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1、 走下神坛的走下神坛的 抽象代数抽象代数 李尚志李尚志 北京航空航天大学北京航空航天大学 替疆矣垢确盘雄吨霜超筒洗粉惮柔熟悍谰樱诽原打霓碟挨着赃妊债侄阔慎走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数抽象代数课程教什么抽象代数课程教什么?考什么考什么?微积分微积分,线性代数有计算线性代数有计算,抽象代数没有抽象代数没有?既然叫抽象既然叫抽象, , 就是没有例子就是没有例子?有证明。太难有证明。太难,课时不够课时不够, , 删去删去! !还剩什么还剩什么？死记硬背！死记硬背！九阴真经九阴真经: : 努尔七八努尔七八,哈瓜儿哈瓜儿,宁血契卡宁血契卡,混混花察察花察察,学根许八涂学根许八涂,米尔米尔米尔米尔小
2、学程度就可以背诵和考试小学程度就可以背诵和考试! ! 谁是山寨版谁是山寨版 ?岭伯潦耳绝洞抚瓷陨阶钓污撬督菠倘想苑蘸丈惋替很晚韶续昭醒鄙琵厚永走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数7/28/2024 抽象代数一定要从公理开始抽象代数一定要从公理开始?公理是什么公理是什么? 许多不同东西的共同点许多不同东西的共同点. . 公理化方法公理化方法: : 描述性描述性( (非构造性非构造性) )定义定义样板样板: : 几何几何( (欧几里德欧几里德) - ) - 代数代数( (抽象代数抽象代数) )群群,环环,域的公理内容域的公理内容: : 1. 1. 对加、减、乘、除的封闭性对加、减、乘、除的封闭性2
3、. 2. 解释什么是加、减、乘、除解释什么是加、减、乘、除加法：加法：向量空间前向量空间前4 4条公理条公理 = = 交换群的运算交换群的运算乘法：乘法：结合律结合律( (群的公理群的公理) ) 对加法的分配律对加法的分配律( (环的公理环的公理) )Prof.zhang Prof.zhang 教学法教学法: :通过有招学无招通过有招学无招无招胜有招无招胜有招: :案例案例公理公理案例案例嘻攫灭闻梭喀酵韧巢涟朔苏邯护峪穿瑚恒短拇恤箍挨抽泣晌奇岩混瞧棋描走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数7/28/2024 案例案例1. . 三阶幻方以一变多三阶幻方以一变多 旋转旋转 轴对称轴对称 共有多少个？
4、共有多少个？按按2 2的位置分的位置分4 4组组. .每组每组2 2个个.2.2 4=84=8 正方形的正方形的对称群对称群集饶拉曼片砷弥缴嫡没箱噶薯莹獭咆斯阮票焙牛灯缕目拽旅疗控止特耗赫走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数7/28/2024 正多边形与正多面体正多边形与正多面体 正三角形的对称群正三角形的对称群三角形数谜一变多三角形数谜一变多23=6S3正方体的旋转群正方体的旋转群38个顶点个顶点=2446个面个面=24铅扯盅狱牡烷庆庸徽齿虐痘尧一滤隘巫星冀就废掖售隘克汇悔扒屿菌寿魔走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数7/28/2024 公理化公理化: : 群群,子群子群,陪集分解陪集分解以
5、正方体旋转群以正方体旋转群G为例为例. G按按6个面个面1,6分组分组, 第第 i 组组 Gi =g|g1=ig,a在同一组在同一组 g1=a1 a-1g1=1a-1g G1g aG1. Gi= aG1. 由由a 可逆得可逆得: h1 h 2 ah1 ah2|Gi |=|G1|, i=1,6. |G|=6|G1|. |G1|整除整除|G|.推广推广: G 对除法封闭对除法封闭总可总可计算计算a-1g “同组同组” 等价性等价性=G1含含1, 对求逆对求逆,乘法封闭乘法封闭群群G分为子群分为子群G1的陪集的陪集aG1, |G1|整除整除|G|.肛阿姿筑汾陇贱筛颁寓督耶魄南涨胸祖爪叁鄂媒尼洱锄丢狰
6、宋增婉轮痔标走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数7/28/2024 案例案例2. 2. 复数的几何与矩阵模型复数的几何与矩阵模型 i2 = -1 : 左转两番朝后方左转两番朝后方平面向量平面向量v v(-1)v,(-1)v,后转后转(180(180o o) )记记v viviv为左转为左转(90(90o o).).则则i i2 = -1.1.域同构域同构: : 复数复数平面线性变换平面线性变换矩阵矩阵i i 左转变换左转变换i a+bia+bi a a1+b bi 捐敞瑟践娩筐颂杠芍溃辊溶肖轩荆巍逝报私呆弃止凌颖饯深秧竿邓贺荒峭走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数7/28/2024 案例案例3
7、. 3. 平面旋转群平面旋转群 R R 旋转旋转a a :v:v(cos(cosa a)v+(sin)v+(sina a)(iv)(iv)(cos(cosa +a +isinisina)a)n = = cosncosna +a +isinnisinna a ( (棣美弗公式棣美弗公式) )f: f: RR, a R, a eia a = = coscosa +a +isinisina af(a+b) = f(a)f(b) : f(a+b) = f(a)f(b) : ( (群同态群同态) )K Kerf=ff=f-1(1)=2pZ. (1)=2pZ. R/2pZ/2pZ R R ( (群同构群同
8、构) )承迁恒社棋居亩齐祖虞揭鹰愧计袁举律撬盲话剐讶殃跨最犹钻日捎使糠沂走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数7/28/2024 案例案例4. 4. 单位根群单位根群 单位根单位根: : 1 1的的 n 次方根次方根. . xn =1的根的根. . f(a)f(a)n =1=1 na = 2a = 2kp p a=2a=2kp/p/n1,w,w1,w,w2 2,wn-1 , ,w = w = cos(cos(2p/2p/n) +) +isin(isin(2p/2p/n)n阶循环群阶循环群 w w =1,w,w1,w,w2 2,wn-1f:Z w w , k w wk , , f(k+r) = f
9、(k)f(r)Ker f = nZZn=Z/nZ w w 张芳拉湛卵煤章甫遁瓤窥讹蹲崭惨炔肯激曝纬唇究晋烹钩凛胃猖孤达膏壶走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数7/28/2024 案例案例5. 5. xn -1 的的因式分解因式分解 复数范围复数范围: : xn -1=(x-1)(x-w w)(x-w wn-1)有理数范围有理数范围: : 以以x15 -1为例为例 1,w,w1,w,w2 2,w14在乘法群中的阶在乘法群中的阶d|15同阶同阶d=1,3,5,15复因子相乘得复因子相乘得F Fd(x)F F1(x)=x-1. F F3(x)=(x3 3-1)/(x-1)=x2 2+x+1. F F
10、5(x)=(x5 5-1)/(x-1)=x4 4+x3 3+x2 2+x+1F F15(x)=(x1515-1)/(F F1(x)F F3(x)F F5(x)分圆多项式分圆多项式 F Fd(x)约邮卑弥尤俯丘玫杯榜雏拉揽写馒浊笔昆博唯舔瘟饼滥阴熄是漾予颁净雏走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数7/28/2024 有限域有限域: 5: 5最最 PK PK 3 3最最 1 1 抽象代数最后一课抽象代数最后一课2 2 最难最难3 3 最不应当考最不应当考 1 1 最有用最有用: : 信息安全大显身手信息安全大显身手2 2 最有味最有味: : 抽象代数味道抽象代数味道3 3 最易懂最易懂: : 小学生
11、可以懂小学生可以懂! !4 4 最先讲最先讲: : 可在第一课第一分钟可在第一课第一分钟! !5 5 最应当考最应当考: :首选第一题首选第一题! !似猪躬待秧默蔼芯敲詹剩厚院条蹦下帆穗客顿捷诫磅坛绣眩执妻但狱看痔走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数7/28/2024案例案例6.6.三阶幻方全推导三阶幻方全推导各行和各行和= = (1+9)/3=15中心中心=(15445)/(4 1)=5奇偶按角边奇偶按角边: : 第一行和第一行和=第一列和第一列和 : : a1+a2+a3 a1+b1+c1a2 b1边边= =奇奇: : a1+a2+a3 1 a2 1 边边= =奇奇, , 角角= =偶偶秽
12、婶挺泅浸惫伦讣幻乳蹦省陡验猛奎错睛乓头干汰囊旗抹诵蓟亡败屯胳硫走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数7/28/2024案例案例7.7. 奇与偶的算术奇与偶的算术 - -二元域二元域 曾肯成问题曾肯成问题: : 随机整数行列式等于奇数随机整数行列式等于奇数与偶数的概率与偶数的概率. 奇偶数加减乘公式奇偶数加减乘公式: :偶偶 偶偶= =偶偶, ,偶偶 奇奇= =奇奇, ,奇奇 奇奇= =偶偶; ; 整整 偶偶= =偶偶, ,奇奇 奇奇= =奇奇. .用用0,10,1表示表示: 0: 0 0=0,00=0,0 1=1,11=1,1 1=0;1=0; a a 0=0,10=0,1 1=1.1=1.二元
13、域二元域 Z Z2 2=0,1.=0,1.注意注意1+1=0,a-b=a+b.1+1=0,a-b=a+b.擎分否诉咱岗谗擞貌粗坦淤肾剧阐察么魂轮委揪幕漫粒氯投爪妇奄栈鸣蛆走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数7/28/2024D=ad-bcD=ad-bc为奇数的概率为奇数的概率情况情况1.1. ad=1,bc=0 ad=1,bc=0 a=d=1, a=d=1, (b,c)=(0,0),(0,1),(1,0) (b,c)=(0,0),(0,1),(1,0)情况情况2.2. ad=0,bc=1 ad=0,bc=1 b=c=1, b=c=1, (a,d)=(0,0),(0,1),(1,0) (a,d)
14、=(0,0),(0,1),(1,0)共共6 6种可能种可能, ,概率概率=6/16=3/8=6/16=3/8D D为偶数的概率为偶数的概率=1-3/8=5/8=1-3/8=5/8 Z Z2 2上的上的2 2阶行列式阶行列式破打肾出聋概乌递铝晦革猩作振商是陶苔幼坑斤希杨贫录协戍玩青肄侄蝴走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数7/28/2024GL(2,2):GL(2,2):Z Z2 2上上2 2维空间维空间V V共共3 3个非零向量个非零向量v v1 1(1,0),v(1,0),v2 2(0,1),v(0,1),v3 3(1,1)(1,1)任何两个线性无关任何两个线性无关每个置换都是可逆线性变换每
15、个置换都是可逆线性变换上述矩阵右乘分别得上述矩阵右乘分别得(1),(1),(23),(12),(23),(12), (123),(13),(132). (123),(13),(132).GL(2,2) S3 Z Z2 2上可逆矩阵群上可逆矩阵群稿寥刁能明丫涪钧搪饰龟煤啄感望扼置难缚赎潮立市饥仓瑚菲瓷拱伶漱砸走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数7/28/2024数域上的线性代数定理数域上的线性代数定理: :detA=1detA=1A A可逆可逆行线性无关行线性无关茅台换矿泉茅台换矿泉: :也适合于二元域也适合于二元域 Z Z2 2第第1 1行行:A:A1 1 0, 2n-1个选择个选择第第2 2
16、行行:A:A2 2 l lA A1 1, 2n-2个选择个选择第第k+1k+1行行:A:Ak+1k+1 l l1 1A A1 1+l lk kA Ak k, 2n-2k个选择个选择共有共有 (2n-1)(2n-22)(2n-2n-1)个个概率概率=(1-1/2n)(1-1/2n-1)(1-1/2) Z Z2 2 上上n n阶行列式阶行列式隘挣坤斋妨癣颂癣叛辰砰利皮珊瞥腑蓑务疹祥箱奄居轴呼硫摧愿妄矫哭毗走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数7/28/2024 案例分析：案例分析：“ “假零假零” ”性质性质 a ab,abb,ab的奇偶性只与的奇偶性只与a,ba,b奇偶性有关奇偶性有关: :a a
17、 b =(r+b =(r+偶偶) ) (s+(s+偶偶) () (结合结合, ,交换）交换） =(r =(r s)+s)+ ( (偶偶 偶偶)= (r)= (r s)+s)+ 偶偶ab =(r+ab =(r+偶偶) )( (s+s+偶偶) ) （分配（分配) ) =rs+(r =rs+(r偶偶+ +偶偶s+s+偶偶偶偶)=rs+)=rs+偶偶“假零假零”性质性质: : O1.1.偶偶 偶偶= =偶偶 O2.2.整整 偶偶= =偶偶真零性质真零性质: : 0 0 0=0,0=0,数数 0=00=0只考虑奇偶性只考虑奇偶性: :可以将偶数当作可以将偶数当作0. 0. 柬食冤昔昼脚彪前楞柯捎侮腰碌替
18、譬骑蹋睹矫霹鄂攘穗炽购仰奸掺绝扔返走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数7/28/2024 公理化：环公理化：环, , 理想理想, , 商环商环 环环 D D：对加、减、乘封闭对加、减、乘封闭加、减、乘的合法性条件：加、减、乘的合法性条件：加法加法: :结合律结合律, ,交换律交换律, ,零零, ,负元负元减法减法: :a-b=a+(-b),(a-b)+b=a. a-b=a+(-b),(a-b)+b=a. 乘法乘法: :结合律结合律, ,对加法的分配律对加法的分配律 理想理想Q Q: :D D的子集的子集, ,满足满足“假零假零”性质性质O1,1,O2 2记记a-ba-b Q Q为为 a b (
19、mod Q Q),可按等式计算可按等式计算商环商环: : D/Q Q =同余类集合同余类集合 a=a+ Q,Q,定义加定义加, ,减减, ,乘乘: :a b=a b, ab=ab. 向币种伞脾硼媳子颊拣卖孕舀借刨闸轰曰罩字螟苦支凑音呵荡剪钟黍贵满走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数7/28/2024 案例案例8. 8. Z Zn n - -单表密码单表密码Zn = =Z/nZ=r+nZ| r=0,1,n-1.加法密码加法密码: : Z26: f(x) = x+b. 仿射密码仿射密码: : f(x)=ax+b, a可逆可逆. 可逆元与反函数可逆元与反函数. .例例: :y=3x+5, 9 3=2
20、7=1, 9=3-1,x=9(y-5). 可逆条件可逆条件: (a,n)=1, 存在存在 au+nq=1, au=1, u=a-1. y=ax+b x=a-1(y-b) Zn中可逆元组成乘法群中可逆元组成乘法群 Zn*范谐仓哎郡秀抉锻秽怠眉恨您趾啄威晰膛畔绦顺与弛莱汪声辣汪职双擎秉走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数7/28/2024 案例案例9.9.p元域元域Zp上可逆阵上可逆阵素数素数p: Zp* = Zp 0. Zp 是域是域. Zp 上的上的n阶可逆方阵个数阶可逆方阵个数|GL(n,p)|=(pn-1)(pn-pk)(pn-pn-1)随机整数随机整数n阶行列式模阶行列式模p余余r概率概
21、率r=0: P0=1-|GL(n,p)|/pn2r 0, f:GL(n,p) Zp*, AdetA.案例分析案例分析正规子群正规子群,同态基本定理同态基本定理碘筋她插涂娘侦洽雏搬温挨盅袋萌经讹绵翻坠秀店胆践靠簧神归私也要航走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数7/28/2024 案例案例10.10. 极限与微分极限与微分博士生博士生 2010考题考题. 在一点在一点a连续的全体实函数构成环连续的全体实函数构成环CO(D Dx)(无穷小无穷小)与与o(D Dx)=O(D Dx)D Dx都是都是C的理想的理想.limxcf(x)=A f(x) A (mod O(D Dx)f(x) f(a)+f(a)
22、D Dx (mod o(D Dx)和差积商极限和差积商极限: f(x) A, g(x) B 加减乘除加减乘除幂的导数幂的导数: (x+D Dx)n xn+nxn-1D Dx (xn)=nxn-1积的导数积的导数: f(x)g(x) f(a)g(a)+(f(a)g(a)+g(a)f(a)D Dx商的导数商的导数:歌莎齐歉侩讹溯拙曹踪近绩核盏滩驼娥旨盟没东到胁水骤武酱扛轮荧夷懦走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数7/28/2024案例案例11.11.分数化小数分数化小数- - 循环节长度循环节长度数学聊斋数学聊斋: : 商家打折商家打折: 1428元元?a=1/7=0.142857循环节循环节D=
23、106a-a= 142857=(106-1)/7. q/p=a的循环节的循环节 D=(10d-1)q/p=整数整数. 最小的最小的d使使 10dq q(mod p)当当 p是素数是素数( 2,5), 10d 1(mod p)D是是 10在乘法群在乘法群 Zp*中的阶中的阶,整除整除 p-1混循环混循环: (10d-1)10kq 0(mod p).帜湿槛轩揍咬阜芋繁钱爹每茹尊弘冷嘛谚赖忍穆瞒庄剖俐邹莫盯永内憎什走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数7/28/2024 案例分析案例分析乘法群元素的阶乘法群元素的阶例例:q/7. 10k (k=1,2,)模模7余余3,2,6,4,5,1，d=6.循环节
24、循环节D=q(106-1)/7=142857q. 1/7=a=142857 对对k=1,2,5, 10ka-qk=(10k-7qk)/7=rk/7。将将D前前k位移到末尾位移到末尾,得到得到D的的rk(=3,2,6,4,5)倍。倍。推广：推广：1/a的循环节轮换排列都得到的循环节轮换排列都得到D的的rk倍。倍。仅当仅当d=n-1时得到所有各倍时得到所有各倍循环群的生成元循环群的生成元另例另例:1/17=0.0588235294117647。1/19=更多性质：更多性质：142+857=999，14+28+57=99。谓先铬架史倦奥贫靶明慧乓虫亮蝇扫刻赔哼七伞芯骏镊毫咖棺茂喂酵曼驮走下神坛的抽象
25、代数走下神坛的抽象代数7/28/2024案例案例1212. . 复数的代数模型复数的代数模型域扩张域扩张群吭叙至枕汉卸丹感秤椭秧啄政僵粪汉态甥雌骏凳汲接醇蝴掖肖磷迫渣梆走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数7/28/2024案例案例1212. . 复数的代数模型复数的代数模型域扩张域扩张环同态基本定理环同态基本定理已经找到矩阵已经找到矩阵J满足满足J2+I=0。环同态环同态 f f:RxRJ, f(x)f(J). Kerf f = f f-1(0) = (x2+1).每个每个 aI+bJa+bx=a+bx+q(x)(x2+1)|q(x) Rx商环商环 C = Rx/ ( (x2+1) =a+bx
26、|a,b R0=x2+1=x2+1 x2 = -1。a+bx 0 与与x2+1互素互素,在在C中可逆中可逆.C 是域是域.记记1=1,x=i, 则则 i2 = -1. C=a1+bi | a,b R =复数域。复数域。直接为直接为x2+1造根造根: 不需先猜不需先猜J2+I=0。在在Rx中强制规定中强制规定“假零集合假零集合”Q Q = 0= x2+1.则则 Q Q = (x2+1)由由 x2+1 的所有倍式组成的所有倍式组成. C=Rx/ (x2+1)线性变换线性变换: a+bxxa+bx在基在基1,x下的矩阵下的矩阵 满足条件满足条件 J2 = -I.千遁府舞赡刨视密摔蛊萧暑乘蝉瞎比梆潘诀
27、悄槛淫铜固氮媳皮层览崎瞅置走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数7/28/2024 推广推广. . 域的代数扩张域的代数扩张无中生有无中生有: 为域为域F上多项式上多项式f(x)造根。造根。强制规定强制规定f(x)=0: 在在Fx中生成理想中生成理想 (f(x). 同余类环同余类环 E=Fx/(f(x)中中f(x)=0, x是根是根. f(x) 在在 Fx 中不可约中不可约: E 是是F的代数扩域的代数扩域.设设d=deg f(x), 则则 E 是是 F 上上 d 维空间维空间,E:F=d.造矩阵根造矩阵根: : F上线性变换上线性变换g(x)xg(x) 在基在基1,x, , xd-1 下的矩阵
28、下的矩阵J是是f(x)的根。的根。f(x)可约可约: 不可约因子不可约因子h(x)在扩域在扩域E=Rx/(h(x)中有根中有根,也是也是f(x)的根。的根。同构同构: : h(x)在扩域在扩域M/F中有根中有根w,则则s s:EM, g(x)g(w)为域同构为域同构. 自同构：自同构：s s Gal(E/F) g(w)g(u), w与与u为为h(x)的的任意两个根。任意两个根。蓉坝模抗棱夺僚年财鹰逊啸锣甩泪闷被唁缝癌誉瓢铂去查狙雏澳消仇嚼雁走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数7/28/2024 案例案例13.13.m m序列序列有限域的扩张有限域的扩张Z2 上线性移位寄存器序列上线性移位寄存器
29、序列u1,u2,um,满足条件满足条件 uk+n=c1uk+n-1+cnuk .m m序列序列: : 选选c1,c2,cn达到最大周期达到最大周期 N=2n-1.(uk+1,uk+n) = (uk,uk+n-1)A 状态转移矩阵状态转移矩阵 A = A的最小多项式的最小多项式 m(x) = xn-c1xn-1-cn-1x-cn.(uk+1,uk+n)=(u1,un)Ak 取遍非零状态取遍非零状态. 如果如果B=f(A)= a1An-1+an-1A+anI不可逆，不可逆，必孙算眼点碌瑶酣坞蝴溃跟裸仰颇岭蛆旱鸟鹿辕擒桶捞混溅粗息垮奎银辫走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数7/28/2024如果如果
30、B=f(A)= a1An-1+an-1A+anI不可逆不可逆,则有则有Uk+1= (uk+1,uk+n) 0使使Uk+1B=00=Uk+1BAm=Uk+1AmB=Uk+1+mB, 对所有对所有m.Uk+1+m包括包括Z2上所有的非零上所有的非零n维行向量维行向量.这迫使这迫使 B = 0. 说明说明 Z2A中非零元都可逆。中非零元都可逆。Z2x/(m(x) Z2A是域是域, 包含元素包含元素2n个。个。反过来反过来,找找2n元有限域元有限域,其乘法群的生成元的最小多其乘法群的生成元的最小多项式项式m(x)=xn-b1xn-1-bn-1x-bn.取取(c1,c2,cn)=(b1,b2,bn)即得
31、即得m序列。序列。案例分析案例分析: : (1) q元有限域存在元有限域存在q 是素数幂是素数幂pn 。(2) 有限域的乘法群是循环群。有限域的乘法群是循环群。搪迪纸拐妥遏杨屉仅违报蔚刷苯袖嚷攒惭积平摹驰卫是善兹婿架区轩葫汀走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数7/28/2024 更多案例数学聊斋数学聊斋:指路为马之幼儿版指路为马之幼儿版-构造构造纠错码纠错码-二元域上的线性方程组二元域上的线性方程组正正17边形作图边形作图-Galois理论理论实数域的代数扩张实数域的代数扩张- 代数基本定理代数基本定理2次、次、3次、次、4次方程的求根公式次方程的求根公式n次方程的求根公式。次方程的求根公式。
32、活涨甸贞周技捞砌脐奴戊秦割烂汹扎饿墓漱丙镇族疑眯情祁幅肝孤房咀至走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数 教学录象教学录象 1. http:/ 教育部教育部 2006 2006线性代数线性代数 2.2.http:/ 精品课程精品课程 高等数学高等数学教学录像教学录像 数学大观数学大观教学录像教学录像1-9(1-9(共共9 9小时小时) ) 3. http:/3. http:/ 李尚志李尚志: :教育人生教育人生, ,线性代数线性代数, , 教学成果奖申请视频材料教学成果奖申请视频材料阻撞纬穆就扭篆亮拒嗜童毗记月汾弊酣甥咎墒榆沉亢商盟擒焕侯糊衣划舵走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数 博博 客客 高教社高教社 http:/ 李尚志李尚志 北航数学与系统科学学院北航数学与系统科学学院 http:/ 教师博客教师博客 回忆录回忆录: : 比梦更美好比梦更美好, , 名师培养了我名师培养了我, , 数学家的文学故事数学家的文学故事 数学文学数学文学: : 数学聊斋数学聊斋, , 数学诗选数学诗选龙析梦尊状弄渤圈翁渝逼圾许四腔舵侣陨面筑箩搔斜围卷穷菏摔曙赤馅笺走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数 谢谢谢谢 ！ 碴赦槐疲敏毫畏递槽伴死芒鼠限苫格岿祝脓喜赫寄妨磺烫缺纫板架鼻旷康走下神坛的抽象代数走下神坛的抽象代数
