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1、第第4章图形变换的矩阵方法章图形变换的矩阵方法要求：要求：1.掌握各种图形变换的变换矩阵。掌握各种图形变换的变换矩阵。2.掌握图形变换矩阵的一般形式。掌握图形变换矩阵的一般形式。3.掌握齐次坐标表示法。掌握齐次坐标表示法。计算机产生图形的过程大致可分为三步：计算机产生图形的过程大致可分为三步：图形输入图形输入图形处理图形处理图形输出图形输出计算机对图形数据进行处理，就是计算机对图形数据进行处理，就是图形处理图形处理。 图形变换图形变换 - - 就是要变换图形的几何关系就是要变换图形的几何关系( (即改变顶点坐标即改变顶点坐标),), 同时保持图形的原拓扑关系不变同时保持图形的原拓扑关系不变.
2、.一般来说，图形从输入到输出贯串着各种变换。被描述的对象一般来说，图形从输入到输出贯串着各种变换。被描述的对象所处的环境和显示屏幕的环境是很不同的，不仅位置不同，大多数所处的环境和显示屏幕的环境是很不同的，不仅位置不同，大多数情况下，尺寸也很不相同。这就要求协调二者的关系。此外，三维情况下，尺寸也很不相同。这就要求协调二者的关系。此外，三维的图形要在二维的图纸或屏幕上表示出来要通过投影变换。为了从的图形要在二维的图纸或屏幕上表示出来要通过投影变换。为了从不同的方向去观察对象，要求能对对象作旋转变换，放大缩小和平不同的方向去观察对象，要求能对对象作旋转变换，放大缩小和平移变换更是经常要用的。绘图
3、过程中还要用窗口来规定要显示的内移变换更是经常要用的。绘图过程中还要用窗口来规定要显示的内容，用视区来规定在屏幕上或图纸上显示的位置。本章学习实现上容，用视区来规定在屏幕上或图纸上显示的位置。本章学习实现上述功能的算法。述功能的算法。2021/3/291图形变换图形变换几何变换几何变换投影变换投影变换又称坐标变换又称坐标变换:它是将点集的坐标变换达到改变位它是将点集的坐标变换达到改变位置、形状置、形状几何变换几何变换基本变换基本变换组合变换组合变换 ：上述变换的连续实施上述变换的连续实施投影变换投影变换正投影变换正投影变换斜投影变换斜投影变换中心变换中心变换：三面正投影图、：三面正投影图、轴测
4、图轴测图：斜轴测图：斜轴测图变位变换变位变换变形变换变形变换：旋转、：旋转、 镜像、镜像、 ：比例、：比例、 错切错切周分布、周分布、 阵列、阵列、线框图的变换线框图的变换通常以点变换为基础，把图形的顶点作一系列通常以点变换为基础，把图形的顶点作一系列的几何变换后，连接新的顶点系列即可产生新的图形。的几何变换后，连接新的顶点系列即可产生新的图形。用参数方程描述的图形的变换用参数方程描述的图形的变换通过参数方程作几何变换实现。通过参数方程作几何变换实现。我们在这只讨论图形我们在这只讨论图形拓扑关系拓扑关系不变的几何变换。重点讨论线框图不变的几何变换。重点讨论线框图的变换。的变换。：透视图：透视图
5、由于显示器和绘由于显示器和绘图机只能用二维空间图机只能用二维空间来表示图形，要显示来表示图形，要显示三维图形就要用投影三维图形就要用投影方式来降低其维数。方式来降低其维数。2021/3/2921.二维平面上点的表示法二维平面上点的表示法 改变顶点坐标改变顶点坐标, 也就是对向量的变换也就是对向量的变换,向量运算必须用矩阵运算来实现。向量运算必须用矩阵运算来实现。2. 图形变换的矩阵表示图形变换的矩阵表示 一对坐标一对坐标(x,y)一个向量一个向量x y设设: 点点P(x,y)点点P (x, y)其数学表达方法其数学表达方法矩阵表达方法矩阵表达方法变换后的位置矢量矩阵变换后的位置矢量矩阵变换矩阵
6、变换矩阵位置矢量矩阵位置矢量矩阵4.1二维图形变换二维图形变换2021/3/293就是将图形放大或缩小的变换方法。就是将图形放大或缩小的变换方法。变换式为：变换式为：x=Sx* xy=Sy* y讨论：讨论： 1. Sx Sy1，点的位置、图形形状不变，又称恒等变换点的位置、图形形状不变，又称恒等变换2. Sx Sy1，点的位置变了、图形放大了点的位置变了、图形放大了Sy倍。倍。3. Sx Sy14. Sx Sy，图形产生了畸形图形沿两个坐标轴方向作非均匀图形产生了畸形图形沿两个坐标轴方向作非均匀比例变换。比例变换。4.1.1比例变换比例变换2021/3/294xOy(x,y)(-x,y)(-x
7、,-y)(x,-y)xOyy=x(x,y)(x,y)xOy=-x(x,y)(x,y)y4.1.2对称变换对称变换2021/3/2952.关于关于y轴的对称变换轴的对称变换3.关于关于45度平分线的对称变换度平分线的对称变换4.关于关于-45度平分线的对称变换度平分线的对称变换5.关于坐标原点的对称变换关于坐标原点的对称变换1.关于关于x轴的对称变换轴的对称变换2021/3/296沿沿x轴方向的错切变换轴方向的错切变换沿沿y轴方向的错切变换轴方向的错切变换1.沿沿X轴方向的错切变换轴方向的错切变换4.1.3错切变换错切变换(1)变换过程中变换过程中,点的点的y坐标保持不变坐标保持不变,而而x坐标
8、值发生线性变化坐标值发生线性变化; (2)平行于平行于X轴的线段变换后仍平行于轴的线段变换后仍平行于X轴轴;(3)平行于平行于Y轴的线段变换后错切成与轴的线段变换后错切成与Y轴成角的直线段轴成角的直线段(4)X轴上的点在变换过程中保持不变轴上的点在变换过程中保持不变,其余点在变换后都平移了一段距离。其余点在变换后都平移了一段距离。（2）沿）沿Y轴方向错切轴方向错切（1）沿）沿X轴方向错切轴方向错切(x,y)(x,y)(x,y)(x,y)2021/3/297(1)变换过程中变换过程中,点的点的x坐标保持不变坐标保持不变,而而y坐标值发生线性变坐标值发生线性变化化;(2)平行于平行于Y轴的线段变换
9、后仍平行于轴的线段变换后仍平行于Y轴轴;(3)平行于平行于X轴的线段变换后错切成与轴的线段变换后错切成与X轴成角的直线段轴成角的直线段(4)Y轴上的点在变换过程中保持不变轴上的点在变换过程中保持不变,其余点在变换后都平其余点在变换后都平移了一段距离。移了一段距离。2. 沿沿Y轴方向的错切变换轴方向的错切变换2021/3/298其矩阵表示法：其矩阵表示法：4.1.4绕坐标原点的旋转变换绕坐标原点的旋转变换2021/3/299变换过程为：变换过程为：x=xly=y+m变换矩阵为变换矩阵为如变换矩阵改为：如变换矩阵改为：则点的坐标（则点的坐标（x,y)（x,y,1)P=P*T=xO(x,y)(x,y
10、)y4.1.5平移变换平移变换2021/3/2910它是用一个它是用一个n+1维向量表示一个维向量表示一个n维向量的方法维向量的方法如：二维点如：二维点x y 用用 X Y H表示表示如：空间点如：空间点x y z 用用 X Y Z H表示表示正常化齐次坐标正常化齐次坐标怎样由齐次坐标求正常化齐次坐标怎样由齐次坐标求正常化齐次坐标?H可以任意选取可以任意选取, 齐次坐标与普通坐标之间是一一对应关系。齐次坐标与普通坐标之间是一一对应关系。如二维平面上的一点如二维平面上的一点3,4,用齐次坐标表示为用齐次坐标表示为3,4,16,8,2 1.5,2,0.5通常将通常将H=1的齐次坐标称为的齐次坐标称
11、为x=X/Hy=Y/Hz=Z/H齐次坐标表示点，可以防止溢出齐次坐标表示点，可以防止溢出能将上述的所有变换统一用一个矩阵描述能将上述的所有变换统一用一个矩阵描述4.1.6齐次坐标与变换通式齐次坐标与变换通式2021/3/2911比例、反射、旋转、错切比例、反射、旋转、错切投影变换投影变换平移平移总体比例变换总体比例变换4.1.7二维图形变换矩阵的一般形式二维图形变换矩阵的一般形式二维图形变换矩阵的通式二维图形变换矩阵的通式T:2021/3/2912(1)复合平移复合平移(2)复合比例复合比例组合变换组合变换: :由多个基本变换的连续实施而成的复杂变换由多个基本变换的连续实施而成的复杂变换, ,
12、又称又称基本变换的级连基本变换的级连. .4.1.8二维组合变换二维组合变换2021/3/2913(3)复合旋转复合旋转2021/3/2914* 先平移先平移,再旋转再旋转* 先旋转先旋转,再平移再平移级联的顺序不同级联的顺序不同,最终的图形不同最终的图形不同由于矩阵乘法不满足交换率由于矩阵乘法不满足交换率,(4)级联顺序对组合变换的影响级联顺序对组合变换的影响2021/3/29153. 将图形从原点平移到将图形从原点平移到p(m,n)1.将图形从点将图形从点p(m,n)平移到原点平移到原点O2.绕原点旋转绕原点旋转P(m,n)0P(m,n)0P(m,n)0P(m,n)0（1）（2）（3）(5
13、)绕平面上任意点绕平面上任意点P(m,n)的二维旋转变换的二维旋转变换2021/3/2916T1*T2*T3T=绕平面上任意点绕平面上任意点p(m,n)的二维旋转变换的总变换矩阵的二维旋转变换的总变换矩阵2021/3/2917设直线方程设直线方程 Ax+By+C =0A Ax+By+C =0x+By+C =0-C/B-C/B- -C/AC/AE EF FFFEEG GG G则：则：x轴上的截距为轴上的截距为 -C/Ay轴上的截距为轴上的截距为 -C/B斜率为斜率为 -A/B2.让直线绕原点顺时针旋转让直线绕原点顺时针旋转 角，角， 使之与使之与X 轴重合轴重合1.将直线沿将直线沿X轴平移轴平移
14、C/A， 使之过原点使之过原点对任意直线的对称变换对任意直线的对称变换可分解为以下五步可分解为以下五步: :(6)对任意直线的对称变换对任意直线的对称变换2021/3/29183.图形对直线的对称变换图形对直线的对称变换变成对变成对x轴的对称变换轴的对称变换4.让直线绕原点逆时针旋转让直线绕原点逆时针旋转 角，角， 恢复到原来的倾斜位置恢复到原来的倾斜位置5.将直线平移将直线平移回回原来的位置原来的位置组合变换矩阵2021/3/2919三维图形变换矩阵通式为三维图形变换矩阵通式为4 x 4 方阵方阵比例、反射、旋转、错切比例、反射、旋转、错切平移平移投影变换投影变换总体比例变换总体比例变换空间
15、点空间点x y z 的四维齐次坐标的四维齐次坐标 X Y Z H表示表示三维空间点的变换为三维空间点的变换为x y z 1 T = x y z 1变换前点的坐标变换前点的坐标变换后点的坐标变换后点的坐标三维图形的变换矩阵三维图形的变换矩阵l m n 1 x 3 p q rTs1x14.2三维图形变换三维图形变换2021/3/2920三维图的基本变换三维图的基本变换4.2.2轴向比例变换轴向比例变换变换矩阵主对角线上变换矩阵主对角线上的元素的元素a、e、j、s的作用是的作用是是图形产生比例变换。是图形产生比例变换。0S1，为图形整体缩小为图形整体缩小S0 );3)最后向最后向V面作正投影面作正投
16、影.XYZOPXZYOS4.2.8轴测投影变换轴测投影变换2021/3/2931这种轴测图的特点是：三个轴向变形系数是相等的这种轴测图的特点是：三个轴向变形系数是相等的 =45 ， =35 16 轴向变形系数为轴向变形系数为cos35 16 =0.8165在轴测投影变换中，最常用的是正轴测投影在轴测投影变换中，最常用的是正轴测投影2021/3/29322.2.写出对任意直写出对任意直线的对称变换的线的对称变换的过程及变换矩阵过程及变换矩阵A Ax+By+C =0x+By+C =0-C/B-C/B- -C/AC/AE EF FFFEEG GG G作业作业1.读懂程序例读懂程序例4-1，并将其改编为一个绕任意点旋转的二维，并将其改编为一个绕任意点旋转的二维图形变换程序。图形变换程序。2021/3/2933
