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1、*第二章静电场1第二章第二章 静电场静电场2-1 基本方程及其微分形式基本方程及其微分形式2-2 电位与电位梯度电位与电位梯度2-3 静电场的边值问题静电场的边值问题2-4 镜像法与电轴法镜像法与电轴法 2-5 多导体系统的部分电容多导体系统的部分电容2-6 电场能量和电场力电场能量和电场力 电荷与观察者相对静止电荷与观察者相对静止 电量不随时间而变化电量不随时间而变化静静本本章章内内容容*第二章静电场22.1 基本方程及其微分形式基本方程及其微分形式 电磁场的普遍规律麦克斯韦方程组静态情况下，D/t=0,B/t=0时变电场和时变磁场时变电场和时变磁场相互联系、不可分割相互联系、不可分割组成统
2、一的电磁场组成统一的电磁场电场和磁场分为电场和磁场分为两个独立的部分两个独立的部分*第二章静电场3静电场基本方静电场基本方程的积分形式程的积分形式物理学物理学积分形式积分形式场中大范围的特性场中大范围的特性电磁场电磁场微分形式微分形式每个场点上的特性每个场点上的特性*第二章静电场42.1.1 高斯通量定理的微分形式高斯通量定理的微分形式将闭合面将闭合面S缩小，使其包围的体积缩小，使其包围的体积 V0 用哈密顿算子表示D =高斯通量定理的微分形式，表明静电场是有散场。高斯通量定理的微分形式，表明静电场是有散场。物理意义物理意义 D相当于单位体积散发的电通量，即相当于单位体积散发的电通量，即电通量
3、体密度电通量体密度 S物理上定义物理上定义为电荷密度为电荷密度 数学上定义数学上定义为为D的散度的散度divD由由divD=*第二章静电场5所以这就是数学上的这就是数学上的“高斯散度定理高斯散度定理” 上式把上式把D的体积分转换为的体积分转换为D的闭合面积分的闭合面积分D表示单位体积散发出的电通量，即电通量体密度电通量体密度。 表示总体积V中散发出的电通量，V表示穿出闭合面表示穿出闭合面S的电通量的电通量S同一个量同一个量*第二章静电场6在直角坐标系中圆柱坐标系和球坐标系中，D的展开式见附录。应用之一：特殊情况下，已知应用之一：特殊情况下，已知 分布，求分布，求D分布（例分布（例2-1） 应用
4、之二：已知电场应用之二：已知电场D分布，求体电荷密度分布，求体电荷密度 （例（例2-2）*第二章静电场7例例2.1 已知半径为已知半径为R的无限长圆柱体内的无限长圆柱体内均匀分布体电荷均匀分布体电荷 ，介电常数为，介电常数为，试由试由D=求柱内外的求柱内外的E。 解：解：由于由于 的分布具有轴对称性，的分布具有轴对称性， 因此因此 D 的分布也具有轴对称性，的分布也具有轴对称性， D只有只有 Dr分量，且只与分量，且只与 r 有关。有关。 柱内（柱内（r R） ，有体电荷分布，满足，有体电荷分布，满足D = 柱外（柱外（r R），无体电荷），无体电荷=0，满足，满足 D = 0应分两个区域分别
5、求解应分两个区域分别求解D 在柱坐标系下展开简化在柱坐标系下展开简化*第二章静电场81）在柱内（在柱内（r R时）时）由不定积分求解由不定积分求解 得通解得通解 (rR)其中其中C1为积分常数，因为积分常数，因r = 0处处D = 0，故，故C1=0*第二章静电场92）在柱外（在柱外（r R）不定积分求解得不定积分求解得 (R r)其中积分常数其中积分常数C2由分界面边界条件确定由分界面边界条件确定(rR)*第二章静电场10可见，电荷只分布在可见，电荷只分布在r 2 的圆柱内，圆柱外无电荷分布。的圆柱内，圆柱外无电荷分布。 例例2.2 已知圆柱坐标系中已知圆柱坐标系中r2时，时， ；r2时，时
6、， ，求电场中的体电荷分布，求电场中的体电荷分布。解解：r2时：时：r2时：时：该点有该点有D线发出线发出 D 0 0D线在该点终止线在该点终止 D 0)(x0时通过一次不定积分，得再次不定积分，得通解设分界面x=0处为电位参考点，则*第二章静电场49由于对称于分界面x=0，x=0处，E=0即则因而(x0)*第二章静电场50两个区域中场强解可合并为3）电场强度可通过电位梯度运算得到两个区域中场强解可合并为*第二章静电场512.3.4 静电场的唯一性定理静电场的唯一性定理静电场问题通常难以通过泊松方程或拉普拉斯方程求解，须采用其他方法求解。 静电场的唯一性定理：在静电场中凡满足电静电场的唯一性定
7、理：在静电场中凡满足电位微分方程和给定边界条件的解，是给定静电位微分方程和给定边界条件的解，是给定静电场的唯一正确解。场的唯一正确解。 注意：注意：应同时满足以下三个条件1）多区域时，应分别满足各自场域的微分方程2）在场域的边界面上，应满足给定的边界条件3）不同介质分界面上，应符合分界面衔接条件*第二章静电场52解：解：判断依据唯一性定理：既满足泊松方程,又满足边值d0=U0例例2-8 试判断以下表达式哪个是图示问题的正确解？x0 dU0*第二章静电场532是正确解3也是正确解?4也不是解1绝不是解x0 dU思考：为何两个正确解？E=唯一*第二章静电场54例例2-9 同轴电缆内外导体半径分别为
8、R1和R2，中间为两种介质，介电常数分别为1和2，分界面过直径，电压为U 。试说明两种介质中的E相同。U 1R12R21中满足21=02中满足22=0解：解：1内外边界电位差为U2内外边界电位差为U且分界面两侧场强切线分量E1t= E2t因此，根据唯一性定理，可知因此，根据唯一性定理，可知 E1= E2*第二章静电场55作作 业业R202-10 图示长直圆柱体半径为R，表面电位为U ，其中均匀分布体电荷密度为，介电常数为20，试由泊松方程求圆柱体内的电位和场强。*第二章静电场562.4 镜像法与电轴法镜像法与电轴法2.4.1 导电平面镜像导电平面镜像接地导电平面存在感应电荷合成场强E不再具有球
9、对称性无限大接地导电平面上方有一个点电荷q，既无法由高斯通量定理求解，也无法由拉普拉斯方程求解。 q2=0=0E=0*第二章静电场57对照对照q在无限大空间产生的电场：根据唯一性定理，可以判定这两个问题的上半空间电场解答是相同的。等效点电荷q代替面电荷镜像电荷镜像电荷大小q位置hqq=02=0E1hh q2=0=0E=0h*第二章静电场58上半空间的电位和场强可由叠加原理得到qq=02=0E1hh*第二章静电场59 解解：地面和墙壁均为零等位面，场域中除点电荷所在位置之外，其它场点均满足拉普拉斯方程。a a b b b a-q q-q2=0=0=0IIIIIIIVq b a 例例2-10求图示
10、地面和墙壁附近的点电荷q所受的电场力。2=0baq=0=0*第二章静电场60一一般般来来说说，若两导电平面夹角为，可用镜象法求解此时镜象电荷数目为个，且都在求解区外。否则，镜像电荷必会落在求解区之内，不能用镜像法求解。qqq q*第二章静电场612.4.2 介质平面镜象介质平面镜象分界面存在极化电荷，影响两侧的电场分布。（1）1中，除q所在位置外，满21=0；（2）2中，处处满足22=0；12（a）q h（3）分界面上，满足衔接条件1=2边值问题边值问题P*第二章静电场62111qq/r1r2h h22q/hr2对于分界面上的P点，r1=r2=r=rP，由衔接条件1=2确定镜像电荷确定镜像电荷
11、联立求解，得*第二章静电场63镜镜 像像 法法 小小 结结实质实质等效电荷代替不均匀面电荷依据依据静电场解答的“唯一性定理”关键关键确定等效电荷的大小和位置注意注意镜像电荷必须在求解区之外计算计算多个点（线）电荷电场叠加*第二章静电场642.4.3 球面镜象球面镜象除q位置外，满足2=0无限远处（r）=01. 点电荷点电荷q在接地导体球外在接地导体球外导体球接地，球面R=0球面存在不均匀面电荷确定镜像电荷球面电位d qRR等位面方程r1r2q2 qRdb即得*第二章静电场652.点电荷点电荷q在不接地导体球外在不接地导体球外 除q所处位置外，空间中满足2=0；电荷分布在有限范围内,无限远处（r
12、），0；qqbdqRRdq导体球面等电位，但R0；导体球面上有等量异号感应电荷；负感应电荷负感应电荷用用q代替，代替，正感应电荷和原有电荷正感应电荷和原有电荷用用q代替。代替。镜像镜像电荷电荷*第二章静电场66q/的大小分三种情况讨论的大小分三种情况讨论1）若球面原来带电Q，由q= q+ q=Q2）若球面原来不带电3）若已知球面电位RqqbdqR得由得*第二章静电场67例例2-12半径R=0.1m的不接地导体球原先带电量Q=10-6库仑，离球心距离d=0.2m处有一点电荷q=105C，求点电荷q受力。dqRQ由库仑定律可求得点电荷之间的作用力F = F + F = 20+13.5 = 6.5
13、牛顿牛顿思思考考:本本例例中中点点电电荷荷q与与导导体体球球电荷电荷Q带同号为何相吸？带同号为何相吸？解：解：先确定镜像电荷的大小和位置qq/q/bd*第二章静电场68例例2-11无限大接地导板上有一凸起的半球体，正上方有一点电荷q。求：半球体上的最大场强。qhR3）由叠加原理计算A点的最大场强2）撤去平面，用镜像电荷q和q代替平面上的感应电荷q/qdb解：解：1）撤去半球面，用镜像电荷q代替球面上的感应电荷q/bqdA*第二章静电场692.4.4 电轴法电轴法adxa电气和通信工程中常遇到两根长直、平行、圆柱导体的电场边值问题（1）两根圆柱导体外的空间，处处满足2=0；（2）两根圆柱导体表面
14、分别为等电位面；两根圆柱导体表面分别为等电位面；（3）两根圆柱导体表面分别有等量异号电荷。xybbaahh(x,y)r1r2例例2-5曾讨论过曾讨论过，线电荷的等位面是一族偏心园，且有以下关系*第二章静电场70电轴法解题步骤电轴法解题步骤daax1）将两个圆柱面撤去，导体表面电荷用等效电轴代替，aa2）设坐标系原点在电轴中间hhbby3）根据圆柱导体的半径a和位置h，确定电轴位置4）由叠加原理计算两平行圆柱导体外的电位(x,y)r1r2*第二章静电场71例例2-13半径分别为R1和R2的两长直圆柱导线几何轴间距为d，分别带等量异号电荷，求导线外的电位分布及A、B两点的场强。解：解：标明等效电轴
15、的位置，取其中间为坐标原点由联立求解得求等效电轴到原点的距离BA+(x,y)yxh2R2h1R1bbR1R2h2h1d则圆柱导体外电位分布为*第二章静电场72由E=或叠加原理求得场强对于图示A点为正值,对于图示B点为负值,yB=0BA+(x,y)yxh2R2h1R1bbR1R2h2h1d*第二章静电场732-15 两种电介质分界面附近有一点电荷q =1C，距离分界面h=2cm。求：1）点电荷q所受的力2）图示A点的电位 3）图示B点的电场强度E 4）穿过分界面进入2中的电通量A1cm2cmqB1r=12r=2.52cm作作 业业2-17 不接地导体球半径R=0.1m，原先不带电。距离球心0.2
16、m处有一点电荷q =106库仑，周围为空气。求： 1）球心的电位值（0）； 2）球面的电位值（R）； 3）点电荷q 所受的力f fdqR*第二章静电场742.5 多导体系统的多导体系统的部分电容部分电容2.5.1 两导体间的电容两导体间的电容单位：F电容的大小只与两导体的形状、尺寸、相对位置及导体间的介质性质有关，而与是否带电及电量大小无关。孤立导体的电容看为另一导体在无限远处电容计算电容计算假设qE假设U*第二章静电场75解：解：设等效电轴到坐标原点距离为b。由电轴法可确定两导线间电压一般来说 ha，bh，传输线向单位长度的电容可简化为+ hbhb例例2-14求：传输线单位长度的电容。*第二
17、章静电场762.5.2 多导体系统的部分电容多导体系统的部分电容静电独立系统：静电独立系统：（n+1）个导体构成的静电独立系统q=0q111#q222#q333#0#电场分布只与系统内各带电体的形状、尺寸、相互位置及电介质性质有关，而与系统外带电体无关；所有电位移D线全部从系统内带电体发出，全部终止于系统内带电体。*第二章静电场771）各带电体电位与各导体电荷之间的关系）各带电体电位与各导体电荷之间的关系 称为电位系数：称为电位系数：下标相同的ii 称为自有电位系数；下标不同的ij称为互有电位系数。只与各导体自身的几何形状、尺寸、相互位置及介质的介电常数有关；所有电位系数都是正值；自有电位系数
18、ii大于与它有关的互有电位系数ij互有电位系数具有互易性ij=ji*第二章静电场78例例2-16图示地面附近有两个半径为R1的带电小球，电量分别为q1和q2，可看为集中在球心上。选地面为0号参考导体，求：该系统的电位系数。q1q1q2q2h2h2Ddh1h1解：解：考虑到地面感应电荷的影响，应看作是由三个导体组成的静电独立系统。将地面影响用镜像电荷代替，则有令q10，q2=0，可得则令q20，q1=0，可得则令q20，q1=0，可得则其中*第二章静电场792）各带电体的电荷与各导体电位的函数关系式）各带电体的电荷与各导体电位的函数关系式 称为静电感应系数称为静电感应系数:下标相同的ii称为自有
19、感应系数，下标不同的ij（ij）称为互有感应系数。只与导体的几何形状、尺寸、相互位置及介质的介电常数有关；自有感应系数ii都是正值；互有感应系数ij都是负值；自有感应系数ii大于与它有关的互有感应系数的绝对值ij 。互有感应系数具有互易性ij=ji *第二章静电场803）各导体与其它导体之间的电压）各导体与其它导体之间的电压Ukj分析实际问题时，常将中的电位改写为各导体之间的电压Ukj来表示。例如例如 因此，方程组改写为C 称为部分电容称为部分电容:主对角线元素Cii称为自有部分电容，非对角线元素Cij（ij）称为互有部分电容。*第二章静电场81 C只与导体的几何形状、尺寸、相互位置及介质的介
20、电常数有关；部分电容具有以下性质：部分电容具有以下性质： n+1个导体的独立系统，共有n（n+1）/2个部分电容。 自有部分电容代表各导体与0号导体之间的部分电容； 互有部分电容代表非参考导体之间的部分电容。三相电缆与外壳组成四导体系统，共有个部分电容。AC10C20C30C12C23C31BC所有部分电容都是正值；互有部分电容具有互易性Cij=Cji*第二章静电场82+V2#3#G1=2=31#q11你能根据方程组设计测量部分电容的实验方法吗？q121#3#2#V+3=01=0G*第二章静电场83等效电容的概念等效电容的概念 从两个导体看进去的入端等效电容可通过Y变换和串并联化简得到,一般来
21、说C10=C20=C30，C12=C23=C31；Y变换时C=CY/3；Y变换时CY=3CCABC10C20C30C12C13C23CABAC10C20C30C12C23C31BCCAB*第二章静电场842.5.3 静电屏蔽静电屏蔽 C121#2#部分电容使导体之间会相互影响当用不接地导体将某导体包围当用不接地导体将某导体包围0#C20C10对于三导体组成的静电独立系统若外导体带电，仅在0#导体外表面感应电荷q0=q2，不会在内部产生电场，因此对内导体实现静电屏蔽。若内导体带电，则在0#导体内外分别产生q0，内外电场都会受到影响，外导体的电位U20和电荷q2都会改变，不会产生屏蔽效果。 当用接
22、地导体将某导体包围当用接地导体将某导体包围虽然q1使0#导体内表面产生感应电荷q0，但外表面没有+q0，不会改变外导体的电位U20和电荷q2，从而对内外导体均实现屏蔽。*第二章静电场85作作 业业0hR2-20 半径为R的长直圆柱形导体离地面高度为h，求以下两种情况时单位长度导线与大地之间的电容C0。1）考虑大地的影响(需用电轴法)；2）忽略大地的影响（孤立导体）。2-21 同轴电缆内外导体半径分别为R1和R2，绝缘材料的介电常数为30。求：单位长度的电容C0。UR2R1*第二章静电场862.6 电场能量和电场力电场能量和电场力静电场中储存着能量，它在电场建立过程中，由外源做功转化而来。2.6
23、.1外源做功转化为电场储能外源做功转化为电场储能对于线性介质，使电荷达到最后的分布需要做的功是一定的，与实现这一分布的方式和过程无关。充电方式之一：充电方式之一：假设所有电荷密度都按同一比例m增加。充电开始时m=0，各处都没有电荷，(0)=0；充电终了时m=1，各处都达到电荷密度最终值；在充电过程中0m1，各处都按同一比例增加(t)=m*第二章静电场87因此,将q移至电场内，外源作功为由于/=m表示某一时刻移动单位电荷所作的功充电全过程，外源作功转化的静电场能量为考虑到可能存在面电荷，则电场能量积分公式为A=q=(m)(mdV)任一瞬时，电荷密度增量mm*第二章静电场88注意：注意：正确理解公
24、式中各 项的含义表示体电荷单独产生的电能？表示面电荷单独产生的电能？表示储存在体积V中的电能？表示储存在面积S上的电能？导体系统的储能导体系统的储能由于电荷只分布在导体表面，每个导体表面是等位面*第二章静电场89例例2-18 双线传输线导体半径均为R，几何轴间距为2h，电压为U，求：单位长度储存的电场能量。R2hxRU解解：双线传输线电场蔓延至无界场域由因此，单位长度储能为*第二章静电场902.6.2电场能量分布及其密度电场能量分布及其密度= D=D nE=互相抵消空腔内表面S1导体外表面S1r时积分为零Vn导体S1因此电场储能*第二章静电场91对于线性、各向同性介质由此，既可求整个场域中的能
25、量，由此，既可求整个场域中的能量，也可求得局部场域中的静电能量。也可求得局部场域中的静电能量。 可见，电场能量是分布在场域中每个场点上的可见，电场能量是分布在场域中每个场点上的静电能量体密度静电能量体密度 单位：J/m3例例2-17 已知半径为R的球形空间均匀分布体电荷密度。求电场中的静电能量。0R0解法一：解法一：由电荷积分公式计算（rR时）*第二章静电场92球外：球内外电场总储能：解法二：解法二：由电场积分公式计算球内：可见，两种解法结果相同，但后者可计算局部场域储能0R0*第二章静电场932.6.3 点电荷系统的互有能量点电荷系统的互有能量E =E1+E2+En 假设点电荷q1、q2、q
26、n单独存在时产生的场强分别为E1、E2En，则合成场强自有能量自有能量将许多元电荷dq从无限远处移来，压缩成点电荷qj需要做的功；互有能量互有能量由于电荷之间相互作用引起，随电荷间相互移近或离远而改变。利用求解点电荷系统的能量时，其中k应不含自身产生的电位*第二章静电场942.6.4虚位移法求电场力虚位移法求电场力虚位移法虚位移法基于虚功原理求电场力的方法。 1）广义坐标和广义力）广义坐标和广义力广义坐标广义坐标确定系统中各导体的形状、尺寸和相互位置的一组独立几何量。广义力广义力企图改变某一广义坐标的力。力与能量具有密切联系。广义力的物理含义与所选用的广义坐标有关，两者的乘积应等于功（能）。广
27、义坐标广义力乘积长度L（m）一般的力（N）Fdl=dA（Nm）面积S（m2）表面张力（N/m）Tds=dA（Nm）体积V（m3）压强（N/m2）PdV=dA（Nm）角度（无量纲）力矩（Nm）Md=dA（Nm）*第二章静电场95假设在n+1个导体组成的系统中， 只有一个导体受力只有一个导体受力产生位移，其他导体都不动； 而且该导体也只有一个广义坐标只有一个广义坐标g产生位移产生位移dg。2）虚位移法求电场力）虚位移法求电场力 根据能量守恒原理，该系统所发生的功能过程为dW=kdqk表示外源提供的能量；为静电能量的增量 fdg为电场力所作的功以下分两种情况讨论以下分两种情况讨论 *第二章静电场96
28、（1）假定各导体的电荷维持不变）假定各导体的电荷维持不变qk=常数常数所有带电体都不与外源相联，外源不提供能量dW=0（2）假定各导体的电位维持不变）假定各导体的电位维持不变 k=常数常数 则则负号表示电场力做功要靠减少电场储能来实现外源提供能量一半用于增加电场储能，另一半用于电场力作功*第二章静电场97解法一：解法一：取极间距离d为广义坐标，并假设U=常数负号表示电场力使广义坐标d减小，即两极相吸单位面积受力例例2-20平板电容器极板面积为S，极板距离为d，电压为U，介电常数为0。求：极板上单位面积所受电场力。0U*第二章静电场98解法二：解法二：仍取极间距离d为广义坐标，但假设q=常数解法
29、三：解法三：取极间体积V为广义坐标，假设U=常数注意：本解法选取的广义坐标为体积注意：本解法选取的广义坐标为体积V， 广义力的含义为单位面积受力。广义力的含义为单位面积受力。*第二章静电场99解：解：选取介质板插入深度x为广义坐标，假设U=常数例例2-21图示平板电容器极板间原为空气，介电常数为0，极间距离为d，长度为l，电压为U。求：介电常数为的介质板在水平方向所受的电场力。一般0，f0,电场力的方向使x增大，即自动吸入。*第二章静电场1002.6.5法拉第对电场力的看法法拉第对电场力的看法法拉第认为，在静电场中每一段电通密度D管，沿其轴向要受到纵张力，而在垂直于轴向方向则要受到侧压力，好像
30、被拉紧了的橡皮筋。麦克斯韦进一步指出无论D管受到的纵向拉力还是横向压力，单位面积上其量值都是N/m2*第二章静电场101解：解：1）分析垂直分界面受力情况沿电场方向作一根很短的电位移管，设分界面左右的端面积均为S。根据法拉第观点：右端面上受到1中D管收缩力f1，左端面上受到2中D管收缩力f2，两者之差即为介质的垂直分界面受力。由于垂直分界面两侧D1n=D2n，因此若12，则f0，合力向左；若10，合力向右。例例2-22试用法拉第观点分析图示平板电容器中两种介质分界面上所受的电场力。2f11f2U*第二章静电场102沿电场方向作一根扁平的电位移管，设分界面上下的侧面积均为S。根据法拉第观点：上侧面受到1中D管扩张力f1，下侧面受到2中D管扩张力f2，两者之差即为介质的水平分界面受力。由于水平分界面两侧 E1t=E2t，因此若12，则f0，合力向下；若12，则f0，合力向上。2）分析水平分界面受力情况U12f1f2*第二章静电场1032-28 双线传输线导线半径都是R，几何轴间距离为d，已知两导线间的电压为U 。忽略临近效应，电荷作用中心看为在几何轴上。求：导线单位长度所受的力。dU2-26同轴电缆内外导体半径分别为10毫米和20毫米，电介常数为50，击穿场强为200千伏/厘米。求：电缆每公里长度能储存的最大能量是多少？UR2R1作作 业业
