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1、第1课时1.1.计算下列各式：计算下列各式：(1)(m+2)(m-2)=_.(1)(m+2)(m-2)=_.(2)(1+x)(1-x)=_.(2)(1+x)(1-x)=_.(3)(2x+y)(2x-y)=_.(3)(2x+y)(2x-y)=_.m m2 2-4-41-x1-x2 24x4x2 2-y-y2 22.2.观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？答：上述各式的左边是二项式乘以二项式答：上述各式的左边是二项式乘以二项式, ,即是两个数的即是两个数的_与与它们的它们的_的乘积，结果等于这两数的的乘积，结果等于这两数的_._.【归纳归纳】两数
2、两数_与这两数与这两数_的积的积, ,等于它们的等于它们的_，即，即(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b)=_. .【点拨点拨】运用平方差公式进行运算时运用平方差公式进行运算时, ,要分清公式中的要分清公式中的a a，b b分分别代表着什么别代表着什么. .和和差差平方差平方差和和平方差平方差a a2 2-b-b2 2差差【预习思考预习思考】平方差公式中的平方差公式中的a a或或b b能是多项式吗？能是多项式吗？提示：提示：能能. . 平方差公式平方差公式【例例】(9(9分分) )计算：计算：(1)(3x+1)(3x-1).(1)(3x+1)(3x-1).(2)(a-2b)(-a-2b).
3、(2)(a-2b)(-a-2b).(3)(a-b)(a+b)(a(3)(a-b)(a+b)(a2 2+b+b2 2).).【规范解答规范解答】(1)(3x+1)(1)(3x+1)(3x-1)=(3x-1)=(3x)(3x)2 2- -1 12 2= =9x9x2 2-1-1. .3 3分分(2)(a-2b)(-a-2b)(2)(a-2b)(-a-2b)=(-2b+a)(-2b=(-2b+a)(-2b-a-a) )1 1分分= =(-2b)(-2b)2 2- -a a2 2= =4b4b2 2-a-a2 2. .3 3分分(3)(a-b)(a+b)(a(3)(a-b)(a+b)(a2 2+b+b
4、2 2) )= =(a(a2 2-b-b2 2) )(a(a2 2+b+b2 2) ) 1 1分分= =(a(a2 2) )2 2- -(b(b2 2) )2 2= =a a4 4-b-b4 4. . 3 3分分特别提醒：特别提醒：在在(3)(3)式的计算中要式的计算中要先对前两个括号内的式子做乘法先对前两个括号内的式子做乘法. .【规律总结规律总结】运用平方差公式进行计算的运用平方差公式进行计算的“三步法三步法”变形变形套公式套公式计算计算将算式变形为两数和与两数差的积的形式将算式变形为两数和与两数差的积的形式套用公式，将结果写成两数平方差的形式套用公式，将结果写成两数平方差的形式根据积的乘
5、方计算根据积的乘方计算. .套用平方差公式时，结果为套用平方差公式时，结果为( (完全相同项完全相同项) )2 2-(-(互为相反数的项互为相反数的项) )2 2【跟踪训练跟踪训练】1.1.计算计算(2a+b)(2a-b)(2a+b)(2a-b)的结果是的结果是( )( )(A)4a(A)4a2 2-b-b2 2 (B)b(B)b2 2-4a-4a2 2(C)2a(C)2a2 2-b-b2 2 (D)b(D)b2 2-2a-2a2 2【解析解析】选选A.(2a+b)(2a-b)=(2a)A.(2a+b)(2a-b)=(2a)2 2-b-b2 2=4a=4a2 2-b-b2 2. .2.2.下列
6、各式能用平方差公式计算的是下列各式能用平方差公式计算的是( )( )(A)(3a+b)(a-b) (B)(-3a-b)(-3a+b)(A)(3a+b)(a-b) (B)(-3a-b)(-3a+b)(C)(3a+b)(-3a-b) (D)(-3a+b)(3a-b)(C)(3a+b)(-3a-b) (D)(-3a+b)(3a-b)【解析解析】选选B.B.平方差公式中必须存在一组符号相同的项和一组平方差公式中必须存在一组符号相同的项和一组符号相反的项符号相反的项.A.A，C C，D D中不存在相同的项，因此中不存在相同的项，因此A A，C C，D D都不符都不符合平方差公式的要求合平方差公式的要求.
7、 .3.3.计算：计算：(2x+3y)(2x-3y)=_.(2x+3y)(2x-3y)=_.【解析解析】(2x+3y)(2x-3y)=(2x)(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2 2-(3y)-(3y)2 2=4x=4x2 2-9y-9y2 2. .答案：答案：4x4x2 2-9y-9y2 24.(-xy-1)4.(-xy-1)(_)=x(_)=x2 2y y2 2-1.-1.【解析解析】根据平方差公式右边根据平方差公式右边a a2 2-b-b2 2中被减数中的中被减数中的a a代表相同的项代表相同的项, ,而减数中的而减数中的b b在等式左边中应是互为相反数的项在等式左边中应是互为相反数
8、的项. .本式中含本式中含xyxy的项的项为为a,a,即相同的项即相同的项, ,而含而含1 1的项为的项为b,b,即互为相反数的项，所以括号中即互为相反数的项，所以括号中应填应填-xy+1.-xy+1.答案：答案：-xy+1-xy+15. 5. (2)(a+3)(a(2)(a+3)(a2 2+9)(a-3).+9)(a-3).【解析解析】(1) (1) (2)(a+3)(a(2)(a+3)(a2 2+9)(a-3)=(a+3)(a-3)(a+9)(a-3)=(a+3)(a-3)(a2 2+9)+9)=(a=(a2 2-9)(a-9)(a2 2+9)=(a+9)=(a2 2) )2 2-9-92
9、 2=a=a4 4-81.-81.1.(20121.(2012哈尔滨中考哈尔滨中考) )下列运算中，正确的是下列运算中，正确的是( )( )(A)a(A)a3 3a a4 4=a=a12 12 (B)(a(B)(a3 3) )4 4=a=a1212(C)a+a(C)a+a4 4=a=a5 5 (D)(a+b)(a-b)=a(D)(a+b)(a-b)=a2 2+b+b2 2【解析解析】选选B.B.因为因为a a3 3a a4 4=a=a7 7；(a(a3 3) )4 4=a=a1212；a a与与a a4 4不是同类项，不不是同类项，不能合并；能合并；(a+b)(a-b)=a(a+b)(a-b)
10、=a2 2-b-b2 2，所以，所以A A，C C，D D错误，错误，B B正确正确. .2.(-4a-1)2.(-4a-1)与与(4a-1)(4a-1)的积等于的积等于( )( )(A)-1+16a(A)-1+16a2 2 (B)-1-8a(B)-1-8a2 2(C)1-4a(C)1-4a2 2 (D)1-16a(D)1-16a2 2【解析解析】选选D.(-4a-1)(4a-1)=1-16aD.(-4a-1)(4a-1)=1-16a2 2. .3.3.已知已知a-b=1a-b=1，a+b=2 013a+b=2 013，则，则a a2 2-b-b2 2的值为的值为_._.【解析解析】因为因为a
11、-b=1a-b=1，a+b=2 013a+b=2 013，(a+b)(a-b)=a(a+b)(a-b)=a2 2-b-b2 2，所以，所以a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b)=2 013=(a+b)(a-b)=2 0131=2 013.1=2 013.答案：答案：2 0132 0134.4.有三个连续的自然数，中间一个是有三个连续的自然数，中间一个是x x，则它们的积是，则它们的积是_._.【解析解析】它们的积是它们的积是x x(x-1)(x-1)(x+1)=x(x+1)=x3 3-x.-x.答案：答案：x x3 3-x-x5.5.计算：计算：(1)(-0.3m+0.1)(-0.3
12、m-0.1).(1)(-0.3m+0.1)(-0.3m-0.1).(2)(x(2)(x2 2-3y)(-x-3y)(-x2 2-3y).-3y).【解析解析】(1)(-0.3m+0.1)(-0.3m-0.1)(1)(-0.3m+0.1)(-0.3m-0.1)=(-0.3m)=(-0.3m)2 2-0.1-0.12 2=0.09m=0.09m2 2-0.01.-0.01.(2)(x(2)(x2 2-3y)(-x-3y)(-x2 2-3y)=(-3y+x-3y)=(-3y+x2 2)(-3y-x)(-3y-x2 2) )=(-3y)=(-3y)2 2-(x-(x2 2) )2 2=9y=9y2 2
13、-x-x4 4. .第2课时1.1.计算下列各组算式：计算下列各组算式：2.2.把以上各组算式中的规律用字母表示出来为：把以上各组算式中的规律用字母表示出来为：_，这一规律符合，这一规律符合_公式公式. .【归纳归纳】利用平方差公式可以对一些猜想进行验证利用平方差公式可以对一些猜想进行验证. .1515161624242525143143144144(a+1)(a-1)=a(a+1)(a-1)=a2 2-1-1平方差平方差3.3.与平方差公式有关的混合运算的一般步骤：与平方差公式有关的混合运算的一般步骤：(1)(1)确定运算顺序确定运算顺序. .(2)(2)明确平方差公式中明确平方差公式中a
14、a与与b.b.(3)(3)按运算顺序依次运算按运算顺序依次运算. .(4)(4)合并结果中的同类项合并结果中的同类项. .【预习思考预习思考】什么样的二项式才能逆用平方差公式写成两数的和与这两数的什么样的二项式才能逆用平方差公式写成两数的和与这两数的差的积？差的积？提示：提示：当二项式表示某两个数平方差的时候，可逆用平方差公当二项式表示某两个数平方差的时候，可逆用平方差公式写成两数的和与这两数的差的积式写成两数的和与这两数的差的积. . 平方差公式的应用平方差公式的应用【例例】(6(6分分) )先化简，再求值：先化简，再求值：(b-a)(a+b)-b(b-1)(b-a)(a+b)-b(b-1)
15、，其中，其中a=-1,b=1.a=-1,b=1.【规范解答规范解答】原式原式=b=b2 2-a-a2 2- -b b2 2+ +b b 2 2分分=-a=-a2 2+ +b b. .4 4分分当当a=-1a=-1，b=1b=1时，时，原式原式=-(-1)=-(-1)2 2+ +1 1= =0 0. .6 6分分特别提醒：特别提醒：对于后面单项对于后面单项式乘多项式的运算不要弄式乘多项式的运算不要弄错了符号错了符号. .【规律总结规律总结】平方差公式的应用及注意事项平方差公式的应用及注意事项两个应用：两个应用：1.1.利用平方差公式简化一些数字计算利用平方差公式简化一些数字计算. .2.2.逆用
16、平方差公式进行化简、计算逆用平方差公式进行化简、计算. .四点注意：四点注意：1.1.必须符合平方差公式的结构特征必须符合平方差公式的结构特征. .2.2.有些式子虽然不能直接应用公式，但经过适当变形或变换符有些式子虽然不能直接应用公式，但经过适当变形或变换符号后可以运用公式进行化简、计算号后可以运用公式进行化简、计算. .3.3.计算结果一定要注意字母的系数，指数的变化计算结果一定要注意字母的系数，指数的变化. .4.4.在运算过程中，有时可以反复应用公式在运算过程中，有时可以反复应用公式. .【跟踪训练跟踪训练】1.1.计算计算a a2 2-(a+1)(a-1)-(a+1)(a-1)的结果
17、是的结果是( )( )(A)1 (B)-1 (C)2a(A)1 (B)-1 (C)2a2 2+1 (D)2a+1 (D)2a2 2-1-1【解析解析】选选A.aA.a2 2-(a+1)(a-1)=a-(a+1)(a-1)=a2 2-(a-(a2 2-1)=a-1)=a2 2-a-a2 2+1=1.+1=1.2.2.如图，在边长为如图，在边长为a a的正方形中裁掉一个边长为的正方形中裁掉一个边长为b b的小正方形的小正方形( (如如图图1)1)，将剩余部分沿虚线剪开后拼接，将剩余部分沿虚线剪开后拼接( (如图如图2)2)，通过计算，用拼，通过计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证等式接
18、前后两个图形中阴影部分的面积可以验证等式( )( )(A)a(A)a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b)(B)(a+b)(B)(a+b)2 2=a=a2 2+2ab+b+2ab+b2 2(C)(a+2b)(a-b)=a(C)(a+2b)(a-b)=a2 2+ab-2b+ab-2b2 2(D)(a-b)(D)(a-b)2 2=a=a2 2-2ab+b-2ab+b2 2【解析解析】选选A.A.图图1 1中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为即为a a2 2-b-b2 2；图；图2 2中阴影部分为矩形，其长为中阴影部分为矩
19、形，其长为a+ba+b，宽为，宽为a-ba-b，则其，则其面积为面积为(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)，因为前后两个图形中阴影部分的面积相等，因为前后两个图形中阴影部分的面积相等，所以所以a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b).=(a+b)(a-b).3.3.计算计算2 0122 0122 2-2 011-2 0112 013=_.2 013=_.【解析解析】2 0122 0122 2-2 011-2 0112 0132 013=2 012=2 0122 2-(2 012-1)-(2 012-1)(2 012+1)(2 012+1)=2 012=2 0122 2-(2 012
20、-(2 0122 2-1)=1.-1)=1.答案：答案：1 14.4.若若m m2 2-n-n2 2=6=6，且，且m-n=3m-n=3，则，则m+n=_.m+n=_.【解析解析】因为因为m m2 2-n-n2 2=(m+n)(m-n)=3(m+n)=6=(m+n)(m-n)=3(m+n)=6，所以，所以m+n=2.m+n=2.答案：答案：2 25.5.对于任意一个正整数对于任意一个正整数n n，整式，整式A=(4n+1)A=(4n+1)(4n-1)-(n+1)(4n-1)-(n+1)(n-(n-1)1)能被能被1515整除吗？请说明理由整除吗？请说明理由. .【解析解析】能能. .理由如下：
21、理由如下：A=(4n)A=(4n)2 2-1-(n-1-(n2 2-1)=16n-1)=16n2 2-1-n-1-n2 2+1=15n+1=15n2 2. .因为因为n n是正整数，所以是正整数，所以15n15n2 2一定能被一定能被1515整除整除. .1.1.如图所示，在边长为如图所示，在边长为a a的正方形中挖去一个边长为的正方形中挖去一个边长为b b的小正方的小正方形形(a(ab)b)，再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形，再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形( (阴阴影部分的面积影部分的面积) )，验证了一个等式是，验证了一个等式是( )( )(A)a(A)a2 2-b-
22、b2 2=(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b)(B)(a+b)(B)(a+b)2 2=a=a2 2+2ab+b+2ab+b2 2(C)(a-b)(C)(a-b)2 2=a=a2 2-2ab+b-2ab+b2 2(D)(a+2b)(a-b)=a(D)(a+2b)(a-b)=a2 2+ab-2b+ab-2b2 2【解析解析】选选A.A.由题意得：由题意得：a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b).=(a+b)(a-b).2.2.若若a a，b b，c c为一个三角形的三边，则代数式为一个三角形的三边，则代数式(a-c)(a-c)2 2-b-b2 2的值的值( )( )(A)(A)一定
23、为正数一定为正数(B)(B)一定为负数一定为负数(C)(C)可能为正数，也可能为负数可能为正数，也可能为负数(D)(D)可能为零可能为零【解析解析】选选B.B.因为因为(a-c)+b(a-c)+b(a-c)-b(a-c)-b=(a-c)=(a-c)2 2-b-b2 2, ,所以所以(a-c)(a-c)2 2-b-b2 2=(a-c+b)(a-c-b).=(a-c+b)(a-c-b).因为在三角形中，两边之和大于第三边，因为在三角形中，两边之和大于第三边，所以所以a-c+b0,a-c-b0,a-c-b0,所以所以(a-c+b)(a-c-b)0.(a-c+b)(a-c-b)0.3.3.若若a-b=
24、3a-b=3，ab=2ab=2，则，则a a2 2-b-b2 2-6b=_.-6b=_.【解析解析】因为因为a-b=3a-b=3，所以，所以a a2 2-b-b2 2-6b=(a+b)(a-b)-6b=-6b=(a+b)(a-b)-6b=3(a+b)-6b=3a-3b=3(a-b)=9.3(a+b)-6b=3a-3b=3(a-b)=9.答案：答案：9 94.(a+2b+3c)(a-2b-3c)=(_)4.(a+2b+3c)(a-2b-3c)=(_)2 2-(_)-(_)2 2. .【解析解析】(a+2b+3c)(a-2b-3c)(a+2b+3c)(a-2b-3c)= =a+(2b+3c)a+(2b+3c)a-(2b+3c)a-(2b+3c)=a=a2 2-(2b+3c)-(2b+3c)2 2. .答案：答案：a 2b+3ca 2b+3c5.(20125.(2012无锡中考无锡中考)3(x)3(x2 2+2)-3(x+1)(x-1).+2)-3(x+1)(x-1).【解析解析】原式原式=3x=3x2 2+6-3(x+6-3(x2 2-1)-1)=3x=3x2 2+6-3x+6-3x2 2+3+3=9.=9.
