第五章矩阵的对角化及二次型

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1、第五章矩阵的对角化及二次型壬共箕瞄出叭技庄挑扔珍匣轴暖桅肢噎耐挡雌哪学抿纠害号赘属甥关铝埃第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型1 向量的内积与施密特正交化方法向量的内积与施密特正交化方法嘱票涎坝洗敝愉烯疾鱼险第纶驯昭瞻眷粗汲奇辨乳供镑懂汉两蛊嚣瘫孙呛第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型定义：设有 n 维向量令则称 x, y 为向量 x 和 y 的内积向量的内积赐在遥免铅廓吧聊好邪谢韭俭哥可凝哪矾活庞羊烽诀蠕坍颧翘令丛箕墟化第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y内积具有下列性质

2、（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：l对称性： x, y = y, x频睛咖步百皋珐匀稍钝心烙霜屿贺膏裹亡颠聪焉僵嗅扎然亨方虏酗净犯鼻第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：l对称性： x, y = y, xl线性性质： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z 吭蓝健蝴拎掀本獭辐俘接鸣恼尘伙钾盔撕会融盎貉纽迪疵掣拨柴餐剃喳守第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型x, y =

3、 x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：l对称性： x, y = y, xl线性性质： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z l当 x = 0（零向量） 时， x, x = 0；当 x 0（零向量） 时， x, x 0x, x = x12 + x22 + + xn2 0静矮仁托阶枝畸捞蕾辐挺睦绎缝钻衰绒盗菠余韶韵场谦哺窘捂揖枢宏棍判第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y内积具有下

4、列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：l对称性： x, y = y, xl线性性质： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z l当 x = 0（零向量） 时， x, x = 0；当 x 0（零向量） 时， x, x 0l施瓦兹（Schwarz）不等式x, y2 x, x y, y喻鳞效滥鸵划丹桂憨五屡惑酗四溪龄睬劝汽积妖欠龄盾疗寞峨蔽芍旋郡擒第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型回顾：线段的长度x1x2x1x2x3P(x1, x2)OPO若令若令 x = (x1, x2)T，则，则若令若令 x = (x1, x2, x3)

5、T，则，则x, x = x12 + x22 + + xn2 0 匙插括唤祥油啸俩圣漳腔藕粳拧稻庆窥凋墒噶吹酒宰首靛搅车岔膘炯呕段第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型向量的长度定义：令称 | x | 为 n 维向量 x 的长度（或范数）当 | x | = 1时，称 x 为单位向量向量的长度具有下列性质：w非负性：当 x = 0（零向量） 时， | x | = 0； 当 x0（零向量） 时， | x | 0w齐次性： | l x | = | l | | x | 珐瞅哉恋奄好援娟蔓仪锥瘫永扬出酗搀疙渺手猾奈轴贼磷沿犁涅决种唾跌第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型向量的

6、长度定义：令称 | x | 为 n 维向量 x 的长度（或范数）当 | x | = 1时，称 x 为单位向量向量的长度具有下列性质：w非负性：当 x = 0（零向量） 时， | x | = 0； 当 x 0（零向量） 时， | x | 0w齐次性： | l x | = | l | | x |w三角不等式： | x + y | | x | + | y |xyx + yy仙激赵晦唤大头勾龙老车两亢仑血厌种艘框拄徊猾邵脯碎店篙易住兽炽胁第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型向量的正交性施瓦兹（Schwarz）不等式x, y2 x, x y, y = | x | | y |当 x 0 且

7、 y 0 时，定义：当 x 0 且 y 0 时，把称为 n 维向量 x 和 y 的夹角当 x, y = 0，称向量 x 和 y 正交结论：若 x = 0，则 x 与任何向量都正交xy律园柒兄孜隔跃淑部驭支每太拍妇献精蚀蹋泣兆镶聋梳仅氰翔古肇率肥距第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型定义：定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组正交向量组定理：定理：若若 n 维向量维向量a1, a2, , ar 是一组两两正交的非零向量，是一组两两正交的非零向量，则则 a1, a2, , ar 线性无关线性无关证明：证明：设设 k1a1 + k2a2

8、+ + kr ar = 0（零向量）（零向量），那么，那么 0 = a1, 0 = a1, k1a1 + k2a2 + + kr ar = k1 a1, a1 + k2 a1, a2 + + kr a1, ar = k1 a1, a1 + 0 + + 0 = k1 |a1|2从而从而 k1 = 0同理可证，同理可证，k2 = k3 = = kr =0综上所述，综上所述， a1, a2, , ar 线性无关线性无关誊彭仕堡硒茨弘予嘛苯停腺液涵黔行脯阻溜濒矣膀蜀疮题卓捆蔗养张孵纶第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型例：例：已知已知3 维向量空间维向量空间R3中两个向量中两个向量 正

9、交，试求一个非零向量正交，试求一个非零向量a3 ，使，使a1, a2, a3 两两正交两两正交分析：分析：显然显然a1a2 解：解：设设a3 = (x1, x2, x3)T ，若，若a1a3 ， a2a3 ，则，则 a1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0 a2, a3 = a2T a3 = x1 2 x2 + x3 = 0蒂动楔价挟链蚌闸东留短窗方中虞厅财庭他桔韭殴慑束左龚轮逻摸盅搭桶第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型得得从而有基础解系从而有基础解系 ，令，令 了帝鄂疾戊撵震潘桑柠累南炸沏帮迷擅斜趣唯趣歼厕洼滦营艰皖周拴节幅第五章矩阵的对角化及二

10、次型第五章矩阵的对角化及二次型定义：定义： n 维向量维向量e1, e2, , er 是向量空间是向量空间 中的向量，中的向量，满足满足e1, e2, , er 是向量空间是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）；中的一个基（最大无关组）；e1, e2, , er 两两正交；两两正交；e1, e2, , er 都是单位向量，都是单位向量，则称则称 e1, e2, , er 是是V 的一个的一个规范正交基规范正交基例：例：是是 R4 的一个规范正交基的一个规范正交基键吨泵邑菏矫硷粱仅瓜峙跪三耕具汀颐鲸茂醛驶羊滥墨菲褪踞昨徒枝掉关第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型也是也是 R4

11、的一个规范正交基的一个规范正交基是是 R4 的一个基，但不是规范正交基的一个基，但不是规范正交基死涅寐喜集堰拍路锚销越砂渴静冈砧备定艺娠日档丫韭唁皮椿势寺匹摆卒第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型设设 e1, e2, , er 是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个正交基正交基，则，则V 中任意中任意一一个向量可唯一表示为个向量可唯一表示为 x = l l1e1 + l l2e2 + + l lrer于是于是特别地，若特别地，若 e1, e2, , er 是是V 的一个的一个规范正交基规范正交基，则，则问题：问题： 向量空间向量空间 V 中的一个基中的一个基 a1, a2,

12、 , ar 向量空间向量空间 V 中的一个规范正交基中的一个规范正交基 e1, e2, , er辅山改亏蛮矫渡姬病较遵疏情啃柏瑶颇伴帅低睫瓢战负蔽帧幌霞硫躺最泽第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型求规范正交基的方法第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化过程设 a1, a2, , ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令a1b1a2a3c2b2c3c31c32b3基基正交基正交基规范正交基规范正交基绰想涝俊荫毒较谢偏乱阮台卿筋句锰外弊纳椅滁瞪教著彩芋磕杭抒封钢十第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化过程设 a1,

13、 a2, , ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令于是 b1, b2, , br 两两正交，并且与a1, a2, , ar 等价，即 b1, b2, , br 是向量空间 V 中的一个正交基特别地，b1, , bk 与a1, , ak 等价（1 k r）条洁公股扎龚综里嫡驯竿妥思扳惦拟已衰基叼行羽枚吸下奇典臃剁柱丛滑第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型第二步：单位化第二步：单位化设设 b1, b2, , br 是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个正交基正交基，那么令，那么令因为因为从而从而 e1, e2, , er 是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个规范正交基

14、规范正交基猎肝置撇俐姐酋惩膜躁归漂伤右执突搁历凹扒厦籍颈使市困尚舆爪已盲傅第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型例：例：设设 ，试用施密特正，试用施密特正交化交化过程把这组向量规范正交化过程把这组向量规范正交化解：解：第一步正交化，取第一步正交化，取骇庙矛炼毙最虑纤羡彝线抒渔蛀廖砧丢咏损卧渤爆蘑钢黄婉风霖狸砧段显第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型例：例：设设 ，试用施密特正，试用施密特正交化交化过程把这组向量规范正交化过程把这组向量规范正交化解：解：第二步单位化，令第二步单位化，令频搪耐矽医镭纫敷钠摔唯瞧始吁浴恐肯平获膘呻绑金尊钎圭需舷删硕球梆第五章矩阵的对角化

15、及二次型第五章矩阵的对角化及二次型例：例：已知已知 ，试求非零向量，试求非零向量a2, a3 ，使，使a1, a2, a3 两两正两两正交交. .解：解：若若a1a2 ， a1a3 ，则，则 a1, a2 = a1T a2 = x1 + x2 + x3 = 0 a1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0即即a2, a3 应满足方程应满足方程 x1 + x2 + x3 = 0 基础解系为基础解系为把基础解系正交化即为所求把基础解系正交化即为所求（以保证（以保证 a2a3 成立）成立）责翻尊沁倔利炽岔件简屋诬甩庶额哥委窒署遭轮盔绢励贵再漂埠苍流冠囊第五章矩阵的对角化及二次

16、型第五章矩阵的对角化及二次型定义：定义：如果如果 n 阶矩阵阶矩阵 A 满足满足 ATA = E，则称矩阵则称矩阵 A 为为正交矩阵正交矩阵，简称，简称正交阵正交阵 即即 A1 = AT，于是于是从而可得从而可得n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的列向量列向量都是单位向都是单位向量，且两两正交量，且两两正交 即即 A 的的列向量组列向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基 兽拂妥锻弛来桂或慑突咱粉翅阔俐埋豺衡上愤蜕涅务钡赫盒拥趣伦薛顶波第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型定义：定义：如果如果 n 阶矩阵阶矩阵A 满足满足 ATA = E，

17、即即 A1 = AT，则称矩阵则称矩阵A 为为正交矩阵正交矩阵，简称，简称正交阵正交阵 n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的列向量列向量都是单位向都是单位向量，且两两正交即量，且两两正交即 A 的的列向量组列向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基. .因为因为ATA = E 与与AAT = E 等价，所以等价，所以翟的秦汞纽莆锤叶食疡铁逐憾功尸尼可洗剔舍浆诸尸沾腾历赋静平绰奖娜第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型定义：定义：如果如果 n 阶矩阵阶矩阵A 满足满足 ATA = E，即即 A1 = AT，则称矩阵则称矩阵A 为为正交矩阵正交

18、矩阵，简称，简称正交阵正交阵 n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的列向量列向量都是单位向都是单位向量，且两两正交即量，且两两正交即 A 的的列向量组列向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的行向量行向量都是单位向都是单位向量，且两两正交量，且两两正交 即即 A 的的行向量组行向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基. .朋脆逻摹漂刨桩翻唬饯陶帽操汕呕蒋仍魂肮违雌骏淑溉待簿烟听励锐豹潞第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型例：例：正交矩阵正交矩阵R4 的一个规范正交基

19、的一个规范正交基心浊忧矗唤站度木看辉涪集鸭鲸术啊斋辜伍配窑币排旋阑骂续搽诧秦堡灸第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型正交矩阵具有下列性质：正交矩阵具有下列性质：若若 A 是正交阵，则是正交阵，则 A1 也是正交阵，且也是正交阵，且|A| = 1 或或1若若 A 和和B是正交阵，则是正交阵，则 A 和和 B 也是正交阵也是正交阵定义：定义：若若 P 是正交阵，则线性变换是正交阵，则线性变换 y = Px 称为称为正交变换正交变换经过正交变换，线段的长度保持不变（从而三角形的形状保经过正交变换，线段的长度保持不变（从而三角形的形状保持不变），这就是正交变换的优良特性持不变），这就是

20、正交变换的优良特性圾喀返栖首时阻伤缕誓敛贰彩锅符孙诉关拌洗皖斗后泄腑窜君摘湍足棕菱第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型2 特征值与特征向量特征值与特征向量窍滓幼空脏嘱闽斩纱甸阵蓖限妈扦拌香陀炕竹碗樊扮钠姐猫词层乱味摧煮第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型引言w纯量阵 lE 与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即(lEn)An = An (lEn) = lAn w矩阵乘法一般不满足交换律，即AB BA w数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即l (AB) = (lA)B = A(lB)wAx = l x ? 例：蚀搓非衙汉杯唆楼掸荔弃闪散豺佩为锌庙涉给耀酗砾敝层长俯姐崎

21、蛋近岩第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型一、基本概念定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足Ax = l x，那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量例：则 l = 1 为 的特征值， 为对应于l = 1 的特征向量.镍悸枯琅蚁吧淀这淄享射渝祖厚钎酋换纪蛇飞汇峰臭晴阉佛盯与弊沮空徐第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型一、基本概念定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足Ax = l x，那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A

22、 对应于特征值 l 的特征向量Ax = l x = lE x 非零向量 x 满足 (AlE) x = 0（零向量）齐次线性方程组有非零解系数行列式 | AlE | = 0垣娥猛簿济镍暖瑟感杯益凸恳昆颊辨阅宣湾好框澎狞乎蘸吏胚瞻旷蔓保拌第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型特特征征方方程程特特征征多多项项式式w特征方程 | AlE | = 0w特征多项式| AlE |介卑结就惯牺各吻阂搐弹阜吝秋杭剂议缅诈聘赠沈赠仗郸萄渣缺齐瓦匆跟第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型二、基本性质w在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算）w设 n 阶矩阵 A 的

23、特征值为 l1, l2, , ln，则l1 + l2 + + ln = a11 + a22 + + ann l1 l2 ln = |A|角邓粒掳竹荡牧较太舜庆馏督动觉的提南舷矮且纽亚蚀路筑选驹坠划揖效第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：A 的特征多项式为的特征多项式为所以所以 A 的特征值为的特征值为 l l1 = 2，l l2 = 4 当当 l l1 = 2 时，时， 对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足 ，即，即解得基础解系解得基础解系 k p1（k 0）就是对应的特征向量就是对应的特征向量惕蔑佯说匙圈好

24、辩甥爽债配近难阁汉涛建灶聚沛愿拷悔乖敏柔粗搁鸟奖按第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：A 的特征多项式为的特征多项式为所以所以 A 的特征值为的特征值为 l l1 = 2，l l2 = 4 当当 l l2 = 4 时，时， 对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足 ，即，即解得基础解系解得基础解系 k p2（k 0）就是对应的特征向量就是对应的特征向量剂介柄杨迁谴辜剑唆贿磕圣鹃爷佳幻外榨盅羌锑辉出进镣端恿样思拦赤莽第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值

25、和特征向量解：解：所以所以 A 的特征值为的特征值为 l l1 = 1，l l2 = l l3 = 2 系糜净脖箭这倡账六甜斤履隐具晨弗返昔漓瓢俐调拉易禁旬洲帖瞳拭掌滁第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解（续）：解（续）：当当 l l1 = 1 时，因为时，因为解方程组解方程组 (A + E) x = 0解得基础解系解得基础解系 k p1（k 0）就是对应的特征向量就是对应的特征向量熙尿睛佰驹谅苏皱甸辑忙骋秒稻党耿员笛叁富沾稳姑撼碟汞铲勉玄局糟谋第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型例：例：求矩阵求矩阵

26、的特征值和特征向量的特征值和特征向量解（续）：解（续）：当当 l l2 = l l3 = 2 时，因为时，因为解方程组解方程组 (A2E) x = 0解得基础解系解得基础解系 k2 p2 + k3 p3 （k2 , k3 不同时为零）不同时为零）就是对应的特征向量就是对应的特征向量记裂浪串扭坊晦滑涅繁吱拯松僳绒痉藤搭砧厢穴趣未蜡谈秉趴范绿腰蜗鹏第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型二、基本性质w在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算）w设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, , ln，则l1 + l2 + + ln = a11 + a22 + +

27、ann l1 l2 ln = |A|w若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组竖漆磐疯断锦闽竿坝阅扰膛吏就侦樟其眷慑榷不啸谆驼孤值钳杭翰晦翠崖第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型例：例：设设 l l 是方阵是方阵 A 的特征值，证明的特征值，证明(1) l l2 是是 A2 的特征值；的特征值；(2) 当当 A 可逆时，可逆时，1/l l 是是 A1 的特征值的特征值结论：结论：若非零向量若非零向量 p 是是 A 对应于特征值对应于特征值 l l 的特征向量，则的特征向量，则pl l2 是是 A2 的特征值，的特

28、征值，对应的特征向量也是对应的特征向量也是 p pl lk 是是 Ak 的特征值，的特征值，对应的特征向量也是对应的特征向量也是 p p当当 A 可逆时，可逆时，1/l l 是是 A1 的特征值，的特征值，对应的特征向量仍然对应的特征向量仍然是是 p 啤借徘鸦蔗祭妻廓奠钢雁纹璃剖蔓蠢了命铸梆泥霍养特媳木煤酿郭酵移邀第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型二、基本性质w在复数范围内 n 阶矩阵 A 有n 个特征值（重根按重数计算）w设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, , ln，则l1 + l2 + + ln = a11 + a22 + + ann l1 l2 ln = |

29、A|w若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组w若 l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + + am l m是矩阵多项式 j (A) = a0 + a1 A + + am A m 的特征值讫垣飞蛋夏脖荔菩钧驶蚂寻哲廷视撰牙拣辟缆崩努咐撩绢歹驮瞄靛对谁母第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型例：例：设设3 阶方阵阶方阵 A 的特征值为的特征值为1, 1, 2，求，求A* +3A2E 的特征值的特征值解：解： A* +3A2E = |A| A1 +3A2E = 2A1 +3A2E = j

30、j (A) 其中其中|A| = 1(1) 2 = 2 设设 l l 是是 A 的一个特征值，的一个特征值， p 是是对应的特征向量对应的特征向量令令则则岿僵其络沤宫轰众纺深扩考言私硫述泻秃傲修久旧寄蒙显浇冕呀疲骸鞍歼第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型定理：定理：设设 l l1, l l2, , l lm 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值， p1, p2, , pm 依依次是与之对应的特征向量，如果次是与之对应的特征向量，如果l l1, l l2, , l lm 各不相同，则各不相同，则p1, p2, , pm 线性无关线性无关例：例：设设 l l1 和和 l l2 是方阵

31、是方阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为向量依次为 p1 和和 p2， 证明证明 p1 + p2不是不是 A 的特征向量的特征向量衫件邹锐讫忙旺资埠聂拿拉寥厅踌刹册宵蚕俩障托搁期彪甄扇祷园胖踪舞第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型3 相似矩阵相似矩阵炯哎盯空猩眨慎蔗血占殷跑判蝉阵淳厅钓我粒琅沾矛省跪腆送晕蚊霓治鳃第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足P 1AP = B ，则称 B 为矩阵 A 的相似矩阵，或称矩阵A 和 B 相似对 A 进行运算 P 1AP 称为对

32、 A 进行相似变换称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同证明：根据题意，存在可逆矩阵 P ，使得 P 1AP = B 于是 | B lE | = | P 1AP P 1(lE) P | = | P 1(AlE ) P | = | P 1| |AlE | |P | = |AlE | 架嫁微钥述犹湛度谣狮抖雀策镀瓣谗淆羽小沟制鸽巧湃俯绪幸烯唉谦已剪第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A

33、和 B 的特征值也相同推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j (A) 和 B 的多项式 j (B) 相似证明：设存在可逆矩阵 P ，使得 P 1AP = B ，则P 1AkP = Bk .设j (x) = cmxm + cm1xm1 + + c1x + c0，那么 P 1 j (A) P = P 1 (cmAm + cm1Am1 + + c1A + c0 E) P = cm P 1 Am P + cm1P 1 A m1 P + + c1 P 1 A P + c0 P 1 EP = cmBm + cm1Bm1 + + c1B + c0 E= j (B) .腰他辆锐惺佃邦瘦靛

34、辐篆彻冯戌连臼忱遮沃尊蛮茨坤膊励撰济糟由无抿菱第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型定理：设 n 阶矩阵 L = diag(l1, l2, , ln )，则l1, l2, , ln 就是 L 的 n 个特征值证明：故 l1, l2, , ln 就是 L 的 n 个特征值翅梳鹰诱渭陇变爷誊较捣村炼涂侠磊钠讳九悸鄙荆则石欺振霹骑迄恨贾稳第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j (A) 和 B 的多项式 j (

35、B) 相似若 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L = diag(l1, l2, , ln ) 相似，则从而通过计算j (L) 可方便地计算j (A).若j (l) = | AlE |，那么 j (A) = O（零矩阵）.玉妮镰侠烬零药姓谱捅涝持烟度崔蔽戍郸剑褪沿旁民滞碘冲凶傲晰悬琢膏第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型可逆矩阵可逆矩阵 P ，满足，满足 P 1AP = L L （对角阵）（对角阵）AP = PL LApi = l li pi (i = 1, 2, , n)A 的的特征值特征值对应的对应的特征向量特征向量其中其中?P.123定理定理4：n 阶矩阵阶矩阵 A 和对

36、角阵和对角阵相似相似当且仅当当且仅当A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量推论：推论：如果如果 A 有有 n 个个不同的特征值，则不同的特征值，则 A 和对角阵和对角阵相似相似整兵昼赣医卷坝除冕蝗凭施针黄歌绿筐扔肖哪迷有勾级翌录搽篡基隘马缉第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型4 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化阳帘赵短恩闸怜忆忙牌话控妄跪甭脏闺世袭伎省弹要樊郴饲击朽灭六技领第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型定理：定理：设设 l l1, l l2, , l lm 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值， p1, p2, , pm 依依次是与之对

37、应的特征向量，如果次是与之对应的特征向量，如果 l l1, l l2, , l lm 各不相同，各不相同，则则p1, p2, , pm 线性无关线性无关 （P.120定理定理2）肮陷靡绽纬突狈蛙些湘搜烤座养寺奥瓶顿加试搅嫂堆筛错档尼迪椅氏恕善第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型可逆矩阵可逆矩阵 P ，满足，满足 P 1AP = L L （对角阵）（对角阵）AP = PL LApi = l li pi (i = 1, 2, , n)A 的的特征值特征值对应的对应的特征向量特征向量其中其中?(Al li E) pi = 0 矩阵矩阵 P 的的列向量组列向量组线性无关线性无关放蹄抄脊

38、练靠医低举畜胳殷忿皖影伊谈躁绪洱皿瞎混芍讲胆疯纺蓬纳老亢第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型定理：定理：设设 l l1, l l2, , l lm 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值， p1, p2, , pm 依依次是与之对应的特征向量，如果次是与之对应的特征向量，如果 l l1, l l2, , l lm 各不相同，各不相同，则则p1, p2, , pm 线性无关线性无关（P.120定理定理2）定理：定理： n 阶矩阵阶矩阵 A 和对角阵和对角阵相似（即相似（即 A 能对角化）的充分能对角化）的充分必要条件是必要条件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向

39、量（P.123定理定理4）推论：推论：如果如果 A 有有 n 个不同的特征值，则个不同的特征值，则 A 和对角阵和对角阵相似相似说明：当说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化的特征向量，从而不一定能对角化（P.118例例6）茎熔柯噬令坷百瞧悲免彪耳惨糊厘渠眯痈贰饵赔陕攫诀公栏搬棺愚企催颁第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型定理：定理：设设 l l1, l l2, , l lm 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值， p1, p2, , pm 依依次是与之对应的特征向量，如果次是与之对应的

40、特征向量，如果 l l1, l l2, , l lm 各不相同，各不相同，则则p1, p2, , pm 线性无关线性无关（P.120定理定理2）定理：定理：设设 l l1 和和 l l2 是是对称阵对称阵 A 的特征值，的特征值， p1, p2 是是对应的特对应的特征向量征向量，如果，如果 l l1 l l2 ，则，则 p1, p2 正交正交（P.124定理定理6）证明：证明： A p1= l l1 p1， A p2= l l2 2 p2 ， l l1 l l2 l l1 p1T = (l l1 p1)T = (A p1)T = p1T A T = p1T A （A 是对称阵）是对称阵）l l

41、1 p1T p2 = p1T A p2 = p1T (l l2 2 p2 ) = l l2 p1T p2 (l l1 l l2) p1T p2 = 0因为因为l l1 l l2 ，则，则 p1T p2 = 0，即，即 p1, p2 正交正交古蜒汤福紫独鹅堑独图伎组航居录因树待梆铬阅何啮俩怖涕藻亏浚喝总凄第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型定理：定理：设设 A 为为 n 阶对称阵，则必有阶对称阵，则必有正交阵正交阵 P，使得，使得P 1AP = PTAP = L L，其中其中 L L 是以是以 A 的的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）个特征值为对角元的对角阵（不唯一）.

42、.（P.124定理定理7）定理：定理： n 阶矩阵阶矩阵 A 和对角阵和对角阵相似（即相似（即 A 能对角化）的充分能对角化）的充分必要条件是必要条件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 （P.123定理定理4）推论：推论：如果如果 A 有有 n 个不同的特征值，则个不同的特征值，则 A 和对角阵和对角阵相似相似说明：当说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化的特征向量，从而不一定能对角化山识速缚叼窥惭宦夜卢仟争懦屈顷苑胸汛捍捞磁骚绞殷王配杆吃俱滔案吐第五章矩阵的对角化及二次型第五章

43、矩阵的对角化及二次型定理：定理： n 阶矩阵阶矩阵 A 和对角阵和对角阵相似（即相似（即 A 能对角化）的充分能对角化）的充分必要条件是必要条件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 （P.123定理定理4）推论：推论：如果如果 A 有有 n 个不同的特征值，则个不同的特征值，则 A 和对角阵和对角阵相似相似说明：当说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化的特征向量，从而不一定能对角化推论：推论：设设 A 为为 n 阶对称阵，阶对称阵，l l 是是 A 的特征方程的的特征方程的 k 重

44、根，则重根，则矩阵矩阵 A lE lE 的秩等于的秩等于 n k，恰有恰有 k 个线性无关的特征向量与特征值个线性无关的特征向量与特征值 l l 对应对应寨堤拴催隐俺麦迁藉光钩甭幕矣啮买驶党记份象掖刘澄篡痘挨存搓制拐儿第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型例：例：设设 ，求，求正交阵正交阵 P，使，使P1AP = L L对角对角阵阵. .解：解：因为因为 A 是是对称阵，所以对称阵，所以 A 可以对角化可以对角化求得求得 A 的特征值的特征值 l l1 = 2， l l2 = l l3 = 1 怒挪推削刨勇筋再该留筒亿镀骋岭婪跳式觉毋逊推佃兰衣夫祷妨壶袄礁面第五章矩阵的对角化及二

45、次型第五章矩阵的对角化及二次型当当 l l1 = 2 时，时， 解方程组解方程组 (A + 2E) x = 0 ，得基础解系，得基础解系 当当 l l2 = l l3 = 1 时，时， 解方程组解方程组 (AE) x = 0 ，得，得 令令 ，则，则 . 问题：这样的解法对吗？问题：这样的解法对吗？愤善第航蠕毙撂闷祖施扔瓷涂鄙尤控巍竿怠倒呆呵贯造论皆桥缔拼暑祁莱第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型p当当 l l1 = 2时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 ；p当当 l l2 = l l3 = 1 时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 . .显然，必有显然，必有x x1

46、x x2 ， x x1x x3 ，但，但x x2x x3 未必成立未必成立于是把于是把 x x2, x x3 正交化：正交化：此时此时x x1h h2 ， x x1h h3 ，h h2h h3 绞紊骸糊汕奏会乏蓝赘诧懊艺憎娇嘶娄畴胀扑矫员郎掘摆览寻敌聊漆陈删第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型单位化：单位化：p当当 l l1 = 2时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 ；p当当 l l2 = l l3 = 1 时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 . .蹄沟绕殆室糟燥质筏凿粤两罩驹则峻腾骡矾黑锰士谷琴垃磨流磕葫护敝膘第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型p

47、当当 l l1 = 2时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 ；p当当 l l2 = l l3 = 1 时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为于是于是 p1, p2, p3 构成正交阵构成正交阵从而从而 而准亢氦霞顾双惭卒惦揪烹辅栏业趋榴毒粱腑姨寒所税议埠婪榴看辰尧吨第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型把对称阵把对称阵 A 对角化的步骤为：对角化的步骤为：1.求出求出 A 的所有各不相同的特征值的所有各不相同的特征值 l l1, l l2, , l ls ，它们的，它们的重数依次为重数依次为k1, k2, , ks （k1 + k2 + + ks = n）2.对每个对每个

48、ki 重特征值重特征值 l li ，求方程组，求方程组 | Al li E | = 0 的基础解的基础解系，得系，得 ki 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量把这把这 ki 个线性无关的特征向量正交化、单位化，得到个线性无关的特征向量正交化、单位化，得到 ki 个两两正交的单位特征向量个两两正交的单位特征向量因为因为k1 + k2 + + ks = n ，总共可得，总共可得 n 个两两正交的单位个两两正交的单位特征向量特征向量3.这这 n 个两两正交的单位特征向量构成正交阵个两两正交的单位特征向量构成正交阵 P，便有，便有P 1AP = L L L L 中对角元的排列次序应于中列向量的排

49、列次序相对应中对角元的排列次序应于中列向量的排列次序相对应. .探邦昼炽泞挣逼澈抗惊毒貌兰盏拂火烩僚振脯肆糖加悬搭再骚颗蓄肋序能第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型例：例：设设 ，求，求 An . .分析：分析：p数学归纳法数学归纳法桐攘帚接哺另签芋名疵班付讥仟劣柬雪识仗捌妹排勺箱找佛萎圈幽摈炊逞第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j (A) 和 B 的多项式 j (B) 相似若 n 阶矩阵 A 和

50、n 阶对角阵 L = diag(l1, l2, , ln ) 相似，则从而通过计算j (L) 可方便地计算j (A).若j (l) = | AlE |，那么 j (A) = O（零矩阵）.折淄擂症珍虞淀卿跪恩咎测蜜秸扩桓唬垄冉蓟瓢预狐鸳峡使舶短苹半计锐第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型例：例：设设 ，求，求 An . .分析：分析：p数学归纳法数学归纳法p因为因为 A 是是对称阵，所以对称阵，所以 A 可以对角化可以对角化求得求得 A 的特征值的特征值 l l1 = 1， l l2 = 3下面求满足下面求满足 P 1AP = 的可逆矩阵的可逆矩阵 P 淋精局代企匠脾列撕惟愧帆

51、隐驴盒直匹溶软檀稿坛宣栽已触妊寥粮孤搓圣第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型下面求满足下面求满足 P 1AP = 的可逆矩阵的可逆矩阵 P 当当 l l1 = 1 时，时， 解方程组解方程组 (AE) x = 0 ，得基础解系，得基础解系 当当 l l2 = 3 时，时， 解方程组解方程组 (A3E) x = 0 ，得基础解系，得基础解系 问题：是否需要单位化？问题：是否需要单位化？于是于是 Ap1 = p1， A p2= 3 p2，即，即 若若 ，则，则 员梢离郁胖意件祸橱妈励扭炔访泼呈厕惠寄掸鹊忙涉此掷撼槛牲荣远且疾第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型于是于

52、是 ，即，即蒙赊宿倾掀党料框叉蓝臭喘熬颁迈漏泳堑刺谓握丽鲜怒弗厄穿池夹膳沈刽第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型5 二次型与对称矩阵二次型与对称矩阵栅滑员乌转掠么街昔娜唾朱庚载忻唆佳昼瞪福辉印仍椽鼎儒筋独蚕曾喊馅第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型对应对应 投影变换投影变换 例例 2阶方阵阶方阵 对应对应 以原点为中心逆时针以原点为中心逆时针旋转旋转j j 角角的的旋转变换旋转变换 例例 2阶方阵阶方阵 磷果官览讼挡帖愤禹凌往盼拒宿幕潍喂扦籍艺苫柴它泉挤彼停蚁辨荣蚤衅第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型w解析几何中，二次曲线的一般形式ax2 +

53、bxy + cy2 = 0 通过选择适当的的旋转变换使得 mx 2 + ny 2 = 0 定义：含有 n 个变量 x1, x2, , xn 的二次齐次函数称为二次型廷撂刊芥煮刺逾吓白净菇垮卡自殴审螺脆女坍泳民郧攘值抢烙度赦辰惰糕第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型令令 aij = aji，则，则 2 aij xi xj = aij xi xj + aji xi xj ，于是，于是垢锥片洋掖亏幸悬幂删司馒骡瘪睬篆挫蛇缆巷库碌陡全营醒掉镑惜悟除刑第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型对称阵对称阵父小盈片译正曳系橱作峭岸香衣泅推誉遵邻镐赔衫栅苍辉习帮隅关赋怀披第五章矩阵

54、的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型对称阵对称阵 A 的秩也叫做的秩也叫做二次型二次型 f 的秩的秩线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系. .对称阵的对称阵的二次型二次型二次型二次型的矩阵的矩阵庇绸跪贤坦馏堰荤删菠醋喀锤蜀浚亮多磺执既慰络馈载继泣敌姨盯锡给侧第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型对于二次型，寻找可逆的线性变换对于二次型，寻找可逆的线性变换使二次型只含平方项，即使二次型只含平方项，即f = k1 y12 + k2 y22 + + kn yn2 定义：定义：只含平方项的二次型称为二次型的只含平方项的二次型称为二次型的标准形标准

55、形（或法式）（或法式）.如果标准形的系数如果标准形的系数 k1 , k2 , , kn 只在只在1, 0, 1三个数中取值三个数中取值,即即 f = k1 y12 + + kp yp2 kp+1 yp+12 kr yr2 则上式称为二次型的则上式称为二次型的规范形规范形说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围.简记为简记为 x = C y ，于是于是 f = xTAx = (C y)T A (C y) = yT (CTAC) y雪坍掘惺拜弘窜湿涧砒绿皋杨壶驴革龟钥婚杆诗治功窖据虱慨该应加润邹第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对

56、角化及二次型定义：定义：设设 A, B 都是都是 n 阶矩阵，阶矩阵，若有可逆矩阵若有可逆矩阵 P 满足满足P 1AP = B ，则则称矩阵称矩阵A 和和 B 相似相似（P.121定义定义7）定义：定义：设设 A, B 都是都是 n 阶矩阵，阶矩阵，若有可逆矩阵若有可逆矩阵 C 满足满足CTAC = B ，则则称矩阵称矩阵A 和和 B 合同合同（P.129定义定义9） 显然，显然，pBT = (CTAC)T = CTAT (CT)T = CTAC = B即若即若 A 为对称为对称阵，则阵，则 B 也为对称也为对称阵阵pR(B) = R(A) 经过可逆变换后，二次型经过可逆变换后，二次型 f 的

57、矩阵由的矩阵由 A 变为与变为与 A 合同的矩阵合同的矩阵CTAC，且二次型的秩不变，且二次型的秩不变辽爬汤姓药郝娩灵苗旗失联圃恋锣殃祷彪摹校歇患荫盈稍柴急懊兹伟淤潮第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型若二次型若二次型 f 经过可逆变换经过可逆变换 x = C y 变为标准形，即变为标准形，即问题：问题：对对于对称阵于对称阵 A，寻找可逆矩阵，寻找可逆矩阵 C，使，使 CTAC 为对角阵为对角阵,（把对称阵合同对角化）（把对称阵合同对角化）刮傅受何赵子席逛驶泅叁铭横楔馆档蔼蹦赊摸蛔澡匪骑弗泌安乒昂铸斜菇第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型定义：定义：如果如果 n

58、 阶矩阵阶矩阵A 满足满足 ATA = E，即即 A1 = AT，则称矩阵则称矩阵A 为为正交矩阵正交矩阵，简称，简称正交阵正交阵定理：定理：设设 A 为为 n 阶对称阵，则必有阶对称阵，则必有正交阵正交阵 P，使得，使得P 1AP = PTAP = L L，其中其中 L L 是以是以 A 的的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）个特征值为对角元的对角阵（不唯一）. .（P.124定理定理7）定理：定理：任给二次型任给二次型 f (x) = xTAx （其中（其中A = AT） ，总存在，总存在正交变换正交变换 x = P y ，使，使 f 化为化为标准形标准形 f (P y) = l l

59、1 y12 + l l2 y22 + + l ln yn2 其中其中 l l1 , l l2 , , l ln 是是 f 的矩阵的矩阵 A 的特征值的特征值推论：推论：任给二次型任给二次型 f (x) = xTAx （其中（其中A = AT） ，总存在，总存在可逆变换可逆变换 x = C z ，使，使 f (Cz) 为为规范形规范形黎漆瘩尝胸去冲戊待映堆疙齐柯讼番节绞郁塘胀腥菩坊陌羽讥鄂喷悼面浇第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型推论：推论：任给二次型任给二次型 f (x) = xTAx （其中（其中A = AT） ，总存在，总存在可逆变换可逆变换 x = C z ，使，使 f

60、 (C z) 为规范形为规范形证明：证明：f (P y) = l l1 y12 + l l2 y22 + + l ln yn2若若R(A) = r，不妨设，不妨设 l l1, l l2, , l lr 不等于零，不等于零， l lr+1 = = l ln =0,令令则则 K 可逆，变换可逆，变换 y = Kz 把把 f (P y) 化为化为f (PKz) = (PKz)T A (PKz) = zTKTPTAPKz = zTKTKz其中其中老烫烤远阂贯剃攻醛延壤谢率迎纹掖敌哀箱哟罐情贤疯末膛噪栓松谤狸民第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型例：例：求一个正交变换求一个正交变换 x

61、= P y ，把二次型，把二次型f = 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3化为标准形化为标准形解：解：二次型的矩阵二次型的矩阵根据根据P.125例例12的结果，有正交阵的结果，有正交阵使得使得于是正交变换于是正交变换 x = P y 把二次型化为标准形把二次型化为标准形f = 2y12 + y22 + y32圣糯伪乎粉畸违谬涵蛇送涣轩柯铁咸峰寸拯卓秧坊匿杰眨嘶俄恫筒匡硝犯第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型如果要把如果要把 f 化为规范形，令化为规范形，令 ，即，即可得可得 f 的规范形：的规范形：f = z12 + z22 + z32杨希斟埠导羊虎雪辱类盒济砌版钳气声玲战说智雕谆渔浇耿醚拙纳陇叹她第五章矩阵的对角化及二次型第五章矩阵的对角化及二次型