第章差分方程

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1、什么是时间序列？时间序列的研究内容和方法模型？时间序列分析的应用？序 言髓押城嘉聚外鉴诗历位鹿舟直杆清葫笔鞭菜愉帛盾沽照作瞩订肥洗荐否攒第章差分方程第章差分方程第 1 章 差分方程1.1 时间序列模型I.一般原理：时间序列通常可以分解为趋势性、季节性、循环或周期性、和无规律性这四项。前三项具有可预测性，第四项对前三项有干扰性。如果其干扰或波动大小可以被估计，那么，时间序列的预测是可以进行的。II. 例例（图1.1）：50个时间序列观测数据的分解和预测（选自Walter Enders的书“Applied Econometric Time Series”）娟蜀英柄肠妇蠢扣惯纶蚊销嘿荫饵糯貉禾栓墅浴

2、歇殷剿朽室考摇般冉恫汐第章差分方程第章差分方程泞藏谗瞻靶髓培衬呵蓖肌喧珊慢侣墟搞邱墟旷托聂全驴确辩悼幸釜蛛满宿第章差分方程第章差分方程该例子的数学模型：趋势项方程周期性方程无规律性方程其中，Tt 为 t 期的趋势性成分； St 为 t 期的周期性成分； It 为 t 期的无规律性成分； et 为 t 期的纯随机扰动项。 t 期总的时间序列：塌骑炊埔碑挽螟接协径姬求驭射县领序忿欺概搜獭恰焙稳卓翘杰距榨秋褪第章差分方程第章差分方程III.差分方程所谓差分方程，是将变量表示为该变量滞后值、时间和其它变量的函数，它可以表示为按照这个定义，前面例子的三个成分方程都是差分方程。但真正理解差分方程的这个定义

3、依赖于两条：1、差分的定义或含义；2、方程的定义及含义。这两条将在1.2节的I和II中解释。IV.三个差分方程或时间序列的例子跳棕歪妆渣齐阶货澳帜醛嘎恼俭吮叙匣贿扒纽领临杂婚浚贝衣眼誊幢开面第章差分方程第章差分方程1.随机游走（或游动）或例例：股价模型。 yt 为股价，et +1的期望值为0。 即在知道第 t 期股价 yt 情况下，第 t +1期股价 yt+1 的期望值就等于yt ，即更广泛的随机差分方程这表示市场的变化是均衡的。垛唉慧于仰侦授笼阂绵地灼拎峙济柿坚链哦描登葵沥知番则软亲特熔饰继第章差分方程第章差分方程2.结构方程和诱导方程将差分方程拆分成独立的单方程模型是很有用的。例例：随机形

4、式的萨缪尔森（1939）经典模型：其中，yt , ct和 it分别表示 t 期的实际GDP, 消费和投资。 ect , eit 分别是消费和投资的随机干扰项，均值都为零。a, b 为待估参数。第三个方程表示加速原理，即在消费增长必定带来新的投资支出前提下，投资支出等于消费变动的一定倍数。这是一个结构方程结构方程，因为它表明了两个当期内生变量it和ct之间满足某个约束条件或系统结构。（1.1）（1.2）（1.3）关命斗楼卞腻涪着甜覆蚂拖绸鸣闰尺戴惋琵争蜀羊或锯浅灶含浊隐泳我帘第章差分方程第章差分方程诱导方程诱导方程是将当期变量值表示成该变量滞后值、其它内生变量的滞后值、外生变量的当期值和过去值、

5、以及扰动项的函数。式（1.2）或消费是一个诱导方程，但式（1.3）或投资还不是诱导方程。为了得到投资的诱导方程，将式（1.2）代入（1.3）得到诱导方程并不唯一。例如投资的诱导方程进一步可以写为将式（1.2）和（1.4）代入（1.1）得到GDP的诱导方程（1.4）（1.5）神冉话义院炮最返年角只奎约籽弛翻擂故功郎讲印桥笼朽宣罚嘎螺傀防山第章差分方程第章差分方程3.误差纠正：远期和即期价格在即期市场可以买卖一定的商品和金融产品进行即期交割，或在规定的未来某一日期完成交割。例例：外汇（或期货）设某外汇的即期（或卖出）价格为 st 美元，未来一期的远期交割（或买入）价格为 ft 美元。假设一投机者以

6、每单位 ft 美元的价格购买该远期外汇，即在 t 期，该投机者获得外汇，并按每单位 ft 美元进行支付。于是，每交易单位在t+1期的盈利（或亏损）为 st+1ft 。无偏远期利率假设认为投机行为的期望收益为零，即成立当该假设不成立，即 st+1与 ft 不一致时，后期就会进行某种调整以恢复均衡。考虑调整过程的误差纠正误差纠正模型：撑房设质亏抽磕恳瑶腿系峙馏仲饲哈咆沾番渐棠枪帐专厚党谴鸟领予厦吸第章差分方程第章差分方程即变量在任何一期的变动都和变量前一期值与长期均衡的离差有关。当即期汇率st+1与远期汇率ft相等时， 则即期汇率和远期汇率就倾向于保持不变。当即期汇率st+1大于远期汇率ft时，

7、则即期汇率将会下降，远期汇率将会上升；当即期汇率st+1小于远期汇率ft时， 则远期汇率将会下降，即期汇率将会上升。拴闺卤藉赦倘赦漫郁筋氦苛厂吓棺豪熔丘覆嫂娜捧猫稿锦音冰梯唆棠窥忙第章差分方程第章差分方程1.2 差分方程及解法I.差分的定义函数 y = f (t)在变量 t 的特定值 t* 处变化 h时的一阶差分定义为将单位标准化，以 h代表时期 t 处的一个单位变化，即h=1，并考虑自变量均匀分布的序列。不失一般性，去掉 t* 上的星号，则得到一阶差分同样，可从一阶差分的变化中得到二阶差分僚孝蹿香焊拣孟隐靴崩棠监赠悼酶苏晕陋捍儒疮呻闰荡变帕园溅钞床滤耿第章差分方程第章差分方程类似地，可以定义

8、 n 阶差分 。记号：为了方便，通常将整个序列 表示成 。盆浴扮蛙两刚脱饱嚣婚搪社等碍慈恨遮跪债坊尊于贞贾肠恳短汲窗屹唾牛第章差分方程第章差分方程II.差分方程的形式 考虑 n 阶常系数线性差分方程，其一般形式可以表示为其中，xt 项称为推动过程推动过程，其形式非常广泛，可以是时间、其它变量的当期值或滞后值，和（或）随机干扰项的任一函数。 的一个重要特例是其中，bt 为常数（某些可取零），序列 et 不是 yt 的函数。于是，可以认为 只不过是一个未取定外生变量的序列。（1.10）闭森翰摧巍享拢忻词饱辨猛讥烷蛔婆掘婆恫荐昼委讼桐鞠眉莆准帛卸量静第章差分方程第章差分方程式（1.10）可以写为差分

9、算子形式（）。由（1.10）得令 ，则得到自回归方程令 ，则得到随机游走模型令 ，则得到（1.11）式（1.11）与通过给定导数求原函数的形式有类似之处。屡霖氯各惮郴至享嫁离彻洋夜件鲸论控思杯渗恢瞪夸戒劲躁灾闯浦滩吹僻第章差分方程第章差分方程进一步，式（1.11）又可以写成易知，式（1.10）可以写成关于的一个方程，其中 项的系数都为1。因此，差分方程是时间序列的一种数学结构和表示，是研因此，差分方程是时间序列的一种数学结构和表示，是研究时间序列的一个重要方法。究时间序列的一个重要方法。侍幽市伪拔男雌茂在闪夺填眯臀朗学皑哮宣豺瑰稳藏帛持合堑喳通盈位沃第章差分方程第章差分方程III.差分方程的解

10、差分方程的解是将未知项 yt 表示为序列 中的元素和t （也可以和序列 的一些给定值，即初始条件初始条件）的一个已知函数，使得代入到差分方程之中，满足方程式。例例1： 或 易知， 是该差分方程的解。这里，c为任意常数。因此，其解有很多或不唯一。例例2：考虑无规律性方程 的解。则可以验证，该一阶差分方程的解为这个解实际上可以从诱导方程的迭代推导出来（略）。注意诱导方程和解的区别。适膜仍禁砰瓷约熙磷筐防藐讽锋出雏殖乌长庞附枕刺彼件筒喻靠珍异沮虞第章差分方程第章差分方程1.3 差分方程及解法通过对y的诱导方程进行迭代，有可能得到整个y序列的解。I.初始条件已知的迭代考虑初始条件 y0已知的一阶差分方

11、程a. 向前迭代（1.17）虱洛寞信瘪闰苦输五括扶偿兴誓跺囤两谍捉瞻防担灰蘸伯避缝妈睬鸳萌妇第章差分方程第章差分方程（1.18）恕哩裴趟细羽膝位钠剑擞淋雅载礼碎搭郊绸兔霖养在注瘦譬吵僧琼汞维冰第章差分方程第章差分方程b. 向后迭代也得到与式（1.18）相同的结果。片旺烫皋竖仟滔谭丽砧回树烦坦勺冉捧娟樱疾瘤廉纫俩楚勿坊升另涡矽暴第章差分方程第章差分方程II.初始条件未知的迭代初始条件 y0未知时，式（1.18）也未知，即不是一阶差分方程（1.17）的解。对式（1.18）继续向后迭代，得到（1.20）交祈跌灸孺寂兑监污盾验锤耗溅红列永峡舟职赡固指绪抹铜纹鹤毒喷墙挫第章差分方程第章差分方程若 ，则当

12、 时，得到一阶差分方程（1.17）的一个解（1.21）而且，容易验证，对于任意常数 A，（1.22）也是一阶差分方程（1.17）的解。 注注：解（1.21）或（1.22）的收敛性意味着序列et的过去 值对yt的当期值的影响越来越小。柬念妄汰省咨泡虎迫撇步臀车缔炒评荷懂威费举妈理惨坝凡枉汀尝窝学菜第章差分方程第章差分方程IV.非收敛序列（或收敛性）当 ，式（1.20）收敛到解（1.21）。当 ，式（1.20）不收敛或发散，但只要给出初始条件 y0，则可使用解（1.18）。当 ，一阶差分方程（1.17）可写为使用迭代法，可得到当初始条件 y0 给定时，（1.26）是（1.17*）的一个解。若没有初

13、始条件，式（1.26）可能是不收敛或发散的， 又未知，因此不是一个解。（1.17*）（1.26）赁珐卯褐工兴悬彻钝捎澳橇睡插灌私牛肩塞斌痕浙醇帆瘴降裂璃拆览吃秸第章差分方程第章差分方程收敛性图示右图为一个计算机随机模拟的解（1.18）的表现性质。其中，细线为解的序列，实线为解的确定性部分的序列。狙造世纱晴浩馏古助乡继遥歉碎柒襄慌咀磕临旬舍梗杀娶经巫辊鼠溉沈术第章差分方程第章差分方程1.4 备选解法对于一般的差分方程（1.10）I.齐次方程差分方程（1.10）中常数项a0和推动过程项xt都不出现时，就得到了齐次（差分）方程齐次方程（1.30）解的一个性质是：若 为（1.30）的解，则对于任意常数

14、 A， 也是（1.30）的解。当阶数n较高时，迭代法就显得非常复杂和困难，此时可使用其它的备选解法。（1.10）（1.30）衷搐呸柏牟员驯现妊队竭咒短孕罚贮缅外载生瓣日师参耻鞋太萍瞧缨托牢第章差分方程第章差分方程II.一阶差分方程的备选解法考虑一般的一阶差分方程则得到一阶齐次方程（1.27）显然，恒零序列 是齐次方程（1.27）的一个解。另外，当初始条件 y0已知且非零时， 也是它的一个解。两者都包含在（1.27）的齐次通解之中， A为任意常数（此时，上式右端y0可以省略）。（1.10*）若 为（1.10*）的一个特解，则（1.10*）的通解为参数 A对应于非零的初始条件y0，即 。郭霜漏盛业

15、旁鼻博朗烙葛耗渡匆套感井藉菌炳诅合洽拱届始瞅号示闸赚技第章差分方程第章差分方程III.一般差分方程的解法对于一般差分方程（1.10），其求解方法通常为第1步：建立齐次方程（1.30），求出它的n个齐次解第2步：求出（1.10）的一个特解 ；第3步：通解为所有齐次解的线性组合与特解之和，即第4步：将初始条件代入通解中，确定线性组合的系数。驻扶部趟廊粕情挟氟孵憎老愈拨啊榜满糜牙尝车舆碱硝撵眩杖卡柔爆贿疗第章差分方程第章差分方程1.6 解齐次差分方程I.解一阶齐次差分方程在第4节“备选解法”里已经介绍了一阶齐次差分方程解的形式为（1.27）其中，A为任意常数。一般的 n 阶（线性）差分方程为（1.1

16、0）库周还拣野嗅辩乏动诺服驭迫辕见腿贤痕野雀谬蛾氢斌狞脂吹钙霄豺疆捧第章差分方程第章差分方程II.解二阶齐次差分方程考虑一般的二阶齐次方程a 待定，A为任意常数。把它代入到（1.45），得到（1.45）的解。猜想其齐次解也如一阶一样有相同的形式消去 A和 a t-2之后，得到关于 a 的一元二次方程（1.46）(1.47)又称它为特征方程，特征方程，其解称为特征根特征根。燎哉谜服沤坛熏买郡世棕徽候漾崇月凉静贤岿淆祈模七鲁媒么禹戳稼头与第章差分方程第章差分方程运用一元二次的求根公式，得个两个特征根为(1.48)其中，为判别式。于是，都是（1.45）的解，其中A1和 A2为任意常数，且它们之和也是

17、（1.45）的解，即为二阶差分方程的齐次解。但是，解的性质则取决于这两个特征根 a1, a2和判别式 d。(1.48*)棵沃魏初射脾蔽捕话悯嘿叶驹呈蛾赣酬廉湖硬簇书属污花颊威烹糜付奋婉第章差分方程第章差分方程情形情形1：判别式此时，a1和a2为两个不同的实数特征根。当a1或a2的绝对值大于1时，则二阶差分方程的齐次解(1.48*) 就趋于发散。例例1：则齐次解为其解的轨迹如右图所示，随着时间t增大，它趋于零。蘑展馋纸痪相诈俏咸订螺溪管慑限巴异狠窒婆储皇夫哑皱龄幂框癸叭悍嫩第章差分方程第章差分方程则齐次解为其解的轨迹如右图所示，随着时间t增大，它发散。例2：季挟样幕予咨韭幽戏围富壮榔垃卯打棉刁便

18、脾赴唁束捏蛰散率溃节蜕牌戌第章差分方程第章差分方程情形情形2：判别式此时，a1和a2为两个重根，即其中，A1和A2为任意常数。显然，当 |a1|2时，解就发散；当 |a1| 2时，解就收敛。除了 是一个解之外，可以验证 是另一个解。于是，得到了齐次解色帚耿建淑谣潞磐佑凤墨喀躬粕之渺鲸吃阻肾颊戒敲铅补琵更褂条卢脉匆第章差分方程第章差分方程害嗣贰锚踊批梧敏男锯刃饶言效窖屡另卵蚀姚紊橱良违林塞徘早戮泡啡蚊第章差分方程第章差分方程情形情形3：判别式此时 ，a1和a2为两个共轭的虚数特征根，即这里， 。则注意齐次解的表达式为(1.48*)令 ，选择 ，使得满足由de Moivre定理知因 是实数， 是复

19、数，所以 必为复数，假设旬涅耕妇山毡泪赵伍砷韵绚愉裁实伊叔辰项烟炯挤面疥君仪淆吕煌毕责扇第章差分方程第章差分方程霖泥擒晰詹累顿漂净邹咎柒荤熬侠菩肾恤罐锋各仑祁垛贼帝寅阐绊里伤囤第章差分方程第章差分方程其中， 均为任意实数。于是，可以计算出从齐次解的表达式(1.48*) ，可得由于 是任意常数，所以可以将齐次解写成其中， 均为任意实数。（1.49）三角函数表达式说明了齐次解（1.49）在时间路径上像波浪一样，其波动频率取决于 的大小。 而解的稳定性则由 的值是否小于 1 或 是否大于 1 所决定。撒赘线凿掣律作邓墙旷给梳佯胰毫磋务洲氧怨智刨幂芝塌豪埠酷杭六闲络第章差分方程第章差分方程例例：其判别

20、式所以，其齐次解为其中， 均为任意实数。于是，对于二阶差分方程 可得齐次解（1.49）当 ，即 ，则波动的增幅不变；当 ，即 ，则波动呈递减趋势；当 ，即 ，则波动呈发散趋势；由于 ，所以点十巴柔凯侦骏赋宇徒抽宋禄吭命绿株麻诸贝局狰劫坏扯阐委誓安虽偿盖第章差分方程第章差分方程取的齐次解的齐次解随着 的值增大，波动的频率加快。释掩巧功嫌找谚凋妆赂孕屉胆侮犊唇疽候梧绒住返脯鸥表王躯茂违眯耸蕴第章差分方程第章差分方程III.稳定性条件及其图示情形情形2的稳定性条件的稳定性条件为弧线 AOB，即情形情形1的的稳定性条件稳定性条件在AOB的上面，即它等价于且情形情形3的稳定性条件的稳定性条件在AOB的下

21、面，即 ，且，且即 等号成立等价于1是一个特征根或常数解 的情形。垒方没淳祈忽轿恰判屠堑唐鲍斥帆终翠姓辗舞饲介特鸭挛直苏页贞耗非词第章差分方程第章差分方程IV.高阶方程假设每一个齐次解具有形式 ，其中A为任意常数。代入（1.55），得到（1.56）考虑 n 阶齐次方程（1.55）两边除以 ，得到特征方程（1.57） n 阶多项式有n个根，记这n个特征根分别为 。 可以为实数或复数。复数根则成对出现，相互共轭。稳定性条件要求除了为1的单特征根（对应常数解），其它特征根的绝对值都小于1或在单位园之内；否则解将发散。砚汹盛步威刹愈耸混广奠矣掩砂峙苹货铡洗人肋菱脏箭筹衬非激押桅眶搅第章差分方程第章差分

22、方程a.所有特征根都是相异实根，此时，解的表达式为其中， 为任意常数。给定n个初始条件，则可以确定它们的具体取值。（1.57*）齐次解的表达式b.所有特征根都是实根，但有 个重根。不妨设其中， 为任意常数。特别地， 或 。假设互不相同的特征根有s个，则齐次方程的通解就等于这 s 个不同特征根所产生的解之和，其中含有n个参数。给定n个初始条件，就可以确定这 n个参数的具体取值。于是，这m个重根所产生的解可以写为缆育搬狮逢煌景缺驾抄汲大囚堆琳灿僵恢侠制盯菲搭肃寿捂谐倍海慨寞绍第章差分方程第章差分方程c.一些特征根为复根，此时它们共轭出现，记一对共轭根为其中， 为任意常数。转换为极坐标，则可以写成于

23、是，齐次差分方程的通解就等于所有不同实或复特征根所产生的解之和；其中含有n个参数。给定n个初始条件，就可以确定这 n个参数的具体取值。，则由这对共轭根所产生的解为其中， 为任意常数。惕岛鹰奎肃旨扳伍肝茵芯彤拨艰疹英空嗣饲匈戈箔圭冈痕栅魂亚炳割蛙彬第章差分方程第章差分方程a.所有特征根都位于单位圆内的必要条件为稳定性判别条件b.所有特征根都位于单位圆内的充分条件为c.若 ，则至少有一个特征根等于1。包含一个或多个等于1的特征根序列称为单位根序列单位根序列。此时，n 阶差分方程（1.10）的解可能发散或不稳定。d.对于三阶方程，稳定性条件可以写为后两个式子中的任何一个可由其它四个式子导出。由特征方

24、程，可得喧允芭畴斯散嘿越谚每语拓秃解更抑尾交验鹏女荆奠渡出作点做缚替迸倾第章差分方程第章差分方程1.7* 求确定性过程的特解I.情形1： xt = 0此时，差分方程的形式为令解的形式为常数，即（1.58）代入到（1.58）之中，得到寻找特解需要技巧，跟推动过程xt的具体形式有关。本节介绍推动过程xt为确定性项的求特解方法。所以（1.59）只要，则得到（1.58）一个特解咖骇很娄官湘勉柳歹燃尊隶该惭搽寻妻扫浓端流驮崭醚谊犬渭绦纱姻弃兹第章差分方程第章差分方程如果，则yt是一个单位根序列，其齐次解已包含常数解，此时，除非a0= 0；否则常数解就无效，而应该考虑线性特解 ，于是，线性解将出现在单位根

25、过程中。把 代入到（1.58）之中，得到注意到，所以若，则继续尝试使用作为解。对于n阶方程，这些解中总会有一个会是特解。乌凤裁郡桶姚刁贷釉苫垛抗窄晾腹游战暇草列雷磊赁捐初阿间骇滚赠榨形第章差分方程第章差分方程I.情形2：此时，差分方程的形式为考虑一阶方程（1.58*）令解的形式为其中，（1. 60）把上式代入（1.60），得为使得两边对应相等，取因此，特解就为幻叼踌臃喘迂婚泻梧箍柜洞卞嘲托锹西建难思瓣圆燕纤耻豆邢股辐忻体觅第章差分方程第章差分方程如果 当，尝试使用为使得两边对应相等，取因此，特解就为则可以运用情形1中的技巧。把它代入（1.60），得作为解。当，该特解将收敛于 。埔衙羚喂柞继正韭

26、哲搏娇乒缩邑叹腔痪删仪傲遇厚逢玫扑扩逝憾种嗽野培第章差分方程第章差分方程 当，尝试使用为使得两边对应相等，取因此，特解就为把它代入（1.60），得作为解。兢奋睛挠儒谷层臭肋惫酉若逼净烫落咀茂锐倚蒸馒娥豆渺荡导象兰躯痰邪第章差分方程第章差分方程 当式（1.60）化为为使得两边对应相等，取因此，特解就为把它代入（1.60），得此时 。 对于高阶方程，同样可以使用这类方法。 此时(a1=1)，高阶方程就等价于推动过程 xt=0，常数项为 a0+b，其求解即化为情形1。则尝试使用貉参各徽幸饥贬痛俯削脊千馅途霍袖步受镶敝淖磊族唁拍挖刘选政粟伏祸第章差分方程第章差分方程I.情形3：此时，差分方程的形式为其

27、特解形式一般为（1. 62）把它解的形式 代入上式，得到其中， 为待定常数。考虑 d =1 时的二阶方程为使得两边对应相等，可解得（1. 62*）特斟矮烈倍梨腰常微熙冻槐逻穗吧坑枷优鞋松值瞥锚尔愚野改我奸好儡内第章差分方程第章差分方程代入式（1.62*)，得到为使得两边对应相等，可解得若，则令解的形式为即羊亮炽杠祭争嫂寺腻勇谴进兔偿依熬塌聚隧硬恋羊令哟出意桶避畔蠕砂淆第章差分方程第章差分方程1.8* 求随机性过程的待定系数法简单情形 I：考虑只带一个随机项的一阶差分方程（1.64）这一节介绍推动过程为随机性项的求特解的待定系数法。因这种待定系数法可能无解，所以称它为挑战解挑战解。令挑战解为其中

28、，（1.17）将式（1.64）代入到式（1.17），得到杰贯挺蒜雁悦就镊皿柱镁朴凿潮钒苹硫烹谴陇拱绚惯害邹圭革蘑层微中冕第章差分方程第章差分方程合并同类项，得到（1.65）式（1.65）对 t 的所有值和序列 的所有可能值都成立。因此，必须满足求解过程可以分为独立的两组来求解，即后两个方程可以解出b0和b1，余下前面的方程组可以解出a0, a1, a2, ，即弟障珍胶厉叹靡桓粒沸侦操疽舔了插拾于烷祷钧郊闯旁姥迄件土瓶登资漾第章差分方程第章差分方程由前面的方程组可解得第二组方程的求解可分两种情况。当|a1|1时，此时特解为这个结果与用迭代法求得的式（1.21）的结果完全相同。引删舌泥怎尔玛冒装流

29、蝇类涝鼻射惑蹬镰频枣尊鼻殃与妖理宾冲汽冤色辈第章差分方程第章差分方程此时特解为这个解的形式是不规则的，即求和有可能发散。施加初始条件则得到解因齐次解为 ，所以，当|a1|1时，就得到通解给定一个初始条件，就可以确定常数A的值。这个结果与用迭代法求得的式（1.26）的结果完全相同。群薛搅辱恒札场衍矢戚煌业笺曝碱呆佯兄疹挛哭趴砖芍岛疗徘迎磊洼息了第章差分方程第章差分方程简单情形 II：考虑带二个随机项的一阶差分方程令挑战解仍为（1.67）代入到式（1.67），得到因此（1.64）扦捣饭孙熄很沼沟病楼裤绞者独稠搪俯铁制掘秦人岛阁恳情破掺酸挥绰锡第章差分方程第章差分方程另外，比较常数项和截距项的系数，

30、可得其求解仍要可分两种情况：，此时当|a1|1时，特解为加上齐次解之后可得通解（略）。此时特解为这个解的形式是不规则的，即求和有可能发散。施加初始条件（与前一节同理）后可得到决鲤谢恨韶蚂呆监禄衷锅享憋夯达畏眼扯崖博击迭展想口岔赖褪蹿旋包澎第章差分方程第章差分方程高阶方程考虑带一个随机项的二阶差分方程令挑战解仍为（1.68）代入到式（1.68），得到对两边对应项分别施加相等，得到(B)械治效血格壕蓄谊蓖酉晰眼逸捶譬簿靠靛患准宵仍质苫停赵偿斌苛劝肇骗第章差分方程第章差分方程当 时，系数 的解满足二阶差分方程(C)(C*)满足初始条件解得其中方程（C*）的收敛性条件与式（1.68）的齐次方程的收敛性

31、条件完全相同，都取决于系数a1和a2。销胀谁苗米屉郊噬梆靡堆估缓靳隧境劳巍陌融疟蚕焦弄瞬丢常趾藤菲险侧第章差分方程第章差分方程再来考察式（B）中参数b0, b1, b2的求解，分两种情况： ，则由式（B）可知又可以分为两种情况：i) 。则解为 ，则式（B）等价于ii) a2 = -1, a1=2。则解为注注1：由前面讨论（或参见图1.5）可知，收敛性条件为注注2：挑战解也是由确定性部分和随机性部分所组成，它们实际上是独立进行的，可以分别来确定。秆掘胚燥贵作骆祝透合使撑南祸壮旋雌豁愚疲嚎业炳旋劝试甲苞俐兢竣窑第章差分方程第章差分方程例：使用求确定性部分和随机性部分分别进行的方法。容易求出确定性部

32、分的通解为其随机性部分的挑战解假设为则由前面讨论可知，其系数 满足二阶差分方程解得于是，得到整个解为若给定初始条y1和y2，则还可以确定A1和A2的取值。病姚卤胆硕箍矿叫式豁藕艘靠旷灰煞嘛钉佃纳弊舀踞圃蜀鲸苔藐搅水细袭第章差分方程第章差分方程1.9 滞后算子定义：滞后算子滞后算子L为理论上运用滞后算子，表达上比待定系数灵活方便。则可以得到如下一些性质和表达式：（1.77）1.常数的滞后算子为常数：2.分配律也适用于滞后算子，即3.结合律也适用于滞后算子，即4. L取负次方时，实际上为超前算子超前算子，即驱艺探况向消蕾夺勿股墩徘矫剃衬申箱妹小新盟火阂垮服盔懊驻绿嘎琴亚第章差分方程第章差分方程5.

33、当 时，则6.当 时，则7.利用滞后算子，可将p阶差分方程表示为记做其中 称为反比特征方程反比特征方程。它的特征根是特征方程的特征根的倒数。所以，许多文献称稳定性条件为特征根大于1，指的就是这个方程的特征根。浮丰挫溢濒咒亨殿作醛奏先退月贤误若珊解饶窜垣拦详寂沮租佬歌辙有终第章差分方程第章差分方程8. 差分方程可以表示为其中 用滞后算子解差分方程例例1：考虑一阶差分方程其中 。利用滞后算子L，式（1.17）可表示为（1.17）（1.78）于是，解得（1.79）掸疵彬媒径致羞拔谁鼻疮芋卢必忘泌肆卓肚退驭洪桅苏吞卒糜慢范喻恤婆第章差分方程第章差分方程因为 ，所以因为 ，所以联合上面两式和式（1. 7

34、9），得到式(1.17）的特解（1.21）兔颂肃焦孔磨荧慈廖鸭租淡印跌捻桑捏鼻径缨典觉鼻敞赐美惫傀乖漆徘拓第章差分方程第章差分方程例例2：考虑一阶差分方程其中 。利用滞后算子L，式（1.67）可表示为（1.67）于是（1.80）因此解得胀泞层背乳痘糠澄鸳啸技追氓奉食配珠种莹叭良秃倡叁漏翁氢狠没牛亩湃第章差分方程第章差分方程例例3：考虑一阶差分方程其中 。此时， 实际上发散。例1的方法失效。利用性质6，则故稼灰蕊才龋其睹敛局哩春慕操琵哟尉鞭玄跳螟来撤酬疮抢尹桩迹袋垄户第章差分方程第章差分方程例如二阶方程 高阶方程中的滞后算子n 阶差分方程可以表示为或可表示为们桓诵粕律诚述腹讣屡空疥紧疥隅锰闪踢诛弛前胰蚁们疡童碰所蚕针逢配第章差分方程第章差分方程注注1：差分方程算子表示的一般模型注注2：差分方程的解也可以表示为前向形式（如例3），但前向的未来值还未发生，不能被直接观察到，所以它只具有理论意义，实际意义不大。舟铱酚寂夫隙索燥丽栅熬斟书翘越另犬赂莎讣坡粥此寒签亢蜒梯爽嗜诊敏第章差分方程第章差分方程