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1、弗弗弗弗赖赖登塔登塔登塔登塔尔尔(Hans Freudenthal，19051990 ) 荷兰数学家、数学教育家，曾任国际数学教育委员会(ICMl)主席数学家:20世纪30年代成就显著，享有盛誉，曾任荷兰数学会的两届主席数学教育家：（20世纪50年逐渐转向数学教育研究），观点独特，用数学家和数学教师的眼光审视一切，摆脱了“传统的”数学教育研究模式(“教育学”、“心理学”+数学例子）数学教育理论与思想是他最重要的贡献。弗弗赖登塔登塔尔对现代数学特性的代数学特性的论述述1数学表示的再数学表示的再创造与形式化活造与形式化活动2数学概念的建数学概念的建设方法方法3传统数学数学领域之域之间的界限月的界限
2、月趋消消失失4算法数学与思辨数学。算法数学与思辨数学。 1数学表示的再数学表示的再创造与形式化活造与形式化活动如果认真分析一下近几十年来数学的变化，就会发现：变的主要是它的外表形式，而不是它的内容实质。这是一个自然演变的过程，在数学的各个领域内，逐渐渗透与发展了各种新知识与新词汇，最终汇成一个新潮流形式化，这是组织现代数学的重要方法之一，也是现代数学的标志之一。重视内在实质,而非外表形式知识联系,方法概括,思想运用2数学概念的建数学概念的建设方法，从典型的通方法，从典型的通过外延描述的抽象化，外延描述的抽象化，进而而转向向实现公理系公理系统的抽象化，承的抽象化，承认隐含形式的含形式的定定义，从
3、而在，从而在现代科学方法代科学方法论的道路的道路上，上，迈开了决定性的一步。开了决定性的一步。就像下棋，人们并不在乎棋子的大小、颜色、甚至质地与形状，注重的恰恰只是棋子所必须服从的活动规则。重视概念的依据事件的事件的概率概率是事件发生频率的稳定值是事件发生频率的稳定值. 概率的定义概率的定义 抛硬币实验感悟：每一次试验结果是随机的，大量的实验出现频率稳定事实 但在此基础但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦上建立起了概率论的宏伟大厦. 它们它们在计算概率时很有用，尤其是加法公式在计算概率时很有用，尤其是加法公式.若对于若对于 中的每一个事件中的每一个事件A F，定义在，定义在F上的一个实值函数上
4、的一个实值函数 P( (A) )满满足：足：( (2) ) P( ( ) )= 1 ， ( (3) ) 若事件若事件A1 , A2 , , An , 两两互不相容，则有两两互不相容，则有( (1) ) 若事件若事件A F，则，则 P( (A) ) 0 ， 设设 是一个样本空间是一个样本空间, F 为的某些子集组成的一个事件域为的某些子集组成的一个事件域,概率的公理化定义概率的公理化定义 定义定义 称称P( (A) )为为事件事件A的概率的概率， 在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础. 柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，
5、柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，非负性非负性 正则性正则性 可列可列可加性可加性 由概率的三条公理，我们可推导出概率的若干重要性质由概率的三条公理，我们可推导出概率的若干重要性质. 数学上所说的数学上所说的“公理公理”，就是一些不加证明而公认的前提，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容.称三元素称三元素( ( ,F, P ) )为为概率空间概率空间 . 3传统的数学的数学领域之域之间界限的月界限的月趋消失，一消失，一贯奉奉为严密性的典范的几何，表面上看来似乎已密性的典范的几何，表面上看来似乎已经丧失
6、了昔日失了昔日的地位，的地位，实质上正是几何直上正是几何直观在各个数学在各个数学领域之域之间起起着着联络的作用。的作用。现代数学的公理化形式就是来源于希尔伯脱的几何公理系，几何的术语如“空间”、“维”、“邻域”、“映射”、等几乎渗入了数学的各个领域复函数理论的发展，基础在于复数表示为平面的点；代数方程xn1的意义之阐明，与复数平面中正n边形的作法密切相关；集合论的研究更充分显现出几何直观的数轴、点集、映射、等，如何作为一种重要的组织方法；测度论是在几何面积概念的基础上形成的，而拓扑中最有力的代数方法恰是开始于最基本的形状多面体的直观研究。没有概念的直观是无用的，没有直观的概念是盲目的。- 康德
7、(Kant) 数形结合成为重点的依据 4相相对于于传统数学中数学中对算法数学的算法数学的强调，应该认为现代数代数学更重学更重视概念概念数学，或者学，或者说是思辨数学。是思辨数学。现代数学中开始了现代化进程的主要标志- 集合论、抽象代数和分析、拓扑等都是概念。思辨的喷发，它冲破了传统数学的僵化外壳，但是每个概念的革新，都包含着自身的算法萌芽，这是数学发展的道路。4相相对于于传统数学中数学中对算法数学的算法数学的强调，应该认为现代代数学更重数学更重视概念概念数学，或者学，或者说是思辨数学。是思辨数学。一个典型的例子：相同数量的一杯白酒与一杯红酒，取一匙白酒倒入红酒内，使之混和，再取同量的一匙混合酒倒入白酒内，试问，白酒杯中所含的红酒比红酒杯中所含的白酒多，还是正好相反? 直觉思维与逻辑思维思考：对数学的认识对数学教学的认识几何体系消失，学科之间溶合算法数学（逻辑思维）思辩数学（直觉思维）概念的地位学生的数学现实
