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1、4.1实数指数幂4.1.3 幂函数1 1授课：XX (1)如果张红购买了每千克如果张红购买了每千克1元的蔬菜元的蔬菜w千克千克,那么她那么她需要支付需要支付P = _w 元元(2)如果正方形的边长为如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积那么正方形的面积S = _(3)如果立方体的边长为如果立方体的边长为a,那么立方体的体积那么立方体的体积V = _ (5)如果某人如果某人 t s内骑车行进内骑车行进1 km,那么他骑车的平均那么他骑车的平均速度速度v=_是是_的函数的函数a a V是是a的函数的函数t km/s v是是t 的函数的函数我们先来看几个具体的问题我们先来看几个具体的问题: :(4
2、)如果一个正方形场地的面积为如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边那么正方形的边长长_ a是是S的函数的函数以上问题中的函数具有什么共同特征以上问题中的函数具有什么共同特征?思考思考: :Pwy=xy=x2y=x3y=xy=x-1_是是_的函数的函数Sa2 2授课：XX一般地，函数一般地，函数 叫做叫做 ，其中其中x x为自变量，为常数。为自变量，为常数。 定义定义:幂函数幂函数1.1.幂函数的解析式必须是幂函数的解析式必须是y = y = 的形式，的形式， 其特征可归纳为其特征可归纳为“两个系数为，只有项两个系数为，只有项”2.2.定义域定义域与与k k的值有关系的值有关系. . 解
3、析式解析式 ， 底数底数为自变量为自变量x， 指数指数为常数为常数， R；注 意3 3授课：XX练习练习1、下列函数中，哪几个、下列函数中，哪几个函数是幂函数？函数是幂函数？（1）y = （2）y=2x2（3）y=2x （4）y=1 (5) y=x2 +2 (6) y=-x3答案答案:(1)(4):(1)(4)4 4授课：XX下面研究幂函数下面研究幂函数在同一平面直角坐标系内作出这在同一平面直角坐标系内作出这六个幂函数的图象六个幂函数的图象.结合图象，研究性质：定义域、值域、结合图象，研究性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点的情况等。单调性、奇偶性、过定点的情况等。研究研究 y=x5 5
4、授课：XX x-3-2-10123-3-2-101239410149-27-8-10182701-1/3-1/2-111/21/3y=xy=x6 6授课：XX7 7授课：XX x-3 -2 -1 0 1 2 3y=x29410 1 4 98 8授课：XX9 9授课：XX x-3-2 -1 0 1 2 3y=x3-27 -8 -1 0 1 8 271010授课：XX x 0 1 2 4 0 1 21111授课：XX1212授课：XXx-3-2-1 1 23-1/3 -1/2 -1 1 1/2 1/31313授课：XX1414授课：XX1515授课：XX在第一象限内在第一象限内,函数图象的变化函数
5、图象的变化趋势与指数有什趋势与指数有什么关系么关系?在第一象限内，在第一象限内，当当k0时，图象随时，图象随x增大而上升。增大而上升。当当k0k0时，图象随时，图象随x x增大而上升。增大而上升。当当k0k0时时,图象还都过点图象还都过点(0,0)点点1717授课：XX y=x y=x2y=x3 y=x y=x-1定义域定义域值域值域奇偶性奇偶性单调性单调性 公共点公共点奇奇偶偶奇奇非奇非奇非偶非偶奇奇(1,1)RRRx|x00,+）RRy|y00,+）0,+）在在R R上增上增在（在（-，0)0)上减，上减，观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:在在R
6、 R上上增增在在( (0 0，+）上增，）上增，在（在（-，0 0) )上减上减, ,在在( (0 0，+）上增，）上增，在在(0(0，+)+)上减上减1818授课：XX幂函数的性质幂函数的性质.所有的幂函数在所有的幂函数在(0,+)(0,+)都有定义都有定义, ,并且函数图并且函数图象都通过点象都通过点(1,1);(1,1);幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式中中k k的不同而各异的不同而各异. . .如果如果k0k0, ,则幂函数的图象过点则幂函数的图象过点(1,1),(1,1),并在并在(0,+)(0,+)上为上为减函数减函数; ; K0k0
7、, ,则幂函数的图象过点则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)并在并在(0,+)(0,+)上为上为增函数增函数; ;k10k11919授课：XX (1)奇偶性:定义域不关于原点对称, 为非奇非偶函数. (2)单调性：在（，+）上是减函数例例1.研究幂函数的定义域、奇偶性研究幂函数的定义域、奇偶性 和单调性，并作出图象和单调性，并作出图象解:它的定义域是（，+）2020授课：XXx 1/4 1/2 1234y 21.4 10.7 0.6 0.52121授课：XX2222授课：XX2323授课：XX探探 究究 与与 发发 现现例例2：讨论函数：讨论函数 的定义域、奇偶性的定
8、义域、奇偶性, 作出它的图象，并根据图象说明函数的单调作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性、及值域。性、及值域。 定义域定义域:(,+)奇偶性奇偶性:偶函数偶函数2424授课：XXx012468y011.6 2.5 3.3 42525授课：XXx012468y011.6 2.5 3.3 42626授课：XXx012468y011.6 2.5 3.3 42727授课：XXx012468y011.6 2.5 3.3 42828授课：XX探探 究究 与与 发发 现现例例2：讨论函数：讨论函数 的定义域，作出的定义域，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调它的图象，并根据图象说明函数的单调性、奇偶
9、性及值域。性、奇偶性及值域。在在 上是增函数上是增函数定义域：定义域：在在 上是减函上是减函数 值值 域：域：奇偶性：偶函数奇偶性：偶函数单调性：单调性：2929授课：XX练练习习：如如果果函函数数 是是幂幂函函数数，且且在在区区间间（0，+）内内是是减减函函数数，求求满满足足条件的实数条件的实数m的集合。的集合。解解:依题意依题意,得得解方程解方程,得得 m=2或或m=-1检验检验:当当 m=2时时,函数为函数为符合题意符合题意.当当m=-1时时,函数为函数为不合题意不合题意,舍去舍去.所以所以m=23030授课：XX幂函数幂函数定义定义六个特殊幂函数六个特殊幂函数图象图象基本性质基本性质本节知识结构本节知识结构: 课堂小结：课堂小结： 3131授课：XXXyXy第第一一象象限限k0时时双曲线型双曲线型开口开口向右抛物线型向右抛物线型OOk0画出函数在第一象限的图象后画出函数在第一象限的图象后,再根据函数的奇偶性再根据函数的奇偶性,画出函画出函数在其他象限还有的图象数在其他象限还有的图象K=0,直线型直线型开口向上型抛物线开口向上型抛物线K=13232授课：XX作业：作业：熟记熟记六个特殊幂函数的图像和性质六个特殊幂函数的图像和性质谢谢3333授课：XXThank you!34
