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1、1.4.2 正、余弦函数的图像和性质正、余弦函数的图像和性质1周期函数1.正弦、余弦函数的图象和性质y=sinx(x R)y=cosx(x R)定义域值域周期性x Ry -1,1T=2 xyO1-1y=cosxy=cosxy y- -1xO12233445566-2-2-3-3-4-4-5-5-6-6-y=sinxy=sinx2周期函数2.2.周期函数的定义周期函数的定义一般地，对于函数一般地，对于函数f( (x) )，如果存在一个，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。对于一个周期函数
2、f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。3周期函数可知：可知： 函数函数y=sin=sinx和和y=cos=cosx都是周期都是周期函数，函数，2 2k(kZ(kZ且且 k0)k0)都是它的都是它的周期，最小正周期是周期，最小正周期是 22。 由由sin(sin(x+2+2k)=sin)=sinx ; ; cos(cos(x+2+2k)=cos)=cosx (kZ) (kZ)4周期函数注意：（1）周期T为非零常数。（2）等式f(x+T)=f(x)对于定义域M内任意一个x都成立。（3）周期函数f(x)的定义域必为无界数集（至少一端是无界的）（
3、4）周期函数不一定有最小正周期。举例：f(x)=1(xR),任一非零实数都是函数f(x)=1的周期，但在正实数中无最小值，故不存在最小正周期。5周期函数的最小正周期6周期函数例例1 1 求下列函数的周期：求下列函数的周期：（1）y=3cosx; xRxR（2）y=sin2x，xR R； 3.例题讲解例题讲解7周期函数8周期函数9周期函数10周期函数11周期函数 例例1 1、已已知知定定义义在在R R上上的的函函数数f(x)f(x)满满足足f(xf(x2)2)f(x)=0f(x)=0，试试判判断断f(x)f(x)是是否否为周期函数？为周期函数？4.周期函数应用周期函数应用 结论：定义在R R上的
4、函数f(x)f(x)满足f(xa)f(x)=0或f(xa) =-f(x) 则f( (x) )是周期为2 2a的周期函数. .12周期函数 例例2 2、已知定义在、已知定义在R R上的函数上的函数f(x)f(x)满足满足f(xf(x1)=f(x1)=f(x1)1)，且且当当x0x0，22时时，f(x)=xf(x)=x4 4，求，求f(10)f(10)的值的值. .结论：定义在R R上的函数f(x)f(x)满足f(xa)-f(x-b)=0或f(xa) =f(x-b) 则f( (x) )是周期为a+ +b的周期函数. .13周期函数y y- -1xO12233445566-2-2-3-3-4-4-5
5、-5-6-6-y=sinxy=sinx14周期函数xyO1-1y=cosxy=cosx15周期函数奇偶性一般的，如果对于一个定义域关于原点对称的函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数。奇函数的图像关于原点对称。一般的，如果对于一个定义域关于原点关于原点对称的函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数。偶函数的图像关于y轴对称。16周期函数1.正弦、余弦函数的奇偶性、单调性sin(-x)=-sinx(x R)y=sinx(x R) 是奇函数cos(-x)=cosx(x R)y=cos
6、x(x R)是偶函数定义域关于原点对称正弦、余弦函数的奇偶性17周期函数正弦函数的单调性 y=sinx (x R)xyo-1234-2-31 x0 sinx-1 0 1 0 -118周期函数余弦函数的单调性y=cosx(x R) x0cosx-1010-1yxo-1234-2-3119周期函数单调性y=cosx在每一个闭区间(2k-1),2k(kZ)上都是增函数,其值从-1增大到1；在每一个闭区间2k，(2k+1)(kZ)上都是减函数，其值从1减小到-1.y=sinx在每一个闭区间+2k,+2k(kZ）上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间+2k，+2k(kZ)上都是减函数，其值从1
7、减小到-1.20周期函数 例例3 3 求求下下列列函函数数的的最最大大值值和和最最小小值值，并并写出取最大值、最小值时自变量写出取最大值、最小值时自变量x x的集合的集合 （1 1） y=cosxy=cosx1 1，xRxR； （2 2）y=y=3sin2x3sin2x，xR.xR.21周期函数 例例4 4 比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小: : 例例5 5 求函数求函数 ，xx22，22的单调递增区间的单调递增区间. .22周期函数23周期函数当cosx=1即x=2k（kZ)时，y取到最大值3.解：解：由cosx0得：-+2kx+2k（kZ)函数定义域为-+2k，+2k由0cosx1
8、12+13函数值域为1，3练：求函数y=2+1的定义域、值域，并求当x为何值时，y取到最大值，最大值为多少？24周期函数 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性奇函数偶函数 +2k , +2k ,k Z单调递增 +2k , +2k ,k Z单调递减 +2k , 2k ,k Z单调递增2k , 2k + , k Z单调递减函数余弦函数正弦函数求函数的单调区间：1.直接利用相关性质2.复合函数的单调性3.利用图象寻找单调区间奇偶性 单调性（单调区间）单调性（单调区间）25周期函数正弦、余弦函数的奇偶性、单调性例例2 2求下列函数的单调区间： (1) y=2sin(-x )解：解： y=2sin(-x )
9、= -2sinx函数在函数在 上单调递减上单调递减 +2k , +2k ,k Z函数在函数在 上单调递增上单调递增 +2k , +2k ,k Z (2) y=3sin(2x- ) 单调增区间为单调增区间为所以：所以：解：解：单调减区间为单调减区间为26周期函数 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性解：解： (4) 解：解： 定义域定义域 (3) y= ( tan )sin2x单调减区间为单调减区间为单调增区间为单调增区间为当当即即为减区间。为减区间。当当即即为增区间。为增区间。27周期函数正弦、余弦函数的奇偶性、单调性(5)y=-|sin(x+)|解：令x+=u, 则y=-|sinu|大致图象如下：y=sinuy=|sinu|y=-|sinu|uO1y-1减区间为增区间为即：y为增函数y为减函数28周期函数
