《高考数学一轮复习 第五章 数列 5.4 数列求和课件(理).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 第五章 数列 5.4 数列求和课件(理).ppt（84页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节数列求和【知【知识梳理】梳理】1.1.等差数列的前等差数列的前n n项和公式和公式 2.2.等比数列的前等比数列的前n n项和公式和公式3.3.一些常一些常见数列的前数列的前n n项和公式和公式(1)1+2+3+4+n=_.(1)1+2+3+4+n=_.(2)1+3+5+7+2n-1=_.(2)1+3+5+7+2n-1=_.(3)2+4+6+8+2n=_.(3)2+4+6+8+2n=_.(4)1(4)12 2+2+22 2+n+n2 2= .= .(5)1(5)13 3+2+23 3+n+n3 3=(1+2+n)=(1+2+n)2 2. .n n2 2n n2 2+n+n4.4.数列求和
2、方法数列求和方法(1)(1)公式法求和公式法求和: :使用已知求和公式求和的方法使用已知求和公式求和的方法, ,即等差、等比数列或可即等差、等比数列或可化化为等差、等比数列的求和方法等差、等比数列的求和方法. .(2)(2)裂裂项相消法求和相消法求和: :把数列的通把数列的通项拆分拆分为两两项之差之差, ,使之在求和使之在求和时产生前后生前后相互抵消的相互抵消的项的求和方法的求和方法. .(3)(3)错位相减法求和位相减法求和: :(i)(i)适用的数列适用的数列:a:an nb bn n,其中数列其中数列aan n 是公差是公差为d d的等差的等差数列数列,b,bn n 是公比是公比为q1q
3、1的等比数列的等比数列. .(ii)(ii)方法方法: :设S Sn n=a=a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+an nb bn n(*),(*),则qSqSn n=a=a1 1b b2 2+a+a2 2b b3 3+a+an-1n-1b bn n+a+an nb bn+1n+1(*),(*),(*)-(*)(*)-(*)得得:(1-q)S:(1-q)Sn n=a=a1 1b b1 1+d(b+d(b2 2+b+b3 3+b+bn n)-a)-an nb bn+1n+1, ,就就转化化为根据公式可求的和根据公式可求的和. .例如等比数列的前例如等比数列的前n n项和公式就是用
4、此法推和公式就是用此法推导的的. .(4)(4)倒序相加法求和倒序相加法求和: :如果一个数列如果一个数列aan n 与与_的两的两项的和的和等于首末两等于首末两项之和之和, ,可把正着写与倒着写的两个式子相可把正着写与倒着写的两个式子相加加, ,就得到一个常数列的和就得到一个常数列的和, ,那么求那么求这个数列的前个数列的前n n项和和即可用倒序相加法即可用倒序相加法, ,例如例如, ,等差数列的前等差数列的前n n项和公式就是和公式就是用此法推用此法推导的的. .首末两端等首末两端等“距离距离”(5)(5)分分组转化法求和化法求和: :若一个数列的通若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或
5、等比数公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列列或可求和的数列组成成, ,则求和求和时可用分可用分组转化法求和化法求和, ,分分别求和而后相加减求和而后相加减. .例如例如, ,已知已知a an n=2=2n n+(2n-1),+(2n-1),求其前求其前n n项和和S Sn n. .(6)(6)并并项转化法求和化法求和: :把数列中的若干把数列中的若干项结合到一起合到一起, ,形成一个新的可求和的形成一个新的可求和的数列数列, ,此此时, ,数列中的数列中的项可能可能_出出现或呈或呈现_._.形如形如a an n=(-1)=(-1)n nf(n)f(n)类型型, ,可采用两可采用两项合
6、并求解合并求解. .例如例如:S:Sn n=100=1002 2-99-992 2+98+982 2-97-972 2+2+22 2-1-12 2=(100=(1002 2-99-992 2)+(98)+(982 2- -97972 2)+(2)+(22 2-1-12 2)=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5 050.)=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5 050.正、正、负相相间周期性周期性【特【特别提醒】提醒】两种常用求和法的关注点两种常用求和法的关注点(1)(1)使用裂使用裂项相消法求和相消法求和时, ,要注意正要注意正负项相消相消时, ,消去消去了哪些了哪些
7、项, ,保留了哪些保留了哪些项, ,切不可漏写未被消去的切不可漏写未被消去的项, ,未未被消去的被消去的项有前后有前后对称的特点称的特点. .(2)(2)在在应用用错位相减法求和位相减法求和时, ,若等比数列的公比若等比数列的公比为参参数数, ,应分公比等于分公比等于1 1和不等于和不等于1 1两种情况求解两种情况求解. .【小【小题快快练】链接教材接教材练一一练1.(1.(必修必修5P475P47习题2.3B2.3B组T4T4改改编) )数列数列aan n 的前的前n n项和和为S Sn n, ,若若a an n= ,= ,则S S5 5等于等于( () )【解析】【解析】选选B. B. 所
8、以所以S S5 5=a=a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 52.(2.(必修必修5P615P61习题2.5A2.5A组T4(3)T4(3)改改编)1+2x+3x)1+2x+3x2 2+nx+nxn-1n-1= =(x0(x0且且x1).x1).【解析】【解析】设设S Sn n=1+2x+3x=1+2x+3x2 2+nx+nxn-1n-1, ,则则xSxSn n=x+2x=x+2x2 2+3x+3x3 3+nx+nxn n, ,-得得:(1-x)S:(1-x)Sn n=1+x+x=1+x+x2 2+x+xn-1n-1-nx-nxn n 所以所以 答案答案: : 感悟考
9、感悟考题试一一试3.(20143.(2014全国卷全国卷)等差数列等差数列aan n 的公差的公差为2,2,若若a a2 2,a,a4 4, ,a a8 8成等比数列成等比数列, ,则aan n 的前的前n n项和和S Sn n= =( () )【解析】【解析】选选A.A.因为因为d=2,ad=2,a2 2,a,a4 4,a,a8 8成等比数列成等比数列, ,所以所以a a4 42 2=a=a2 2a a8 8, ,即即(a(a2 2+2d)+2d)2 2=a=a2 2(a(a2 2+6d),+6d),解得解得a a2 2=4,=4,所以所以a a1 1=2.=2.所以利用等差数列的求和公式可
10、求得所以利用等差数列的求和公式可求得S Sn n=n(n+1).=n(n+1).4.(20164.(2016唐山模唐山模拟)(2-35)(2-35-1-1)+(4-35)+(4-35-2-2)+(2n-)+(2n-3535-n-n)=)=. .【解析】【解析】(2-35(2-35-1-1)+(4-35)+(4-35-2-2)+(2n-35)+(2n-35-n-n) )=(2+4+2n)-3(5=(2+4+2n)-3(5-1-1+5+5-2-2+5+5-n-n) )答案答案: : 5.(20155.(2015江江苏高考高考) )数列数列aan n 满足足a a1 1=1,=1,且且a an+1n
11、+1-a-an n= =n+1(nNn+1(nN* *),),则数列数列 的前的前1010项和和为. .【解析】【解析】a an n=(a=(an n-a-an-1n-1)+(a)+(an-1n-1-a-an-2n-2)+(a)+(a2 2-a-a1 1)+a)+a1 1=n+(n-1)+(n-2)+2+1= ,=n+(n-1)+(n-2)+2+1= ,所以所以所以所以 的前的前1010项和项和 答案答案: :考向一考向一裂裂项相消法求和相消法求和【典例【典例1 1】(2015(2015全国卷全国卷)S)Sn n为数列数列aan n 的前的前n n项和和. .已知已知a an n0,a0,an
12、 n2 2+2a+2an n=4S=4Sn n+3.+3.(1)(1)求求aan n 的通的通项公式公式. .(2)(2)设b bn n= ,= ,求数列求数列bbn n 的前的前n n项和和. .( (本本题源自源自A A版必修版必修5P475P47习题2.3B2.3B组T4)T4)【解题导引】【解题导引】(1)(1)根据根据a an+1n+1=S=Sn+1n+1-S-Sn n及及a an n2 2+2a+2an n=4S=4Sn n+3+3转化转化为为a an+1n+1与与a an n的关系的关系, ,确定确定aan n 的通项公式的通项公式.(2).(2)利用裂项法利用裂项法求和求和.
13、.【规范解答】【规范解答】(1)(1)由由a an n2 2+2a+2an n=4S=4Sn n+3,+3,可知可知a an+1n+12 2+2a+2an+1n+1=4S=4Sn+1n+1+3,+3,可得可得a an+1n+12 2-a-an n2 2+2(a+2(an+1n+1-a-an n)=4a)=4an+1n+1, ,即即2(a2(an+1n+1+a+an n)= a)= an+1n+12 2-a-an n2 2=(a=(an+1n+1+a+an n)(a)(an+1n+1-a-an n),),由于由于a an n0,0,可得可得a an+1n+1-a-an n=2,=2,又又a a1
14、 12 2+2a+2a1 1=4a=4a1 1+3,+3,解得解得a a1 1=-1(=-1(舍去舍去),a),a1 1=3.=3.所以所以aan n 是首项为是首项为3,3,公差为公差为2 2的等差数列的等差数列, ,通项公式为通项公式为a an n=2n+1.=2n+1.(2)(2)由由a an n=2n+1=2n+1可知可知 设数列设数列bbn n 的前的前n n项和为项和为T Tn n, ,则则T Tn n=b=b1 1+b+b2 2+b+bn n【母【母题变式】式】若本例若本例题(2)(2)条件条件变为b b1 1= ,n2= ,n2时, ,b bn n= = 求数列求数列bbn n
15、 的前的前n n项和和T Tn n. .【解析】【解析】当当n2n2时时, , 当当n=1n=1时时, ,满足满足b b1 1= .= .当当n n为偶数时为偶数时, , 所以所以 当当n n为奇数时为奇数时, ,所以所以T Tn n= = 所以所以T Tn n= =【规律方法】律方法】常常见的裂的裂项方法方法( (其中其中n n为正整数正整数) )【变式式训练】(2016(2016马鞍山模鞍山模拟)S)Sn n= = = =. .【解析】【解析】通项通项a an n= = 所以所以答案答案: :【加固【加固训练】1.(20161.(2016郑州模州模拟) )已知数列已知数列aan n 的通的
16、通项公式公式为a an n= = 其前其前n n项和和为S Sn n, ,则在数列在数列S S1 1, ,S S2 2,S,S20162016中中, ,有理数有理数项的的项数数为( () )A.42A.42B.43B.43C.44C.44D.45D.45【解析】【解析】选选B. B. 所以所以因此因此S S3 3,S,S8 8,S,S1515为有理项为有理项, ,又下标又下标3,8,15,3,8,15,的通项公的通项公式为式为n n2 2-1(n2),-1(n2),所以所以n n2 2-12 016,-12 016,且且n2,n2,所以所以2n44,2n44,所以有理项的项数为所以有理项的项数
17、为43.43.2.(20162.(2016大同模大同模拟) )若已知数列的前四若已知数列的前四项是是 则数列的前数列的前n n项和和为. .【解析】【解析】因为通项因为通项所以此数列的前所以此数列的前n n项和项和答案：答案： 3.(20163.(2016洛阳模洛阳模拟) )等比数列等比数列aan n 的各的各项均均为正数正数, ,且且2a2a1 1+3a+3a2 2=1,a=1,a3 32 2=9a=9a2 2a a6 6. .(1)(1)求数列求数列aan n 的通的通项公式公式. .(2)(2)设b bn n=log=log3 3a a1 1+log+log3 3a a2 2+log+l
18、og3 3a an n, ,求数列求数列 的前的前n n项和和. .【解析】【解析】(1)(1)设数列设数列aan n 的公比为的公比为q.q.由由a a3 32 2=9a=9a2 2a a6 6得得a a3 32 2=9=9a a4 42 2, ,所以所以q q2 2= .= .由条件可知由条件可知q0,q0,故故q= .q= .由由2a2a1 1+3a+3a2 2=1=1得得2a2a1 1+3a+3a1 1q=1,q=1,所以所以a a1 1= .= .故数列故数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n= .= .(2)b(2)bn n=log=log3 3a a1 1+log+
19、log3 3a a2 2+log+log3 3a an n故故 所以数列所以数列 的前的前n n项和为项和为 考向二考向二错位相减法求和位相减法求和【典例【典例2 2】(2015(2015山山东高考高考) )设数列数列aan n 的前的前n n项和和为S Sn n, ,已知已知2S2Sn n=3=3n n+3.+3.(1)(1)求数列求数列aan n 的通的通项公式公式. .(2)(2)若数列若数列bbn n 满足足a an nb bn n=log=log3 3a an n, ,求数列求数列bbn n 的前的前n n项和和T Tn n. .【解题导引】【解题导引】(1)a(1)an n=S=S
20、n n-S-Sn-1n-1要注意要注意n2n2并验证并验证n=1n=1是否是否满足所求出的关系式满足所求出的关系式.(2).(2)利用错位相减求解利用错位相减求解. .【规范解答】【规范解答】(1)S(1)Sn n= = 当当n=1n=1时时,a,a1 1=S=S1 1= =3;= =3;当当n2n2时时,a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1, ,即即 又又a a1 1不满足上式不满足上式, ,所以所以a an n= =(2)(2)当当n=1n=1时时,a,a1 1b b1 1=3b=3b1 1=1,=1,所以所以b b1 1= ;= ;当当n2n2时时,a,an nb bn n=
21、=3 3n-1n-1bbn n=log=log3 33 3n-1n-1=n-1,=n-1,所以所以b bn n= = 故故b bn n= =当当n=1n=1时时,T,T1 1=b=b1 1= ;= ;当当n2n2时时,T,Tn n=b=b1 1+b+b2 2+b+b3 3+b+b4 4+b+bn n= = 则则 两式相减得两式相减得所以所以 因为因为T T1 1= = 符合上式，所以符合上式，所以bbn n 的前的前n n项和项和【易【易错警示】警示】解答本例会出解答本例会出现以下以下错误: :(1)(1)中忘中忘记验证n=1n=1是否是否满足所求出的关系式足所求出的关系式, ,(2)(2)中
22、求中求T Tn n作差后没有同除以作差后没有同除以 . .【规律方法】律方法】利用利用错位相减法的一般位相减法的一般类型及思路型及思路(1)(1)求数列的前求数列的前n n项和和一般地一般地, ,如果数列如果数列aan n 是等差数列是等差数列,b,bn n 是等比数列是等比数列, ,求求数列数列aan nbbn n 的前的前n n项和和时, ,可采用可采用错位相减法求和位相减法求和, ,一一般是在和式的两般是在和式的两边同乘以等比数列同乘以等比数列bbn n 的公比的公比, ,然后作然后作差求解差求解. .若若bbn n 的公比的公比为参数参数( (字母字母),),则应对公比分等公比分等于于
23、1 1和不等于和不等于1 1两种情况分两种情况分别求和求和. .(2)(2)比比较大小或大小或证明不等式明不等式要善于要善于识别题目目类型型, ,抓住通抓住通项公式的特征公式的特征, ,正确正确变形形, ,分清分清项数求和数求和, ,再利用比再利用比较法或放法或放缩法解决法解决问题. .(3)(3)数列求和与函数、数列求和与函数、导数等知数等知识的交的交汇问题此此类问题通常以数列通常以数列为载体体, ,以函数以函数为工具工具, ,利用函数利用函数的相关知的相关知识求出数列求出数列, ,然后借用然后借用错位相减法求和位相减法求和, ,进一一步解决步解决问题. .【变式式训练】(2016(2016
24、桐桐乡模模拟) )已知公比已知公比q q不不为1 1的等的等比数列比数列aan n 的首的首项a a1 1= ,= ,前前n n项和和为S Sn n, ,且且a a4 4+S+S4 4,a,a5 5+S+S5 5, ,a a6 6+S+S6 6成等差数列成等差数列. .(1)(1)求数列求数列aan n 的通的通项公式公式. .(2)(2)对nNnN* *, ,在在a an n与与a an+1n+1之之间插入插入n n个数个数, ,使使这n+2n+2个数成等个数成等差数列差数列, ,记插入的插入的这n n个数的和个数的和为b bn n, ,求数列求数列bbn n 的前的前n n项和和T Tn
25、n. .【解析】【解析】(1)(1)因为因为a a4 4+S+S4 4,a,a5 5+S+S5 5,a,a6 6+S+S6 6成等差数列成等差数列, ,所以所以2(a2(a5 5+S+S5 5)=a)=a4 4+S+S4 4+a+a6 6+S+S6 6, ,即即2a2a6 6-3a-3a5 5+a+a4 4=0,=0,即即2q2q2 2-3q+1=0,-3q+1=0,解得解得q= ,q= ,故故a an n=( )=( )n n. .(2)(2)若记插入的若记插入的n n个数为个数为x xn n(n=1,2,n),(n=1,2,n),由由(1)(1)及等差及等差数列的性质及前数列的性质及前n
26、n项和公式可知项和公式可知x x1 1+x+xn n=a=an n+a+an+1n+1, ,【加固【加固训练】1.(20161.(2016西安模西安模拟) )化化简S Sn n=n+(n-1)2+(n-2)2=n+(n-1)2+(n-2)22 2 +22+22n-2n-2+2+2n-1n-1的的结果是果是( () )A.2A.2n+1n+1+n-2+n-2B.2B.2n+1n+1-n+2-n+2C.2C.2n n-n-2-n-2D.2D.2n+1n+1-n-2-n-2【解析】【解析】选选D.D.因为因为S Sn n=n+(n-1)2+(n-2)2=n+(n-1)2+(n-2)22 2+2+22
27、2n-2n-2+2+2n-1n-1,2S2Sn n=n2+(n-1)2=n2+(n-1)22 2+(n-2)2+(n-2)23 3+22+22n-1n-1+2+2n n,所以所以-得得,-S,-Sn n=n-(2+2=n-(2+22 2+2+23 3+2+2n n)=n+2-2)=n+2-2n+1n+1, ,所以所以S Sn n=2=2n+1n+1-n-2.-n-2.2.(20142.(2014新新课标全国卷全国卷)已知已知aan n 是是递增的等差数增的等差数列列,a,a2 2,a,a4 4是方程是方程x x2 2-5x+6=0-5x+6=0的根的根. .(1)(1)求求aan n 的通的通
28、项公式公式. .(2)(2)求数列求数列 的前的前n n项和和. .【解题提示】【解题提示】根据方程根据方程x x2 2-5x+6=0-5x+6=0求出求出a a2 2,a,a4 4的值的值, ,从而从而求出求出aan n 的通项公式的通项公式, ,再利用错位相减法求出数列再利用错位相减法求出数列的前的前n n项和项和. .【解析】【解析】(1)(1)方程方程x x2 2-5x+6=0-5x+6=0的两根为的两根为2,3,2,3,由题意得由题意得a a2 2=2,a=2,a4 4=3,=3,设数列设数列aan n 的公差为的公差为d,d,则则a a4 4-a-a2 2=2d,=2d,故故d=
29、,d= ,从而从而a a1 1= ,= ,所以所以aan n 的通项公式为的通项公式为:a:an n= n+1.= n+1.(2)(2)设数列设数列 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,由由(1)(1)知知 则则 两式相减得两式相减得: :考向三考向三可可转化化为等差等差( (比比) )数列的求和数列的求和问题【考情快【考情快递】命题方向命题方向命题视角命题视角分组转化求分组转化求和和主要考查通过分组主要考查通过分组, ,各组转化为等差各组转化为等差( (比比) )数列数列, ,之后再由公式法求和之后再由公式法求和并项转化求并项转化求和和主要考查通过并项主要考查通过并项, ,并项后转化
30、为等并项后转化为等差差( (比比) )数列数列, ,之后再由公式法求和之后再由公式法求和【考【考题例析】例析】命命题方向方向1:1:分分组转化求和化求和【典例【典例3 3】(2016(2016太原模太原模拟) )= =. .【解题导引】【解题导引】将将 化为化为n+ ,n+ ,再分组求和再分组求和. .【规范解答】【规范解答】因为因为所以所以答案：答案： 命命题方向方向2:2:并并项转化求和化求和【典例【典例4 4】(2016(2016昆明模昆明模拟) )在等差数列在等差数列aan n 中中, ,已知已知d=2,ad=2,a2 2是是a a1 1与与a a4 4的等比中的等比中项. .(1)(
31、1)求数列求数列aan n 的通的通项公式公式. .(2)(2)设b bn n= = 记T Tn n=-b=-b1 1+b+b2 2-b-b3 3+(+(-1)-1)n nb bn n, ,求求T Tn n. .【解题导引】【解题导引】(1)(1)根据已知条件可列方程求得数列根据已知条件可列方程求得数列aan n 的通项公式的通项公式.(2).(2)分奇数项和偶数项来讨论求数列的和分奇数项和偶数项来讨论求数列的和. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)由题意知由题意知: :aan n 为等差数列为等差数列, ,因为因为a a2 2为为a a1 1与与a a4 4的等比中项的等比中项, ,所以
32、所以a a2 22 2=a=a1 1aa4 4且且a a1 10,0,即即( (a a1 1+d)+d)2 2=a=a1 1(a(a1 1+3d)+3d)，因为因为d=2,d=2,解得解得a a1 1=2,=2,所以所以a an n=2+(n-1)2=2n.=2+(n-1)2=2n.(2)(2)由由(1)(1)知：知：a an n=2n=2n，b bn n= =n(n+1)= =n(n+1)，当当n n为偶数时，为偶数时，T Tn n=-(12)+(23)-(34)+n(n+1)=-(12)+(23)-(34)+n(n+1)=2(-1+3)+4(-3+5)+n-(n-1)+(n+1)=2(-1
33、+3)+4(-3+5)+n-(n-1)+(n+1)=22+42+62+n2=2(2+4+6+n)=22+42+62+n2=2(2+4+6+n)当当n n为奇数时，为奇数时，T Tn n=-(12)+(23)-(34)+-n(n+1)=-(12)+(23)-(34)+-n(n+1)=2(-1+3)+4(-3+5)+(n-1)-(n-2)+n-n(n+1)=2(-1+3)+4(-3+5)+(n-1)-(n-2)+n-n(n+1)=22+42+62+(n-1)2-n(n+1)=22+42+62+(n-1)2-n(n+1)=22+4+6+(n-1)-n(n+1)=22+4+6+(n-1)-n(n+1)
34、综上：综上：【一题多解】【一题多解】解答本例解答本例(2),(2),你知道几种解法你知道几种解法? ?解答本题解答本题, ,还有以下解法还有以下解法: :因为当因为当n n为偶数时为偶数时,T,Tn n= = 所以当所以当n n为奇数时为奇数时, ,因此因此 【技法感悟】【技法感悟】1.1.分分组转化求和的常化求和的常见类型型(1)(1)若若a an n=b=bn nccn n, ,且且bbn n,c,cn n 为等差或等比数列等差或等比数列, ,可采用可采用分分组求和法求求和法求aan n 的前的前n n项和和. .(2)(2)通通项公式公式为a an n= = 的数列的数列, ,其中数列其
35、中数列bbn n,c,cn n 是等比数列或等差数列是等比数列或等差数列, ,可采用分可采用分组求和法求和求和法求和. .2.2.并并项转化求和的解化求和的解题思路思路并并项求和常求和常见的有首末并的有首末并项、隔、隔项并并项、分段并、分段并项、类周期并周期并项, ,求解求解时要注意要注意观察其察其结构特点构特点, ,根据其特根据其特点采用相点采用相应方法求解方法求解. .【题组通关】通关】1.(20161.(2016郑州模州模拟) )数列数列aan n 的通的通项公式公式a an n=ncos ,=ncos ,其前其前n n项和和为S Sn n, ,则S S2 0162 016等于等于( (
36、) )A.1008A.1008B.2016B.2016C.504C.504D.0D.0【解析】【解析】选选A.aA.a1 1=cos =0,a=cos =0,a2 2=2cos=-2,=2cos=-2,a a3 3=0,a=0,a4 4=4,.=4,.所以数列所以数列aan n 的所有奇数项为的所有奇数项为0,0,前前2 0162 016项的所有偶数项的所有偶数项项( (共共1 0081 008项项) )依次为依次为-2,4,-6,8,-2 014,2 016.-2,4,-6,8,-2 014,2 016.故故S S2 0162 016=0+(-2+4)+(-6+8)+(-2 014+2 01
37、6)=1 008.=0+(-2+4)+(-6+8)+(-2 014+2 016)=1 008.2.(20162.(2016南昌模南昌模拟) )若数列若数列aan n 的通的通项公式是公式是a an n= =(-1)(-1)n n(3n-2),(3n-2),则a a1 1+a+a2 2+a+a1212= =( () )A.18A.18B.15B.15C.-18C.-18D.-15D.-15【解析】【解析】选选A.A.记记b bn n=3n-2,=3n-2,则数列则数列bbn n 是以是以1 1为首项为首项,3,3为为公差的等差数列公差的等差数列, ,所以所以a a1 1+a+a2 2+a+a11
38、11+a+a1212=(-b=(-b1 1)+b)+b2 2+(-b+(-b1111)+b)+b1212=(b=(b2 2-b-b1 1)+(b)+(b4 4-b-b3 3)+(b)+(b1212-b-b1111)=63=18.)=63=18.3.(20163.(2016保定模保定模拟) )有有穷数列数列1,1+2,1+2+4,1,1+2,1+2+4,1+2+4+21+2+4+2n-1n-1所有所有项的和的和为. .【解析】【解析】由由题意知所求数列的通项为题意知所求数列的通项为 =2 =2n n-1,-1,故由故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为分组求和法及等比数列的求和公式可得和为
39、答案答案: :2 2n+1n+1-2-n-2-n4.(20154.(2015西安模西安模拟) )已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和和S Sn n与通与通项a an n满足足S Sn n= = (1)(1)求数列求数列aan n 的通的通项公式公式. .(2)(2)设f(x)=logf(x)=log3 3x,bx,bn n=f(a=f(a1 1)+f(a)+f(a2 2)+f(a)+f(an n),),T Tn n= = 求求T T2 0162 016. .(3)(3)若若c cn n=a=an nf(af(an n),),求求ccn n 的前的前n n项和和U Un n. .【解析
40、】【解析】(1)(1)当当n=1n=1时时,a,a1 1= ,= ,当当n2n2时时,a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1, ,又又S Sn n= - a= - an n, ,所以所以a an n= a= an-1n-1, ,即数列即数列aan n 是首项为是首项为 , ,公比为公比为 的等比数列的等比数列, ,故故a an n= = (2)(2)由已知可得由已知可得f(af(an n)= )= 则则b bn n=-1-2-3-n= =-1-2-3-n= 故故 又又 所以所以T T2 0162 016=- =- (3)(3)由题意得由题意得故故U Un n=c=c1 1+c+c2 2
41、+c+cn n则则两式相减可得两式相减可得【加固【加固训练】已知数列已知数列aan n 满足足a an na an+1n+1a an+2n+2a an+3n+3=24,=24,且且a a1 1=1,a=1,a2 2=2,a=2,a3 3=3,=3,则a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a2 0162 016= =. .【解题提示】【解题提示】先探求数列的周期性先探求数列的周期性, ,再分组求和再分组求和. .【解析】【解析】由由a an na an+1n+1a an+2n+2a an+3n+3=24=24可知可知,a,an+1n+1a an+2n+2a an+3n+3a an+4n+
42、4=24,=24,得得a an+4n+4=a=an n, ,所以数列所以数列aan n 是周期为是周期为4 4的数列的数列, ,再令再令n=1,n=1,求得求得a a4 4=4,=4,每四个一组可得每四个一组可得(a(a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4)+(a)+(a2 0092 009+a+a2 0102 010+ +a a2 0112 011+a+a2 0122 012)+(a)+(a2 0132 013+a+a2 0142 014+a+a2 0152 015+a+a2 0162 016)=10504)=10504=5 040.=5 040.答案答案: :5 0405 040
