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1、信号信号响应响应系统系统？信号与系统信号与系统 Signals and systems第三章第三章 连续时间信号的傅立叶分析连续时间信号的傅立叶分析Fourier analysis of continuous time signals信号信号响应响应系统系统？引言引言 时域分析的要点是，以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；LTI系统信号信号响应响应系统系统？f (t) ?nf (t)能否分解为其他简单信号的加权和?信号信号响应响应系统系统？傅立叶级数傅立叶级数傅立叶级数：傅立叶级数：将周期信号展成三角函数或指数函 数的形式。为何要这样展开？为何要这样展开？ 信号信号响应响
2、应系统系统？复指数信号通过复指数信号通过LTI系统系统特征值特征值特征函数特征函数常数常数= H (s) est3.1 LTI连续时间系统对复指数信号的响应连续时间系统对复指数信号的响应信号信号响应响应系统系统？复指数信号通过复指数信号通过LTI系统系统思考思考：如果信号能表示为 由系统的线性，“和的响应等于响应的和”，信号通过LTI系统的响应为 信号信号响应响应系统系统？3.2 连续时间周期信号的复指数分解连续时间周期信号的复指数分解傅立叶级数傅立叶级数n周期为 T 的连续时间周期信号 f (t) 可分解为复指数信号的线性组合信号 f (t)的基波角频率傅立叶级数表示傅立叶级数表示Fouri
3、er Series representation傅立叶级数系数傅立叶级数系数Fourier Series coefficient(3.2.1)(3.2.3)信号信号响应响应系统系统？傅氏级数的物理意义傅氏级数的物理意义n展开傅立叶级数直流分量 一次谐波二次谐波 k 次谐波 f (t) (3.2.4)(3.2.5)信号信号响应响应系统系统？ 傅氏级数傅氏级数 例题例题欧拉公式n例例3.2.1 已知连续时间信号 n 求其傅立叶级数表示式及傅氏系数 n解解： 信号信号响应响应系统系统？傅氏级数傅氏级数 例题例题例例3.2.2 连续时间周期脉冲信号 f (t)如图，求其傅立叶级 数表示式解：解： f
4、(t) 周期为T 基波角频率抽样函数信号信号响应响应系统系统？ 傅氏级数傅氏级数 例题例题(2)n取T = 8 T 1(3.2.9)信号信号响应响应系统系统？n为了能既方便又明白地表示一个信号中包为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量，各分量所占的比重怎含有哪些频率分量，各分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示方法。样，就采用了称为频谱图的表示方法。n如果以频率为横轴，以幅度或相位为纵轴，绘出ak及的变化关系，便可直观地看出各频率分量的相对大小和相位情况，这样的图就称为信号的幅度频谱和相位频谱。周期信号的频谱周期信号的频谱信号信号响应响应系统系统？ 傅氏级数傅氏级数 例题例
5、题(2)n取T = 4 T 1(3.2.9)信号信号响应响应系统系统？傅氏级数傅氏级数 例题例题n取T = 4 T 1n取T = 8 T 1信号信号响应响应系统系统？周期信号的频谱特点：周期信号的频谱特点： (1)(1)离散性离散性谱线是离散的而不是连续的，谱线之间谱线是离散的而不是连续的，谱线之间 的间隔为的间隔为 。这种频谱常称为离散频谱。这种频谱常称为离散频谱。(2)(2)谐波性谐波性谱线在频谱轴上的位置是基频谱线在频谱轴上的位置是基频 的整的整 数倍。数倍。(3)(3)收敛性收敛性各频谱的高度随着谐波次数增高而逐渐各频谱的高度随着谐波次数增高而逐渐 减小，当谐波次数无限增高时，谱线的高
6、度也无限减小，当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限 减小减小信号信号响应响应系统系统？傅氏级数的收敛傅氏级数的收敛傅氏级数的收敛条件狄里赫利条件狄里赫利条件（Dirichlet condition）1信号 f (t) 在任意一个周期 T 内绝对可积23信号 f (t) 在任意一个周期 T 内，只有有限个极大和极小值点信号 f (t) 在任意一个周期 T 内，只有有限个间断点，而且在这些间断点处 f (t)必须是有限值 (3.2.21)信号信号响应响应系统系统？周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数信号信号响应响应系统系统？不满足狄里赫利条件的周期信号不满足狄里赫利条件的周期信号 狄里赫利条
7、件狄里赫利条件信号信号 f (t) 在任意一个在任意一个周期周期 T 内绝对可积内绝对可积信信号号 f (t) 在任意一个在任意一个周周期期 T 内，只有有限内，只有有限个极大和极小值点个极大和极小值点信号信号 f (t) 在任意一个在任意一个周期周期 T 内，只有有限内，只有有限个间断点，而且在这个间断点，而且在这些间断点处些间断点处 f (t)必须必须是有限值是有限值 123不满足条件1不满足条件2信号信号响应响应系统系统？吉布斯现象吉布斯现象 n满足狄里赫利条件的周期信号可以用傅立叶级数表示n在实际应用中，通常只能取有限项傅氏级数来近似 N 越大，近似误差越小；项数趋于无穷时的极限就是理
8、想的傅立叶级数表示 (共 2N+1 项 )(3.2.22)(3.2.23)信号信号响应响应系统系统？吉布斯现象吉布斯现象取 N =1, 5, 21, 81,用有限项傅氏级数逼近连续时间周期脉冲信号 f (t) 吉布斯（吉布斯（Gibbs）现象）现象信号的跳变点附近出现纹波信号的跳变点附近出现纹波随项数增加，波纹峰值大小不变，随项数增加，波纹峰值大小不变，但被挤向信号的间断点处但被挤向信号的间断点处信号连续点处傅氏级数收敛于信信号连续点处傅氏级数收敛于信号本身号本身 信号跳变点处，傅氏级数收敛于信号跳变点处，傅氏级数收敛于该处左极限和右极限的平均值该处左极限和右极限的平均值 信号信号响应响应系统
9、系统？周期信号通过周期信号通过LTI连续时间系统连续时间系统 LTI系统LTI系统LTI特性 周期信号通过LTI系统的响应，仍是一个由原谐波分量线性组合而成的周期信号 特征值信号信号响应响应系统系统？周期信号通过周期信号通过LTI连续时间系统连续时间系统周期信号通过LTI系统的响应的求解步骤:1计算傅氏级数系数，得到傅氏级数表达式2计算特征值，得到系统响应 信号信号响应响应系统系统？周期信号通过周期信号通过LTI系统系统 例题例题例例3.2.4 LTI系统的冲激响应为 求如图周期信号 f (t) 通过该系统的响应 y (t) 解解： 1 求傅氏级数系数 f (t) 的傅氏级数表示信号信号响应响
10、应系统系统？周期信号通过周期信号通过LTI系统系统 例题例题2求 f (t) 通过LTI系统后各谐波分量的特征值 系统响应 信号信号响应响应系统系统？3.3 连续时间非周期信号的复指数分解连续时间非周期信号的复指数分解傅立叶变换傅立叶变换 n周期信号可分解为复指数信号之和傅立叶级数n非周期信号能否分解为复指数信号之和周期信号周期信号 fT (t) 非周期信号非周期信号 f (t) ? 周期 T 演示演示演示演示信号信号响应响应系统系统？周期方波信号的非周期演变周期方波信号的非周期演变周期方波信号 fT (t) 非周期信号 f (t) 周期T (3.3.1)信号信号响应响应系统系统？3.3 连续
11、时间非周期信号的复指数分解连续时间非周期信号的复指数分解傅立叶变换傅立叶变换 假设f(t)是周期为T的周期信号，则f(t)一定可以写成: 信号信号响应响应系统系统？信号信号响应响应系统系统？傅立叶反变换傅立叶反变换? 信号信号响应响应系统系统？傅立叶变换傅立叶变换 傅立叶变换傅立叶变换Fourier Transform傅立叶逆变换傅立叶逆变换Inverse Fourier Transformf (t) 称为信号的时域表示, F () 称为信号的频域表示信号 f (t) 与其傅氏变换 F () 一一对应信号信号响应响应系统系统？傅氏变换的物理意义傅氏变换的物理意义n傅氏逆变换式可写为 非周期信号
12、可以分解为无穷多个复指数信号 之和傅氏变换 称为信号的频谱密度函数复指数信号 的幅度为 幅度谱 相位谱(3.3.9)信号信号响应响应系统系统？( (1)F()1)F()是一个密度函数的概念是一个密度函数的概念(2)F()(2)F()是一个连续谱是一个连续谱(3)F()(3)F()包含了从零到无限高频所有频率分量包含了从零到无限高频所有频率分量(4)(4)各频率分量的频率不成谐波关系各频率分量的频率不成谐波关系信号信号响应响应系统系统？常用信号的傅立叶变换常用信号的傅立叶变换 n单边指数信号单边指数信号(3.3.11)信号信号响应响应系统系统？常用信号的傅立叶变换常用信号的傅立叶变换 n双边指数
13、信号双边指数信号(3.3.13)信号信号响应响应系统系统？常用信号的傅立叶变换常用信号的傅立叶变换 n矩形脉冲信号（门函数）矩形脉冲信号（门函数）(3.3.14)信号信号响应响应系统系统？常用信号的傅立叶变换常用信号的傅立叶变换 n单位冲激信号单位冲激信号单位冲激信号的傅立叶变换的幅度恒为 1单位冲激信号等幅地包含所有频率成份常用系统的单位冲激响应来描述LTI连续时间系统(3.3.15)信号信号响应响应系统系统？t010FT物理意义：在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。因此，这种频谱常称为“均匀谱“或”白色谱“。信号信号响应响应系统系统？常用信号的傅立叶变换常用信号的傅立
14、叶变换 n信号信号信号信号响应响应系统系统？傅氏变换的收敛傅氏变换的收敛傅氏变换的存在条件狄里赫利条件狄里赫利条件1信号 f (t) 绝对可积23信号 f (t) 在任意有限区间内，只有有限个极大和极小值点信号 f (t) 在任意有限区间内，只有有限个间断点，而且在这些间断点处 f (t)必须是有限值 (3.3.18)信号信号响应响应系统系统？吉布斯现象吉布斯现象 n满足狄里赫利条件的连续时间信号存在傅氏变换，可以用傅氏逆变换表示n然而当积分区间只取有限频段近似时 和周期信号的情况一样，在 f (t) 的跳变点附近会出现吉布斯现象(3.3.19)信号信号响应响应系统系统？信号信号响应响应系统系
15、统？3.4 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质n傅立叶变换的性质从不同侧面反映了一个信号的时域特性和频域描述间的对应关系n掌握这些性质对理解和认识傅氏变换的实质及熟练应用傅氏变换解决信号处理中的具体问题十分重要 信号信号响应响应系统系统？线性线性若 ， 则其中 、 为任意常数两个信号加权求和的傅氏变换等于各个信号傅氏变换的加权求和线性同样适用于多个信号加权求和的情况 (3.4.1)信号信号响应响应系统系统？1.线性线性n已知信号根据线性，其傅氏变换为n已知信号 f (t) 的傅氏变换根据线性，该信号为信号信号响应响应系统系统？2.时移特性时移特性信号的时移不改变其傅立叶变换的幅度谱，仅在其相位谱
16、上增加 的相移若 则(3.4.2)信号信号响应响应系统系统？2.时移特性时移特性n已知 ，根据时移特性n已知 ，根据时移特性信号信号响应响应系统系统？3.频移特性频移特性若 ，则信号在时域乘以一个复指数信号 ，其傅氏变换在频域被频移 (3.4.6)信号信号响应响应系统系统？例例3.4.1 利用傅氏变换的性质，求下列信号的傅氏变换欧拉公式（1） 复指数信号（2） 余弦信号（3） 正弦信号解：解： （1）（2）频移特性线性信号信号响应响应系统系统？欧拉公式（3）线性信号信号响应响应系统系统？例例：信号信号响应响应系统系统？调幅信号的频谱（载波技术）调幅信号的频谱（载波技术）信号信号响应响应系统系统
17、？4.时间和频率标度时间和频率标度若 ，则如果信号在时域上压缩（或扩展） 倍，相应的傅立叶变换就在频域上扩展（或压缩） 倍，该性质又称为傅氏变换的尺度变换特性n已知 ，根据尺度变换特性演示信号信号响应响应系统系统？4.时间和频率标度时间和频率标度时宽为 的门函数时宽为 的门函数沿时间轴压缩两倍信号信号响应响应系统系统？时域反转特性时域反转特性在尺度变换特性中，令 则信号在时域上关于纵坐标反转，则其傅氏变换在频域上也反转n已知a -a时域反时域反转转频域频域反反转转信号信号响应响应系统系统？信号信号响应响应系统系统？时域压缩时域压缩时域展宽时域展宽 时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）时
18、域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）信号信号响应响应系统系统？例题例题例例3.4.2 已知 ，求信号 的傅氏 变换解：解：令时移特性令尺度变换(3.4.18)信号信号响应响应系统系统？5.共轭对称性共轭对称性若 ，则时域共轭时域共轭频域共轭频域共轭并且反转并且反转n f (t)为实信号为实信号信号信号响应响应系统系统？信号信号响应响应系统系统？6.对偶性对偶性若 ，则对某些信号，直接由定义式计算傅氏变换可能非常困难，但利用对偶性可使问题变得十分简单 (3.4.29)信号信号响应响应系统系统？信号信号响应响应系统系统？傅氏变换的性质傅氏变换的性质 例题例题例例3.4.4 求信号 的傅氏变换
19、解：解：对偶性直接计算积分困难！脉宽 的矩形脉冲矩形脉冲是实偶信号令(3.4.31)信号信号响应响应系统系统？傅氏变换的性质傅氏变换的性质 例题例题若信号在时域为门函数，则其频谱为抽样函数若信号的频谱为门函数，则其时域为抽样函数信号信号响应响应系统系统？傅氏变换的性质傅氏变换的性质 例题例题例例3.4.5 求信号 的傅氏变换解：解：对偶性按傅氏变换定义式直接计算积分困难！双边指数信号线性(3.4.32)信号信号响应响应系统系统？信号信号响应响应系统系统？7.时域卷积特性时域卷积特性若 ， 则两个信号在时域上的卷积，对应于两信号在频域上频谱的乘积n 利用时域卷积特性可简化对 LTI 系统的响应的
20、求解信号信号响应响应系统系统？傅氏变换的性质傅氏变换的性质 例题例题例例3.4.6 已知一LTI连续时间系统冲激响应为解：解：直接计算冲激响应与输入信号的卷积较困难！下面采用傅氏变换的时域卷积特性求解：时域卷积特性 求输入信号 的响应信号信号响应响应系统系统？傅氏变换的性质傅氏变换的性质 例题例题(2)信号信号响应响应系统系统？8.时域微分特性时域微分特性n若 ，则信号 f (t) 在时域求导，则对应其频谱在频域乘以 n 连续对 f (t) 求导n 次，则(3.4.35)(3.4.36)信号信号响应响应系统系统？8.时域微分特性时域微分特性n ，利用时域微分特性：n对余弦信号的傅氏变换对利用时
21、域微分特性 线性、整理(3.4.37)信号信号响应响应系统系统？傅氏变换的性质傅氏变换的性质 例题例题(1)例例3.4.8 求下列信号的傅立叶变换(1) 符号函数(2) 阶跃信号信号信号响应响应系统系统？信号信号响应响应系统系统？信号信号响应响应系统系统？9.时域积分特性时域积分特性n若 ，则(3.4.41)信号信号响应响应系统系统？信号信号响应响应系统系统？信号信号响应响应系统系统？信号信号响应响应系统系统？10.能量定理能量定理帕斯瓦尔关系帕斯瓦尔关系若 ，则对信号功率的积分对能量谱密度的积分总能量：信号功率，单位时间内的能量：能量谱密度，单位频率内的能量帕斯瓦尔关系帕斯瓦尔关系Parse
22、vals relation帕斯瓦关系又称 能量定理能量定理(3.4.43)信号信号响应响应系统系统？连续时间信号连续时间信号f(t) :信号能量信号和功率信号信号能量信号和功率信号(1)信号的瞬时功率信号的瞬时功率离散时间信号离散时间信号fn :连续时间信号连续时间信号f(t) :(2)信号的能量信号的能量离散时间信号离散时间信号fn :信号信号响应响应系统系统？5 5 能量信号和功率信号能量信号和功率信号连续时间信号连续时间信号f(t) :(3)信号的平均功率信号的平均功率离散时间信号离散时间信号fn :信号信号响应响应系统系统？能量谱帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理两块阴影的面积 相等能量密度谱能
23、量有限信号信号信号响应响应系统系统？11.幅度调制（时域相乘）特性幅度调制（时域相乘）特性若 ， 则两个信号在时域相乘，对应它们在频域的卷积两个信号在时域相乘，可以看成是用一个信号的幅度去改变（调制）另一个信号的幅度，所以称为幅度调制特性 (3.4.45)信号信号响应响应系统系统？傅氏变换的性质傅氏变换的性质 例题例题例例3.4.10 已知信号 f(t) 的频谱 如图，。求信号 的傅立叶变换 信号信号响应响应系统系统？频谱搬移形状不变幅度减半 信号信号响应响应系统系统？傅氏变换的性质傅氏变换的性质 例题例题例例3.4.11 求信号 的频谱解：解：幅度调制特性卷积的微分积分特性信号信号响应响应系
24、统系统？傅氏变换的性质傅氏变换的性质 例题例题(2)信号信号响应响应系统系统？12.频域微分和积分特性频域微分和积分特性若 ，则n频域积分特性为n频域微分特性为对 求 n 阶导数信号信号响应响应系统系统？傅氏变换的性质傅氏变换的性质 例题例题例例3.4.12 求信号 的傅氏变换解：解：频域微分特性(3.4.51)(3.4.49)信号信号响应响应系统系统？例例: 一升余弦脉冲，波形如图所示，表示一升余弦脉冲，波形如图所示，表示 为为:试求试求f (t)的傅里叶变换。的傅里叶变换。信号信号响应响应系统系统？信号信号响应响应系统系统？信号信号响应响应系统系统？信号信号响应响应系统系统？信号信号响应响
25、应系统系统？求升余弦的FT信号信号响应响应系统系统？信号信号响应响应系统系统？3.5 周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换n周期信号 f (t) 傅立叶级数表示 n复指数信号的傅立叶变换 n周期信号 f (t) 的傅立叶变换 (3.5.1)信号信号响应响应系统系统？周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换由冲激串组成冲激出现在各次谐波频率 处求周期信号傅氏变换的步骤:1求傅氏级数系数，得到傅氏级数表示2求傅氏变换 第 k 个冲激的强度与相应的傅立叶级数系数 成正比信号信号响应响应系统系统？例例: 冲激串信号 ，求其傅立叶变换解：解：的傅氏系数的傅氏级数表示1信号信号响应
26、响应系统系统？2的傅氏变换(3.5.2)信号信号响应响应系统系统？信号信号响应响应系统系统？信号信号响应响应系统系统？信号信号响应响应系统系统？信号信号响应响应系统系统？信号信号响应响应系统系统？傅里叶生平傅里叶生平n1768年生于法国年生于法国n1807年提出年提出“任何周任何周期信号都可用正弦函期信号都可用正弦函数级数表示数级数表示”n1829年狄里赫利第一年狄里赫利第一个给出收敛条件个给出收敛条件n拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表n1822年首次发表在年首次发表在“热的分析理论热的分析理论” 一书中一书中1822年法国数学家年法国数学家傅傅里叶（里叶（17681830）信号信号响应响应系统系统？傅立叶的两个最主要的贡献傅立叶的两个最主要的贡献n“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和号的加权和”傅里叶的第一个主要论傅里叶的第一个主要论点点n“非周期信号都可用正弦信号的加权积非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示分表示”傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点信号信号响应响应系统系统？例例1：求：求：的傅立叶变换的傅立叶变换信号信号响应响应系统系统？信号信号响应响应系统系统？信号信号响应响应系统系统？信号信号响应响应系统系统？
