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1、第四篇 平面向量 第第1节节 平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算基 础 梳 理 1向量的有关概念(1)定义既有 又有 的量叫做向量大小方向大小 方向 大小 零 1个单位 名称定义备注平行(共线)向量方向相同或 的非零向量0与任一向量平行(或共线)相等向量长度 且方向_的向量两个向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度 且方向_的向量0的相反向量为0相反相等相同相等相反3.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：ab_；结合律：(ab)c_减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差数乘求实数与向量a的积的运算|a|_.当0时，a的
2、方向与a的方向 ；当0时，a的方向与a的方向_；当0时，a0(a)_；()a_；(ab)_baa(bc)|a|相同相反()aaaab4.共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使得_.ba质疑探究：当ab，bc时，一定有ac吗？提示：不一定当b0时，有ac.当b0时，a，c可以是任意向量，不一定共线解析：由向量减法的三角形法则，易知选B.答案：B2如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量ab可表示为()A3e2e1 B2e14e2Ce13e2 D3e1e2解析：由题图可知a4e2，be1e2，则abe13e2.故选C.答案：C4设a，b是两个不共线的向量，且向量ab与2
3、ab共线，则_.考 点 突 破 平面向量的基本概念其中正确命题的序号是()ABC D正确，ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确当ab且|a|b|，不一定ab也可以是ab.故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.故选A. (1)准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法(2)几个重要结论向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量即时突破1 给出下列
4、命题：若两个单位向量的起点相同，则终点也相同若a与b同向，且|a|b|，则ab；，为实数，若ab，则a与b共线；0a0，其中错误命题的序号为_解析：不正确单位向量的起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上；不正确，两向量不能比较大小；不正确当0时，a与b可能不共线；正确答案：平面向量的线性运算 (1)向量线性运算的解题策略：常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解即时突破3 (2014太原模拟)已知向量a，b，c中任意两个
5、都不共线，并且ab与c共线，bc与a共线，那么abc等于()Aa BbCc D. 0解析：设abc，bca，则acca，所以(1)a(1)c，因为a，c不共线，所以1，所以abc0.故选D.概念理解不清致误典例下列四个命题：若|a|0，则a0；若|a|b|，则ab或ab；若ab，则a与b同向或反向；若a0，则a0.其中正确命题的序号为_正解：若|a|0，则a0，故错误；|a|b|只说明a与b的模相等，它们的方向不能确定，故错误；若ab且a，b为非零向量时，a与b的方向相同或相反，当其中一个向量为零向量时，另一个向量的方向任意故错误；正确所以正确命题的序号为.答案：易错提醒： (1)易忽略0与0的区别，把零向量0误写成0而致误(2)易将向量与数量混淆而致误，如|a|b|误推出ab等(3)忽视向量为零向量的特殊情况而致误
