理模型可求解下列定解问题 例例14.6.1 定解问题：定解问题： 【解】【解】 根据第一边值问题，构建的格林函数满足根据第一边值问题，构建的格林函数满足 处放置于一个正和一个放置于一个正和一个负的点的点电荷（或点源）荷（或点源） 构构建格林函数建格林函数为 26;.边界外法界外法线方向方向为负轴，故有，故有 代入到拉普拉斯第一代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式（解的公式（14.2. 13），拉普拉斯方程的自由），拉普拉斯方程的自由项,则由由得得 (14.4.3)27;.或代入或代入拉普拉斯方程的第一拉普拉
14、斯方程的第一边值问题的解公式（的解公式（14.2.2214.2.22）得到得到 (14.4.4)公式（公式（14.4.3）或（）或（14.4.4）称为）称为 上半平面的拉普拉斯积分公式上半平面的拉普拉斯积分公式28;.2 . 泊松方程的第一边值问题求解泊松方程的第一边值问题求解 例例14.6.2 定解问题：定解问题： 根据根据第一类边值问题的解公式第一类边值问题的解公式(14.2.14)(14.2.14)得到得到 （14.4.514.4.5）29;.根据半平面区域第一类边值问题的格林函数根据半平面区域第一类边值问题的格林函数(14.4.2)式，得到式，得到 (14.4.6) 因因为边界上的法界
15、上的法线为负y轴，故，故 (14.4.7)将（将（14.4.6）和）和(14.4.7)代入（代入（14.4.5）得到泊松方程在半平面区域第一）得到泊松方程在半平面区域第一边值问题的解的解30;.14.4.2 上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题物理模型物理模型: 31;.例例14.4.3 在上半空间在上半空间内求解拉普拉斯方程的第一内求解拉普拉斯方程的第一边值问题 【解解】构建格林函数】构建格林函数满足足32;.根据物理模型和无界区域的格林函数可以构建为根据物理模型和无界区域的格林函数可以构建为 (14.4.8) 即有即有 33;.为了把了把代入代入
16、拉普拉斯拉普拉斯第一第一边值问题的解的公式（的解的公式（14.2.22），），需要先计算需要先计算即即为 34;.代入代入 （14.2.22）即得到）即得到 这公式叫作公式叫作半空间的拉普拉斯积分半空间的拉普拉斯积分 （14.4.9）35;.14.4.3 圆形区域第一边值问题的格林函数构建圆形区域第一边值问题的格林函数构建物理模型【物理模型【2】：在圆内任找一点】：在圆内任找一点 放置一个放置一个单位位36;.根据根据图14.2，这两两线电荷在荷在圆内任一内任一观察点察点所所产生的生的电势为当当观察点察点位于位于圆周上周上时，应该有有，即，即满足第一足第一类齐次次边值条件条件 , 即即为37;
17、.上式上式应对任何任何值成立，所以上式成立，所以上式对的的导数数应为零，即零，即即得到即得到 要求上式要求上式对任意的任意的值要成立，故提供了确定要成立，故提供了确定的方程的方程38;. 联立解得立解得 于是于是圆形区域形区域的第一的第一类边值问题的格林函数的格林函数为 （14.4.10） 即即为 (14.4.11).其中其中39;.例例14.4.4 求解如下泊松方程定解问题求解如下泊松方程定解问题 根据第一类边值问题解的公式根据第一类边值问题解的公式 (14.2.14)，并取沿垂直于圆的方向取单位长积分，并取沿垂直于圆的方向取单位长积分，这样原来的体积分化为面积分，原来的面积分化为线积分故得到这样原来的体积分化为面积分，原来的面积分化为线积分故得到 40;.根据构建的根据构建的圆内第一内第一边值问题的格林函数（的格林函数（14.4.11） （14.4.12）代入得到代入得到圆内第一内第一边值问题的解的解为 (14.4.13)41;.例例14.4.5 在圆在圆内求解拉普拉斯方程的第一内求解拉普拉斯方程的第一边值问题 【解解】根据公式（】根据公式（14.4.14），故有），故有 （14.4.1414.4.14）42;.
