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1、微积分第微积分第3 3章导数与微分章导数与微分一、变速直线运动的速度一、变速直线运动的速度问题：问题：已知已知 s f(t) 为物体运动的路程函数，为物体运动的路程函数， 求求 t0 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度.t0 至至 t0t 时间内平均速度时间内平均速度:t0 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度: 3.1 引出导数概念的例题引出导数概念的例题2第三章第三章 导数与微分导数与微分二、导数的几何意义二、导数的几何意义M(x0, y0)点处的点处的切线方程切线方程：M(x0, y0)点处的点处的法线方程法线方程：切线切线MT的斜率：的斜率：求曲线的切线、法线求曲线的切线、法线例例3 求曲线求曲线
2、y = 1/x 在点在点(1, 1)处的切线方程、法线方处的切线方程、法线方程程.（答案：切线（答案：切线 y = 2- -x, 法线法线 y = x）9第三章第三章 导数与微分导数与微分注：注：1. f 在在x0可导可导f 在在 x0 的左的左, 右导数右导数存在存在存在存在且且相等相等相等相等.定义定义定义定义存在，则称该极限值为存在，则称该极限值为 f 在点在点 x0 处的处的右右 导数导数. 若若设函数设函数 y = f(x) 在某在某U+(x0) 内有定义内有定义. 记作记作(左左)(或或 U-(x0)( 或或 )(或或 )例例4. .讨论函数讨论函数 f(x) = |x| 在在 x
3、 = 0 处的左、右导数及导数处的左、右导数及导数.三、左、右导数三、左、右导数2. f 在区间在区间 (a, b 上可导，对于端点上可导，对于端点 b 仅要求左导数存在仅要求左导数存在.（答案：左导数（答案：左导数- -1, 右导数右导数1, 不可导）不可导）10第三章第三章 导数与微分导数与微分四、可导与连续的关系四、可导与连续的关系若若 f 在点在点 x0 可导，则必在点可导，则必在点 x0 连续连续.定理定理定理定理注注: 连续未必可导，例如连续未必可导，例如与与 f(x) = |x| 在在 x = 0 处连续但不可导处连续但不可导.11第三章第三章 导数与微分导数与微分第三章 导数与
4、微分12例例5. .求下列函数的导函数：求下列函数的导函数：(2) xn , ( nN N+ ) ;(3) sin x , cos x ;(4) log ax ( a 0, a1, x 0 ) .nxn-1cos xlog ae / x- - sin xln x ( x 0 )1 / x(1) c ( 常函数常函数 ) ;答案：答案：0记结论记结论12第三章第三章 导数与微分导数与微分第三章 导数与微分133.3 导数的基本公式与运算法则导数的基本公式与运算法则一、导数的四则运算一、导数的四则运算二、复合函数的导数二、复合函数的导数三、反函数的导数三、反函数的导数四、隐函数的导数四、隐函数的导
5、数五、取对数求导法五、取对数求导法六、参变量函数的导数六、参变量函数的导数七、基本求导法则与公式七、基本求导法则与公式13第三章第三章 导数与微分导数与微分第三章 导数与微分14定理定理定理定理 若函数若函数 在点在点x0可导可导, 则函数则函数 在点在点 x0 也可导也可导, 且且一、导数的四则运算一、导数的四则运算注：注：推广得：推广得：定理定理定理定理 若函数若函数 在点在点x0可导可导, 则函数则函数在点在点 x0 也可导也可导, 且且特别地，特别地，14第三章第三章 导数与微分导数与微分第三章 导数与微分15例例1 解解 注注：对于多项式对于多项式 f 而言而言, 总是比总是比 f
6、低一个幂次低一个幂次.例例2 解解15第三章第三章 导数与微分导数与微分第三章 导数与微分16定理定理定理定理 若函数若函数 在点在点x0可导可导, 则则在点在点 x0 也可导也可导, 且且例例3 求下列函数的导数：求下列函数的导数：解解16第三章第三章 导数与微分导数与微分第三章 导数与微分17 定理定理定理定理 设设 y = f(u), . 若若 在点在点 x0 可导，可导，y = f(u) 在点在点 可导，则可导，则 在点在点 x0 可导，且可导，且二、复合函数的二、复合函数的导数导数注：注：1. 注意区分注意区分 与与或写成：或写成：链式法则链式法则2. 复合函数求导：由外到里复合函数
7、求导：由外到里, 逐步分解逐步分解, 逐步求导逐步求导.17第三章第三章 导数与微分导数与微分第三章 导数与微分18解解: : (i)可以分解成可以分解成 y = sin u与与u = x2 的复合的复合.由链式法则，有由链式法则，有或直接写作：或直接写作：例例4 求下列函数的导数：求下列函数的导数：18第三章第三章 导数与微分导数与微分第三章 导数与微分19 定理定理定理定理 设设 y = f(x) 在在 x0 可导，可导，f (x0)0. 若其反函数若其反函数 x = f-1(y) 在在 y0= f(x0) 连续，则连续，则 x = f -1(y) 在在 y0 可导可导 且且三、反函数的三
8、、反函数的导数导数或写成：或写成：19第三章第三章 导数与微分导数与微分第三章 导数与微分20例例5. 求下列函数的导数：求下列函数的导数：记结论记结论(1)(2)20第三章第三章 导数与微分导数与微分第三章 导数与微分四、隐函数的导数四、隐函数的导数 若若F(x, y) = 0确定了隐函数确定了隐函数 y = f(x), 怎样求怎样求 ？F(x, y) = 0方法一：方法一：y = f(x)显化显化显化显化已有方法已有方法已有方法已有方法求求F(x, y) = 0方法二：方法二：两边同时求导两边同时求导两边同时求导两边同时求导求求例例6.已知已知 确定了函数确定了函数 y = f(x)，求，
9、求（答案：（答案： ）21第三章第三章 导数与微分导数与微分例例7.求求 的导数的导数.（提示（提示: 两边取两边取 ln 对数）对数）记结论记结论练习练习 1. 求求 的导数的导数. 2. 已知已知 求求3. 求曲线求曲线 在在 (1,- -2) 处的切线与法线方程处的切线与法线方程.22第三章第三章 导数与微分导数与微分第三章 导数与微分23(适用于多个函数相乘除、乘方、开方以及幂指函数的情形适用于多个函数相乘除、乘方、开方以及幂指函数的情形)例例9.设设方程两边取对数，再分别求导方程两边取对数，再分别求导. .五、取对数求五、取对数求导法导法例例8.设设练习练习 1.2. 求求 的导数的
10、导数.（提示（提示: 取对数求导）取对数求导）记结论记结论23第三章第三章 导数与微分导数与微分第三章 导数与微分24六、参变量函数的导数六、参变量函数的导数设设 y = f(x) 由参数方程由参数方程 确定，确定， 可导，可导， 且且 有反函数，则有反函数，则例例10.求由上半椭圆的参量方程求由上半椭圆的参量方程 所确定所确定的函数的函数 y = f(x) 的导数的导数, 并求此椭圆在并求此椭圆在 处的切线方程处的切线方程. 24第三章第三章 导数与微分导数与微分第三章 导数与微分251. 1. 求导法则：求导法则：求导法则：求导法则：七、基本求导法则与公式（课本七、基本求导法则与公式（课本
11、 p.125-126）要牢记！要牢记！25第三章第三章 导数与微分导数与微分第三章 导数与微分262. 2. 基本初等函数的导数公式：基本初等函数的导数公式：基本初等函数的导数公式：基本初等函数的导数公式：要牢记！要牢记！26第三章第三章 导数与微分导数与微分第三章 导数与微分275.4 高阶导数高阶导数一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义二、高阶导数的计算二、高阶导数的计算27第三章第三章 导数与微分导数与微分第三章 导数与微分28问题的引入：问题的引入：问题的引入：问题的引入：一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义速度：速度：加速度：加速度：一阶导数一阶导数?定义定义定义定义存在，则称存在，
12、则称 f 在点在点x0处二阶可导处二阶可导，称该极限值为，称该极限值为 f 在点在点 x0处的二阶导数处的二阶导数，记作，记作 .若函数若函数 f 的导函数的导函数 在点在点 x0 可导，即可导，即 变速直线运动变速直线运动位移：位移：注：注：若若f 在在I 的每点处都二阶可导的每点处都二阶可导, 则则f 在在I上有二阶导函数上有二阶导函数28第三章第三章 导数与微分导数与微分第三章 导数与微分29定义定义定义定义二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数, ,三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, , 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶
13、导数. .一阶导数的导数称为二阶导数一阶导数的导数称为二阶导数, ,一般地，函数一般地，函数 f(x) 的的 n-1 阶导函数的导函数称为阶导函数的导函数称为f(x) 的的 n 阶导阶导(函函)数数. . 记作记作注：注：f(x) 称为称为 f(x) 的零阶导数，的零阶导数， 称为称为 f(x) 的一阶导数的一阶导数.记作记作 . .记作记作 . .记作记作 . .29第三章第三章 导数与微分导数与微分第三章 导数与微分30例例1. 求下列函数的各阶导数求下列函数的各阶导数:二、高阶导数的计算二、高阶导数的计算1. 1. 逐阶求导，寻求规律，写出通式逐阶求导，寻求规律，写出通式逐阶求导，寻求规
14、律，写出通式逐阶求导，寻求规律，写出通式30第三章第三章 导数与微分导数与微分第三章 导数与微分31乘法法则乘法法则: :2. 2. 高阶导数求导法则高阶导数求导法则高阶导数求导法则高阶导数求导法则* *加法法则加法法则: : 莱布尼茨公式莱布尼茨公式莱布尼茨公式莱布尼茨公式例例2. 计算计算： 的的 20 阶导数阶导数.(1)(1)的的 3 阶导数阶导数.的二阶导数，其中的二阶导数，其中 f 二阶可导二阶可导.不要求掌握不要求掌握31第三章第三章 导数与微分导数与微分第三章 导数与微分32小结：小结： 导导(函函)数的计算数的计算利用导函数：利用导函数：根据定义：根据定义：一、一、 的计算的
15、计算根据函数构成：根据函数构成：二、二、 的计算的计算反函数求导法则反函数求导法则反函数求导法则反函数求导法则导数的四则运算导数的四则运算导数的四则运算导数的四则运算复合函数求导法则复合函数求导法则复合函数求导法则复合函数求导法则隐函数隐函数隐函数隐函数参变量函数参变量函数参变量函数参变量函数幂指函数幂指函数幂指函数幂指函数取对数求导取对数求导取对数求导取对数求导利用求导法则利用求导法则根据定义根据定义三、三、 的计算的计算根据定义根据定义分段函数分段函数分段函数分段函数32第三章第三章 导数与微分导数与微分第三章 导数与微分335.5 微分微分一、微分的定义一、微分的定义二、微分的几何意义二
16、、微分的几何意义三、微分法则三、微分法则四、微分的应用四、微分的应用33第三章第三章 导数与微分导数与微分第三章 导数与微分34定义定义定义定义则称则称 f 在点在点x0处处可微可微，称，称 Ax 为为 f 在点在点x0处的处的微分微分.设函数设函数 y = f(x) 在某在某U(x0)内有定义内有定义, x0 处的自变量增量与处的自变量增量与函数增量分别记为函数增量分别记为x, y . 若存在常数若存在常数 A，使得，使得记作记作或或一、微分的定义一、微分的定义定理定理定理定理 f 在点在点 x0 处可微处可微 f 在点在点 x0 处可导处可导. 且且注：注：2. 对自变量对自变量 x 有有
17、: dx = x ,1. 若若f 在在I 的每点处都可微，则称的每点处都可微，则称 f 为为I 上的可微函数上的可微函数.或写作或写作线性主部线性主部故故微商微商34第三章第三章 导数与微分导数与微分第三章 导数与微分35例例1 求函数求函数 y x 2 当当 x 由由 1 改变到改变到 1 01 时的微分时的微分 例例2 求函数求函数 y ln x 的微分的微分 dy 的计算：的计算：例：例：注：注：35第三章第三章 导数与微分导数与微分第三章 导数与微分36二、微分的几何意义二、微分的几何意义几何意义：几何意义：当当 x 较小时，可近似以较小时，可近似以”直直”(切线切线)代代”曲曲”(曲
18、线曲线) 36第三章第三章 导数与微分导数与微分第三章 导数与微分37三、微分法则三、微分法则根据求导法则可以得到：根据求导法则可以得到：( (一阶微分一阶微分形式不变性形式不变性) )37第三章第三章 导数与微分导数与微分第三章 导数与微分38例例3. 求求 的微分的微分. .例例4. 求求 的微分的微分. .38第三章第三章 导数与微分导数与微分第三章 导数与微分39四、微分的应用四、微分的应用 函数的近似计算函数的近似计算函数的近似计算函数的近似计算例如例如：例例6. 试求试求 sin 33o 的近似值的近似值 ( 保留三位有效数字保留三位有效数字 ).问题问题问题问题: : 已知已知
19、f(x0) 的值的值, 试估计试估计 f 在在 x0 附近点附近点 x 处的函数值处的函数值.特别地，在原点附近有特别地，在原点附近有例例5. 试求试求 的近似值的近似值 .39第三章第三章 导数与微分导数与微分第三章 导数与微分40 微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题: :函数的变化率问题函数的变化率问题导数的概念导数的概念函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法, 叫做叫做 微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学, 叫做叫做 微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系: :近似计算的基本公式近似计算的基本公式: :40第三章第三章 导数与微分导数与微分
