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1、导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具. .导数的知识形成一门学科，就是我们通常所说的微导数的知识形成一门学科，就是我们通常所说的微导数的知识形成一门学科，就是我们通常所说的微导数的知识形成一门学科，就是我们通常所说的微积分积分积分积分. .微积分除了解决最大值、最小值问题，还能解微积分除了解决最大值、最小值问题，还能解微积分除了解决最大值、最小值问题，还能解微积分除了解决最大值、最小值问题，还能解决一些复杂曲线的切线问题决一些复杂曲线的切线问题决一些复杂曲
2、线的切线问题决一些复杂曲线的切线问题. .导数的思想最初是法国导数的思想最初是法国导数的思想最初是法国导数的思想最初是法国数学家费马数学家费马数学家费马数学家费马(Fermat)(Fermat)为解决极大、极小问题而引入为解决极大、极小问题而引入为解决极大、极小问题而引入为解决极大、极小问题而引入的的的的. .但导数作为微分学中最主要概念，却是英国科学但导数作为微分学中最主要概念，却是英国科学但导数作为微分学中最主要概念，却是英国科学但导数作为微分学中最主要概念，却是英国科学家牛顿家牛顿家牛顿家牛顿(Newton)(Newton)和德国数学家莱布尼兹和德国数学家莱布尼兹和德国数学家莱布尼兹和德
3、国数学家莱布尼兹(Leibniz)(Leibniz)分分分分别在研究力学与几何学过程中建立的别在研究力学与几何学过程中建立的别在研究力学与几何学过程中建立的别在研究力学与几何学过程中建立的. .有关导数的数学史有关导数的数学史有关导数的数学史有关导数的数学史微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是靠了牛顿和莱布尼兹的工革命性的影响，主要是靠了牛顿和莱布尼兹的工作作. .但遗憾的是他们之间发生了优先权问题的争执但遗憾的是他们之间发生了优先权问题的争执. .其实，他们差不多是在相同的时间相互独立地发其实，他们差不多是在相同的时间相互独
4、立地发明了微积分明了微积分. .方法类似但在用语、符号、算式和量方法类似但在用语、符号、算式和量的产生方式稍有差异的产生方式稍有差异. .牛顿在牛顿在16871687年以前没有公开年以前没有公开发表，莱布尼兹在发表，莱布尼兹在16841684年和年和16861686年分别发表了微年分别发表了微分学和积分学分学和积分学. . 所以，就发明时间而言，牛顿早所以，就发明时间而言，牛顿早于莱布尼兹，就发表时间而言，莱布尼兹则早于于莱布尼兹，就发表时间而言，莱布尼兹则早于牛顿牛顿. .关于谁是微积分的第一发明人，引起了争论关于谁是微积分的第一发明人，引起了争论. .而我们现在所用的符号大多数都是莱布尼兹
5、发明而我们现在所用的符号大多数都是莱布尼兹发明的的. .而英国认为牛顿为第一发明人，拒绝使用莱布而英国认为牛顿为第一发明人，拒绝使用莱布尼兹发明的符号，因此，使自己远离了分析的主尼兹发明的符号，因此，使自己远离了分析的主流流放大放大放大放大1）观察“点P附近的曲线”，随着图形放大，你看到了怎样的现象？（2）这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其趋势看几乎成了 这种思维方式就叫做“逼近思想逼近思想”。曲线有点像直线曲线有点像直线曲线有点像直线曲线有点像直线直线直线直线直线从上面的学习过程来看：1 1）曲线在点）曲线在点）曲线在点）曲线在点P P附近看上去几乎成了直线附近看上去几乎成了直线附近看上
6、去几乎成了直线附近看上去几乎成了直线2 2）继续放大，曲线在点）继续放大，曲线在点）继续放大，曲线在点）继续放大，曲线在点P P附近将逼近一条确定的直线附近将逼近一条确定的直线附近将逼近一条确定的直线附近将逼近一条确定的直线L L，这条直线是过点，这条直线是过点，这条直线是过点，这条直线是过点P P 的所有直线中最逼近曲线的一条直线的所有直线中最逼近曲线的一条直线的所有直线中最逼近曲线的一条直线的所有直线中最逼近曲线的一条直线3 3）点）点）点）点P P附近可以用这条直线代替曲线附近可以用这条直线代替曲线附近可以用这条直线代替曲线附近可以用这条直线代替曲线这样，我们就可以用直线的斜率来刻画曲线
7、经过这样，我们就可以用直线的斜率来刻画曲线经过这样，我们就可以用直线的斜率来刻画曲线经过这样，我们就可以用直线的斜率来刻画曲线经过P P点时的点时的点时的点时的变化趋势变化趋势变化趋势变化趋势( (放大放大放大放大放大放大放大放大放大放大放大放大放大放大放大放大) )PQoxyy=f(x)割割线线切线切线l 如图，设如图，设Q为曲线为曲线C上不同于上不同于P的一点，直线的一点，直线PQ称为曲线的称为曲线的割线割线. yOxPQP为已知曲线已知曲线C上的一点上的一点，如如如如何求出点何求出点何求出点何求出点P P处的切线方程？处的切线方程？处的切线方程？处的切线方程？切线定义定义定义定义随着点随
8、着点Q沿曲线沿曲线C向点向点P运动，直线运动，直线PQ在点在点P附近逼近曲线附近逼近曲线C， 当点当点Q无限逼近点无限逼近点P时，直线时，直线PQ最终就成为经过点最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线处最逼近曲线的直线l，这条直线这条直线l也称为也称为曲线在点曲线在点P处的切线处的切线这种方法叫这种方法叫割线逼近切线割线逼近切线.试求试求f (x)=x2在点在点(2,4)处的切线斜率处的切线斜率y yO OP P2 24 4Qx x 试求试求f (x)=x2在点在点(2,4)处的切线斜率处的切线斜率练习练习：试求试求f (x)=x2+1在在x=1处的切线斜率处的切线斜率 练习：练习：试求试求f
9、(x)=x2+1在在x=1处的切线斜率处的切线斜率当当x x无限趋近于无限趋近于无限趋近于无限趋近于0 0时，时，时，时，割割 线线 逼逼 近近 切切 线，线，割线斜率逼近切线斜率割线斜率逼近切线斜率找到定点找到定点找到定点找到定点P P的坐标的坐标的坐标的坐标设出动点设出动点设出动点设出动点QQ的坐标的坐标的坐标的坐标求出割求出割求出割求出割线斜率线斜率线斜率线斜率yxOy = f(x) xx0x0+ xPQf (x0+ x) f (x0)切线切线割线割线P P（x x0 0,f(x,f(x0 0) )Q(xQ(x0 0+ +x,f(xx,f(x0 0+ + x)x)x0x0时时时时, ,点
10、点点点QQ位于点位于点位于点位于点P P的右侧的右侧的右侧的右侧y=f(x)y=f(x)x0x0时时时时, ,点点点点QQ位于点位于点位于点位于点P P的左的左的左的左侧侧侧侧2.求出割线求出割线PQ的斜率的斜率 ,并化简并化简. 求曲线求曲线y=f(x)上一点上一点P(x0,f(x0)处切线斜率的一般步骤处切线斜率的一般步骤:3. 令令x 趋向于趋向于0,若上式中的割线斜率若上式中的割线斜率“逼近逼近”一个常数，一个常数， 则其即为所求切线斜率则其即为所求切线斜率1.设曲线上另一点设曲线上另一点Q(x0 +x,f(x0 + x)MM（即即 y)平均速度平均速度：物体的运动位移与所用时间物体的
11、运动位移与所用时间的比称为平均速度。的比称为平均速度。 平均速度反映物体在某一段时间段平均速度反映物体在某一段时间段内运动的快慢程度。那么如何刻画物内运动的快慢程度。那么如何刻画物体在某一时刻运动的快慢程度？体在某一时刻运动的快慢程度？问题情境：问题情境：问题情境：问题情境： 跳水运动员从跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。假设中，不同时刻的速度是不同的。假设t 秒后运动秒后运动员相对于水面的高度为员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试试确定确定t=2s时运动员的速度。时运动员的速度。(1)计算运动员在计算运动员在2
12、s到到2.1s(t2,2.1)内的内的平均速度。平均速度。(2)计算运动员在计算运动员在2s到到2+ t s(t 2,2+ t)内的平均速度。内的平均速度。时间区间时间区间 t t 平均速度平均速度22，2.12.10.10.1-13.59-13.592,2.012,2.010.010.01-13.149-13.1492,2.0012,2.0010.0010.001-13.1049-13.10492,2.00012,2.00010.00010.0001-13.10049-13.100492,2.000012,2.000010.000010.00001-13.100049-13.1000492,
13、2.0000012,2.0000010.0000010.000001-13.1000049-13.1000049当当t0时，时，该常数可作为运动员在该常数可作为运动员在2s时的时的瞬时速度瞬时速度。即即t=2s时，时，高度对于时间的瞬时变化率。高度对于时间的瞬时变化率。 设物体作直线运动所经过的路程为设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t)。 以以t0为起始时刻，物体在为起始时刻，物体在 t时间内的平均速度为时间内的平均速度为就是物体在就是物体在t0时刻时刻的的瞬时速度瞬时速度，即，即 v 可作为物体在可作为物体在t0时刻的速度的近似值，时刻的速度的近似值， t 越小，越小，近似的程度就越好
14、。近似的程度就越好。所以当所以当 t0时，极限时，极限（瞬时速度）（瞬时速度）构建数学：构建数学： 设设物物体体作作直直线线运运动动的的速速度度为为v=f(t)，以以t0为为起起始始时刻，物体在时刻，物体在 t时间内的平均加速度为时间内的平均加速度为就是物体在就是物体在t0时刻时刻的的瞬时加速度瞬时加速度，即，即 t 越小，越小，近似的程度就越好。近似的程度就越好。所以当所以当 t0时，极限时，极限（瞬时加速度）（瞬时加速度）构建数学：构建数学：可作为物体在可作为物体在t0时刻的加速度的近似值，时刻的加速度的近似值，小 结 1 1、曲线上一点、曲线上一点P P处的切线是过点处的切线是过点P P的所有直线中最的所有直线中最接近接近P P点附近曲线的直线，则点附近曲线的直线，则P P点处的变化趋势可以由点处的变化趋势可以由该点处的切线反映。该点处的切线反映。( (局部以直代曲局部以直代曲) ) 2 2、根据定义、根据定义, ,利用割线逼近切线的方法利用割线逼近切线的方法, , 可以求出可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程。曲线在一点处的切线斜率和方程。割线PQP点处的切线Q无限逼近P时割线PQ的斜率P点处的切线斜率 Q无限逼近P时Q无限逼近P时即区间长度趋向于0令令横坐标无限接近横坐标无限接近函数在区间xP,xQ(或xQ,xP）上的平均变化率P点处的瞬时变化率(导数导数)课堂练习：
